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Instituto Superior de Transportes e Comunicações

Cálculo de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais

Órgãos de Máquinas – Aula 3 3⁰ Ano

Eng⁰ Eulices Mabasso

Tópicos

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1. Conceitos gerais Transmissões por engrenagens cilíndricas de dentes

helicoidais

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais

3. Esforços actuantes nas transmissões helicoidais

4. Resistência das engrenagens helicoidais

5. Dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais

6. Cálculo cinemático

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1. Conceitos gerais

Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com

dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão.

São utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço

axial e que gerem menor ruído.

A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes é maior

do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao

engrenamento gradual dos dentes.

Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos.

4

1. Conceitos gerais

Para suportar esses esforços deve-se

prever a utilização de mancais de escora

ou mancais radiais, como os rolamentos

de contato angular.

Uma providência de projeto bastante

comum é a montagem de uma redução

com dois pares de engrenagens, cada

conjunto gerando esforços axiais em uma

direção.

Com engrenagens semelhantes, os

esforços axiais resultantes serão mínimos.

A figura 2 mostra esse tipo de montagem.

5

1. Conceitos gerais

A fabricação dos

dentes é similar

à fabricação de

dentes de rodas

dentadas com

dentes rectos.

Por isso, o perfil

dos dentes na

secção normal n-

n é similar ao

perfil de dentes

rectos.

6


Um esquema dos dentes e das variáveis

envolvidas no estudo das engrenagens

helicoidais é mostrado na figura 1.

Nessa figura, 𝛽 é o ângulo de hélice,

que define a inclinação dos dentes em

relação ao eixo das engrenagens; 𝑝 é o

passo; 𝑝𝑛 é o passo normal ou

ortogonal; 𝑝𝑎 é o passo axial e 𝑏 é a

largura da engrenagem.

A variável 𝑏,, não mostrada, é utilizada

para a largura efetiva dos dentes, que

em engrenagens helicoidais depende do

ângulo de hélice.

Fig 1. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes

7


A figura 1 também mostra os planos RR

e NN. O primeiro é o plano perpendicular

ao eixo da engrenagem e o segundo é

perpendicular aos dentes. A visão dos

dentes em cada plano é diferente.

A figura 2 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, 𝜙𝑛 é o ângulo

de pressão normal ou ortogonal e 𝜙 é o

ângulo de pressão. Pode-se notar que os

ângulos são diferentes. Fig 1. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal

mostrando as designações mais importantes

8


O ângulo normal é o que

realmente está no plano de

rolamento e é normalizado.

Embora o perfil dos dentes

deva ser evolvental nesse

plano, dificuldades de

fabricação impedem que

isso ocorra.

Pequenas diferenças são

levadas em conta no

dimensionamento através

da modificação dos fatores

geométricos.

Fig 2. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano NN da figura 1; à direita, corte no Plano RR

9


Com as figuras 1 e 2 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis. Assim, o passo

normal pode ser calculado por:

1. Passo tangencial 𝑝𝑡 = 𝑝𝑛/𝑐𝑜𝑠𝛽

2. módulo tangencial 𝑚𝑡 = 𝑚𝑛/𝑐𝑜𝑠𝛽

3. Diâmetro primitivo d = 𝑚𝑡 ∙ 𝑧 = 𝑚𝑛 ∙ 𝑧/𝑐𝑜𝑠𝛽

Os índices "n" e "t" designam "normal" e "tangencial", respectivamente. A resistência dos dentes

é determinada para dimensões e forma na secção normal. A forma do dente na secção normal

permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos equivalente à roda dentada com dentes

helicoidais.

1

2

3

10


A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos

equivalente à roda dentada com dentes helicoidais:

Fig 3. Roda virtual, equivalente a uma engrenagem helicoidal e seu respectivo

diâmetro, dv

A secção da roda dentada normal ao eixo do dente

é uma elipse com semieixos c = r e e = r/cos β ,

onde r = d/2. Para engrenamento, a segunda roda

situa-se numa posição correspondente ao eixo

menor da elipse, à distância c = d/2 = r. Esta é a

posição real. O raio de curvatura da elipse no eixo

menor (da geometria da elipse) é:

𝑟𝑣 = 𝑒2/𝑐 4

11


A forma do dente na secção normal permite idealizar uma roda dentada com dentes rectos

equivalente à roda dentada com dentes helicoidais:

Fig 3. Roda virtual, equivalente a uma engrenagem helicoidal e seu respectivo

diâmetro, dv

O raio 𝑟𝑣 é o raio da roda dentada cilíndrica com

dentes rectos equivalente ou virtual. De modo

similar, pode-se determinar um diâmetro da roda

cilíndrica com dentes rectos equivalente à roda

cilíndrica com dentes helicoidais por:

𝑑𝑣 = 𝑑/𝑐𝑜𝑠2𝛽 4

12


O aumento dos parâmetros equivalentes (𝑑𝑣 e 𝑧𝑣) com o aumento do ângulo β resulta no

aumento da resistência das transmissões com dentes helicoidais relativamente a transmissões

com dentes rectos.

Para efeitos de cálculo projectivo, este aumento de resistência relativa resulta na redução das

dimensões da transmissão.

A redução de ruídos e menores exigências de comprimento da linha de movimentação (ou do

grau de recobrimento aparente) devidas à inclinação dos dentes, contribuem para a

popularidade do uso de rodas dentadas com dentes inclinados, apesar do inconveniente de

gerar forças parasitas na direcção axial das rodas dentadas.

Por exemplo, para 𝛽 = 20𝑜 𝑑𝑣 = 1,13 ∙ 𝑑 e 𝑧𝑣 = 1,2 ∙ 𝑧 5

𝑧𝑣 =𝑑𝑣

𝑚𝑛=

𝑑

𝑚𝑛∙𝑐𝑜𝑠2𝛽

= 𝑚𝑡 ∙𝑧

𝑚𝑡∙𝑐𝑜𝑠3𝛽

𝑧𝑣 =𝑧

𝑐𝑜𝑠3𝛽4

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2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais2.1. Multiparidade e suavidade de funcionamento

Enquanto que os dentes rectos engrenam

instantaneamente ao longo de todo o seu comprimento,

nas engrenagens com dentes inclinados o engrenamento

é progressivo do ponto 1 ao ponto 2 (fig. 4).

As posições das linhas de contacto são mostradas na fig.

5. As linhas de contacto não estão dispostas sob ângulo o

β mas sob o βb, que é um parâmetro referente à

superfície de base, mas para fins práticos considera-se

que βb ≈ β .

Fig 4. Inclinação dos dentes em engrenagens com dentes

helicoidais

14


Durante a rotação das engrenagens, as linhas de

contacto deslocam-se na direcção indicada pela seta.

Para o instante da observação patente na figura 5, há

três pares de dentes em engrenamento: 1, 2 e 3. O par

2 engrena ao longo de toda a extensão do dente, mas

os pares 1 e 3 engrenam parcialmente. Quando o par 3

sai do engrenamento no ponto 3' os pares 1 e 2

continuam em engrenamento nos pontos 1' e 2',

respectivamente.

Fig 5. Multiparidade em engrenagens com dentes

helicoidais

15


Por isso, as rodas dentadas com dentes inclinados não

têm zonas em que só há um par de dentes em

engrenamento, diferentemente das rodas com dentes

rectos. Isto reduz os choques e ruídos, resultando

numa maior capacidade de carga (devida à redução de

cargas dinâmicas e outros efeitos) e suavidade de

funcionamento. Nas transmissões com dentes

inclinados há um mínimo de 2 pares de dentes em

engrenamento.


helicoidais

16


As transmissões com dentes inclinados podem funcionar

com 𝜀𝛼 < 1 desde que o recobrimento axial se verifique:

𝑏𝑤 <𝑝𝑏𝑡

𝑡𝑔𝛽(fig. 5). O grau de recobrimento (ou

coeficiente de sobreposição axial) é:


helicoidais

7

6

17


É de recomendar a escolha de 𝜀𝛽 ≥ 1,1. É particularmente benéfico escolher

um valor 𝜀𝛽 = 2 𝑜𝑢 3 (número inteiro), para depois calcular o valor de 𝛽 a

posteriori.

Para dentes inclinados, a carga distribui-se por todas as linhas de contacto

agregadas nos pares 1, 2 e 3 (fig. 5). A carga específica diminui com o aumento

do somatório do comprimento das linhas de contacto 𝑙Σ. Considerando o grau

de recobrimento aparente (ou razão de transmissão frontal) 𝜀𝛼, da figura 5,

tem-se:

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Pode-se depreender que 𝜀𝛽 aumenta com o aumento de β, mas este aumento

acarreta o inconveniente de aumentar as forças axiais. Por isso, o ângulo β é

limitado:

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Nas transmissões por dentes inclinados a linha de contacto não é paralela ao

eixo da roda. Não só se inclina no sentido do ângulo β como também se inclina

num ângulo λ relativamente à linha da crista dos dentes e ocupa uma faixa de

alturas no flanco do dente. (fig. 6). O ângulo λ é proporcional ao ângulo β .

A distribuição da carga q ao longo da linha de contacto não é uniforme, pois a

linha de contacto em cada dente inclinado é ligeiramente arqueada, devido à

inclinação do dente. A carga é máxima a meio da linha.

20


O uso de dentes inclinados permite o

emprego de materiais mais duros e

mais resistentes. Em geral, o uso de

dentes inclinados aumenta a

capacidade de carga da transmissão

em 25... 30%, em comparação com

a de dentes rectos.Fig 6. Inlcinação das linhas de

contacto em engrenagens com dentes helicoidais

21

2. Características geométricas das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais2.2. Coeficiente de sobreposição frontal ou tangencial

Para transmissões por engrenagens com dentes inclinados, sem

deslocamento do perfil, o coeficiente de sobreposição frontal ou tangencial ou

de face é dado por:

Se bem que se recomenda 𝜀𝛼 ≥ 1,4 (1,2 em casos extremos) para dentes

rectos, para dentes inclinados aceita-se 𝜀𝛼 ≥ 1 .

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Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano

inclinado NN. Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de

ambos os dentes, também deve estar nesse plano.

Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As

componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de

transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial.

Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão com um

todo (eixos, engrenagens, selos, mancais, ..) aparecem apenas

indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes.

23


De fato, uma vez que os ângulos de

hélice e pressão para um conjunto de

redução são fixos e definem a relação

entre as forças, o efeito de cada uma

pode ser incluído na força tangencial

(Ft), que é a que define o torque que

está sendo transmitido.

A figura 7 permite determinar as

relações entre as forças. Nessa figura

é mostrada uma vista superior da

engrenagem helicoidal e os dentes nos

planos RR e NN. Fig 7. Esquema para a

determinação das relações entre as Forças em Engrenagens Helicoidais

24


A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de

acionamento (motor).

Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não

está disponível no início de um projeto.

8

25


A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de

acionamento (motor).

Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não

está disponível no início de um projeto.

8

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Para determinar as forças

que actuam nas engrenagens

angulares (espinha de peixe,

bihelicoidais, dois pares de

engrenagens), usa-se o

mesmo metódo (fórmulas 8 ),

sendo que para rodas

dentadas com dentes

angulares (fig. 8.b) a força

axial resultante é nula. Fig 8. Forças nas engrenagens com

dentes helicoidais

27


Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões

relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser

transmitida.

A figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em contato com outro de

um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de

deformação (ou tensão) geradas pelos esforços.

A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração

de tensões.

28


Observando a figura é

possível identificar a raiz

do dente e o ponto de

contato entre os dentes

como os pontos de maior

tensão, conforme já visto

no estudo de engrenagens

de dentes retos.

Fig 9. Tensões nas engrenagens com dentes helicoidais

29

4. Resistência das engrenagens helicoidais4.1. Cálculo da resistência à fadiga por contacto

A resistência ao contacto é verificada utilizando a fórmula de Hertz. Porém, a carga

específica é dada pela expressão:

9

30


e substituindo dw1 por dv1 pela expressão obtida na fórmula: 𝑑𝑣 =𝑑

𝑐𝑜𝑠2𝛽

obtém-se a seguinte fórmula para o raio reduzido de curvatura das engrenagens

helicoidais:

10

31


Comparando a fórmula para a relação 𝑞

𝜌𝑟𝑒𝑑em dentes rectos 9)) e dentes

helicoidais conclui-se que:

10

32


O valor de 𝐾𝐻𝛼 é, geralmente, apenas um pouco superior a 1 e 𝜀𝛼 é quase

sempre maior que 𝐾𝐻𝛼, pelo que 𝑍𝐻𝛽 é menor que 1. Isto significa que os dentes

helicoidais sofrem menores tensões que os rectos. Por isso 𝑍𝐻𝛽 é chamado

“coeficiente de aumento da resistência dos dentes helicoidais às tensões de

contacto”. Usando o novo coeficiente, temos a seguinte fórmula: KHv ≈ 1,0

10

𝐾𝐻 = 𝐾𝐻𝛽 ∙ 𝐾𝐻𝑉

33


Os valores dos coeficientes de irregularidade da carga no engrenamento 𝐾𝐻𝛼 são aproximados

e são dados na tabela 1.

Em princípio, os dentes helicoidais são engrenados de tal forma que há pelo menos dois pares

de dentes em engrenamento em qualquer instante. Por isso as sobrecargas devidas a

irregularidades de fabricação são pequenas.

10

34


Os valores dos coeficientes de irregularidade da carga no engrenamento 𝐾𝐻𝛼são aproximados e são dados na tabela 1.

Uma vez que no início do cálculo projectivo não são conhecidos muitos dos

parâmetros geométricos, arbitram-se valores aproximados de forma a simplificar

o procedimento. O efeito das aproximações pode ser corrigido em cálculos

testadores. Assim, assumindo os seguintes valores aproximados: 𝜀𝛼 = 1,5 e

β = 12𝑜, o valor de 𝑍𝐻𝛽 fica aproximadamente igual a 0,85 e as fórmulas para

o cálculo do diâmetro e da distância interaxial ficam:

11 12

35


Osnúmeros

das curvas Correspondemàs transmissões

Esquematizadasacima.

36

4. Resistência das engrenagens helicoidais4.2. Cálculo da resistência dos dentes à fadiga por flexão

Este cálculo é feito por analogia às transmissões cilíndricas com dentes rectos.

As fórmulas para as tensões de flexão e para o módulo ficam modificadas com a

incorporação de um coeficiente que espelha o aumento da resistência dos

dentes à flexão, ZFβ , análogo a ZHβ , para tensões de flexão.

Porém, o coeficiente KFv para engrenagens com dentes helicoidais é baixo e

aproximadamente igual à unidade: KFv ≈ 1,5, e por isso o coeficiente fica

reduzido. 𝐾𝐹 = 𝐾𝐹𝛽 ∙ 𝐾𝐹𝑉

13

37


O módulo e os outros coeficientes podem ser determinados com base nas

seguintes fórmulas:

14 15

O coeficiente YF é o coeficiente de forma do dente e é escolhido das mesmas

tabelas ou dos mesmos gráficos que para dentes rectos.

Porém, em vez do número real de dentes usa-se o número virtual, zv, que se

calcula utilizando a fórmula (5). Os valores de β e de ψm escolhem-se de

recomendações.

38


39


Valores dos módulos normalizados, em milímetros

40


Os valores comuns

de YF estão

próximos de 3,5 ... 4.

Estes valores são

aceitáveis como

valores aproximados

de YF para

engrenagens

externas, sem

modificação do perfil

do dente, isto é, sem

deslocamento.

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Exercícios1. Determinar os parâmetros geométricos, a tensão de contacto e as forças que

actuam no par de engrenagens helicoidais (ECDH), para que possa atuar com

segurança na transmissão representada na figura abaixo. O accionamento será por

meio do motor eléctrico com potência: 𝑃 = 14,7𝑘𝑊 20𝑐𝑣 𝑛 = 1140 𝑟𝑝𝑚 (𝜔 =38𝜋𝑟𝑎𝑑

𝑠)

Considere: b

𝑑= 0,25 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝛼 = 20𝑜 𝑧1 = 29, 𝑧2 = 89 𝑚𝑛 =

3𝑚𝑚, 𝛽𝑜 = 20𝑜.

42

Exercícios

2. Determinar a força que actua no veio-II e verificar

se os dentes resistem ao contacto, considerar a

tensão admissível de 𝜎𝐻 = 500𝑀𝑃𝑎 e HB>350

(disposição simetrica das rodas em relação aos

apoios, transmissão geral do tipo redutor).

Considere os seguintes dados: 𝑃 = 11𝑘𝑊 15𝑐𝑣 𝑛 = 1140 𝑟𝑝𝑚)

Considere: 𝜓𝑏𝑑 = 0,4 𝛼 = 20𝑜 𝑢 = 3, 𝛽 = 20𝑜.

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Exercícios3. Um pinhão de aço de 12 dentes, módulo de 2,5 mm, fresado com um ângulo de

pressão de 18𝑜,e o ângulo de inclinação dos dentes igual à 20𝑜, gira a 1800 rpm

e acopla-se a uma engrenagem de ferro fundido de 72 dentes. Calcular a tensão

de contacto superficial critica que atuaria nos dentes se o par transmitir uma

potência de 1,5 kW, a largura do denteado é de 38 mm. Para todos materiais

HB<350.

4. Um pinhão de aço tem módulo de 4,0 mm, 20𝑜 de ângulo de pressão e o

ângulo de inclinação dos dentes igual à 18𝑜, de 32 dentes, gira a 900 rpm e

transmite 9,5 kW a uma engrenagem de 60 dentes (considerar o deslocamento

nulo). Calcular a tensão normal de flexão dos dentes do pinhão considerando a

largura do dentado de 38 mm. Para todos materiais HB<350.

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Exercícios

3. Determinar o diâmetro primitivo da roda movida de ferro fundido (o pinhão é de

aço) duma transmissão, com tensão admissível de 𝜎𝐻 = 400𝑀𝑃𝑎, HB<350

(disposição simetrica das rodas em relação aos apoios, transmissão muito

carregada e precisa). Considere os seguintes dados:

𝑃 = 60𝑘𝑊 𝑛 = 1200 𝑟𝑝𝑚)

Considere: 𝜓𝑏𝑑 = 0,8 𝛼 = 20𝑜 𝑢 = 5, 𝛽 = 20𝑜.

cálculo de engrenagens - isutc...largura da engrenagem. a variável ,, não mostrada, é utilizada...

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