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Elementos de Lógica Digital27/08/2009

Prof. Jadir Eduardo Souza [email protected]

Mapas de Karnaugh

Ferramenta de auxílio à minimização de funções booleanas

Mapeamento biunívoco a partir de uma tabela-verdade

Mapas de Karnaugh1 Variável

A ̅ A

1 0

A F

0 1

1 0

Mapas de Karnaugh2 Variáveis

B ̅ B

A ̅ 1 0

A 1 0

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0


A ̅

A

B ̅B ̅ BB

1 0 0 1

0 1 1 0

C̅ CC C̅

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1


C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 0 0 1 B ̅

0 1 1 0B

1 0 0 0B

0 0 0 0 B ̅

D̅ DD D̅

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

Mapas de KarnaughMais Variáveis

Mapas tridimensionais

Mais de um quadro por mapa

Mais variáveis por linha/coluna, com abordagem apresentada ou abordagem alternativa

Mapas de KarnaughOutra abordagem

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

CDABAB

CD00 01 11 10

00

01

11

10

1 0 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

0 0 0 0

Mapas de KarnaughRegras de Simplificação

Encontrar posições marcadas na tabela (valor 1) que formem blocos máximos com 1, 2, 4, 8 ou 16 posições, marcar e contornar os blocos encontrados

Selecionar blocos adicionais com posições marcadas, de forma a selecionar todas as posições marcadas, e com o menor número de blocos possível

É permitido usar uma mesma posição marcada em mais de um bloco

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

B ̅

1BB

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅BC ̅D

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

B ̅

1 1BB

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅BD

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 1 1 1 B ̅

BB

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅B ̅

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 1 B ̅

1 1BB

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅D

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 1 1 1 B ̅

1 1 1 1BB

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

B ̅

1 1BB

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅BD ̅

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

B ̅

1 1B

1B

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅BD+BCD

Mapas de Karnaugh

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

B ̅

1 1B

1 1B

B ̅

D̅ DD D̅

A ̅BD+ABC

Exemplo

Definir a expressão mínima para um incrementador BCD, na forma de soma de produtos

a) Construir a Tabela Verdade ➦

b) Extrair os mintermos da expressão ➦

c) Construir Mapa de Karnaugh ➦

d) Escrever expressões mínimas ➦

Tabela VerdadeEntradasEntradasEntradasEntradas SaídasSaídasSaídasSaídas

A B C D X Y Z W0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 00 1 1 0 0 1 1 10 1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 d d d d1 0 1 1 d d d d1 1 0 0 d d d d1 1 0 1 d d d d1 1 1 0 d d d d1 1 1 1 d d d d{Casos

“negligenciáveis”

↩

minTermos

X = ∑ m(7,8)

Y = ∑ m(3,4,5,6)

Z = ∑ m(1,2,5,6)

W = ∑ m(0,2,4,6,8)

minTermos

X = A ̅BCD + AB ̅C̅D̅

Y = A ̅B ̅CD + A̅BC̅D̅ + A ̅BC ̅D + A ̅BCD̅

Z = A ̅B ̅C̅D + A ̅B ̅CD̅ + A ̅BC̅D + A ̅BCD̅

W = A ̅B ̅C̅D̅ + A ̅B ̅CD̅ + A ̅BC ̅D̅ + A ̅BCD̅ + AB ̅C̅D̅

↩

Saída X

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

B ̅

1B

d d d dB

1 d d B ̅

D̅ DD D̅

AD ̅+BCD

Saída Y

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 B ̅

1 1 1B

d d d dB

d d B ̅

D̅ DD D̅

BD ̅+BC ̅+B ̅CD

Saída Z

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 1 B ̅

1 1B

d d d dB

d d B ̅

D̅ DD D̅

A ̅C̅D+CD̅

Saída W

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 1 B ̅

1 1B

d d d dB

1 d d B ̅

D̅ DD D̅

D̅

↩

minTermos

X = BCD + AD ̅

Y = B ̅CD + BD ̅ + BC ̅

Z = A ̅C̅D + CD̅

W = D̅

↩

Método Quine-McKluskey

Simplificação de expressões

Método tabular

Tabela com termos produtos, de acordo com o número de variáveis negadaEncontrar pares que diferem de apenas uma variável, marcando o par e eliminando a variável que difere recursivamenteConstruir Matriz Quine-McKluskey, colocando X nas interseções, círculos e quadrados

Método Quine-McKluskeyExemploConsiderar a expressão lógica:

F = ABCD + ABC ̅D + ABC ̅D̅ + AB ̅CD + A ̅BCD + A ̅BCD̅ + A ̅BC ̅D + A ̅B ̅C̅D

Construir tabela com os termos produto

Termo Binário Grupo minTermoA ̅B ̅C̅D 0001 1 1A ̅BC ̅D 0101

25

A ̅BCD ̅ 0110 2 6ABC ̅D̅ 1100

212

A ̅BCD 01113

7AB ̅CD 1011 3 11ABC ̅D 1101

313

ABCD 1111 4 15

Passo 1

Passo 2Termo GrupoA ̅B ̅C̅D 1A ̅BC ̅D 2A ̅BCD̅ 2ABC ̅D̅ 2A ̅BCD 3AB ̅CD 3ABC ̅D 3ABCD 4

Termo Grupo

✔

✔ ✔

✔

✔

✔

✔

✔✔

✔

✔

✔

✔

✔✔✔

ABD 3ACD 3BCD 3ABC ̅ 2A ̅BC 2BC ̅D 2A ̅BD 2A ̅C̅D 1

Passo 3Termo GrupoA ̅C̅D 1A ̅BD 2BC ̅D 2A ̅BC 2ABC ̅ 2BCD 3ACD 3ABD 3

Termo Grupo

✔

✔

✔

✔

BD 2BD 2

Passo 4

ABCD ABC ̅D ABC ̅D̅ AB ̅CD A ̅BCD A ̅BCD̅ A ̅BC ̅D A ̅B ̅C̅D

BD

A ̅C̅D

A ̅BC

ABC ̅

ACD ⃞⃞

⃞⃞

◯◯

◯◯

X X X X

X

X X

X X

X X

X

A ̅C̅D + A ̅BC + ABC ̅ + ACD

Método Quine-McKluskeyForma Alternativa

Montagem da tabela com termos produtos, de acordo com o número de variáveis negadas

Encontrar minTermos que diferem de uma potência de 2, marcar-o e construir tabelas de Pares

Encontrar pares com diferenças de potência de 2 em grupos diferente

Construir tabela de Quadras, recursivamente para Octetos etc.

Termo Grupo minTermo Pares QuadrasA ̅B ̅C̅D 1 1A ̅BC ̅D

25

A ̅BCD̅ 2 6ABC ̅D̅

212

A ̅BCD

37

AB ̅CD 3 11ABC ̅D

313

ABCD 4 15

5,13,7,15 (8,2)5,13 (8)6,7 (1)

7,15 (8)12,13 (1)

Passo 1

1,5 (4)5,7 (2)

13,15 (2)11,15 (4)

5,7,13,15 (2,8)

Passo 2

1 5 6 7 11 12 13 15

5,7,13,15 (2,8)

1,5 (4)

6,7 (1)

12,13 (1)

11,15 (2)

X X

X X X X

X X

X X

XX

◯◯

◯◯

⃞⃞

⃞⃞

Passo 3

1,5 (4) 8 4 2 1

1

5

A ̅ B ̅ C̅ D

A ̅ B C̅ D

A ̅C̅D

6,7 (1) 8 4 2 1

6

7

A ̅ B C D̅

A ̅ B C D

A ̅BC

12,13 (1) 8 4 2 1

12

13

A B C̅ D̅

A B C̅ D

ABC ̅

11,15 (4) 8 4 2 1

11

15

A B ̅ C D

A B C D

ACD

C̅C̅ CC

A ̅A ̅

AA

1 B ̅

1 1 1B

1 1 1B

1 B ̅

D̅ DD D̅

Mapa Karnaugh

A ̅C̅D + A ̅BC + ABC ̅ + ACD

Portas Lógicas

Dispositivos, ou circuitos, que operam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, dependente da função implementada

Implementam fisicamente as funções da Álgebra Booleana, através de sua conexão

Unidade básica construtiva dos sistemas digitais

Portas lógicas básicas: AND, OR, NOT, NAND e NOR

Derivadas: XOR, XNOR

Portas LógicasAND

A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1

Y = f (A, B) = A . B

Portas LógicasOR

A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

Y = f (A, B) = A + B

Portas LógicasNOT

A Y0 11 0

Y = f (A) = A ̅

Portas LógicasNAND

A B Y0 0 10 1 11 0 11 1 0

Y = f (A, B) = A ̅ ̅.̅ ̅B ̅

Portas LógicasNOR

A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

Y = f (A, B) = A ̅ ̅+ ̅ ̅̅B ̅̅

Portas LógicasXOR

A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Y = f (A, B) = A ̅.B + A.B ̅ = A ⊕ B

Portas LógicasXNOR

A B Y0 0 10 1 01 0 01 1 1

Y = f (A, B) = A ̅.B ̅ + A.B = A ⊙ B

Padrões de Simbologia

IEEE 91 IEC DIN

AND

OR

NOT

Observações

A operação de inversão é denotada por um círculo, mesmo na entrada da porta

Pode-se encontrar portas com mais com três, quatro ou mais entradas, e não apenas duas entradas como apresentado

Na porta ideal, a saida é alterada imediatamente com as entradas, nas portas reais há um retardo de propagação conhecido como atraso da porta lógica

Conjuntos Completos

Os seguintes conjuntos de portas lógicas são funcionalmente completos, ou seja, é capaz de implementar TODO o conjunto de portas:

AND, OR, NOT

AND, NOT

OR, NOT

NAND

NOR

Completude AND, OR, NOT

NAND


NOR


XOR


XNOR

Completude AND, NOT

OR

B

Completude AND, NOT

NAND

Completude AND, NOT

NOR

B

Completude AND, NOT

XOR

Completude AND, NOT

XNOR

Completude OR, NOT

AND

B

Completude OR, NOT

NOR

Completude OR, NOT

NAND

B

Completude OR, NOT

XOR

Completude OR, NOT

XNOR

Completude NAND

NOT

A

Completude NAND

AND

Completude NAND

OR

A

B

Completude NAND

NOR

A

B

Completude NAND

XOR

Completude NAND

XNOR

Completude NOR

NOT

A

Completude NOR

OR

Completude NOR

AND

A

B

Completude NOR

NAND

A

B

Completude NOR

XOR

Completude NOR

XNOR

Dúvidas ?

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