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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITECTURA E GEORRECURSOS SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS
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Elementos de Engenharia Civil
Módulo de Mecânica Estrutural (1º módulo)
Apontamentos das aulas (T/P)
Parte 2: Análise de estruturas (apoios; estatias; determinação de forças de ligação exteriores,
reações, e interiores, esforços; introdução aos diagramas de esforços)
2014-2015
Jorge Miguel Proença
(considerando o documento Apontamentos de Mecânica 1. IST, DECivil, Eduardo Pereira, Luís Guerreiro, 2008/2009)
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Equilíbrio de estruturas
Nas estruturas de engenharia civil pretende-se que estas (as estruturas, aqui consideradas
como corpos rígidos) estejam em repouso sob o efeito das acções que lhe são aplicadas. No
seu formato mais habitual, isto significa que o sistema de forças total (forças aplicadas +
forças reactivas) seja equivalente a zero, ou seja, que a estrutura esteja em equilíbrio.
As forças reactivas são as forças desenvolvidas nos apoios da estrutura no exterior. Estas –
reacções de apoio – consistem geralmente nas incógnitas, sendo determinadas de tal forma
que o sistema de forças total seja equivalente a zero, ou seja:
forças equivalente a zero de Sistema
0 M
0 R
A
As reacções de apoio dependem naturalmente do tipo de apoios.
No caso plano podem identificar-se os seguintes tipos de apoios:
Apontamentos sobre o equilíbrio de estruturas. Apontamentos de Mecânica I. IST, DECivil, Eduardo
Pereira, Luís Guerreiro, 2008/2009.
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Problema 3.110 (modificado)
Uma treliça encontra-se sujeita ao carregamento (activo) ilustrado. Determine qual o sistema de forças reactivo,
sabendo que:
Uma das forças (a reacção no apoio A) tem uma linha de acção que contém esse ponto;
A outra força (reacção no apoio B) é vertical e a sua linha de acção contém o ponto B.
Comente os resultados.
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No caso espacial podem identificar-se os seguintes tipos de apoios:
Apontamentos sobre o equilíbrio de estruturas. Apontamentos de Mecânica I. IST, DECivil, Eduardo
Pereira, Luís Guerreiro, 2008/2009.
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Estatia de Estruturas A análise da estatia de uma estrutura consiste no balanço entre o número total de equações
de equilíbrio estático e o número total de variáveis estáticas – forças de ligação, exteriores e
interiores –.
Conceitos importantes:
Peça linear – “barra” corpo que se pode considerar gerado por uma figura plana, de forma
e dimensões não necessariamente constantes, cujo centro de gravidade percorre uma
trajectória ao longo de uma linha de grande raio de curvatura à qual a figura se mantém
perpendicular e cuja extensão da trajectória é largamente superior às dimensões da
figura;
Estrutura reticulada – estrutura constituída por peças lineares (barras), habitualmente
representadas sob a forma linhas – os seus eixos -;
Nó – ligação (interior) entre duas (ou mais) peças lineares, cruzamento de peças lineares.
Nota: dentro das peças lineares, iremos abordar essencialmente as peças prismáticas –
peças lineares de eixo recto e de secção constante -.
Exemplos de estruturas reticuladas. Apontamentos sobre o equilíbrio de estruturas. Apontamentos de
Mecânica I. IST, DECivil, Eduardo Pereira, Luís Guerreiro, 2008/2009.
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Estatia de um corpo rígido (estatia exterior)
Considere-se que a estrutura sob análise é um corpo rígido (não apresenta movimento entre
as partes que a constituem). A estrutura está em equilíbrio se e só se as seguintes equações
foram satisfeitas:
Caso espacial (6 equações):
x
y
z
Px
Py
Pz
F 0
F 0
F 0
M 0
M 0
M 0
Caso plano (3 equações):
x
y
Pz
F 0
F 0
M 0
Tipicamente nessas equações (de equilíbrio exterior) as variáveis consistem nas forças de
ligação exterior – reacções de apoio – que permitem que a estrutura esteja em equilíbrio sob
a acção de um sistema conhecido de forças aplicadas.
Exemplo: considere-se a seguinte viga simplesmente apoiada sujeita à acção das cargas F1
e F2 (supostamente conhecidas):
Poderia fazer-se o DCL – Diagrama de Corpo Livre – da viga, representando as reaçcões de
apoio XA, YA e YB.
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As equações de equilíbrio (exteriores) no caso plano poderiam ser:
x A 2
y A B 1
Az 1 B
F X F 0
F Y Y F 0
M a F L Y 0
Que corresponde a um sistema de 3 equações a 3 incógnitas. Trata-se de um sistema
determinado, podendo afirmar que as equações de equilíbrio têm uma e uma só solução.
Considerem-se agora os seguintes outros 2 casos:
(viga com 2 apoios fixos)
(viga com 2 apoios móveis)
No primeiro caso as equações de equilíbrio são possíveis, mas indeterminadas, enquanto
que no segundo caso as equações de equilíbrio são impossíveis (a equação de equilíbrio de
forças segundo X não é satisfeita).
Define-se então a estatia exterior de uma estrutura como sendo o grau de indeterminação
das equações de equilíbrio exterior. Genericamente tem-se:
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E RN 3 (caso plano)
E RN 6 (caso tridimensional)
Em que E é o grau de hiperestatia exterior e NR o número de incógnitas estáticas exteriores
(reacções).
De acordo com o valor de E a estrutura é classificada de forma diferente:
Se E 0 diz-se que a estrutura é exteriormente hiperstática de grau E.
Se E 0 diz-se que a estrutura é exteriormente isostática.
Se E 0 diz-se que a estrutura é exteriormente hipostática de grau -E.
Nota: há ainda a considerar as situações em que o número de ligações exteriores é suficiente
(ou mais do que suficiente) e, no entanto, a estrutura não está em equilíbrio sob a acção de
um carregamento genérico – estruturas com ligações exteriores mal distribuídas -.
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Problema P 2.1
Analise os corpos rígidos planos indicados, quanto à estatia exterior. Diga se o equilíbrio é possível ou não em face das acções indicadas. (Nota: nas alíneas a, b e c as cargas são complanares e com qualquer direcção)
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Estatia de um corpo rígido (estatia global e interior)
Recorde-se que as ligações interiores mais correntes em estruturas reticuladas são as
seguintes:
Ligação rígida (ou contínua) – impede a ocorrência de movimentos de translação ou de
rotação relativos entre as barras.
Ligação articulada (ou rótula) – impede a ocorrência de movimentos de translação
relativos entre as barras, permitindo a rotação relativa.
Pretende-se agora verificar se a estrutura se comporta como um corpo rígido, ou seja se o
número e tipo de ligações entre as partes que a constituem são suficientes para impedir a
ocorrência de movimentos internos (relativos).
Para exemplificar o pretendido, considere-se a seguinte estrutura e acções (conhecidas):
Fazendo o diagrama de corpo livre da estrutura (representando as reacções):
Permitindo obter as equações de equilíbrio exterior
Que permite concluir que a estrutura é exteriormente hiperstática do 1º grau (3 eqs, 4 incs).
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Fazendo o DCL das duas barras,
Poder-se-ia escrever as equações de equilíbrio (interior) das duas barras.
Neste conjunto de 6 equações há 6 incógnitas, pelo que a estrutura é globalmente
isostática.
Somando as equações equivalentes 2.9 e 2.10 é possível obter de novo as equações de
equilíbrio exterior. Este facto demonstra que so há 6 equações de equilíbrio linearmente
independentes – as equações de equilíbrio exterior mais as equações de equilíbrio de um
dos corpos (todos menos um), ou as equações de equilíbrio de todos os corpos.
Outras das conclusões que se pode extrair resulta da re-escrita da equação de equilíbrio de
momentos de 2.9, substituindo a força de ligação interior em função das exteriores e
aplicadas (também obtida de 2.9).
Esta nova equação é uma equação de equilíbrio interior que vem expressa exclusivamente
nas variáveis exteriores.
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Conjugando a equação anterior com as equações de equilíbrio exterior fica-se com um
sistema de 4 equações a 4 incógnitas que permite a determinação das reacções de apoio.
Concluindo, podem definir-se grau de indeterminação estática exterior (E), global (G) e
interior (I) da seguinte forma:
Caso plano:
E RN 3 neste caso E 4 3 1
G R L BN N 3 N neste caso G 4 2 3 2 0
I L BN 3 N 1 neste caso I 2 3 2 1 1
Em que NR é o número de incógnitas estáticas exteriores (reacções), NL é o número de
incógnitas estáticas interiores (forças de ligação interiores) e NB é o número barras.
Pode ainda concluir-se que:
G E I
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Caso particular 1: Estatia de estruturas com nós com mais de 2 barras
Anteriormente referiu-se como contabilizar as forças de ligação interiores em nós articulados
com apenas 2 barras. Pretende-se agora generalizar para o caso de nós articulados com
mais de 2 barras, assim como de nós rígidos (com 2 ou mais barras).
Nós articulados com mais de 2 barras
Neste caso o número de forças de ligação interiores imputável ao nó é dado por:
Li BiN 2 N 1
Em que NLi representa o número de forças de ligação interiores associadas ao nó i e NBi
representa o número de barras ligadas (articuladas) nesse nó.
Nós rígidos com 2 ou mais barras
Neste caso o número de forças de ligação interiores imputável ao nó é dado por:
Li BiN 3 N 1
Para exemplificar a primeira situação determine-se os graus de indeterminação estáticos
(exterior, interior e global) da seguinte estrutura articulada:
Para exemplificar a 2ª situação, considere-se a seguinte estrutura subdividida em 4 barras
pelas ligações rígidas em B e D e pela articulação em C.
Verifique-se ainda que a classificação não depende do critério de divisão em barras. Como
sugestão considere-se agora a subdivisão em 2 barras pela articulação em C.
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Caso particular 2: Estatia de estruturas com malhas fechadas
O método anteriormente exposto para a determinação do grau de indeterminação estático
interior (e global) parte do princípio de que a estrutura é subdivida em corpos isostáticos
(tipicamente “barras”).
A existência de malhas fechadas contraria este princípio, tratando-se de sub-estruturas
hiperstáticas.
Nestes casos haverá que “abrir as malhas”, considerando as correspondentes forças de
ligação interiores.
Considere-se o seguinte exemplo:
Cuja malha interior poderia ser aberta dos seguintes dois modos:
Dois corpos Um corpo
I 6 3 2 1 3 I 3 3 1 1 3
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Estruturas Articuladas – Cálculo de estatia e análise estrutural
Definição: estrutura articulada (treliça) é uma estrutura reticulada (constituída por barras) em
que se verificam as seguintes 3 condições:
As barras são rectas;
As barras encontram-se articuladas em ambas as extremidades;
As cargas encontram-se aplicadas apenas nos nós (rótulas, neste caso).
Tratam-se de sistemas estruturais muito diferenciados, tendo sido extensivamente utilizadas
em pontes (metálicas) no final do século XIX – princípio do século XX, constituindo ainda hoje
um sistema estrutural corrente para estruturas de coberturas metálicas.
Ponte
Cobertura
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A sua singularidade como sistema estrutural está na origem de métodos alternativos, quer
para a determinação da estatia, quer para a análise estrutural (determinação das forças de
ligação, exteriores e interiores).
Considere-se agora o diagrama de corpo livre de uma barra genérica de uma estrutura desse
tipo (caso plano):
Impondo as equações de equilíbrio (interiores), considerando as forças no referencial local,
tem-se:
'a b
'y´ a
' ´x´ b a
M 0 Y 0
F 0 Y 0
F 0 X X
Pelo que se conclui que a barra está sujeita apenas a forças segundo o seu próprio eixo,
iguais e opostas em ambas as extremidades.
Ya
Xa
Yb
Xb
x
y
Y´a
X´a
Y´b
X´b
x´y´
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Considere-se agora um diagrama de corpo livre no caso tridimensional.
Impondo as (6) equações de equilíbrio interiores, ter-se-ia:
As conclusões são análogas às do caso plano, pelo que a barra se encontra apenas sujeita
a uma força segundo o eixo – Esforço Normal – dado por:
Este forço poderá ser de tracção (convencionado positivo) ou de compressão (convencionado
negativo).
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Dos estudos anteriores, resultam as seguintes consequências para o cálculo da estatia de
estruturas articuladas:
O número total de incógnitas interiores (forças de ligação interiores) é igual ao número de
barras da estrutura (há 1 incógnita por cada barra);
As equações de equilíbrio disponíveis para o cálculo das forças de ligação interiores são
as 2 (3, no caso tridimensional) equações de equilíbrio por cada um dos nós, deduzidas
das 3 (6, no caso tridimensional) equações de equilíbrio exteriores.
Assim sendo, os graus de indeterminação estática interior, exterior e global podem ser
determinados pelas seguintes equações:
Caso plano Caso tridimensional
I B Nn (2 n 3) I B Nn (3 n 6)
E Rn 3 E Rn 6
G R B Nn n 2 n G R B Nn n 3 n
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Análise Estrutural de Estruturas Articuladas Isostáticas
Dos resultados anteriores, resulta que as forças de ligação (interiores e exteriores) de
estruturas articuladas isostáticas podem ser determinados pelo equilíbrio dos nós.
Um dos métodos de análise estrutural consiste nos seguintes passos:
determinação das reacções de apoio pelo equilíbrio exterior;
imposição sequencial do equilíbrio de cada nó, considerando as forças aplicadas nesse
nó e a acção das forças de ligação (interiores ou exteriores), tendo o cuidado de em cada
passo não dispôr mais de 2 incógnitas.
Este método é designado por método dos nós.
Cálculo das Reacções de Apoio
Resolução do Nó B
PH
PV
PH
HLPL
PV
HH
M
F
F
C
C
A
C
C
CA
A
V
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
BD
AB
BD
AB
V
H
N
N
N
N
F
F
22
Resolução do Nó C
Resolução do Nó A
PVN
PHN
NV
NH
F
F
CAC
CCD
ACC
CDC
V
H
0
0
0
0
P2N2N
P2)NH(2N
0N2
2N
0N2
2NH
0F
0F
ACAD
ABAAD
ADAC
ADABA
V
H
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Identificação de barras com esforço nulo
a a a a a a
30º
P
P
P
H
A
D
C
B
I J
G
K
E
F
L
24
Calcule os esforços nas barras NCD, NCI e NHI pelo Método dos Nós
2,4 m
100 kN
G
A D C B
H I F J
E
K
2,4 m 2,4 m 2,4 m 2,4 m
3,2 m
100 kN 100 kN
50 kN
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O método dos nós tem o inconveniente de não ser eficiente quando se pretende apenas
saber os esforços axiais num número limitado de barras, particularmente se estas se
encontram na zona interior da estrutura.
Como alternativa refere-se o designado método das secções. Nesse novo método procede-
se ao equilíbrio da sub-estrutura seccionada pelas barras nas quais se pretende saber o
esforço normal. A seguência do método das secções é geralmente a seguinte:
1. Determinar as reacções de apoio exterior através do equilíbrio exterior;
2. Seccionar a estrutura por um corte que intersecte as barras nas quais se pretende saber
o esforço normal;
3. Substituir a acção das barras cortadas pelos esforços normais respectivos;
4. Impor as (3) equações de equilíbrio da sub-estrutura seccionada e determinar os
esforços normais nas barras seccionadas.
Exercício: Resolva-se o exercício anterior, desta feita pelo método das secções.
Quando o corte necessário intersecta mais do que 3 barras, haverá que realizar mais do que
um corte. Sugestão: exercício P3.7.
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P3.7 Determine o esforço axial na barra IM da estrutura articulada representada na figura, utilizando o método das secções.
27
a
P
L
A D C B
M N
F
O
E
P
a a a a
a / 2
Q
G H I J K
P P P P P
a / 2
28
a
P
L
A D C B
M N
F
O
E
P
a a a a
a / 2
Q
G H I J K
P P P P P
a / 2
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ESFORÇOS EM PEÇAS LINEARES
Constitui objecto da presente parte da matéria a determinação dos esforços internos em
estruturas (globalmente) isostáticas constituídas por peças lineares (barras).
Os esforços internos de uma peça linear correspondem às forças de ligação – exercidas
entre as várias partes duma barra ou de uma estrutura – determinadas num referencial
particular. Interessa portanto estudar os métodos de cálculo das forças de ligação (interiores)
entre barras de estruturas reticuladas.
Uma forma de determinação das forças de ligação interiores consiste no estabelecimento dos
Diagramas de Corpo Livre (DCL) de todas as barras que compõem a estrutura e imposição
das equações de equilíbrio a cada um destes corpos..
À partida temos que nos circunscrever a estruturas globalmente isostáticas – estruturas
para as quais é possível determinar as forças de ligação (interiores e exteriores) – apenas
com base nas equações de equilíbrio estático de sub-estruturas ou da estrutura como um
todo.
De entre as estruturas globalmente isostáticas, há ainda que distinguir os seguintes casos:
estruturas interiormente e exteriormente isostáticas;
E I0 e 0
estruturas exteriormente hiperstáticas e interiormente hipostáticas.
E In e n
30
Considerem-se os seguintes 2 exemplos:
Exemplo 1: Problema 8.3
Diagrama de Corpo Livre de todas as barras.FAZER.
31
Exemplo 2: Problema das folhas de “Equilíbrio de Estruturas”
Considere-se L=6m, H=3m, F=6kN e p=3kN/m.
Diagrama de Corpo Livre de todas as barras.
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As forças de ligação podem ser determinadas em qualquer secção – não necessariamente
nas extremidades das barras –. Considere-se, por exemplo, o problema da determinação das
forças de ligação na secção C (secção de ½ vão da barra BD).
Repetindo, os esforços internos de uma peça linear correspondem às forças de ligação –
exercidas entre as várias partes duma barra ou de uma estrutura – determinadas num
referencial particular. A necessidade de considerar esse referencial particular deve-se ao
facto das diferentes componentes das forças de ligação originarem distribuições de tensões
e deformações também diferentes.
Considere-se para o efeito uma peça linear com o sistema de eixos X, Y e Z.
X consiste no eixo da peça linear, com uma orientação arbitrária. Os eixos Y e Z são eixos
transversais.
Peça linear tridimensional – sistema de eixos de referência.
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Uma vez definida (arbitrariamente) a orientação do eixo da peça (X), podem definir-se facetas
positivas ou negativas consoante a normal exterior esteja orientada segundo o eixo X ou
contrariamente ao mesmo.
Peça linear tridimensional – definição de faceta positiva e de faceta negativa numa secção transversal.
Definição dos esforços internos
Independentemente da secção na qual se determinaram as forças de ligação ser uma faceta
positiva ou negativa, as forças generalizadas (forças e momentos) definem os seguintes
esforços:
Força segundo x – Esforço Normal ou Esforço Axial (N)
Força segundo y – Esforço Transverso segundo y (Vy);
Força segundo z - Esforço Transverso segundo z (Vz);
Momento segundo x – Momento torsor (T);
Momento segundo y – Momento flector segundo y (My);
Momento segundo z – Momento flector segundo z (Mz).
A sombreado assinalam-se os esforços internos que não existem em estruturas planas
(estruturas nas quais o modelo e as cargas se encontram no mesmo plano).
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Relativamente aos sinais dos esforços anteriores, estes consideram-se positivos quando os
seus sentidos são concordantes com os sentidos dos eixos X, Y ou Z – faceta positiva – ou
contrários a estes eixos – faceta negativa –.
Peça linear tridimensional – definição dos esforços positivos numa secção transversal.
Peça linear plana – definição dos esforços positivos numa secção transversal
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10 kN/m
B C
3,0 m
6,0 m
12 kN
A D
36
Os esforços definidos em estruturas reticuladas planas podem, para cada barra, ser expresso
de uma forma contínua através das designadas funções de esforços.
z
y
N x
V x
M x
Em que x designa a distância, medida segundo o eixo da barra, relativamente a uma das
extremidades.
Relações diferenciais entre esforços e entre esforços e carregamento distribuído
Considere-se o equilíbrio de um segmento infinitesimal de barra.
Analisando o equilíbrio obtêm-se as seguintes equações diferenciais (no caso plano):
0pdx
dNx
0pdx
dVz
z
zy
yVm
dx
dM
37
As equações diferenciais anteriores podem ser simplificadas no caso mais frequente da
inexistência de momentos flectores distribuídos my.
xpdx
dN
zz p
dx
dV
z
yV
dx
dM
De igual forma se pode, por integração, determinar a variação de esforços entre a secção xi
e a secção xj
j
i
x
x
xij dxpNNN
j
i
x
x
zij dxpVVV
j
i
x
j i y
x
M M M V m dx
38
P4.1 Determine os diagramas de esforços (momento flector, esforço transverso e esforço normal) para as seguintes barras, indicando o tipo de função, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
39
P4.3 e Determine os diagramas de esforços (momento flector, esforço transverso e esforço normal) para as seguintes estruturas planas, indicando o tipo de função, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos.
40
Relações diferenciais entre esforços e entre esforços e carregamento distribuído (3D)
Considere-se o equilíbrio de um segmento infinitesimal de barra.
Equações diferenciais de equilíbrio Equilíbrio de forças
0pdx
dNx
y
y
dVp 0
dx
0pdx
dVz
z
Equilíbrio de momentos
x
dTm 0
dx
zy
yVm
dx
dM
zz y
dMm V
dx
41
Variação de esforços entre a secção xi e a secção xj
j
i
x
x
xij dxpNNN
j
i
x
y y j y i y
x
V V V p dx
j
i
x
z z j z i z
x
V V V p dx
j
i
x
j i x
x
T T T m dx
j
i
x
y y j y i z y
x
M M M V m dx
j
i
x
z z j z i y z
x
M M M V m dx