elementos de mÁquinas-engrenagens - cÁlculo bÁsico

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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENSCÁLCULO BÁSICO

CÁLCULO BÁSICO

PROFESSOR: JOSÉ MARIA NASCIMENTO

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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS

Em uma empresa, o setor de manutenção mecânica desenvolve um

importante papel na continuidade do fluxo da produção. Após o

diagnóstico do defeito, realizam-se a desmontagem, limpeza dos

componentes, substituição dos elementos danificados, montagem,

lubrificação e ajustes finais da máquina. No entanto, muitas vezes não

existem peças de reposição disponíveis para consertar a máquina,

principalmente quando ela é antiga. Por causa disso, o setor de

manutenção de muitas empresas possui algumasmáquinas operatrizes

destinadas a produzir elementos mecânicos para a reposição de peças de

máquinas sob manutenção.

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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

Para a sua construção é necessário considerar uma série de

dados, a saber:

l número de dentes (Z)

l diâmetro externo (de)

l módulo (m)

l diâmetro primitivo (dp)

l diâmetro interno (di)

l altura do dente (h)

l altura da cabeça (a)

l altura do pé do dente (b)

l passo (p)

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CÁLCULO DO MÓDULO

O módulo (m) de uma engrenagem é a medida que representa a relação

entre o diâmetro primitivo (dp) dessa mesma engrenagem e seu número

de dentes (Z). Essa relação é representada matematicamente do seguinte

modo:

m = dp / z ; dp = m. z ; z = dp / m

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CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO( de )

O diâmetro externo é igual ao diâmetro primitivo (dp) mais duas vezes a

altura da cabeça do dente (a) que, por sua vez, é igual a um módulo. Isso é

fácil de verificar, se você observar o desenho a seguir.

de = dp + 2.m

dp = de – 2.m

m= (de – dp) / 2

de = m( z + 2 ) em Função de m e z

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PRÁTICA ORIENTADA

1 - Calcular o diâmetro primitivo de uma engrenagem cilíndrica de dentes

retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.

2 - Calcule o número de dentes da engrenagem que tenha um diâmetro

primitivo (dp) de 240 mm e um módulo igual a 4.

3 - Calcular o módulo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos cujo

diâmetro externo (de) é igual a 45 mm e o número de dentes (Z) é 28.

4 - Qual é o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos

cujo módulo (m) é igual a 3,5 e o número de dentes (Z) é igual a 42.

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CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE

A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos é igual

a 2 módulos mais 1/6 de um módulo. O desenho a seguir ilustra esta definição.

Observe

Isso pode ser representado matematicamente:

h = 1 m+1 m+1/6m

h = 6/6 m+ 6/6 m+ 1/6 m

h = 13/6 m

h = 2,166 · m

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A altura total do dente da engrenagem é, também, a soma da altura da

cabeça do dente (a) mais a altura do pé do dente (b), ou seja,

h = a + b

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PRÁTICA ORIENTADA

5 - Calcule a altura total (h) dos dentes de uma engrenagem cujo módulo é 1,75.

6 - Calcule o módulo de uma engrenagem cuja altura total (h) do dente é 4,33 mm.

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CÁLCULO DA ALTURA DO PÉ DO DENTE

A altura do pé do dente da engrenagem (b) é 1m+1/6 m, ou seja:

b = 1 m+1/6m

b = 6/6 m + 1/6 m

b = 7/6 m

b = 1,166.m

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PRÁTICA ORIENTADA

7 - Calcule a altura do pé dente (b) de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que

o módulo é igual a 1,5.

8 - Calcule o módulo de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que a altura do pé do

dente (b) é de 3,498 mm.

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CÁLCULO DO DIÂMETRO INTERNO

O diâmetro interno (di) é igual ao diâmetro primitivo (dp) menos 2 vezes a altura

do pé do dente (b).

Matematicamente isso é o mesmo que: di = dp - 2b

Como b é igual a 1,166 · m, podemos escrever: di =

dp - 2 · 1,166 · m

Portanto: di =

dp - 2,33 · m

Como dp = m · Z, também é possível fazer a

substituição: di =

m · Z - 2,33 · m

Reescrevendo,temos: di =

m (Z - 2,33)

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PRÁTICA ORIENTADA

9 - Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica que tem um

diâmetro primitivo de 75 mm e um módulo igual a 1,5.

10 - Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica com 50 dentes e

módulo igual a 1,5.

11 - Calcule o módulo de uma engrenagem da qual você conhece o diâmetro interno (di = 37,67 mm) e o número de dentes (Z = 40).

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CÁLCULO DO PASSO

O passo é a medida do arco da circunferência do diâmetro primitivo que

corresponde a um dente e a um vão da engrenagem.

Ele é calculado a partir do perímetro da

circunferência do diâmetro primitivo (dp ·

p) dividido pelo número de dentes da

engrenagem, porque o número de dentes

corresponde ao número de passos.

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CÁLCULO DO PASSO

Matematicamente isso dá:

p = (dp · pi)/Z Como dp = m · Z, podemos

escrever:

p = (m· Z · pi)/Z

P = m . pi

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PRÁTICA ORIENTADA

12 - Calcule o passo de uma engrenagem cujo módulo é 3.

13 - Sabendo que o passo de uma engrenagem é 12,56 mm, calcule seu módulo.

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CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE EIXOS

Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente, dá para perceber

que, além das medidas que já calculamos, precisamos conhecer também a

distância entre os centros dos eixos que apóiam as engrenagens. Essa medida se

baseia no ponto de contato entre as engrenagens. Esse ponto está localizado na

tangente das circunferências que correspondem aos diâmetros primitivos das

engrenagens.

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CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE EIXOS

Assim, a distância entre os centros (d) é igual à metade do diâmetro primitivo da

primeira engrenagem dp1 mais a metade do diâmetro primitivo da segunda

engrenagem dp2, divido por dois.

d= (dp1 + dp2)/2

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PRÁTICA ORIENTADA

14 - Sabendo que o número de dentes da engrenagem 1 é 60 e o da engrenagem

2 é 150 e que seus módulos são iguais a 2, calcule a distância entre seus centros.

15 - Calcule dp, de, di, h, a, b e p de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos

com 45 dentes e módulo 4.

16 - Sabendo que o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica é de 88 mm e

que ela tem 20 dentes, calcule m, dp, di, h, a, b e p.

17 - Calcule a distância entre centros das duas engrenagens dos exercícios 15 e 16.

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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS

CONCEITUAÇÃO

Engrenagens com dentes helicoidais são usadas em sistemas mecânicos, como

caixas de câmbio e redutores de velocidade, que exigem alta velocidade e baixo

ruído.

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CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS

Esta engrenagem tem passo normal (Pn) e passo circular (Pc), e a hélice apresenta

um ângulo de inclinação (b).

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Para identificar a relação entre o passo

normal (Pn), o passo circular (Pc) e o

ângulo de inclinação da hélice (b), você

deve proceder da seguinte forma: retire

um triângulo retângulo da última

ilustração, conforme segue.

A

B

C

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A

B

C

Neste triângulo temos:

Cos c = Pn / Pc ( 1 ); mas Pn = Mn . pi ( 2 ) e Pc = Mf . Pi ( 3 )

Substituindo as equações ( 2 ) e ( 3 ) na equação ( 1 )

Teremos: Mn = Mf . Cos c e Mf = Mn / cos c

C = ângulo beta, ângulo de inclinação da hélice;

Mn = módulo normal;

Mf = módulo frontal;

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CÁLCULO DO DIÂMETRO PRIMITIVO

O diâmetro primitivo (Dp) da engrenagem helicoidal é calculado pela divisão do

comprimento da circunferência primitiva por p (3, 14). O comprimento da

circunferência primitiva (Cp) é igual ao número de dentes (Z) multiplicado pelo

passo circular (Pc).

Assim, Cp = Z · Pc.

Logo, o diâmetro primitivo é dado por Dp = Cp / pi.

Como Cp = Z · Pc podemos escrever DP = Z×Pc / pi

Como Pc = Mf · pi, temos Dp = Z×Mf ×pi / pi. Simplificando, temos:

Dp = Z · Mf ou Dp = Mf · Z ; Como Mf = Mn / cos c ( c = ângulo de hélice ) teremos

Dp = Z . Mn / cos c

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CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO

O diâmetro externo (De) é calculado somando o diâmetro primitivo a dois módulos

normais.

De = Dp + 2 . Mn

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CÁLCULO DE Mn EM FUNÇÃO DE De, d,

d = dp1 + dp2 / 2; De = dp + 2 . Mn

Mn = (De1 + De2 - 2d ) / 4

Com essa fórmula podemos calcular o módulo

normal. Os valores de De1 (diâmetro externo da

engrenagem 1), De2 (diâmetro externo da

engrenagem 2) e d (distância entre os centros)

podem ser medidos.

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PRÁTICA ORIENTADA

1 - Calcular o módulo normal (Mn), o diâmetro primitivo (dp), o ângulo de inclinação

da hélice (b), módulo frontal ( Mf ), passo normal ( Pn ) e o passo circular ( Pc ) de

uma engrenagem helicoidal, sabendo que o diâmetro externo medido é De1 =

206,54 mm e tem 56 dentes, o diâmetro externo da engrenagem acoplada é De2 =

125,26 mm e a distância entre os centros é d = 160,4 mm.

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CÁLCULO DA ALTURA DO PÉ DO DENTE

A altura do pé do dente (b) depende do

ângulo de pressão (A) da engrenagem.

Veja, a seguir, a localização do ângulo de

pressão .

A

A

ba

h

Os ângulos de pressão mais comuns

usados na construção de

engrenagens

são: 14º30', 15º e 20º.

Para A = 14º30' e 15º, usa-se a

fórmula b = 1,17 · Mn

Para A = 20º, usa-se b = 1,25 · Mn

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CÁLCULO DO DIÂMETRO INTERNO

A

A

ba

h

Di = dp – 2 . b

Di = dp – 2,50 . Mn ( para A = 20º

Di = dp – 2,34 . Mn ( para A = 14º30´

e A = 15º

30




A

A

ba

h

h = a + b

a = 1 . Mn

Para A = 20ºh = Mn + 1,25 . Mn = 2,25 . Mn

Para A = 14º30´e A = 15ºh = 1. Mn + 1,17 . Mn = 2,17 . Mn

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PRÁTICA ORIENTADA2 – Calcular a altura do pé do dente (b) para a engrenagem helicoidal de módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão Â = 15º.

3 – Calcular o diâmetro interno (Di) para a engrenagem helicoidal de módulo normal Mn = 2,75, diâmetro primitivo Dp = 201,04 mm e ângulo de pressão Â = 14º30'.

4 – Calcular a altura total do dente (h) de uma engrenagem helicoidal de módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão Â = 20º.

5 – Calcular Mf, dp, De, Pn, Pc, Di, b e h de uma engrenagem helicoidal com 32 dentes, Mn = 3, ângulo de inclinação da hélice C = 19º30' e ângulo de pressão A = 20º.

6 – Calcular Mf, dp, De, Pn,Pc, Di, b e h de uma engrenagem helicoidal com 44 dentes, Mn = 3, ângulo de inclinação da hélice C = 30º e ângulo de pressão A = 15º.

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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CÔNICAS

INTRODUÇÃO

Para grandes problemas, grandes soluções.

Por exemplo: qual a saída para o setor de projeto e construção de uma

empresa em que o setor de manutenção necessita fazer a

manutenção de uma máquina importada, cujo reparo exige a compra

de uma engrenagem que não está disponível no mercado. A saída é

construir a peça. Vamos conhecer os cálculos para a construção de

engrenagens cônicas.

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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS

INTRODUÇÃO

Numa engrenagem cônica, o diâmetro externo (De) pode ser medido, o número de

dentes (Z) pode ser contado e o ângulo primitivo (d) pode ser calculado. Na figura a

seguir podemos ver a posição dessas cotas.

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CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO( de ) Â

O diâmetro externo (de) é dado pela fórmula

de = dp + 2 · m · cos Â, onde dp é o

diâmetro primitivo e m é o módulo.

De =dp + 2 . m . cos Â

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CÁLCULO DO DIÂMETRO PRIMITIVO - dp Â

O diâmetro primitivo (dp) é dado por

Dp = m . z

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CÁLCULO DO ÂNGULO PRIMITIVO ÂÂ

O ângulo primitivo Â é dado pela fórmula

tan Â = z / za

Onde z é o número de dentes da

engrenagem que será construída e za

é o número de dentes da engrenagem

que será acoplada.

Ângulo Â

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PRÁTICA ORIENTADAÂ

1 - Calcular o módulo de uma engrenagem cônica

a ser construída, de 30 dentes, sabendo que seu diâmetro

é igual a 63,88 e o número de dentes da engrenagem

que será acoplada nesta é igual a 120 dentes

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CÁLCULOS DOS ÂNGULOS DA CABEÇA DO DENTE E DO PÉ DO DENTE

Â

Â

B

C

B

C

ÂNGULO DA CABEÇA DO DENTE

tan c = 2. sen Â / z

ÂNGULO DO PÉ DO DENTE

tan B = 2,33 . sen B / zPara ângulo de pressãoigual 14º30´ou 15º

tan B = 2,50 . Sen B / zPara ângulo de pressão igual20º

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PRÁTICA ORIENTADA

Â

Â

B

C

B

C

2 – Conhecendo o ângulo primitivo Â calculadono exercício 1, calcular o ângulo da cabeça dodente( C ) e o do pé do dente( B ).

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CÁLCULO DO ÂNGULO EXTERNO( Ê )

ÊÂ

Mais dois ângulos são necessários para a

construção da engrenagem cônica. Um deles é o

ângulo Ê , que será utilizado para o torneamento

da superfície cônica do material da

engrenagem.

O ângulo Ê é o ângulo de inclinação do carro

superior do torno para realizar o torneamento

cônico do material.

Ê = Â + C

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CÁLCULO DO ÂNGULO INTERNO( Î )

ÂÎ

Î = Â - B

Â = ângulo primitivoB = ângulo do pé do dente

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CÁLCULO DE h, a e b

h = a + b

a = m

b = 1,25 . m; para ângulo de

pressão igual 20º

B = 1,17 . m; para ângulo de

pressão 14º30´e 15º

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PRÁTICA ORIENTADA

3 – Calcular as dimensões para construir uma engrenagem cônica de módulo 2, número de dentes Z = 120, número de dentes da engrenagem que será acoplada Za = 30, ângulo de pressão a= 14º30' e ângulo dos eixos a 90º.Dimensões: dp, de, Â, a, b, h, ângulo C, Ê e Î.

4 – Calcular as dimensões de uma engrenagem cônica, módulo 4, com eixos a 90º, com número de

dentes Z = 54, número de dentes da engrenagem que será acoplada Za = 18 e ângulo de

pressão a = 14º30'.

Dimensões: dp, de, Â,a, b, h, ângulo C, Ê e Î.

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