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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA 1

Apresentação da disciplina

2 NOME DA DISCIPLINA

A Disciplina de Álgebra I, do curso de Matemática Licenciatura EAD, tem por

objetivo familiarizar o aluno com a simbologia matemática e o uso adequado

da linguagem matemática, usando adequadamente a simbologia e os conceitos

estudados para realizar demonstrações, resolver atividades com o conteúdo

estudado e estar em condições de desenvolver tais assuntos em sua vida

profissional futura, bem como, em condições de aplicar os conceitos estudados

em outras disciplinas do curso.

A respeito do nosso estudo em Álgebra I é importante destacar que

estudaremos: Teoria do Conjuntos, suas propriedades e operações; Relações,

propriedades e a classificação em Relação de Equivalência e Ordem; Aplicações

que é o estudo das funções em uma abordagem algébrica, desenvolvendo o

conceito de aplicação, tipos de funções, função inversa e função composta; O

conjunto dos Números Naturais e dos Números Inteiros e suas propriedades;

Divisibilidade, Teorema fundamental da aritmética e números primos;

Congruência no conjunto dos Números Inteiros; Equações Diofantinas e

Demonstração por Indução Finita.

Desejamos a todos um ótimo desenvolvimento do conteúdo proposto ao longo

dos capítulos desse livro.

Salientamos que o estudo de cada capítulo no prazo e a resolução dos

exercícios, tirando dúvidas sempre que for necessário é extremamente

importante para o sucesso nesta disciplina.


Sumário

Teoria dos Conjuntos .................................................................... 4

Produto Cartesiano e Relações ...................................................... 25

Função ou Aplicação ................................................................... 39

Propriedade da Relações ............................................................. 55

Números Naturais e Números Inteiros .............................................. 64

Divisibilidade ........................................................................... 78

Números Primos ........................................................................ 86

Máximo Divisor Comum e Equações Diofantinas ................................... 95

Congruências no Conjunto dos Números Inteiros ................................. 107

Indução Matemática .................................................................. 119


Teoria dos Conjuntos

Claudia Lisete Oliveira Groenwald1

1 Doutora em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca, Espanha. Atua no Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática (PPGECIM) e no curso de Matemática Licenciatura da ULBRA/Canoas. Atua no grupo de Pesquisa GECEM – Grupo de Estudos Curriculares em Educação Matemática.


Introdução

Este capítulo inicia com a lista de simbologias que serão utilizadas ao longo de

todos os capítulos do livro, depois relembraremos os conjuntos numéricos e a

partir deste item vamos desenvolver os conceitos da Teoria dos Conjuntos.

1.1 Simbologia utilizada na Álgebra I

ℕ Conjunto dos Números Naturais

ℤ Conjunto dos Números Inteiros

ℚ Conjunto dos Números Racionais

ℝ Conjunto dos Números Reais

ℝ∗ Conjunto dos Números Reais sem o zero

ℂ Conjunto dos Números Complexos

𝕌 Conjunto universo

∈ Pertence

∉ Não pertence

| Tal que

⇒ Implica

⟺ Equivale

∀ Qualquer que seja

⊂ Está contido

⊃ Contém

∃ Existe

∄ Não existe

∃| ou ∃∗ Existe um e somente um

∪ União

∩ Intersecção

⋞ Precede ou é igual

≽ Sucede ou é igual

≤ Menor ou igual

≥ Maior ou igual

∏ Produtório

∑ Somatório

∞ Infinito

≠ Diferente

∅ ou { } Conjunto vazio

P(A) Conjunto das partes do conjunto A

CEA Complementar do conjunto A em relação ao

conjunto E ⋀ E

⋁ Ou

𝐴 × 𝐵 Produto Cartesiano de A por B

𝐴2 Produto Cartesiano de A por A

ℝ × ℝ = ℝ2 Produto Cartesiano dos Reais

(𝑥, 𝑦) Par ordenado de abscissa x e ordenada y

∘ Composição entre funções


𝑔 ∘ 𝑓 Composição da função f na função g

𝑓−1 Inversa da função f

( ) Intervalo aberto [ ] Intervalo fechado

Conjuntos Numéricos

Apresentamos agora os conjuntos numéricos e suas relações.

Conjunto dos Naturais

Notação: ℕ

ℕ = {0,1,2,3,4,5, … , +∞}

No conjunto dos Números Naturais (ℕ) podemos afirmar: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈

ℕ

Porém no conjunto dos Números Naturais (ℕ) temos: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 +

𝑏 ∉ ℕ

Para resolver esta impossibilidade foi ampliado o conjunto dos ℕ, criando-se o

simétrico de cada número Natural, criando-se o conjunto dos Números Inteiros.

Conjuntos dos Inteiros

Notação: ℤ

ℤ = {−∞, … , −3, −2, −1,0,1,2,3, … , +∞}

O conjunto dos Números Inteiros (ℤ) é uma ampliação do conjunto dos Números

Naturais, com o simétrico de cada número Natural. O simétrico de um número

𝑎 está a mesma distância do zero do seu simétrico.

Neste sentido: o simétrico de 3 é -3; de 5 é -5; de 20 é -20; etc.

A distância do zero até o número chamamos de módulo do número, cuja notação

é | |, então:

|𝑎| = | − 𝑎| = 𝑎

No conjunto dos Números Inteiros (ℤ) temos:

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℤ


Mas no conjunto dos Números Inteiros temos a impossibilidade:

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ se a < b ⇒ 𝑎: 𝑏 ∉ ℤ

Neste sentido, para resolver essa impossibilidade temos o conjunto dos Números

Racionais.

Conjunto dos Racionais

Notação: ℚ

ℚ = { 𝑝

𝑞∈ ℚ|𝑝 ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0}

São todos os números que podem ser colocados na forma e 𝑝

𝑞 e todas as dízimas

periódicas.

Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal

apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo

algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre

na mesma disposição, chamados de período.

As dízimas periódicas podem ser classificadas em:

Dízimas periódicas simples: Quando o período se apresenta logo após a vírgula.

Exemplos:

4

13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)

2

3 = 0, 666666 … (Período: 6)

31

33 = 0, 93939393 … (Período: 93)

Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte não periódica (não

repetitiva) entre o período e a vírgula.

Exemplos:

44

45 = 0, 9777777 … (Período: 7; parte não periódica: 9)

35


35


Geratriz de uma dízima periódica: a geratriz da dízima periódica é a fração

(número racional) que deu origem a essa dízima periódica.


Exemplos:

1

3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…

23

30 é a geratriz da dízima periódica composta 0, 7666 …

Porém, no conjunto dos Números Racionais temos a impossibilidade dos

números que ao serem divididos apresentam infinitas casas depois da vírgula,

que são os Números Irracionais (ℚ′). E uma ampliação do conjunto dos Números

Racionais é o conjunto dos Números Reais.

Conjunto dos Reais

Notação: ℝ

ℝ = ℚ ∪ ℚ′

Importante salientar que ℚ ∩ ℚ′ = ∅

Número Irracional é um número Real que não pode ser obtido pela divisão de

dois números inteiros, ou seja, são números Reais mas não Racionais.

Os primeiros indícios relacionados ao conceito de número irracional remontam

ao conceito de incomensurabilidade. Dois segmentos são comensuráveis se

existe uma unidade comum na qual podem ser medidos de forma exata.

Por exemplo: um segmento de medida 1

3 e outro de medida

1

8 podem ser

expressos por múltiplos inteiros de um segmento de medida 1

24 pois temos:

1

3= 8𝑥

1

24 e

1

8= 3𝑥

1

24 .

A primeira descoberta de um número irracional é atribuída a Hipaso de

Metaponto, eguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração

(provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de

ouro) é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava"

a perfeição dos números, portanto não poderia existir, porém não conseguiu

refutar os argumentos de Hipaso com a lógica. A partir daí os números

irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles

voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de

Euclides é dedicado à classificação de números irracionais.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar

na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria

sugerira havia mais de vinte séculos.

Porém há duas impossibilidades dentro dos Números Reais, que são:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Eudoxo_de_Cnido

https://pt.wikipedia.org/wiki/Os_elementos


• Divisão por zero: ∀ 𝑎 ∈ ℝ ⇒ 𝑎: 0 ∉ ℝ. A divisão por zero não existe em

nenhum conjunto numérico.

• A raiz de índice par de número negativo: ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑒 𝑎 < 0 ⇒ √𝑎2𝑛

∉ ℝ. Esta

impossibilidade está resolvida no conjunto dos Números Complexos.

Conjunto dos Complexos

Notação: ℂ

ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂ|𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑖 = √−1}

Importante salientar que:

𝑖 = √−1

𝑖2 = √−1. √−1 = −1

𝑖3 = −1. √−1 = −√−1

𝑖4 = −√−1. √−1 = −(−1) = 1

As potências de 𝑖 se repetem, formando um ciclo de tamanho 4.

Logo: 𝑖85 = √−1; 𝑖86 = −1; 𝑖87 = −√−1 ; 𝑖88 = 1.

Podemos indicar um número Complexo 𝑎 + 𝑏𝑖 como o par (𝑎, 𝑏).

Propriedades dos Números Complexos:

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑.

(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)

(𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)


Diagrama de Venn com os Conjuntos Numéricos

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Noção de Conjunto

A noção de conjunto não é suscetível de definição, é uma noção primitiva,

introduzida de modo explícito pelo matemático russo Georg Cantor (1845 –

1918). “Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos

e discerníveis de nossa percepção ou de nosso entendimento chamados

elementos do conjunto. ” Georg Cantor.

Exemplo de conjuntos:

• O conjunto de letras da palavra ULBRA.

• O conjunto de alunos masculinos do curso de Matemática Licenciatura da

ULBRA-Canoas do estado do Rio Grande do Sul.

• O conjunto de livros da biblioteca da ULBRA – Canoas do estado do Rio

Grande do Sul.

• O conjunto dos números Inteiros maiores que 1 e menores que 10.

Notação de conjunto

Designa-se conjunto por letras maiúsculas: 𝐴, 𝐵, 𝐶, ...

Designa-se elementos de um conjunto por letras minúsculas: 𝑎, 𝑏, 𝑐, ...

Exemplo:

• 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑}. Conjunto A com 5 elementos: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑.

• 𝐵 ={ }. Conjunto B com nenhum elemento, conjunto vazio.

• 𝐶 = {0, 1,5}. Conjunto C com 3 elementos: 0, 1, 5.


Relação de Pertinência

Dado um conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑}.

Para indicar que um elemento pertence ao conjunto A escreve-se: 𝑎 ∈ 𝐴.

Para indicar que um elemento não pertence ao conjunto A escreve-se: 𝑎 ∉ 𝐴

Exemplo: 𝐶 = {1, 2,3,4}. Temos 1 ∈ 𝐶 e 5 ∉ 𝐶.

Caracterização de um conjunto

Caracteriza-se um conjunto por extensão e por compreensão.

A caracterização de um conjunto por extensão é quando todos os seus

elementos são mencionados.

Ex: 𝐶 = {1, 2,3,4};

𝐷 = {3,4,5,6, … }

A caracterização de um conjunto por compreensão é quando os elementos ficam

conhecidos mediante uma propriedade característica a eles e somente a eles.

Ex: 𝐸 = {𝑥∈ ℤ| 0 ≤ 𝑥 ≤ 5};

𝐹 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 ≥ 2}.

Tipos de conjuntos

Conjunto finito – quando a quantidade de elementos é enumerável.

Exemplo: 𝐴 = {𝑥∈ ℤ| − 2 < 𝑥 ≤ 3}

Conjunto infinito – quando a quantidade de elementos não é enumerável.

Exemplo: 𝐵 = {𝑥∈ ℤ| 𝑥 ≥ 5}

Conjunto Vazio – quando não há elementos.

Notação de conjunto vazio: ∅ ou { }.

Exemplo: 𝐷 = {𝑥∈ ℕ| 2𝑥 = 5}; 𝐸 = {𝑥| 𝑥2 < 0}; 𝐹 = {𝑥|𝑥 ≠ 𝑥}

Conjunto Unitário – quando o conjunto possui somente um elemento.

Exemplo: 𝐷 = {𝑥∈ ℤ| 𝑥 + 1 = 5} = {4 }; {𝑥∈ ℝ| 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0}= {3 }.

Conjuntos Disjuntos


Dois conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando não possuem elementos

em comum.

Decorrência da definição: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Exemplo:

𝐴 = {𝑥∈ ℤ| − 2 < 𝑥 ≤ 3}; 𝐵 = {𝑥∈ ℤ|𝑥 = 5}; A e B são conjuntos disjuntos.

Igualdade entre dois conjuntos

Dois conjuntos A e B são considerados iguais se e somente se todo elemento que

pertence a A é também elemento de B.

Notação: 𝐴 = 𝐵 ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵.

𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ ∃𝑥 ∈ 𝐴𝑒 𝑥 ∉ 𝐵 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴.

Exemplo:

• {Triângulos equiláteros} = {Triângulos equiângulos}

• {5,6,7} = {6,7,5} = {5,5,5,6,6,7}

• {1,2,3} ≠ (1,3); ∀𝑥 ∈ ℝ ou seja {1,2,3} é um conjunto e (1,3) é um intervalo

tal que 1 < 𝑥 < 3.

Relação de Inclusão

Um conjunto A está contido em um conjunto B se e somente se todo elemento

de A também é elemento de B.

Notação: 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵

Negação: 𝐴 ⊄ 𝐵 ⇒ 𝐴 não está contido em 𝐵 ou 𝐵 ⊅ 𝐴 ⇒ 𝐵 não contém 𝐴.

Exemplo: O conjunto dos números Naturais ímpares não está contido no

conjunto dos números Naturais pares.

ℚ ⊂ ℕ

ℝ ⊂ ℂ

ℤ ⊃ ℕ

Obs:

• O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.

• Qualquer que seja o conjunto A em um Universo 𝑈 temos: 𝐴 ⊂ 𝑈.

• A relação de pertinência é entre elemento e conjunto e a relação de inclusão

é uma relação entre conjuntos.


Conjuntos Comparáveis

Dois conjuntos A e B são comparáveis quando 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 ⊂ 𝐴.

Exemplo:

𝐴 = {𝑎, 𝑏} e 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, temos: 𝐴 ⊂ 𝐵, logo A é comparável a B.

𝐶 = {1,3} e 𝐷 = {23,4}, C e D não são comparáveis porque 1 ∈ 𝐶 𝑒 1 ∉ 𝐷.

Diagrama de Venn

𝑨 ⊂ 𝑩

𝑩 ⊃ 𝑨

Subconjuntos

Para todo conjunto A que está contido em um conjunto B, diz-e que A é

subconjunto de B ou parte de B;

Obs: B está contido em si mesmo e o conjunto vazio está contido em B. São

chamados partes triviais de B.

Se 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐴 ≠ ∅ 𝑒 𝐴 ≠ 𝐵 diz-se que A é subconjunto próprio de 𝐵.

Exemplo:

𝐴 = {1,2,3} 𝑒 𝐵 {1,2,3,4,5};

A é subconjunto próprio de B.

Conjunto das partes de um conjunto B

Partes de um conjunto B são todos os subconjuntos de B, inclusive o conjunto

B e o conjunto vazio.

Notação: 𝑃(𝐵).


Exemplo: Formar os subconjuntos 𝑑𝑒 𝐵 = {1,2,3}

𝑃(𝐴) = {{1}; {2}; {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}, 𝐵, ∅}

Teorema: Todo conjunto finito, com 𝑛 elementos tem 2𝑛 subconjuntos.

Operações com conjuntos

União

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}

Exemplo: 𝐴 = {1,2,3}; 𝐵 = {2,3,4,5}; 𝐴𝑈𝐵 = {1,2,3,4,5}

Diagramas de Venn

𝐴 ∪ 𝐵

𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴

𝐴 ∧ 𝐵 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

𝐴 ∪ 𝐵

Propriedades da União:

• Propriedade Idempotente: 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴

• Propriedade Associativa: ∀ 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

• Propriedade Comutativa: ∀ 𝐴, 𝐵 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

Obs.: 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 ∧ 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈.

Intersecção

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

Exemplo: 𝐴 = {1,2,3,4}; 𝐵 = {3,4,5}; 𝐴 ∪ 𝐵 = {3,4}

Diagramas de Venn


𝐴 ∩ 𝐵

𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵


𝐴 ∩ 𝐵

Propriedades da Intersecção:

• Propriedade Idempotente: 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

• Propriedade Associativa: ∀ 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

• Propriedade Comutativa: ∀ 𝐴, 𝐵 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

Obs.: 𝐴 ∩ ∅ = ∅ ∧ 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴.

Diferença

A − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Exemplo: 𝐴 = {1,2,3,4}; 𝐵 = {3,4,5}; 𝐴 − 𝐵 = {1,2}; 𝐵 − 𝐴 = {5}

Diagramas de Venn

𝐴 − 𝐵

𝐵 ⊂ 𝐴

𝐴 − 𝐵


𝐴 − 𝐵 = 𝐴

𝐵 − 𝐴

𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒

𝐵 − 𝐴 = ∅


𝐵 − 𝐴 = 𝐵

Propriedades da Diferença:

• Propriedade Idempotente: 𝐴 − 𝐴 = ∅


Complementar de um conjunto

𝐶𝐴𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

𝐶𝐴𝐵=complementar de B em relação a A

B é o conjunto U.

Exemplo:

- Sendo A o conjunto dos números pares o 𝐶ℕ𝐴 é o conjunto dos números

ímpares.

- 𝐶ℝℚ = ℚ′

- Dado B={1,2,3,4,5,6,7} e A={1,2,5,6} temos: 𝐶𝐵𝐴 = {3,4,7}

Diagrama de Venn

𝐶𝐴𝐵=complementar de B em relação a A

𝐶𝐴𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Partição de um conjunto

Partição de um conjunto não vazio E é a família de subconjuntos não vazios de

E, disjuntos dois a dois e cuja união é o conjunto E.

Exemplo:

E={1,2,3,4,5,6,7,8}

A={1,2,6}; B={3,5,8}; C{4,7}.

A família 𝐴, 𝐵, 𝐶 é uma partição de E, porque 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 são disjuntos:

(𝐴 ∩ 𝐵 = ∅; 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ 𝑒 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅ e 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐸.

Ordem de um conjunto

Dado o conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, 𝑒 𝐵 = {𝑒, 𝑓, 𝑔} o número de elementos de A é

a ordem de A, 𝑜(𝐴) = 5 e o número de elementos de B, é a ordem de B, é

𝑜(𝐵) = 3.

O número de elementos de 𝑜(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑜(𝐴) + 𝑜(𝐵) − 𝑜(𝐴 ∩ 𝐵).

Demonstração:


Supondo 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅; temos 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑜(𝐴) + 𝑜(𝐵)

Supondo 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅; fazendo a ordem de 𝑜(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝; 𝑜(𝐴) = 𝑛 + 𝑝 𝑒 𝑜(𝐵) =

𝑚 + 𝑝 temos:

𝑜(𝐴𝑈𝐵) = 𝑛 + 𝑝 + 𝑚 + 𝑝 − 𝑝

𝑜(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑜(𝐴) + 𝑜(𝐵) − 𝑜(𝐴 ∩ 𝐵).

Leis de Morgan

(𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′

(𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐴′ ∪ 𝐵′

Demonstração: De (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′

(⇒)𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)′ ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 𝐷𝑒 𝑥 ∉ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴′ 𝐷𝑒 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵′ Logo x∈ 𝐴′𝑒 𝑥 ∈ 𝐵′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴′ ∩ 𝐵′ (⇐)𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴′ ∩ 𝐵′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴′ ∨ 𝑥 ∈ 𝐵′ ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐵 De 𝑥 ∉ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴′ ∨ 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵′ Logo 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴𝑈𝐵)′

Propriedade Distributiva

Dado os conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, temos:

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴𝑈𝐶)

(𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴 = (𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐶𝑈𝐴)

Logo a operação União é distributiva em relação a operação Intersecção.

Dado os conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, temos:

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

(𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴)

Logo a operação Intersecção é distributiva em relação a operação União.

Recapitulando


Neste capítulo revisitamos os conjuntos numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ). Importante

frisar que, como professores, vamos desenvolver o processo de ensino

aprendizagem com os conjuntos numéricos. Nos anos iniciais (do 1º ao 5º anos)

são introduzidos e desenvolvidos os algoritmos com os Números Naturais, no 6º

ano revisamos e ampliamos o Conjunto dos Naturais, introduzindo a potenciação

e a radiciação com Números Naturais, no 7º ano introduzimos o conjunto dos

Números Inteiros e o conjunto dos Racionais, desenvolvendo os seis algoritmos

(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). No 7º ano

introduzimos os números Irracionais e no 9º ano introduzimos e desenvolvemos

o processo de ensino e aprendizagem dos Números Reais. No 9º ano os

estudantes aprendem que não existe, dentro do conjunto dos Reais, as raízes

de índice par de número negativo e, somente no Ensino Médio, normalmente

no 3º ano do Ensino Médio, introduzimos o conjunto dos Números Complexos.

Neste sentido, é muito importante que os estudantes de licenciatura em

Matemática tenham clareza sobre a importância dos conjuntos numéricos e

estudem essa temática não apresentando dúvidas.

Estudamos, também, os conceitos com a Teoria dos Conjuntos (noção de

conjunto, caracterização de um conjunto, operações com conjuntos,

propriedades das operações). Essa temática é desenvolvida no 1º ano do Ensino

Médio e, como professores de Matemática da Educação Básica, temos que

estudar estes conceitos para que possamos desenvolver, com qualidade, o

processo de ensino e aprendizagem desta temática.

Resumo das propriedades das operações na Teoria dos Conjuntos

∀ 𝐴 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 𝑒 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴

∀ 𝐴 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴 𝑒 𝐴 ∩ ∅ = ∅

Propriedade idempotente:

∀ 𝐴 ⇒ 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 ∧ 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 ∧ 𝐴 − 𝐴 = ∅

Propriedade Comutativa:

A operação União obedece a propriedade Comutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

A operação Intersecção obedece a propriedade Comutativa: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

A diferença não obedece a propriedade Comutativa: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴

Propriedade Associativa:

A operação União obedece a propriedade Associativa: (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

A operação Intersecção obedece a propriedade Associativa: (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩

(𝐵 ∩ 𝐶)


Propriedade Distributiva

Da União em relação a Intersecção: Dado os conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, temos:

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴𝑈𝐶)

(𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴 = (𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐶𝑈𝐴)

Da Intersecção em relação a União: Dado os conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, temos:

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

(𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴)

Leis de Morgan: Dado os conjuntos 𝑨, 𝑩, 𝑪, temos:

𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝑈 𝑒 𝐴 ∩ 𝐴′ = ∅ 𝑒 (𝐴′)′ = 𝐴

(𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′

(𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐴′ ∪ 𝐵′

Referências e Obras Consultadas

ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,

1985.

CASTRUCCI, Benedito. Elementos da Teoria dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,

1986.

MONTEIRO, L. H. Jacy. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro, IMPA, Livros

Técnicos e Científicos Editora S.A., 1974.

Atividades

1. Caracterize por extensão os conjuntos

1.1 {x∈ ℕ|2 < 𝑥 ≤ 7} =

1.2 {𝑥 ∈ ℤ|−2 ≤ 𝑥 < 4} =

1.3 {𝑥 ∈ ℤ||𝑥| ≤ 2} =

1.4 {𝑥 ∈ ℕ|𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0}=

1.5 {𝑥 ∈ ℤ|𝑥2 = 4 ∧ 2𝑥 = 6}}=


2. Coloque V para a igualdade verdadeira e F para a igualdade que é falsa:

2.1 {2,3,4} = {4,3,2} ( )

2.2 {𝑥 ∈ ℤ|𝑥2 − 9 = 0} = {3} ( )

2.3 {𝑥 ∈ ℕ|3𝑥 − 6 = 0} = {2} ( )

2.4 {x∈ ℤ|4𝑥 = 0 ∨ 𝑥 − 5 = 0} = {5} ( )

2.5 {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥^2 = 25 ∧ 𝑥 + 9 = 4} = {−5} ( )

3. Sendo 𝐴 = {0,1,2,3,4,5} escreva nos parênteses V para a afirmação verdadeira

e F para a afirmação que é falsa:

3.1 ∅ ∈ 𝐴 ( ) 3.4 0 ∈ 𝐴 ( )

3.2 3 ⊂ 𝐴 ( ) 3.5 7∈ 𝐴 ( )

3.3 ∅ ⊂ 𝐴 ( ) 3.6 {1,2} ⊂A ( )

4. Dado 𝑈 = ℕ, temos:

4.1 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3}, então:

𝐴 ∩ 𝐵 =

4.1 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} e 𝐷 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟}, então:

𝐶 ∩ 𝐷 =

5. Dos 47automóveis estacionados em um shopping, 32 eram brancos e 17 eram

de 1993. Quantos automóveis de cor branca de 1993 estavam estacionados no

shopping?

6. Em uma cidade existem dois jornais A e B, que juntos possuem 5000

assinantes. O jornal A tem 2.800 assinantes e os dois jornais tem 400 assinantes

comuns. Quantos assinantes tem o jornal B?

7. Numa pesquisa realizada, verificou-se que 2000 pessoas usam dois produtos

A e B. O produto B é usado por 800 pessoas e 320 usam os dois produtos ao

mesmo tempo. Quantos usam o produto A?


8. Dados os conjuntos 𝐴 = {1,2,3}; 𝐵 = {3,5,6} 𝑒 𝐶 = {4,5,6,7}, determine:

8.1 𝐴𝑈𝐵 = 8.5 (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) =

8.2 𝐵𝑈𝐶 = 8.6 𝐴 − 𝐵 =

8.3 𝐴𝑈(𝐵𝑈𝐶) = 8.7 (𝐴 − 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐶) =

8.4 (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = 8.8 (𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶 =

9. Dados os conjuntos 𝐸 = {1,2,3,4,5,6,7,8}; 𝐴 = {1,3,5,7}; 𝐵 = {2,4,6,8},

determine:

9.1 𝐶𝐸𝐴=

9.2 𝐶𝐸𝐵=

9.3 𝐶𝐸(𝐴 ∪ 𝐵) =

10. Dados os conjuntos 𝑈 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; 𝐴 = {2,4,6,8,10,12}; 𝐵 =

{1,3,5,7,9,11}𝑒 𝐶 = {4,5,6,7,8}, determine:

10.1 (𝐶 − 𝐴) ∩ 𝐵 =

10.2 (𝐶 ∩ 𝐴) − 𝐵 =

10.3 (𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶 =

10.4 (𝐵 − 𝐶) ∩ 𝐴 =

10.5 (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵 =

10.6 (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶 =

10.7 (𝐶 ∩ 𝐵) − 𝐴 =

10.8 𝐴’ ∩ 𝐶′ =

10.9 𝐵’ ∩ 𝐴′ =

10.10 (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵′ =

10.11 (𝐶 – 𝐵)’ =

11. Simplifique as expressões

11.1 𝐴 ∩ 𝐶𝐴′ =


11.2 𝐴 ∪ (𝐴′ ∪ ∅) =

11.3 (𝐵 ∪ ∅) ∩ 𝐵′ =

11.4 (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴′ ∩ 𝐵) =

11.5 (𝐴𝑈𝐵)’𝑈(𝐴’ ∩ 𝐵) =

11.6 [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵′)] ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵) =

11.7 (𝐴𝑈∅) ∩ (𝑈 ∪ 𝐵) =

11.8 (𝐴 ∩ 𝑈) ∪ (∅ ∩ 𝐵) =

11.9 (𝐴𝑈𝐵) ∩ (𝐴𝑈𝐵′) =

12. Demonstre que para ∀ 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

12.1 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

12.2 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

13. Quaisquer que sejam as partes A e B do Universo, e CA (Complementar de

A) temos:

𝑎) 𝐴 ∪ 𝐶𝐴 = 𝑈 𝑒 𝐴 ∩ 𝐶𝐴 = ∅

As leis de dualidade são:

𝐶(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐶𝐴 ∩ 𝐶𝐵 𝑒 𝐶(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶𝐴 ∪ 𝐶𝐵

Demonstre as leis de dualidade.

Respostas das Atividades

1 Respostas da atividade 1 do capítulo 1 – Teoria dos Conjuntos

1.1. {3,4,5,6,7}

1.2. {-2,-1,0,1,2,3}

1.3. {...,-2,-1,0,1,2,3}

1.4. {{1,6}

1.5. {-2,2,3}


2.1 Verdadeiro

2.2 Falso


2.3 Verdadeiro

2.4 Falso

2.5 Verdadeiro


3.1 Falso

3.2Falso

3.3 Verdadeiro

3.4 Verdadeiro

3.5 Falso

3.6 Verdadeiro


𝐴 ∩ 𝐵 = 0,6,12,18, … } = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 6}

𝐶 ∩ 𝐷 = {2}

5 Respostas da atividade 5 do capítulo 1 – Teoria dos Conjuntos: 2automóveis são

de cor branca e do ano de 1993.

6 Respostas da atividade 6 do capítulo 1 – Teoria dos Conjuntos: O jornal B tem

2600 assinantes.

7 Respostas da atividade 7 do capítulo 1 – Teoria dos Conjuntos: 320 pessoas usam

o produto A.


8.1 {1,2,3,5,6}

8.2 {3,4,5,6,7}

8.3 {1,2,3,4,5,6,7}

8.4 {3,4,5,6,7}

8.5{3,4,6}

8.6 {1,2}

8.7 A



9.1 {2,4,6,8}

9.2 {13,5,7}

9.3 ∅


10.1 {5,6}

10.2{4,6,8}

10.3 ∅

10.4 ∅

10.5∅

10.6 ∅

10.7 {5,7}

10.8 {1,3,9,11]

10.9 ∅

10.10 A

10.11 {1,2,3,5,7,9,10,11,12}


11.1 ∅

11.2 𝑈

11.3 ∅

11.4 B

11.5 A’

11.6 𝐴 ∩ 𝐵

11.7 A

11.8 A

11.9 A


Produto Cartesiano e Relações


2 Doutora em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca na Espanha. Professora do urso de

Matemática Licenciatura e do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática

(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

Será desenvolvido o conceito de Relação como um subconjunto de um Produto

Cartesiano, representação gráfica de uma Relação, determinação do domínio e

Imagem de uma Relação e como determinar a Relação Inversa.

Par Ordenado

O conceito de par ordenado é um conceito primitivo. A cada elemento 𝑎 e a

cada elemento 𝑏 está associado um terceiro elemento indicado por (𝑎, 𝑏),

denominado par ordenado, de modo que se tenha:

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) se e somente se, 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑

Obs.: notemos que ∀ 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏, então: {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎} e (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎).

Produto cartesiano

Dado dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, com 𝐴 ≠ Ø e 𝐵 ≠ Ø, chama-se produto cartesiano:

𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑥 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵}

Exemplos:

1) 𝐴 = {1,2,3} 𝑒 𝐵 = {−2,2}

𝐴 × 𝐵 = {(1, −2); (1,2); (2, −2); (2,2); (3, −2); (3,2)}

𝐵 × 𝐴 = {(−2,1); (2,1); (−2,2); (2,2); (−2,3); (2,3)}

x

y

1

2

3

-2

2

AxB


𝐵2 = {(−2, −2); (−2,2); (2, −2); (2,2)}

2) ℝ × ℝ representa os quatro quadrantes do sistema de eixos coordenados.

3) ℝ+ × ℝ− representa o quarto quadrante do sistema de eixos coordenados.

-10 10

-10

10

x

y

1

2

3

-2

2

BxA

-2

2

BxB

-2

2


4) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ |2 ≤ 𝑥 ≤ 4} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 ≤ 𝑥 ≤ 3}

𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵} = [2,4] ∪ [2,3]

𝐵 × 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐴 |𝑥 ∈ 𝐵 𝑒 𝑦 ∈ 𝐴} = [2,3] ∪ [2,4]

Represente graficamente 𝐴 × 𝐵 𝑒 𝐵 × 𝐴

𝐴 × 𝐵

𝐵 × 𝐴

Obs.: Quando 𝐴 = 𝐵 o produto cartesiano 𝐴 × 𝐴 representa-se por 𝐴2e o

subconjunto {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2| 𝑥 = 𝑦} denomina-se diagonal de 𝐴2.

Exemplo:

𝐴 = {2,7}; 𝐴2 = {(2,2); (2,7); (7,2); (7,7)}; a diagonal de 𝐴2 é {(2,2); (7,7)}.

Relação

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos e seja 𝐴 × 𝐵 o produto cartesiano de 𝐴 por 𝐵. Todo

subconjunto 𝑅 de 𝐴 × 𝐵 é denominado de relação de 𝐴 em 𝐵.

Notação:

𝑎𝑅𝑏 para indicar que (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅.

𝑎𝑅𝑏 para indicar que (𝑎, 𝑏) ∉ 𝑅.

Exemplos:

Consideremos o produto cartesiano ℤ × ℤ do conjunto ℤ dos números Inteiros

por si mesmo e seja:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ| x2 + y2 = 25}; 𝑅 é uma relação em ℤ,com 𝑅 ⊂ ℤ,formada

pelos seguintes pares ordenados:

(0,5); (5,0); (0, −5); (−5,0); (3,4) (4,3); (−3,4); (4, −3); (3, −4) (−4,3); (−3, −4); (−4, −3)


A representação gráfica dessa relação é:

Seja ℝ𝑥ℝ o produto cartesiano do conjunto 𝑅1, dos números Reais por si

mesmo, e seja:

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥2 + 𝑦2 = 25}. A representação gráfica dessa relação é:

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 2𝑥 + 3𝑦 − 6 ≥ 0}. A representação gráfica dessa relação

é:


Domínio e Imagem de uma Relação

Dado 𝐴 e 𝐵, com 𝐴 ≠ Ø e 𝐵 ≠ Ø e a relação 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × B | 𝑝(𝑥, 𝑦)}.

Domínio é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados que

pertencem ao conjunto A.

Notação: 𝐷𝑜𝑚(𝑅).

Imagem é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados que

pertencem ao conjunto B.

Notação: 𝐼𝑚(𝑅).

Contradomínio é o conjunto ao qual pertencem todos os segundos elementos

dos pares ordenados.

Notação: 𝐶𝐷(𝑅).

Obs.: 𝐼𝑚(𝑅) ⊆ 𝐶𝐷(𝑅).

Exemplo:

Para 𝐴 = {2,3} 𝑒 𝐵 = {4,5,6}; 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 | 𝑦 = 2𝑥}

𝑅 = {(2,4); (3,6)}

𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {2,3} = A

𝐼𝑚(𝑅) = {4,6}

𝐶𝐷(𝑅) = {4,5,6} = 𝐵


Relação inversa ou relação recíproca

Relação inversa de 𝐴 em 𝐵 é o conjunto de todos os pares ordenados (𝑦, 𝑥) tais

que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵.

Notação: 𝑹−𝟏.

𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.

Exemplos:

Seja a relação binária 𝑅 de 𝐴 = {1,2,3,4,5} em 𝐵 = {1,2,3,4,6,9} definida por 𝑦 =

3𝑥.

𝑅 = {(1,3); (2,6); (3,9)}

𝑅−1 = {(3,1); (6,2); (9,3)}

𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {1,2,3}; 𝐼𝑚(𝑅) = {3, 6, 9}; 𝐶𝐷(𝑅) = 𝐵

𝐷𝑜𝑚(𝑅−1) = {3,6,9}; 𝐼𝑚(𝑅−1) = {1, 2, 3}; 𝐶𝐷(𝑅−1) = 𝐴

A representação gráfica de 𝑅 ∪ 𝑅−1 é:

Obs.: Uma 𝑅 e sua inversa 𝑅−1são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.

2

3

4

5

6

R


Para 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ̸ 𝑦 = 𝑥2} temos 𝑅−1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ̸ 𝑦 = √𝑥}

A representação gráfica de 𝑅 ∪ 𝑅−1 é:

Exemplos:

Represente geometricamente as relações.

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ̸ 𝑦 = 𝑥 + 3}

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ̸ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9}


Prove que:

𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶)

Demonstração:

𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐵 × 𝐶) e (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐵 × 𝐶) = 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶)

Com efeito:

𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) =

{(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 } =

{(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 (𝑦 ∈ 𝐵 𝑒 𝑦 ∈ 𝐶 } =

{(𝑥, 𝑦)|( 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵) 𝑒 (𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐶 ) } =

{(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝐴 × 𝐵 𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐶} =

(𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶)

De modo análogo demonstra-se (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐵 × 𝐶)

Recapitulando

Dado dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵, temos:

𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵|𝑥𝜖𝐴 ∧ 𝑦𝜖𝐵}

𝐵𝑥𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐴|𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴}

E uma relação (R) de 𝐴𝑥𝐵, com 𝑅 ⊂ 𝐴𝑥𝐵 𝑐𝑜𝑚:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ |𝑦 = 𝑝(𝑥)} 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝(𝑥) é 𝑎 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜.

Relação inversa (𝑅−1) de 𝐴 em 𝐵 é o conjunto de todos os pares ordenados (𝑦, 𝑥)

tais que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵.


𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.

Dado 𝐴 e 𝐵, com 𝐴 ≠ Ø e 𝐵 ≠ Ø e a relação 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × B | 𝑝(𝑥, 𝑦)}.

Domínio (𝐷𝑜𝑚(𝑅)) é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares

ordenados que pertencem ao conjunto A.

Imagem (𝐼𝑚(𝑅)) é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares

ordenados que pertencem ao conjunto B.

Contradomínio 𝐶𝐷(𝑅) é o conjunto ao qual pertencem todos os segundos

elementos dos pares ordenados.

Sabendo que 𝐼𝑚(𝑅) ⊆ 𝐶𝐷(𝑅).


ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Livraria

Nobel S.A., 1976, 16ª edição.


1986.



Atividades

1) Represente geometricamente as relações.

a. 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑦 ≥ 𝑥 − 1}

b. 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑦 > 3}

c. 𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥2 + 𝑦2 > 16}

d. 𝑅4 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2| 𝑥 + 𝑦 > 10} sendo 𝐴 = {1,2,5,9,10}

e. 𝑅5 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ 2𝑥 ∧ y ≤ 6𝑥}

f. 𝑅6 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑦 ≥ 𝑥}

g. 𝑅7 = {(𝑥, 𝑦)ℝ2| 𝑥 [−3,1] ∨ 𝑦 ∈ [−5, −1]}

h. 𝑅8 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 16} ∩ {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑦 < −𝑥}

2) Sejam 𝐴 = {0,2,4,6,8} e 𝐵 = {1,3,5,9}, determine:

a. 𝑅9 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 | 𝑦 = 𝑥 + 1}

b. 𝑅10 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵2| 𝑦 = 𝑥 − 2}

3) Represente graficamente 𝑅9 ∪ 𝑅10

4) Determine as equações que definem as relações:

a. 𝑅 = {(0,0); (1,1); (3,9)}

b. 𝑅 = {(−1, −3); (0, −2); (−3, −5)}


c. 𝑅 = {(−1,1); (−2,2); (−3,3); (−4,4)}

d. 𝑅 = {(4,2); (9,3); (16,4); (25,5)}

5) Quais as relações inversas das relações:

a. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝑁2 ̸ 𝑦 = 3 − 𝑥}

b. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) 𝑁2 ̸ 𝑦 = 5−𝑥

2}

c. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) 𝑁2 ̸ 2𝑥 + 3𝑦 = 8}

6) Prove que:

7) 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶)

8) 𝐴 × (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × 𝐶)

9) 𝐴 × (𝐵 ∆ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∆ (𝐴 × 𝐶)

Obs: 𝐴 ∆ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) – (𝐴 ∩ 𝐵)

10) Dado 𝐴 = {1,2}, 𝐵 = {2,3} e 𝐶 = {3,4}, calcule:

a. 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶)

b. 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶)

c. 𝐴 × (𝐵 − 𝐶)

d. 𝐴 × (𝐵 ∆ 𝐶)

Respostas das atividades

1) Represente geometricamente as relações.

a. 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑦 ≥ 𝑥 − 1}

b. 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑦 > 3}


c. 𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥2 + 𝑦2 > 16}

d. 𝑅4 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2| 𝑥 + 𝑦 > 10} sendo 𝐴 = {1,2,5,9,10}

e. 𝑅5 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ 2𝑥 ∧ y ≤ 6𝑥}

f. 𝑅6 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑦 ≥ 𝑥}

g. 𝑅7 = {(𝑥, 𝑦)ℝ2| 𝑥 ∈ [−3,1] ∨ 𝑦 ∈ [−1, −5]}


h. 𝑅8 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 16} ∩ {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 | 𝑦 < −𝑥}

2) Sejam 𝐴 = {0,2,4,6,8} e 𝐵 = {1,3,5,9}, determine:

a. 𝑅9 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 | 𝑦 = 𝑥 + 1}

𝑅9 = {(0,1), (2,3), (4,5), (8,9)}

b. 𝑅10 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵2| 𝑦 = 𝑥 − 2}

𝑅10 = {(3,1)}


3) Represente graficamente 𝑅9 ∪ 𝑅10


Função ou Aplicação




(PPGECIM) da ULBRA.


3 Introdução

Neste capítulo vamos dar um enfoque algébrico para as aplicações ou funções.

Analisando quando uma relação é uma função, os tipos de funções, função

inversa e função composta.

Aplicações ou funções

A seguir apresentaremos um conjunto de seis gráficos que mostram algumas

relações do conjunto A no Conjunto B.

I

II

III

IV

V

VI

Nas relações IV, V e VI observamos as propriedades:

a) Cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 tem o seu correspondente 𝑦 ∈ 𝐵, isto é,

qualquer que seja 𝑥 ∈ 𝐴 existe 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.

b) Se 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥′ ∈ 𝐴, 𝑥 = 𝑥′, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 então 𝑦 = 𝑦′.

Resumindo, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴 existe um só elemento 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈

𝑅.


Definição

Uma relação R de A em B que satisfaz as propriedades a e b chama-se aplicação

de A em B ou função definida em A com valores em B.

Logo, a relação I e II não são aplicações porque existe um 𝑥 ∈ 𝐴 que não possui

um 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ R.

A relação III não é uma aplicação porque existe 𝑥 ∈ 𝐴 para o qual há dois

elementos 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ R.

Então, temos em uma Aplicação: dado 𝑓: 𝐴 → 𝐵/𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥) onde cada valor de

𝑥 ∈ 𝐴 existe um e somente um representante em 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ R.

Exemplo de função: 𝑓: 𝐴 → 𝐵

𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} onde A é o domínio da função.

𝐵 = {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑐), 𝑑} onde B é o contradomínio da função.

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑐)} onde 𝐼𝑚(f) é o conjunto imagem da função.

(𝑎, 𝑓(𝑎)); (𝑏, 𝑓(𝑏)), (𝑐, 𝑓(𝑐)) são os pares ordenados da função.

Outro exemplo que representa função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é:

𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} onde A é o domínio da função.

𝐵 = {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)} onde B é o contradomínio da função.

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)} onde 𝐼𝑚(f) é o conjunto imagem da função.

(𝑎, 𝑓(𝑎)); (𝑏, 𝑓(𝑏)), (𝑐, 𝑓(𝑏)) são os pares ordenados da função.

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos e seja 𝑓 uma relação de 𝐴 em 𝐵.


Diz-se que 𝑓 é uma aplicação de 𝐴 em 𝐵 se, e somente se, verificamos as

condições:

∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓

∀𝑥, 𝑦 𝑒 𝑦’, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦, 𝑦’ ∈ 𝐵, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 𝑒 (𝑥, 𝑦’) ∈ 𝑓 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦 = 𝑦’.

As condições 𝑎, 𝑏 são equivalentes a dizer:

∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓

Obs: O conjunto de todas as aplicações de 𝐴 em 𝐵 é indicado por 𝐵𝐴.

Notação: Para indicar uma aplicação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, usa-se: 𝑓: 𝐴 → 𝐵, ou 𝐴 → 𝐵,

ou 𝑥 → 𝑓(𝑥)

Exemplos:

1 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ| 𝑥2 + 𝑦2 = 25 𝑦 > 0}, sendo 𝐸 = [−5,5]

Determinar todas as aplicações de 𝐸 = {0,1} em 𝐹 = {𝑎, 𝑏} para 𝑎 ≠ 𝑏.

São 4 aplicações:

𝑓1 = {(0, 𝑎); (1, 𝑎)}

𝑓2 = {(0, 𝑏); (1, 𝑏)}

𝑓3 = {(0, 𝑎); (1, 𝑏)}

𝑓4 = {(0, 𝑏); (1, 𝑎)}

2 Dado os conjuntos 𝐴 = {1,3,5} e 𝐵 = {2,4,6}; 𝑓 = {(1,2); (3,4); (5,6)} é uma

função, porque:

∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃| 𝑦 ∈ 𝐵

x

y


A representação em diagrama, o domínio, a imagem e a lei de formação da

função 𝑓é:

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1,3,5}

𝐼𝑚(𝑓) = {2,4,6}

𝐶𝐷(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓)

𝑝(𝑥)|𝑦 = 𝑥 + 1

3 Dado os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} e 𝐵 = {𝑑, 𝑒, 𝑓} e 𝑓 =

{(𝑎, 𝑑); (𝑏, 𝑒); (𝑐, 𝑓); (𝑎, 𝑒)} não representa uma função, porque o elemento 𝑎

possui duas imagens.

4 Dado os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} e 𝐵 = {𝑑, 𝑒} e 𝑓 = {(𝑎, 𝑑); (𝑏, 𝑑); (𝑐, 𝑒)} é

uma função, porque

∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓.

5 Dado 𝑓: ℝ → ℝ|𝑓(𝑥) = 2𝑥

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

𝐶𝐷(𝑓) = ℝ

𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

6 Dado 𝑓: ℝ → ℝ|𝑓(𝑥) = 𝑥3

1

3

5

2

4

6





Tipos de funções

Uma aplicação pode ser: Injetora, Sobrejetora ou Bijetora.

Função Sobrejetora

Definição: é uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que todo elemento 𝑦 de 𝐵 é imagem de,

pelo menos, um elemento 𝑥 de 𝐴.

𝐹 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑗𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎 ⇔ 𝐼𝑚 (𝑓) = 𝐵

Ou seja, uma função recebe o nome de sobrejetora ou sobrejeção caso o

contradomínio seja igual ao conjunto imagem.

Exemplos:

1 Dado 𝐴 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} e 𝐵 = {0, 1, 4, 9, 16} e

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑝(𝑥): 𝑦 = 𝑥2}

𝑦 = 𝑥2

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐴

𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵

𝐶𝐷(𝑓) = 𝐵

É sobrejetora, pois 𝐶𝐷(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓)

2 𝑓: ℝ → ℝ|𝑦 = 𝑥 + 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

4

9

16

A B


𝑦 = 𝑥 + 1





3 𝑓: ℝ → ℝ+|𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 𝑥2


𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+

𝐶𝐷(𝑓) = ℝ+


4 Suponhamos que em uma sala de aula haja 20 alunos e 30 carteiras.

Designamos o conjunto de alunos por A e o de carteiras por B, definida por “x

está sentado em y” é uma aplicação, mas não é sobrejetora, porque há carteiras

não ocupadas.

Função Injetora

Definição: é uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que cada elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝐵 é a

imagem de um único elemento 𝑥 de 𝐴.

𝐹 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎 ⇔ ∀ 𝑥1𝑒 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

A função é injetora se elementos diferentes tem imagens também diferentes,

ou seja, cada valor de x tem a sua própria imagem.

Exemplos:


Dado 𝐴 = {4, 8, 10} e 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑝(𝑥): 𝑦 =𝑥

2}

𝑦 =𝑥

2


𝐼𝑚(𝑓) = {2, 4, 5}


É injetora, pois ∀𝑥1 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

𝑓: ℝ → ℝ+|𝑦 = 𝑥3

𝑦 = 𝑥3




É injetora, pois ∀𝑥1 ∈ ℝ ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

𝑓: ℝ → ℝ|𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑦 = 2𝑥 + 1




É injetora, pois ∀𝑥1 ∈ ℝ ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

Função Bijetora

Definição: é uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que é injetora e sobrejetora ao mesmo

tempo.

4

8

10

0

1

2

3

4

5

A B


Exemplos:

Dado 𝐴 = {1,2,3} e 𝐵 = {6,7,8} e 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑝(𝑥): 𝑦 = 𝑥 + 5}

𝑦 = 𝑥 + 5


𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵


É bijetora, pois ∀𝑥1 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

Aplicação Idêntica

Em um conjunto 𝐴 e 𝐴 ≠ ∅, é possível sempre se estabelecer a aplicação 𝐼𝐴 de

𝐴 𝑒𝑚 𝐴. Os elementos de 𝐼𝐴 são, os pares (𝑥, 𝑥) ∈ 𝐴𝑥𝐴.

A aplicação 𝐼𝐴 são os pares (𝑥, 𝑥) ∈ 𝐴𝑥𝐴.

Composição de funções

Sejam as aplicações 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑚 𝐵 e 𝑔 𝑑𝑒 𝐵 𝑒𝑚 𝐶, então fica definida uma relação

ℎ 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑚 𝐶 da seguinte forma:

(𝑥, 𝑧) ∈ ℎ se e somente se existe 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓e (𝑢, 𝑧) ∈ 𝑔.

Notação: Indica-se a aplicação ℎ 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑜𝑓 e se denomina aplicação composta de

𝑔 𝑒𝑚 𝑓.

Exemplos:

1 Sejam as aplicações 𝑓: ℝ+ → ℝ+ | 𝑓(𝑥) = 3𝑥 e 𝑔: ℝ+ → ℝ+ | 𝑔(𝑥) = √𝑥

A aplicação ℎ = 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(3𝑥) = √3𝑥

1

2

3

6

7

8

A B


A aplicação ℎ = 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑔(√𝑥 )= 3√𝑥

Logo, 𝑔𝑜𝑓(𝑥) ≠ 𝑓𝑜𝑔(𝑥)

2 Sejam as aplicações 𝑓: ℝ+ → ℝ | 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10𝑥 e 𝑔: ℝ → ℝ+ | 𝑔(𝑥) = 10𝑥

A aplicação ℎ = 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑙𝑜𝑔10𝑥 ) = 10𝑙𝑜𝑔10

𝑥= 𝑥

A aplicação ℎ = 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑔(10𝑥)= 𝑙𝑜𝑔1010𝑥

= 1


3 Sejam as aplicações 𝑓: ℝ → ℝ | 𝑓(𝑥) = 3x e 𝑔: ℝ → ℝ| 𝑔(𝑥) = x + 4

A aplicação ℎ = 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(3𝑥) = 3x + 4

A aplicação ℎ = 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(x + 4)= 3x+12


Inversa de uma função

Seja a aplicação 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , conforme o gráfico:

𝑓: 𝐴 → 𝐵| 𝑓(𝑥) = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3)}

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3}

𝐶𝐷(𝑓) ={ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4}

Im(f)= { 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3}

A relação inversa de f é denominada 𝑓−1, que é de B em A, dada por:

𝑓−1: 𝐵 → 𝐴|𝑓−1 = {(𝑏1, 𝑎1), (𝑏2, 𝑎2), (𝑏3, 𝑎3)}

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4}

𝐶𝐷(𝑓) ={ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3}

Im(f)= 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3}


Logo a inversa não é função pois 𝑏4 não tem imagem. Então nem toda função

tem inversa.

Se a função for bijetora é garantido que tem inversa.

Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função bijetora, chama-se inversa de 𝑓 a função 𝑓−1: 𝐵 →

𝐴 na qual se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 então (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1.

Obs.: 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 e 𝑓−1(𝑓(𝑦)) = 𝑦

Exemplos:

1) 𝑓: ℝ+ → ℝ+| 𝑓(𝑥) = 𝑥2

𝑓−1: ℝ+ → ℝ+| 𝑓−1(𝑥) = √𝑥

𝑓 𝑒 𝑓−1 são simétricos a reta 𝑦 = 𝑥

2) 𝑓: ℝ+ → ℝ| 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓−1: ℝ → ℝ+|𝑓−1(𝑥) = ln (𝑥)



3) 𝑓: ℝ → ℝ| 𝑓(𝑥) = 3𝑥

𝑓−1: ℝ → ℝ| 𝑓−1(𝑥) =1

3𝑥


Recapitulando

Neste capítulo estudamos um enfoque algébrico para as funções. Conceito de

função, exemplos de funções, tipos de funções, função inversa e composição

de funções.

Dado 𝑓: 𝐴 → 𝐵|𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥), temos 𝑓(𝑥):

Função Injetora:

∀ 𝑥1𝑒 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

Função Sobrejetora: é toda função que apresenta o contradomínio igual ao

conjunto imagem da função.


Função Bijetora: É uma função injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

∀ 𝑥1𝑒 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)


Inversa de uma função:


Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função bijetora, chama-se inversa de 𝑓 a função 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 na qual se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 então (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1.

Toda função bijetora tem inversa em todo o seu domínio.

Algumas funções têm inversa em uma parte do seu domínio, o que chamamos de restrição inversível.

Composição de funções:

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑓: : 𝐴 → 𝐵|𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑝1(𝑥)𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) ≠ 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥)





1986.



Atividades

1. Dados os conjuntos: 𝐴 = {−9, −2, −1, 0, 7} e 𝐵 = {−2, −1, 0, 1, 2}, e

𝑓: 𝐴 → 𝐵| 𝑓(𝑥) = 𝑦 = √𝑥 + 13

. Determine a inversa, represente a

inversa por pares ordenados da 𝑓 e da 𝑓−1 e graficamente 𝑓 ∪ 𝑓−1.

2. Dado 𝑓: ℝ → ℝ| 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −1

3, determine a inversa e represente nos eixos

coordenados 𝑓(𝑥) ∪ 𝑓−1(𝑥).

3. Dado 𝑓: ℝ → ℝ| 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5 e 𝑔: ℝ → ℝ| 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 3. Represente

geometricamente 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥), determinando o domínio, contradomínio e

conjunto imagem.

4. Determine a inversa da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3. Determine o domínio e

imagem da inversa e represente graficamente 𝑓 ∪ 𝑓−1.

5. Determinar uma restrição inversível de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 – 3. Determine

o domínio e imagem da inversa e represente graficamente 𝑓 ∪ 𝑓−1.

Gabarito das atividades:

1. 𝑓(𝑥) = {(−9, −2); (−2, −1); (−1,0); (0,1); (7,2)}

𝑓−1(𝑥) = {(−2, −9); (−1, −2); (0, −1); (1,0); (2,7)}


2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −1

3

𝑓−1(𝑥) =1

2𝑥 +

1

6

3. 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = √−𝑥 + 8

𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = (−∞, 8)

𝐶𝐷(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ+

𝐼𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ+

4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [3, +∞)


𝐶𝐷(𝑓(𝑥)) = ℝ+

𝑓−1(𝑥) = 𝑥2 + 3

𝐷𝑜𝑚(𝑓−1(𝑥)) = ℝ+

𝐶𝐷(𝑓−1(𝑥)) = [3, +∞)

Representação nos eixos coordenados de 𝑓 ∘ 𝑓−1(𝑥):

5. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 – 3 com domínio os Reais e conjunto imagem o

conjunto [−4, +∞), temos que a função não tem inversa em todo o seu

domínio, logo determinamos uma restrição inversível que pode ser:

𝑓−1(𝑥) = −1 + √𝑥 + 4 , com 𝑑𝑜𝑚(𝑓−1(𝑥)) = [−1, +∞) e conjunto

imagem 𝐼𝑚(𝑓−1(𝑥)) = [−4, +∞).

Fazendo os gráficos de 𝑓 ∪ (𝑓−1(𝑥)) da restrição inversível 𝑓−1(𝑥) =

−1 + √𝑥 + 4:

Mas também podemos determinar como restrição inversível:


𝑓−1(𝑥) = −1 − √𝑥 + 4, com 𝑑𝑜𝑚(𝑓−1(𝑥)) = [−∞, −1) e conjunto imagem

𝐼𝑚(𝑓−1(𝑥)) = [−4, +∞).

Fazendo os gráficos de 𝑓 ∪ (𝑓−1(𝑥) da restrição inversível 𝑓−1(𝑥) =

−1 − √𝑥 + 1:


Propriedade da Relações




(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

As propriedades de uma relação podem ser: Reflexiva, simétrica, antissimétrica

ou transitiva. A seguir apresentamos as propriedades de uma relação.

Propriedade reflexiva

Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é reflexiva se e somente

se:

∀ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑥 𝑅 𝑥

Exemplos:

Para 𝐴 = {1,2,3}

𝑅1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (3,1) } é uma relação reflexiva.

𝑅2 = {(1,1), (1,2), (1,3)} não é uma relação reflexiva porque os pares (2,2) e

(3,3) não pertencem a 𝑅2.

𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2| 𝑦 = 𝑥} é uma relação reflexiva.

Propriedade simétrica

Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é simétrica se e

somente se:

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅

Exemplos:

Para 𝐴 = {1,2,3}

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 | 𝑥 + 𝑦 = 3} é uma relação simétrica.

𝑅2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }é uma relação

simétrica.

𝑅3 = {(1,3), (2,2), (2,3), (3,2)} não é uma relação simétrica porque (1,3)

pertence a relação e (3,1) não pertence a relação.

Propriedade antissimétrica

Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é antissimétrica se e

somente se: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑒(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇒ 𝑥 = 𝑦

Exemplos:

Para 𝐴 = {0,1,2}


𝑅1 = {(1,1), (2,0)} é uma relação antissimétrica.

𝑅2 = {(0,0), (1,2), (1,1), (2,1)} não é uma relação antissimétrica porque (1,2) e

(2,1) pertencem a relação.

𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2| 𝑦 = 𝑥} é uma relação antissimétrica.

Propriedade transitiva

Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é transitiva se e

somente se:

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑒 (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅

Exemplos:

Para 𝐴 = {0,1,2,3,4}

𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 | 𝑥 + 𝑦 = 4} não é uma relação transitiva porque (0,4) e (4,0)

pertencem a relação e (0,0) não pertencem a relação.

𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 | 𝑥 − 𝑦 = 2} não é uma relação transitiva porque (4,2) e (2,0)

pertencem a relação e (4,0) não pertencem a relação.

𝑅3 = {(0,0), (1,2), (2,3), (1,3)} é uma relação transitiva

Exemplos:

1) Seja 𝐴 = {1,2,3,4}, classificar as relações:

𝑅1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3) (4,4), (1,3) }

R1 é reflexiva, antissimétrica, transitiva

𝑅2 = {(2,2), (2,3), (1,4), (4,2), (1,2), (4,3), (3,2), (4,1), (2,4), (2,1), (3,4)}

R2 é simétrica.

𝑅3 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,4), (4,1) }

R3 é reflexiva, simétrica, transitiva.

2) Verifique as propriedades em:

Dado um conjunto de pessoas 𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥 é irmão de 𝑦.

Reflexiva: ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 não se relaciona com 𝑥

𝑥 não é irmão de 𝑥

𝑅 não é reflexiva


Simétrica: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se 𝑥 se relaciona com 𝑦 ⇒ 𝑦 se relaciona com 𝑥

se 𝑥 é irmão de 𝑦 então 𝑦 é irmão de 𝑥

𝑅 é simétrica

Transitiva: ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 se 𝑥 se relaciona com 𝑦 e 𝑦 se relaciona com

𝑧 ⇒ 𝑥 se relaciona com 𝑧

𝑥 se relaciona com 𝑦 (𝑥 é irmão de y) e 𝑦 se relaciona com 𝑧 (y é irmão de z)⇒

𝑥 não se relaciona com 𝑧 (𝑥 pode não ser irmão de 𝑧).

𝑅 não é transitiva.

3) Dado um conjunto de pessoas xRy se e somente se x mora na mesma cidade

de y.

Reflexiva: ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 se relaciona com 𝑥, 𝑥 mora na mesma cidade de 𝑥

𝑅 é reflexiva

Simétrica: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se 𝑥 se relaciona com 𝑦 ⇒ 𝑦 se relaciona com 𝑥

Se 𝑥 mora na mesma cidade de 𝑦 então 𝑦 mora na mesma cidade de 𝑥

𝑅 é simétrica

Transitiva: ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 se 𝑥 se relaciona com 𝑦 e 𝑦 se relaciona com 𝑧 ⇒ 𝑥 se

relaciona com 𝑧

𝑥 se relaciona com 𝑦 (𝑥 mora na mesma cidade de 𝑦) e 𝑦 se relaciona com 𝑧

(𝑦 mora na mesma cidade de 𝑧) ⇒ 𝑥 se relaciona com 𝑧

(𝑥 mora na mesma cidade de z).

𝑅 é transitiva

Logo a relação é reflexiva, simétrica e transitiva.

Tipos de Relações

As relações podem ser classificadas em Relação de Equivalência ou Relação de

Ordem.

Relação de Equivalência

Diz-se que uma relação 𝑅 em 𝐴 é de Equivalência se e somente se 𝑅 é, ao

mesmo tempo, reflexiva, simétrica e transitiva.


Exemplos:

1) Dado o conjunto E de todas as retas de um plano 𝛼 tal que 𝑥𝑅𝑦 se e somente

se 𝑥 = 𝑦 ou 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅.

Propriedade Reflexiva

∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ⇔ 𝑥𝑅𝑥

∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ⟹ 𝑥 = 𝑥

Logo 𝐸 é reflexiva

Propriedade Simétrica

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 ⇒ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅

se 𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅ ⇒ 𝑦 = 𝑥 ou 𝑦 ∩ 𝑥 = ∅

Logo 𝐸 é simétrica

Propriedade Transitiva

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 e (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅

se 𝑥 = 𝑦 ou 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅ 𝑒 𝑦 = 𝑧 ou 𝑦 ∩ 𝑧 = ∅ ⇒ 𝑥 = 𝑧 ou 𝑥 ∩ 𝑧 = ∅

Logo 𝐸 é transitiva

Então a relação E das retas de um plano𝛼 tal que 𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥 = 𝑦 ou

𝑥 ∩ 𝑦 = ∅ é uma relação de Equivalência.

2) Dado o conjunto 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 } e a relação 𝑅 = {(𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑎, 𝑐), (𝑐, 𝑎)}


∀ 𝑥 ∈ 𝑅, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑥𝑅

(𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐) ∈ 𝑅



∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅



Logo 𝑅 é uma relação de equivalência.

3) Seja 𝑅 a relação 𝑁 × 𝑁 definido por: (𝑎, 𝑏) 𝑅 (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐



∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 ⇒ (𝑥, 𝑦)𝑅(𝑥, 𝑦)

(𝑥, 𝑦)𝑅(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥

𝑅 é reflexiva


∀ (𝑥, 𝑦)𝑒 (𝑧, 𝑡) ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦)𝑅(𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑧, 𝑡)𝑅(𝑥, 𝑦)

𝑥𝑡 = 𝑦𝑧 ⇒ 𝑧𝑦 = 𝑡𝑥

𝑅 é simétrica


∀ (𝑥, 𝑦), (𝑧, 𝑡), (ℎ, 𝑤) ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦)𝑅(𝑧, 𝑡)𝑒(𝑧, 𝑡)𝑅 (ℎ, 𝑤) ⇒ (𝑥, 𝑦)𝑅(ℎ, 𝑤)

𝑥𝑡 = 𝑦𝑧 𝑒 𝑧𝑤 = 𝑡ℎ ⇒ 𝑥𝑤 = 𝑦ℎ

𝑆𝑒 𝑥𝑡 = 𝑦𝑧

𝑧𝑤 = 𝑡ℎ

𝑥𝑡𝑧𝑤 = 𝑦𝑧𝑡ℎ

𝑥𝑤 = 𝑦ℎ

𝑅 é transitiva

Logo a Relação 𝑅 é de Equivalência.

Relação de Ordem

Diz-se que uma relação 𝑅 em 𝐴 é de Ordem se, e somente se, 𝑅 é ao mesmo

tempo reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Exemplos:

1) Dado uma relação 𝑅 tal que 𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥 = 𝑦.


∀ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥𝑅𝑥

𝑥 = 𝑥

Propriedade Antissimétrica

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑒(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇒ 𝑥 = 𝑦

Se 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦




Se 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧 ⇒ 𝑥 = 𝑧

Logo, R é relação de Ordem.

2) 𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥 ≤ 𝑦. Lê-se 𝑎 é menor que 𝑏 ou 𝑎 precede 𝑏.


∀ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥𝑅𝑥

𝑥 = 𝑥


∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑒(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇒ 𝑥 = 𝑦

Se 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦



Se 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧 ⇒ 𝑥 ≤ 𝑧

Logo R é relação de Ordem.

3) Seja 𝑃(𝐸) o conjunto das partes de um conjunto 𝐸 e considerando a relação

𝑅 sobre 𝑃(𝐸) definida por 𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥 ⊂ 𝑦.


∀ 𝑥 ∈ 𝐸, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝐸 ⇔ 𝑥𝑅𝑥

∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ⇒ 𝑥 ⊆ 𝑥



∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 ⇒ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝐸

Se 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦



Se 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧 ⇒ 𝑥 ⊆ 𝑧

Logo 𝑅 é relação de Ordem.

Recapitulando

As propriedades de uma relação podem ser:


Reflexiva: Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é reflexiva se e somente se:

∀ 𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑥 𝑅 𝑥

Simétrica: Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é simétrica se e somente se:

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅

Antissimétrica: Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é antissimétrica se e somente se:

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑒(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 ⇒ 𝑥 = 𝑦

Transitiva: Dado um conjunto 𝐴 e uma relação 𝑅 em 𝐴 diz-se que 𝐴 é transitiva se e somente se:


As relações podem ser classificadas em Relação de Equivalência ou Relação de

Ordem.

Relação de Equivalência é quando a relação obedece as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

Relação de Ordem é quando a relação obedece as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Obs.: Uma relação pode não ser de Equivalência nem de Ordem.

Referências e Obras consultadas




1986.



Atividades

Verifique se são relações de Equivalência ou de Ordem.

1 Se (𝑎, 𝑏) 𝑒 (𝑐, 𝑑) são dois elementos quaisquer de 𝐸 definido por:

(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) se, e somente se, 𝑎 ≤ 𝑐 𝑒 𝑏 ≤ 𝑑.

2 Se E o conjunto de todas as retas de um plano α tal que 𝑥𝑅𝑦 se e somente

se 𝑥 é perpendicular a 𝑦.

3 Seja 𝐵 uma parte de um conjunto 𝐸 e consideremos a relação 𝑅 sobre

𝑃(𝐸) definida por 𝑋𝑅𝑌 se e somente se 𝑋 ∩ 𝐵 = 𝑌 ∩ 𝐵.

4 Consideremos a relação de divisibilidade sobre o conjunto ℤ dos Números

Inteiros: a\b se, e somente se, existe um 𝑐 ∈ ℤ tal que 𝑏 = 𝑎𝑐.


5 𝑅 a relação ℕ × ℕdefinido por: (𝑎, 𝑏) 𝑅 (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐.

6 Em ℚ tal que 𝑎

𝑏 ~

𝑐

𝑑 ⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

Gabarito das atividades

1 Relação de Ordem

2 Não é relação de Equivalência nem de Ordem.

3 Relação de Equivalência.



6 Relação de Equivalência


Números Naturais e Números Inteiros

Rosvita Fuelber Franke5

Revisado por: Claudia Lisete Oliveira Groenwald6

5 Mestre em Álgebra pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 2001 é professora do Curso

de Licenciatura em Matemática da ULBRA. Atualmente também atua como professora do curso de

Administração EAD da ULBRA e como professora do curso de Matemática da Universidade do Vale do

Rio dos Sinos – UNISINOS. 6 Doutora em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca na Espanha. Professora do urso de


(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

O capítulo que aqui iniciamos apresenta uma introdução a Teoria dos Números,

que é o estudo dos Números Naturais e dos Números Inteiros e de suas

propriedades.

O conteúdo é abordado de forma axiomática, ou seja, apresentamos algumas

propriedades básicas dos Números Naturais e dos Números Inteiros e das

operações de adição e multiplicação e, a partir destas iremos obter e

apresentar as demais propriedades.

Números Naturais

Admitiremos a existência de uma estrutura totalmente ordenada e comutativa

(ℕ, +, ≤) que satisfaz os seguintes axiomas:

N1: existem elementos 𝑎 𝑒 𝑏 𝑒𝑚 ℕ 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 𝑏;

N2: todo elemento de ℕ é regular para a operação adição, ou seja:

∀ 𝑎, 𝑥, 𝑦 𝜖 ℕ ⇒ 𝑎 + 𝑥 = 𝑎 + 𝑦 𝑠𝑒 𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑦.

N3: quaisquer que sejam a e b em ℕ, 𝑠𝑒 𝑏 ≤ 𝑎, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑐 𝑒𝑚 ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 =

𝑏 + 𝑐.

Conjunto dos Naturais: ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }

Resumo das propriedades mais importantes do conjunto dos Números Naturais

Admitimos que o conjunto dos ℕ satisfaz o axioma N1 e que exista uma operação

de adição (𝑎, 𝑏) → 𝑎 + 𝑏 e uma relação de ≤ sobre ℕ. Por recorrência admitimos

a operação de multiplicação sobre ℕ, ou seja, (𝑎, 𝑏) → 𝑎𝑏.

Valem as seguintes propriedades em (ℕ, +):

Associativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ ⇒ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

Comutativa: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Elemento neutro: ∃| 𝑒 ∈ ℕ|∀ 𝑎 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑎 = 𝑎; 𝑒 = 0

Lei do cancelamento da adição: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ 𝑠𝑒 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 ⇒ 𝑏 = 𝑐.

Valem as seguintes propriedades em (ℕ, x):

Associativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ ⇒ (𝑎𝑥𝑏)𝑥𝑐 = 𝑎𝑥(𝑏𝑥𝑐)

Comutativa: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ⇒ 𝑎𝑥𝑏 = 𝑏𝑥𝑎

Elemento neutro: ∃| 𝑒 ∈ ℕ|∀ 𝑎 ∈ ℕ ⇒ 𝑎𝑥 𝑒 = 𝑒𝑥𝑎 = 𝑎; 𝑒 = 1.

Lei do cancelamento da multiplicação:

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑎 ≠ 0 ∈ ℕ 𝑠𝑒 𝑎𝑥𝑏 = 𝑎𝑥𝑐 ⇒ 𝑏 = 𝑐

Valem as seguintes propriedades em (ℕ, +, x):

Propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição:

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ ⇒ 𝑎𝑥(𝑏 + 𝑐) = (𝑎𝑥𝑏) + (𝑎𝑥𝑐)


∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ ⇒ (𝑏 + 𝑐)𝑥𝑎 = (𝑏𝑥𝑎) + (𝑐𝑥𝑎)

Valem as seguintes propriedades em (ℕ, ≤)

Propriedade Reflexiva: ∀ 𝑎 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 ≤ a

Propriedade anti-simétrica: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ 𝑠𝑒 𝑎 ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ 𝑎 = 𝑏

Propriedade transitiva: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ 𝑠𝑒 𝑎 ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ 𝑎 ≤ c

Se 𝑎 ≤ b ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐

Se 𝑎 ≤ b ⇒ 𝑎𝑥𝑐 ≤ 𝑏𝑥𝑐

𝑏 ≤ 𝑎 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚 𝑐 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑒𝑒 𝑎 = 𝑏 + 𝑐

Princípio do menor Número Natural: Todo conjunto não vazio de Números

Naturais admite um mínimo.

Princípio da indução finita: O único subconjunto S, de ℕ, que satisfaz as

condições: a) 0 ∈ 𝑆; b) 𝑛 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑛 + 1 ∈ 𝑆 e o próprio ℕ.

Potências e Múltiplos

Para todo Número Natural n, o elemento 𝑓𝑎(𝑛)

passa a ser denominado potência

n-ésima de a e será indicado por 𝑎𝑛 (leia-se a potência n), sendo:

a = base e n = expoente da potência 𝑎𝑛.

Por definição temos, para qualquer que seja a pertence a ℕ:

𝑎0 = 1

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑎

No caso da notação aditiva escreveremos 𝑛𝑎 no lugar de 𝑎𝑛 e diremos que 𝑛𝑎 é

o múltiplo de a segundo o número natural n; portanto temos para qualquer que

seja a pertencente a ℕ :

0𝑎 = 0

(𝑛 + 1)𝑎 = 𝑛𝑎 + 𝑎

Teorema: Quaisquer que sejam os Números Naturais m, n e a para todo

elemento a de ℕ, temos:

𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚x 𝑎𝑛

𝑎𝑚𝑛 = (𝑎𝑚)𝑛 = (𝑎𝑛)𝑚

Números Inteiros

Nos primeiros anos do Ensino Fundamental os alunos são apresentados as

operações de adição e multiplicação no conjunto dos Números Naturais,


conjunto representado pelo símbolo ℕ e cujos elementos são os números

0,1,2,3,4,5,...(você já foi apresentado ao conjunto dos Números Naturais nos

capítulos anteriores deste livro). No conjunto dos Números Naturais a operação

3 – 8 não é possível de ser efetuada, pois o resultado, -5, não é um número

natural. O resultado, -5, indica que o valor encontrado é menor do que zero.

Neste sentido podemos afirmar que: ∀ 𝑎, 𝑏𝜖ℕ ⇒ a + b𝜖ℕ. Porém existe uma

restrição dentro do conjunto dos Números Naturais (ℕ) que é: ∀ 𝑎, 𝑏𝜖ℕ ∧ a <

b ⇒ a − b ∉ ℕ. Esta impossibilidade gerou o conjunto dos Números Inteiros (ℤ),

sendo criado o símétrico de cada Número Natural (ℕ).

No nosso cotidiano nos deparamos frequentemente com situações em se faz

necessário o uso de números negativos, menores de que zero, ou seja o

simétrico dos Números Naturais.

Por exemplo quando uma pessoa tem em sua conta bancária a quantia de R$

300,00 e realiza uma retirada de R$ 400,00. Ela ficará com um saldo neativo,

ficando devendo ao banco o valor de R$ 100,00. O ato de “dever” significa que

estamos lidando com um resultado negativo, um valor menor do que zero. Este

resultado é indicado, no conjunto dos Números Inteiros, pelo sinal (-) e o

número inteiro precedido deste sinal é chamado de número inteiro negativo.

A união do conjunto dos números Naturais com o conjuntto dos Números

Inteiros negativos resulta no conjunto denominado de Conjunto dos Números

Inteiros (ℤ).

Simbolicamente, escrevemos:

O conjunto dos Números Inteiros possui os seguintes subconjuntos:

• Conjunto dos Números Inteiros não nulos:

ℤ* a ℤ ,...,,,,,...,a 3211230

• Conjunto dos Números Inteiros não negativos:

ℤ+ a ℤ ,...,,,,a 432100

• Conjunto dos Números Inteiros não positivos:

ℤ - a ℤ 012340 ,,,,...,a

• Conjunto dos Números Inteiros positivos:

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

ℤ ...,,,,,,,,,,,..., 654321012345


ℤ *+ a ℤ ,...,,,,,a 6543210

• Conjunto dos Números Inteiros negativos:

ℤ*- a ℤ 123450 ,,,,...,a

Propriedades dos Números Inteiros

No conjunto dos Números Inteiros a operação de adição, representada por (+),

está bem definida, isto é, para cada par de números inteiros a e b existe um

único inteiro c, denominado soma, que é representado por c = a+b.

Com relação a adição temos:

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ , satisfazem as propriedades:

• Propriedade Comutativa: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 = 𝑎;

• Propriedade Associativa: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ (𝑎 + 𝑏) = 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ;

• Propriedade do Elemento Neutro: existe um único elemento inteiro,

denominado zero (0), tal que 0 + a = a + 0 = a, para qualquer a inteiro;

• Propriedade do Elemento Simétrico: para qualquer inteiro a existe um único

inteiro, representado por (–a) tal que a + (-a) = - a + a = 0;

• Lei do Cancelamento: se a + c = b + c, então a = b.

Observe que tais propriedades do conjunto dos Números Inteiros possibilitam

encontrar a solução de equações. Veja os exemplos a seguir:

Resolver, em ℤ, as equações:

i) 𝑥 + 5 = − 3

ii) 𝑦 – 4 = −16

iii) 𝑎 + 9 = 13

Solução:

Para x + 5 = - 3, somando o simétrico de 5 em ambos os lados da igualdade,

temos x + 5 +(-5) = - 3 + (-5), e então x + 0 = - 8. Pela propriedade do elemento

neutro temos que x+0=x, logo concluímos que x = - 8.

𝑥 + 5 = −3

𝑥 + 5 − 5 = −3 − 5

𝑥 + 0 = −8

𝑥 = −8


𝑉 = {−8}

Na equação y – 4 = 16, somando o simétrico de -4 em ambos os lados da

igualdade, obtemos y – 4 + 4 = 16 + 4, e então y + 0 = 20. Pela propriedade do

elemento neutro temos y = 20.

𝑦 − 4 = 16

𝑦 − 4 + 4 = 16 + 4

𝑦 + 0 = 20

𝑦 = 20

𝑉 = {20}

Em a + 9 = 13, podemos considerar que a + 9 = 4 + 9 e, pela lei do cancelamento,

obtemos a = 4.

𝑎 + 9 = 13

𝑎 + 9 − 9 = 13 − 9

𝑎 + 0 = 4

𝑎 = 4

𝑉 = {4}

Observação: O princípio de que é possível acrescentar o simétrico de cada

termo dos dois lados da igualdade chama-se Princípio Aditivo.

Também a operação de multiplicação, representada por (𝑥) 𝑜𝑢 (. ), está bem

definida, isto é, para cada par de Números Inteiros a e b existe um único inteiro

c, denominado produto, que é representado por c = a x b = a . b.

Com relação a multiplicação, quaisquer Números Inteiros ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

• Propriedade Comutativa: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎;

• Propriedade Associativa: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ 𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐;

• Propriedade do Elemento Neutro: existe um único Número Inteiro,

denominado um, 1, tal que 1.a = a.1 = a, seja qual for o inteiro a;

O conjunto dos Números Inteiros munido das operações de adição e

multiplicação (ℤ, +, . ), também, satisfazem:

• Propriedade Distributiva:

∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ⇒ 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = (𝑎. 𝑏) + (𝑎. 𝑐);

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ ⇒ (𝑏 + 𝑐). 𝑎 = (𝑏. 𝑎) + (𝑐. 𝑎);


• ∀𝒂 ∈ ℤ ⇒ 𝒂. 𝟎 = 𝟎. 𝒂 = 𝟎

• ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ 𝒔𝒆 𝒂. 𝒃 = 𝟎 ⇒ 𝒂 = 𝟎 ∨ 𝒃 = 𝟎

Com todas as propriedades citadas o conjunto dos Números Inteiros com as

operações de adição e multiplicação, representado pela terna (ℤ, +, . ) é

denominado Anel de Integridade.

Além disso, em (ℤ, +, . ), ainda vale que:

• Se 1. ba então, 11 bea ou 11 bea .

• Lei do cancelamento, para a multiplicação: se a.c = b. c e c ≠ 0, então é

válido que a=b.

Exemplos do uso das propriedades:

• Determinar um número inteiro cujo quíntuplo é igual a soma desse número

com 64.

Solução: Pelo que está posto no problema devemos considerar a igualdade 5x =

x + 64.

Assim, somando o simétrico de x em ambos os lados da equação, obtemos 5x +

(-x)= x + 64 + (-x).

A equação fica reduzida a 4 x = 64, e então, como 64 = 16.4, temos 4 x = 16.4

e, pela lei do cancelameno, obtemos x=16.

• Determinar o número inteiro que somado com seu consecutivo resulta em

27.

Solução: Considerando que um número inteiro qualquer pode ser representado

por a e, que o consecutivo de a é o inteiro a + 1, temos que a + (a + 1) = 27.

Assim, obtemos 2a +1 = 27. Somando o simétrico de 1 em ambos os lados da

igualdade, obtemos a igualdade 2a + 1 + (-1) = 27 + (-1), e temos 2a= 26.

Como 26 pode ser escrito como o produto 2.13 temos, pela lei do corte que o

resultado da equação será a = 13.

• Encontre a solução da equação 3(4 + 2𝑥) = 2(−2 + 𝑥) no conjunto dos

Números Inteiros.

Solução: Inicialmente aplicamos a propriedade distributiva em ambos os lados

da igualdade e obtemos 12 + 6x = -4 + 2x.

Somando o simétrico de 12 e o simétrico de 2x em ambos os lados da igualdade,

obtemos 12 + 6x + (-12) + (-2x) = - 4 + 2x + (-12) + (-2x);


Aplicando as propriedades comutativa, associativa, do elemento neutro e do

elemento simétrico ficamos com 4x=-16.

Assim, pela lei do cancelamento temos que x = - 4.

Operação de Potenciação

No conjunto dos Números Inteiros podemos ainda definir a operação de

potência.

Definição: Considere que a é um número inteiro não nulo (a≠0) e m um número

natural, o número inteiro am = a.a.a.a.a.....a.a.a, com m fatores de a, é

denominado a m-potência de a.

Observação:

• Se a≠0 e m=0 teremos sempre que a0 = 1.

• Se a = 0 e m≠0, temos 0m = 0.0.0.....0 = 0.

• Se a=0 e m=0 temos a forma indeterminada 00 que não será considerada.

Exemplos:

• 35 = 3.3.3.3.3 = 243;

• (-5)2 = (-5).(-5) = 25;

• 60=1;

• 03= 0.0.0 = 0.

• 15=1.1.1.1.1 = 1

• Para efetuar (𝑎 + 𝑏)2, temos: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

Fazendo uso da propriedade distributiva da multiplicação em relação a

adição no conjunto dos Números Inteiros, temos: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) =

(𝑎 + 𝑏)𝑎 + (𝑎 + 𝑏)𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2.

A potenciação de Números Inteiros satisfaz as seguintes propriedades,

considerando que a e b são Números Inteiros e m e n são Números Naturais, e

observando que a forma indeterminada 00 não ocorra, temos que:

(𝑎. 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚. 𝑏𝑚

(𝑎 ÷ 𝑏) 𝑚 = 𝑎𝑚 ÷ 𝑏𝑚

𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑆𝑒 𝑚 ≥ 𝑛, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛

Exemplos:


• Determine o valor de n, sabendo que 3n+2.2n+3=2592.

Solução: Pelas propriedades da potência dos Números Inteiros temos que é

válida a igualdade: 3𝑛. 32. 2𝑛. 23 = 2592

Aplicando a propriedade comutatividade da multiplicação obtemos:

3𝑛. 2𝑛. 32. 23 = 2592

(3.2)𝑛. 8.9 = 2592

6𝑛. 72 = 36.72

Pela lei do cancelamento, temos; 6𝑛. 72: 72 = 36.72: 72

6𝑛 = 36

6𝑛 = 62

𝑛 = 2

Relação de Ordem

No conjunto dos Números Inteiros existe uma relação de ordem, representada

pelo símbolo < (menor que), que possui as seguintes propriedades ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ:

• ∀𝑎 ∈ ℤ, 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0, entaõ temos: a<0 (e dizemos que a é negativo) ou 0<a (e

dizemos que a é positivo);

• 𝑆𝑒 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑏 < 𝑐, então 𝑎 < 𝑐; Propriedade Transitiva

• 𝑆𝑒 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐;

• 𝑆𝑒 𝑎 < 𝑏 𝑒 0 < 𝑐, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐;

• 𝑆𝑒 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑐 < 𝑎𝑐.

Propriedade da Tricotomia: Dados a e b Números Inteiros quaisquer, uma e

apenas uma das seguintes expressões é verdadeira: 𝑎 < 𝑏, 𝑏 < 𝑎 𝑜𝑢 𝑎 = 𝑏.

Observações:

• Quando escrevemos a≤b estamos considerando que ocorre a possibilidade de

termos a<b ou a=b;

• São válidas também as propriedades de cancelamento, tanto para adição

quanto para a multiplicação, observe:

𝑆𝑒 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 < 𝑏;

𝑆𝑒 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑒 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏 < 𝑎;

𝑆𝑒 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑒 0 < 𝑐, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 < 𝑏.

Com as propriedades da relação de ordem citadas, podemos agora considerar a

validade da regra dos sinais para a multiplicação, observe:


Se a e b são inteiros, temos:

𝑎 < 0 𝑒 𝑏 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0 < 𝑎𝑏, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, (−)𝑥(−) = (+);

0 < 𝑎 𝑒 0 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0 < 𝑎𝑏, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, (+)𝑥(+) = (+);

𝑎 < 0 𝑒 0 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑏 < 0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, (−)𝑥(+) = (−);

0 < 𝑎 𝑒 𝑏 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑏 < 0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, (+)𝑥(−) = (−).

• Observe ainda que com o mesmo significado de a<b (a é menor do que b),

escreve-se b>a (b é maior do que a).

Fazendo uso das propriedades listadas, podemos deduzir muitas outras

propriedades dos Números Inteiros.

Podemos destacar a seguinte proposição:

Proposição: Seja a um número inteiro, diferente de zero. Então a2>0.

Demonstração: Estamos considerando que a é diferente de zero, sendo assim,

de acordo com a propriedade “r” temos duas possibilidades para a: a<0 ou a>0.

Supondo que a<0 e como a2=a.a, temos, pela propriedade “v” que a.a>0, ou

seja a2>0.

Agora, se a>0 temos, pela propriedade “u” que a.a>0, ou seja, a2>0.

Observe que se considerarmos a possibilidade do elemento a ser zero, então

podemos provar que para qualquer inteiro a temos a2≥0.

Exemplos:

• Como 4<2 e 4=2 são falsas, é verdade que 2<4;

• Se um número inteiro a é diferente de 5 (a≠5) então temos que a<5 ou a >5;

• Para qualquer número inteiro a, é verdade que a≥a ou a≤a;

• Se a+7<5, temos que a+7+(-7)<5+(-7) (pela propriedade t) e então temos a<-

2, ou seja a é um elemento do conjunto {...-7,-6,-5,-4,-3};

• Determine o número inteiro, positivo, que satisfaz 6-y≥-4.

Solução:

Se é válido que 6-y≥-4, então temos que 6+y-y≥-4+y, e então 6≥-4+y, vale

ainda que 6+4≥4+(-4)+y, ou seja, 10≥y.

Temos ainda que considerar que y deve ser positivo o que significa que os

possíveis valores para y são: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 e 10.


Valor Absoluto de um Número Inteiro

Chama-se valor absoluto de um inteiro a , o inteiro que se indica por |𝒂|, e tal

que:

0

0

ase,a

ase,aa .

Observe que por –a estamos denotando o simétrico aditivo de a.

Exemplos: 44 e 444 .

De acordo com a definição de a , para todo inteiro a temos válidas as seguintes

expressões:

|𝑎| ≥ 0; 𝑎|2 = 𝑎2; | − 𝑎| = |𝑎|; 𝑎 ≤ |𝑎| 𝑒 − |𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎|;

|𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏| 𝑒 |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|

O valor absoluto de um número inteiro também pode se definido pelas

igualdades abaixo:

2aa ;

aamáxa , , onde aamáx , é o maior dos dois inteiros -a e a.

Exemplos:

• 41644 2 )(

ou 444444 ,máx,máx

;

• |(-3).(7)|=|-21|, |-3|=3 e |7|=7, assim temos |(-3).(7)|=|-3|.|7|=21;

• |(-3)+7|=|4|=4, mas |-3|=3 e |7|=7 e temos |-3|+|7|=3+7=10. Assim,

temos que |(-3)+7|≤ |-3|+|7|.

• Qual é o valor de x, sabendo que |x+3|=7?

Observe que o valor de x+3 pode ser 7 ou -7, pois |7|=|-7|=7.

Assim, devemos considerar que são válidas as seguintes igualdades x+3=-7 ou

x+3=7.

Temos então: x+3+(-3)=-7+(-3) ou x+3+(-3)=7+(-3) e, segue que x=-10 ou x=4.

• Qual o valor de y, sabendo que |y-5|<8?

Neste caso você deve observar que a expressão:

𝑦 − 5


deverá satisfazer a desigualdade:

-8<y-5<8,

visto que os inteiros -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,,3,4,5,6,7 satisfazem a condição

de ter valor absoluto menor do que 8.

Agora, observe que se:

−8 < 𝑦 − 5 < 8 então −8 + 5 < 𝑦 − 5 + 5 < 8 + 5 e temos −3 < 𝑦 < 13.

Assim concluímos que y é um elemento de: {−2, −1,0,1, . . . ,11,12}.

Recapitulando

Neste capítulo você foi apresentado a diversas propriedades do conjunto dos

Naturais e dos Números Inteiros e a duas definições importantes (potência e

valor absoluto).

Sendo:

ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }

ℤ ...,,,,,,,,,,,..., 654321012345

As propriedades e definições estudadas são conteúdos que serão desenvolvidos

por você, com seus alunos, durante os anos finais do Ensino Fundamental. Cabe

salientar que o trabalho no Ensino Fundamental não é feito da mesma forma

como foi apresentado aqui, mas você, como futuro professor, deve ter

conhecimento das propriedades e definições que aqui foram mostradas para

melhor desenvolver e preparar suas aulas.

Também cabe observar que os conceitos aqui trabalhados serão utilizados ao

longo dos próximos capítulos quando discutiremos outros importantes conceitos

da Teoria dos Números.

Dica de Leitura

Para maiores informações sobre o assunto Números Inteiros e suas propriedades

sugire-se a leitura dos seguintes artigos selecionados da Revista do Professor de

Matemática:

1) Euclides, Fibonacci e Lamé, João B. Pitombeira – RPM24;

2) Números de Fibonacci e representações de números inteiros

positivos, Márcio C. Cerioli – RPM56;



ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Números. São Paulo: Nobel,

1992.

CHEMALE, Elena Haas; KRUSE, Fábio. Curiosidades Matemáticas. Novo

Hamburgo: FEEVALE,1999.

DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna: volume único. São

Paulo: Atual, 2003.

OLIVEIRA SANTOS, José Plínio de. Introdução à Teoria dos Números. Rio de

Janeiro: IMPA, CNPq, 1998.

RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto da. Números racionais, reais e complexos. Porto alegre: Editora UFRGS,2006.

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:

Pioneira Thompson Learning, 2003.

VÁZQUEZ, Modesto Sierra; ACOSTA, Mario Gonzáles; GARCÍA, Andrés Sánches;

ASTUDILLO, Maria Teresa González. Divisibilidad. Madrid: Síntesis, 1989.

VERASTEGUI, T. I. Introducción a la Teoría de Números. Lima: Moshera

S.R.L.,1996.

WALTER, Mora F. Introducctión a la Teoría de Números: Ejemplos y

algoritmos. Revista digital Matemática, Educación e Internet, 2012. Disponível

em<http://www.tec-

digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Libros/WMora_TeoriaNumeros/W_Mora_

TeoriaNumeros.pdf> Acesso em: 09 de novembro de 2013, 10h20min.

Atividades

1) Cinco inteiros positivos e consecutivos somados resultam em 170. Quais são

estes inteiros?

2) Determine três números inteiros positivos e consecutivos tais que a soma de

seus quadrados é igual a 2354.

3) Calcular o inteiro positivo n, sabendo que 6n + 6 n+1 + 6 n+2 =1548.

4) Resolver as seguintes equações em ℤ, indique as propriedades que você usou

em cada etapa:

a. 284 |x|

b. 4825 |x|

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Libros/WMora_TeoriaNumeros/W_Mora_TeoriaNumeros.pdf




c. 1573 |x|

5) Resolver as seguintes inequações em ℤ:

a. 124 |x|

b. 73 |x|


Resposta da atividade 1 do capítulo de Números Inteiros: 32, 33, 34, 35 e 36.

Resposta da atividade 2 do capítulo de Números Inteiros: 27, 28 e 29.

Resposta da atividade 3 do capítulo de Números Inteiros: n = 2.

Resposta da atividade 4 do capítulo de Números Inteiros:

a. S={-32,24};

b. S={10};

c. S={ }.

Resposta da atividade 5 do capítulo de Números Inteiros:

a. S={-7,-6,-5,...,5,6,7};

b. S={xℤ| x≤-4 ou x≥10}.


Divisibilidade








(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

O objetivo central desse capítulo é trabalhar o conceito de divisibilidade, suas

propriedades e, apresentar o teorema denominado Algoritmo da Divisão de

Euclides, que estabelece o algoritmo da divisão com resto. Vamos, também,

utilizar o algoritmo para definir números pares e ímpares.

Divisibilidade

Sejam a e b inteiros, com 0a . Dizemos que a divide b (a\b) se e somente

se existe um inteiro q tal que 𝑏 = 𝑎𝑞.

Notação: Quando escrevemos a\b estamos indicando que 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑏.

Se:

b|a 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑎 𝑛ã𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑏.

Exemplos: É verdade que 3\6, pois existe inteiro q=2 tal que 6=3.2.

Também é verdade que 157 | pois não existe número inteiro q tal que

possamos escrever 15 = 7. 𝑞.

Observe que se a\b, podemos dizer que:

b é divisivel por a, b é um múltiplo de a ou ainda que a é um divisor de b

A relação " a divide b" é denominada relação de divisibilidade no conjunto dos

Números Inteiros.

Proposição: Se 𝑎\𝑏 então −𝑎\𝑏.

Demonstração: Temos que se é verdade que 𝑎\𝑏 então existe 𝑞ℤ tal que

qab . . Como 𝑎. 𝑞 = (−𝑎). (−𝑞), então qab . . Portanto−𝑎\𝑏.

Exemplo:

3\6, 𝑝𝑜𝑖𝑠 2.36 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 63 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 )2.(36 .

Vale também que:

3| − 6, 𝑝𝑜𝑖𝑠 − 6 = 3. (−2) 𝑒 𝑞𝑢𝑒 − 3| − 6, 𝑝𝑜𝑖𝑠 − 6 = −3.2

Assim, podemos dizer que se, b é divisivel por a, então o módulo de b é divisivel

pelo módulo de a, ou seja, qabba . .


Teorema: Para quaisquer que sejam os inteiros a, b e c, temos:

i. 𝑎\0; 1\𝑎; 𝑎\𝑎..

Demonstração: Veja que a\0, pois 0.0 a e 1\a, pois 1.aa , e ainda a\a,

pois 1.aa .

Se a\1, então 1a .

ii. Demonstração: Se 1a , então qa.1 . Pela propriedade dos números

inteiros vista no capítulo anterior, temos 1a e 1q ou 1a e 1q

Logo 1a .

iii. Se a\b e c\d então ac\bd

Demonstração: Temos que q.abba e 1.qcddc . Assim, o

produto de b por d será ).(....... 11 qqcadbqcqadb e como q.q1ℤ,

temos que bdac .

iv. Se ba e se cb então ca . Esta propriedade é denominada propriedade

transitiva da relação de divisibilidade.

Demonstração: Inicialmente, vamos considerar que qabba . tal

equação será chamada de equação (1) e, também é válido que

1.qbccb , que será chamada de equação (2). Substituindo a equação

(1) na equação (2), ficamos com )..( 1qqac , logo ca .

v. Se ba e se ab então ba .

Demonstração: Temos que qabba . (1), e 1.qbaab (2).

Substituindo (1) em (2) ,temos que 111 q.q)q.q.(aa . Temos então

que q=1 e q1=1 ou q=-1 e q1=-1. Como 1.qba então ba .

vi. Se ba com 0b então ba .

Demonstração: Temos que 0a e 0b . Como ba , então qab . .

Logo 0q e qab . . Sendo q≠0, temos que 1q então |a|b .

vii. Se 𝑎\𝑏 e se 𝑎𝑐 então 𝑎\𝑐, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ.


Demonstração: Temos que xqaxbxqabba ,.. ℤ e, também é

válido que yqaycyqacca ,.. 11 ℤ. Somando as igualdades,

obtemos: .)yqxq(acybxayqaxqcybx 11 Como

)yqxq( 1 ℤ temos que cybxa .

Vii Se a|(b+c) e a|b, então a|c.

Demonstração: Como a|(b+c), temos que b+c = 1aq , com 1q ℤ. Mas

temos também que a|b, daí 2aqb , com 2q ℤ, o que implica em

21212212 qqac)aq(aqc)aq(aqaqcaq ,

com )( 21 qq ℤ. Logo, a|c.

Conjunto dos Divisores de um Inteiro

O conjunto dos divisores de um número inteiro a são todos os números d ℤ*

tal que 𝑎 = 𝑑. 𝑞 para q ℤ ∗, ou seja, daD {)( ℤ ∗ }adquetal .

Exemplos:

• O conjunto dos divisores de zero é igual ao conjunto dos inteiros não nulos,

já que todo inteiro, não nulo, é um divisor de zero. Assim, podemos

escrever 𝐷(0) = [𝑑 ∈ ℤ|𝑑\0} = ℤ∗ .

• Conforme as propriedades que vimos, o conjunto dos Números Inteiros

divisores do número inteiro 1 é formado pelos elementos -1 e 1, ou seja,

𝐷(1) = {𝑑 ∈ ℤ|𝐷\1}

• O conjunto dos números inteiros que são divisores de 6 é

dD 6,3,2,1)6( ℤ* 6dquetal .

Observe que o conjunto dos divisores de -6 é exatamente o mesmo

conjunto e, podemos dizer que D(6)=D(-6).

É verdade também que para todo inteiro a, temos D(a)=D(-a), pois a=a.1 e a=(-

a)(-1). Chamamos os inteiros -1,1,-a e a de divisores triviais de a. No

exemplo anterior, vimos que para o inteiro 6, temos como divisores os inteiros


-1,1,-2,2,-3,3,-6 e 6 assim, dizemos que -1,1,-6 e 6 são os divisores triviais de

6 mas, como vimos, 6 possui outros divisores.

Já os inteiros 1, 1 , 2 e -2 só admitem divisores triviais.

Para qualquer inteiro aℤ se ad então ada . Isto significa que qualquer

inteiro 0a tem um número finito de divisores e, cabe observar ainda que o

conjunto dos divisores de um inteiro qualquer nunca é vazio.

Conjunto dos múltiplos de um Inteiro

Considere a definição de divisor que apresentamos anteriormente, ou seja,

sendo a e b inteiros, com a≠0 temos que a divide b se e somente se existe um

inteiro q tal que qab . .

Nesta definição vimos que, assim como a pode ser denominado um divisor de b,

também podemos dizer que b é um múltiplo de a e, neste caso podemos

apresentar e definir o conjunto dos múltiplos de um inteiro não nulo.

Observe que o conjunto dos múltiplos de um número inteiro a são todos os

números inteiros que podem ser escritos na forma aq com qℤ. Assim, dizemos

que M(a) = {aq tal que q ℤ}.

Como, para qualquer que seja o inteiro q, aq é um múltiplo de a, podemos

observar que o conjunto dos múltiplos de a é um conjunto infinito e não vazio,

já que 0M(a) e ainda aM(a), qualquer que seja a≠0.

Exemplos:

O conjunto dos múltiplos de 1 e também de -1 é o conjunto dos números

inteiros, isto é M(1)=M(-1)=ℤ.

Para a=9 temos que M(9)={0,±9, ±18, ±27, ±36, ±45, ±54, ±81,...}.

Números Pares e Ímpares

Como uma das consequências do algoritmo da divisão, podemos citar a

determinação números pares e ímpares. Observe que de acordo com o

algoritmo, quando dividimos um inteiro qualquer por 2 temos somente duas

possibilidades de valor para o resto. O resto na divisão por dois só pode ser r=0


ou r=1. Assim, quando r=0 temos um número par e, quando r=1 temos um

número ímpar.

Podemos agora apresentar uma expressão para números pares e ímpares que

será muito utilizada nas demonstrações que irão seguir. Observe que um

número n, inteiro par, pode ser representado pela expressão n=2q, onde q é o

quociente da divisão de n por 2. Já um número m, inteiro ímpar, pode ser

representado pela expressão m=2q+1 onde q é novamente o quociente da

divisão de m por 2.

Exemplos:

i) O número inteiro -234 é um inteiro par, e podemos escrever, utilizando o

algoritmo da divisão, -234=2.(-117) +0=2.(-117);

ii) O número inteiro 0 é também um inteiro par, pois podemos considerar que

0=2.0+0=2.0;

iii) O produto de dois inteiros ímpares resulta em um inteiro ímpar. Você

pode verificar que a afirmação é válida utilizando alguns exemplos, mas a

afirmação necessita ser demonstrada. Veja uma possível demonstração:

Inicialmente escrevemos dois inteiros ímpares quaisquer, digamos x e y.

Se x e y são inteiros ímpares então x=2q+1, onde q, é um inteiro, e q é o

quociente da divisão de x por 2. Da mesma forma escrevemos y=2k+1 onde

k, também é um inteiro e é o quociente da divisão de y por 2. Assim,

fazendo o produto de x por y obtemos: x.y=(2q+1)(2k+1), aplicando a

distributividade da multiplicação em relação a adição, apresentada no

capítulo 1 temos que x.y=4qk+2q+2k+1=2(2qk+q+k)+1=2w+1 que será um

inteiro ímpar já que w=2qk+q+k é um inteiro.



1992.




Paulo: Atual, 2003.










S.R.L.,1996.



em:

<http://www.tec-


TeoriaNumeros.pdf> Acesso em: 09 de novembro de 2013.

Atividades

1) Sejam a, b e c inteiros quaisquer. Mostrar:

a. Se a|b e se a|c, então bca |2 ;

b. a|b se, e somente se ac|bc com c0.

2) Mostrar que, se a|(2x-3y) e se a|(4x-5y), então a|y.

3) Escreva o conjunto dos múltiplos de 7 e o conjunto dos múltiplos de 11.

4) Dê dois exemplo numéricos para as propriedades:

a. a\b e c\d então ac\bd

b. a|b e b|c então a|c

5) Justifique as afirmativas:

a. 176 divide 8

b. 24 não divide 5

c. Qualquer que seja a pertencente ao conjunto dos Números Inteiros não

nulos a\a e a\(-a) e –a\a.


1) Atividade

a. Sabendo que a|b e que a|c temos, por definição, que existem inteiros q1

e q2 tais que b=aq1 e c=aq2. Então temos que bc= aq1aq2= a2q1q2 com q1q2

inteiro. Assim, podemos dizer que a2|bc.

b. Neste caso devemos considerar uma demonstração em duas etapas (ida e

volta) já que a afirmação é uma afirmação do tipo “se e somente se”.

Inicialmente temos que se a|b, então existe um inteiro q tal que b=aq.

Sendo assim, multiplicando ambos os lados da igualdade por c (c≠0)

teremos cb=caq donde segue que ac|bc. Por outro lado, se consideramos

que ac|bc temos que existe um inteiro q tal que bc=acq. Como c é


diferente de zero, podemos utilizar a lei do corte para a multiplicação

(vista no cap.6) e escrever b=aq. Assim temos que a|b.

2) Se temos, por hipótese, que a|(2x-3y) e que a|(4x-5y), então podemos

afirmar que existem inteiros q e k tais que 2x-3y=aq e 4x-5y=ak. A primeira

igualdade pode ser multiplicada por (-2) em ambos os lados e obtemos

-2(2x-3y)=-2aq⇒-4x+6y=a(-2q). Somando a igualdade obtida após a

multiplicação por -2 com a igualdade4x-5y= ak obtemos:

-4x+6y+4x-5y=a(-2q)+ak⇒y=a(-2q+k) e, como -2q+k ainda é um inteiro,

podemos afirmar que a|y.

3) 𝑀(7) ={..., -14, -7, 0, 7, 14, ...}

𝑀(11) = {… , −22, −11, 0, 11, 22, … }

4) Atividade

a. 4\8 e 3\15 então 12\120; 5\10 e 3\9 então15\90.

b. 8\4 e 4\2 então 8\2; 144\12 e 12\6 então 144\6.

5) Atividade

a. 176 = 22.8 e 22 pertence ao conjunto dos Números

b. Não existe k pertencente ao conjunto dos Números Inteiros tal que 4=k.5

c) 𝑎 = 1. 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0 𝑒 1 ∈ ℤ; 𝑎 = −1. (−𝑎)𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0 𝑒 − 1 ∈ ℤ;

−𝑎 = −1. 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 ≠ 0 𝑒 − 1 ∈ ℤ;


Números Primos








(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução - Números Primos

Conforme comentado anteriormente um número inteiro a qualquer, vai

apresentar no mínimo, quatro divisores (os divisores triviais de a):

−1, +1, −𝑎 𝑒 + 𝑎.

Alguns inteiros diferentes de 0, -1 e +1 possuem apenas os divisores triviais,

esses inteiros são denominados números inteiros primos.

Já um número inteiro diferente de 0, -1 e +1 que possui outros divisores além

dos triviais são chamados de números inteiros compostos.

Assim, apresentamos a definição formal de número primo.

Definição de Número Primo

Um Número Inteiro p é denominado número primo se as seguintes propriedades

se verificam:

i) 𝑝 ≠ 0;

ii) 𝑝 ≠ ±1;

iii) 𝑂𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝 𝑠ã𝑜 ± 1 𝑒 ± 𝑝.

Um Número Inteiro a≠0 e a≠±1 é denominado número composto se tem

outros divisores, além dos triviais.

Exemplos:

• O número 0 não é primo, observe a condição (i) e também não é

composto.

• O número 1 também não é primo, observe a condição (ii), veja que 1

também não é composto;

• O número 2 é um inteiro primo, assim como o -2 pois os únicos divisores

de 2 são ±1 e ±2 e estes são, também, os únicos divisores de -2.

Teorema: Existem infinitos números primos.

Suponhamos que existe um número primo p maior que todos os demais.

Consideremos o produto de todos os números primos menores que p:

2 x 3 x 5 x 7 x .. .x p e o número n = (2 x 3 x 5 x 7 x ... X p) +1;

O número n ou é primo ou é um número composto.

Se n é primo então p não é o maior dos primos.


Se n é composto, pela proposição anterior, o menor divisor de n é um número

primo, mas 2,3,5,7,...,p são divisores de n, pois o resto da divisão é

trivialmente 1, por conseguinte n tem divisores primos maiores que p.

Logo, está provado que dado um número primo p sempre há outro maior que

ele, logo a série dos números primos é ilimitada.

Crivo de Eratóstenes

Uma das questões em torno dos números primos é a possibilidade de encontrar

algum procedimento, algoritmo ou fórmula matemática, para obter a série

desses números.

Desde a antiguidade se procura encontrar a maneira de obter números primos,

prova disso é o crivo de Eratóstenes (271-194a.C.).

O matemático grego Eratóstenes (276 a.C. – 194 a.C.) apresentou um método

que permite obter os números primos positivos, maiores que 1. Esse método é

conhecido, hoje, como Crivo de Eratóstenes.

Você pode determinar os números primos, positivos e menores do que 100, da

mesma maneira que Eratóstenes determinou.

Escreva os números em uma tabela, como a que vemos abaixo, e vamos

eliminando os números que não são primos.

Primeiro eliminamos o 1, em seguida todos os múltiplos de 2 (o 2 não será

eliminado pois é primo).

O 3 também é primo mas, todos os múltiplos de 3 deverão ser eliminados. O 4

é múltiplo de 2 e já foi eliminado.

O 5 é primo. Todos os múltiplos de 5 devem ser riscados.

O 6 já está riscado, o 7 é primo. Risque todos os múltiplos de 7.

O 8, 9, 10 estão riscados. Risque os múltiplos de 11.

Os números não riscados são os números primos.


Os números primos positivos menores do que 100, que você irá encontrar com

o Crivo de Eratóstenes são os seguintes:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

83, 89 e 97

Porém os números primos não se ajustam a uma lei, não existe uma função que

se obtém todos os números primos, ainda que aparentemente existam leis que

cumpram essa condição.

Algumas dessas leis são:

𝑓(𝑛) = 𝑛2 + 𝑛 + 17 que geram os primos de n = 1 até n = 16

𝑓(𝑛) = 2𝑛2 + 29 que geram os primos de n = 1 até n = 28

𝑓(𝑛) = 𝑛2 – 𝑛 + 41 que geram os primos de n = 1 até n = 40

𝑓(𝑛) = 3𝑛2 + 3𝑛 + 23 geram os primos de n=0 até 21

Maior número primo conhecido

O maior número primo conhecido foi descoberto por Jonathan Pace no dia 26

de dezembro de 2017. Ele descobriu o 50º primo de Mersenne:

277.232.917 − 1

Este número tem 23.249.425 dígitos.


O estudo dos Números Inteiros primos positivos tem sido uma preocupação de

muitos matemáticos, que tem interesse em determinar se um dado número é

primo e encontrar propriedades que permitam fatorar um número inteiro.

Vale considerar que fatorar números inteiros “muito grandes” é à base do

sistema de criptografia RSA, código foi inventado 1978 por R. L Rivest, A.

Shamir, L. Adleman, tal código é muito usado em aplicações comerciais e, por

exemplo, no Netscape, software de navegação da internet.

A aplicação dos números primos na criptografia11 usa como base o Teorema

Fundamental da Aritmética, que iremos enunciar, mas que não será

demonstrado aqui.

Teorema Fundamental da Aritmética:

Todo inteiro positivo n>1 é igual a um produto de fatores primos, além disso, a

decomposição de n como produto de fatores primos é única, a menos da ordem

dos fatores.

O teorema nos diz que todo número inteiro positivo e maior do que 1 pode ser

escrito como um produto de números primos observe que 140=2x2x5x7 (forma

fatorada do número 140), mas também podemos dizer que 140=5x2x7x2 (os

primos são exatamente os mesmos, apenas trocamos a ordem dos fatores).

Outro importante teorema que diz respeito a inteiros primos é o Teorema de

Euclides que afirma que existem infinitos números primos.

Algoritmo da Divisão

O teorema a seguir é conhecido como Algoritmo da Divisão de Euclides, pois

Euclides usou o teorema em seus Elementos (300 a.c) para determinar o máximo

divisor comum entre dois inteiros positivos. Em Elementos, Euclides

considerava apenas a números inteiros positivos. Nós apresentamos uma versão

ampliada do algoritmo.

Teorema: Se a e b são dois números inteiros com a≠0, então existem e são

únicos os inteiros q e r que satisfazem as condições:

b = aq + r, com 0 ≤ r < |a|.

Demonstração:

Suponhamos, inicialmente que a>0 e consideremos o conjunto S , de todos os

inteiros não negativos que são da forma b - ax, com x ℤ, isto é, S={b - ax|xℤ,

b - ax≥0}.

11 Criptografia (kriptós = escondido, oculto; grapho = grafia) é a arte ou ciência de escrever em cifra ou em códigos.


Este conjunto S não é vazio, ou seja, S , pois sendo a>0, se tomamos a=1

e x=b, obtemos:

b – ax = b - 1.b = b – b = 0 S, e ao tomar x= -|b|, temos

.Sbbbabaxb 0

Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação12, S possui um elemento mínimo r

tal que: q,raqbouaqbr,r 0 ℤ.

Afirmação: .ar

Supondo, por absurdo, que ar , temos então que:

)q(abaaqbar 10 e r)q(ab 1 .

Logo S)q(ab 1 , pois 01 )q(ab , )1(q ℤ, e r)q(ab 1 ,

mas isto contradiz o fato de r ser o elemento mínimo de S . Portanto .ar

Demonstraremos agora a unicidade de q e r .

Suponhamos que existem dois outros inteiros 1q e 1r tais que:

11 raqb e ar 10 .

Logo, qqq,)qq(arraqaqrrraqraq 1111111

ℤ

rr|a 1 . Também temos que: ar 0 e 0 ra . O que implica

arra 1 , isto é, arr 1 .

Como qarr 1 e arr 1 então:

1)se 1q , temos arr 1 , o que contradiz arr 1 ;

2) se 1q , temos arr 1 o que contradiz rra 1 .

Portanto, 0q e 01 rr , no que resulta em, rrrr 11 0 e

11 00 qqqqq . Assim, concluímos que r e que são únicos.

Mostraremos agora que o teorema é válido quando 0a .

12 O Princípio da Boa Ordenação nos diz que “Todo conjunto não vazio A, de inteiros não negativos, possui um elemento mínimo.” No capítulo 10 iremos discutir mais amplamente esse princípio.


Suponhamos agora que 0a então 0a , e pela demonstração acima temos

que existem e são únicos os inteiros 1q e r tais que:

rqab 1 e ar 0 , ou seja, como 0a , então aa . Logo

raqb 1 e r)q(abar 10 e ar 0 .

Portanto, existem e são únicos os inteiros 1qq e r , tais que raqb e

ar 0 .

Observação: Chamamos os inteiros q e r, respectivamente, de quociente e o

resto da divisão a por b.

Exemplos: Calcular o quociente q e o resto r das divisões de b por a=-7:

i) Quando b=1: observe que 1071 ).( e 0710 q e 1r ;

ii) Quando de b=-2: temos que 51).7(2 e 1750 q e

5r ;

iii) Quando b=61: 5)8).(7(61 e 8750 q e 5r ;

iv) Quando b=-59: 4)9).(7(59 e 9740 q e 4r .

Recapitulando

Neste capítulo você foi apresentado a diversos conceitos que envolvem os

Números Inteiros e que são apresentados e trabalhados no Ensino Fundamental,

no 6º ano.

Você viu como podemos determinar o conjunto dos divisores e o conjunto dos

múltiplos de um número inteiro. Foi apresentado à definição formal de número

primo ( que considera inteiros positivos e negativos) e usou o Crivo de

Eratóstenes para determinar quais são os números primos positivos menores do

que 100.

Conheceu também o Algoritmo da Divisão de Euclides e a definição de número

par e de número ímpar.

Dica de Leitura

Para maiores informações sobre o assunto divisibilidade, números primos e

algoritmo da divisão sugiro a leitura dos seguintes artigos selecionados da

Revista do Professor de Matemática:

1. Sobre o processo de divisão de Inteiros, Jaime M. Cardoso – RPM08;


2. Divisores, múltiplos e decomposição em fatores primos, Paulo Argolo –

RPM20

3. Divisibilidade por 3, 7, 11, 13, 17,..., Guilhermo Z. Torres – RPM58;



1992.




Paulo: Atual, 2003.









S.R.L.,1996.



em<http://www.tec-



Atividades

1) Decomponha em fatores primos positivos os seguintes números inteiros:

a. 234

b. 456

c. 780





2) Como podemos representar algebricamente um inteiro a que quando dividido

por 7 deixa como resto 5?

3) Um inteiro a é tal que ao dividi-lo por 8 temos resto 7 e quociente q. Com

base nestes dados responda:

a. Qual será o resto da divisão de a por 4?

b. Qual será o resto da divisão de a por 2?

4) Achar os cinco menores primos da forma n2 – 2

5) Determinar se são primos os seguintes inteiros e justifique:

a) 169 b) 239 c) 197 d) 479

6) Achar o menor inteiro positivo n tal que 2n2 +29 é um inteiro composto.

7) Achar a decomposição de 5040.


1) a) 234 = 2𝑥3𝑥3𝑥13

b) 456 = 2𝑥2𝑥2𝑥3𝑥19

c) 780 = 2𝑥2𝑥3𝑥5𝑥13

2) 𝑎 = 7𝑞 + 5

3) a)

𝑎 = 8𝑞 + 7 = 4.2𝑞 + 4 + 3 = 4(2𝑞 + 1) + 3 = 4𝑘 + 3, 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑘 = 2𝑞 + 1 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑟 = 3.

b)

𝑎 = 8𝑞 + 7 = 2.4𝑞 + 6 + 1 = 2(4𝑞 + 3) + 1 = 2𝑘 + 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑘 = 4𝑞 + 3 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑟 = 1.

4) Os cinco menores primos da forma n2 – 2 são: 2, 7, 23, 47, 79.

5) Os números 239, 197 e 479 são primos.

6) 551.

7) 5040 = 24. 32. 5.7


Máximo Divisor Comum e Equações Diofantinas








(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

No presente capítulo vamos trabalhar o conceito de divisores e, mais

precisamente, definir o máximo divisor comum. Veremos também as

importantes propriedades do mdc e como podemos determinar o mdc de dois

números inteiros.

Iremos também utilizar o mdc para discutir a existência de solução em uma

Equação Diofantina Linear. Apresentamos ainda a resolução de alguns

problemas envolvendo os conceitos trabalhados.

Máximo Divisor Comum

Quando no Ensino Médio, ou até mesmo no Ensino Superior, um aluno é

questionado sobre o que é o MMC de dois números, rapidamente obtém-se a

resposta que o MMC é “o cálculo que fazemos quando queremos somar ou

subtrair frações”.

No entanto, quando questionamos um aluno sobre o que é o MDC, raramente

temos resposta. Na maioria das vezes o aluno diz não lembrar do que se trata.

Pois nesta disciplina nós iremos olhar mais atentamente o máximo divisor

comum de dois inteiros e veremos que, com o uso desse conceito, podemos

resolver problemas interessantes e que frequentemente são encontrados nos

livros do Ensino Fundamental.

Divisores Comuns de dois Inteiros

Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro, d≠0 tal que d|a e

d|b, ou seja, d pertence simultaneamente ao conjunto dos divisores de a, D(a),

e ao conjunto dos divisores de b, D(b).

O conjunto de todos os divisores comuns a dois inteiros a e b indica-se por

D(a,b), ou seja, D(a,b)={dℤ*| d|a d|b}, assim, podemos dizer que o conjunto

dos divisores comuns de a e b é:

D(a,b)={dℤ*| d|a d|b}={dℤ*|dD(a) dD(b)}=D(a) D(b)

Lembre-se que a intersecção de conjuntos é uma operação comutativa e, isto

significa que podemos considerar D(a,b) = D(b,a).

Observe ainda que vimos no capítulo anterior que 1 e 1 são divisores de

qualquer inteiro e então podemos dizer que são divisores comuns dois inteiros

quaisquer a e b, daí, podemos concluir que o conjunto D(a,b) nunca será vazio.


Exemplo: observe que 6,3,2,1)6( D e que 15,5,3,1)15( D

assim, 31156156 ,)(D)(D),(D .


Sejam a e b dois inteiros tais que a≠0 ou b≠0. Chama-se máximo divisor comum

de a e b, ou simplesmente, o MDC de a e b, o inteiro positivo d (d>0) que satisfaz

as seguintes condições:

i. 𝑑|𝑎 𝑒 𝑑|𝑏;

ii. 𝑆𝑒 𝑐|𝑎 𝑒 𝑠𝑒 𝑐|𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑐 ≤ 𝑑.

Pelas condições i e ii, temos que o inteiro d é o maior divisor dentre todos os

divisores comuns de a e b, ou o máximo divisor comum de a e b.

Notação: 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑑.

A partir da definição de MDC fazemos algumas observações:

a) 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑎). Lembre-se que a intersecção do conjunto dos

divisores de a com o conjunto dos divisores de b é uma operação

comutativa;

b) O 𝑚𝑑𝑐(0,0) não existe, observe que na definição exigimos que a e b

não sejam conjuntamente nulos, ou seja, exigimos que a≠0 ou b≠0.

Vale ainda acrescentar que todo número inteiro não nulo divide zero

e assim, não temos como encontrar o maior inteiro com tal

característica.

c) O 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 1) = 1 para qualquer inteiro a, já que 1 é o único divisor

positivo de 1.

d) Se 𝑎 ≠ 0, então o 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 0) = |𝑎|. Neste caso, observe que qualquer

inteiro não nulo é divisor de 0 mas o maior divisor do inteiro a é o

inteiro positivo |a|.

e) 𝑆𝑒 𝑎|𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑜 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = |𝑎|.

Existência e Unicidade do MDC

O teorema que enunciamos e provamos a seguir nos garante que se temos dois

inteiros que não são conjuntamente nulos (a e b), então sempre existe e é único

o máximo divisor comum desses inteiros. Vamos ver também que o mdc(a,b) é

o menor inteiro positivo que pode ser escrito na forma ax+by, isto é, que pode

ser representado como uma combinação linear de a e de b.


Teorema: Se a e b são dois inteiros, sendo a≠0 ou b≠0, então existe e é único

o mdc(a,b). Além disso, existem inteiros x e y tais que: mdc(a,b) = ax+by, isto

é, o mdc(a,b) é uma combinação linear de a e b.

Demonstração: Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos da forma au+bv,

com u,v ℤ isto é:

S={ au+bv | au + bv > 0 e u,vℤ }.

Este conjunto S não é vazio, ou seja, S≠Ø, pois se a≠0, então um dos dois inteiros

a = a.1+b.0 ou –a=a(-1)+b.0 é positivo e pertence a S. Logo, pelo Princípio da

boa ordenação, existe e é único o elemento mínimo d de S, min(S)=d>0. E

conforme a definição de S, temos que existem inteiros x e y tais que d = ax+by.

Vamos mostrar agora que d=mdc(a,b). Com efeito, pelo algoritmo da divisão

temos que existem q e r tais que a = dq+r com 0≤r<d. Assim temos que r = a –

dq = a - (ax+by)q =a(1-xq) - bqy, isto é, o resto r é uma combinação linear

de a e b. Como 0≤r<d e d>0 é o elemento mínimo de S, segue-se que r=0 e a=dq,

isto é, d|a. Seguindo o mesmo raciocínio conclui-se também que d|b. Logo d é

um divisor comum positivo de a e b. Finalmente, se c é um divisor comum

positivo de a e de b, c|a e c|b, com c>0 então, c|(ax+by)⇒c|d⇒c≤d, isto é, d

é o maior divisor comum positivo de a e b, ou seja: mdc(a,b)=d=ax+by com

x,yℤ.

Feita a demonstração, cabe observar que d pode ser escrito como combinação

linear de a e b, mas esta combinação não é única, pois temos que: mdc(a,b) =

d = a (x + bt) + b (y - at) para qualquer que seja o número t inteiro. Observe

ainda que se existir algum inteiro c = ax + by, não quer dizer que este inteiro c

é o mdc(a,b).

Inteiros Primos Entre Si

Sejam a e b dois inteiros, de modo que, a≠0 ou b≠0. Diz-se que a e b são primos

entre si se, e somente se o mdc(a,b)=1.

Observe que os inteiros 2 e 5 são primos entre si pois o mdc(2,5)=1. Assim como

também os inteiros 16 e -27 são primos entre si, já que é verdade que o

mdc(16,-27)=1.

Veja também que sendo a e b primos entre si, então a e b admitem como únicos

divisores comuns o 1 e –1.


Algoritmo de Euclides

Euclides (aproximadamente 360 a.C.) considerado um dos maiores geômetras

de todos os tempos escreveu em um dos volumes dos Elementos o conhecido

Algoritmo de Euclides ou o algoritmo das divisões sucessivas. Tal algoritmo é

usado para determinar o mdc de dois inteiros quaisquer.

Antes de apresentar o Algoritmo de Euclides vamos listar algumas proposições

que versam sobre o mdc de dois inteiros. Os teoremas que serão apresentados

na sequência, não serão demonstrados, mas a demonstração de cada um pode

ser encontrada na bibliografia citada ao final no capítulo.

Teorema: Dois inteiros a e b, de modo que, a≠0 e b≠0, são primos entre

si se, e somente se existem inteiros x e y tais que, ax+by=1.

Corolário: Se o dbamdc , , então o 1,

d

b

d

amdc .

Teorema (Teorema de Euclides): Se bca e se o 1, bamdc , então,

ca .

Lema: Se rbqa , então o rbmdcbamdc ,, .

Os teoremas aqui listados serão utilizados para demonstrar o Algoritmo de

Euclides (ou processo das divisões sucessivas) para encontrar o mdc de dois

números inteiros.

Algoritmo de Euclides (processo das divisões sucessivas):

Considerando a e b inteiros tais que a≠0 ou b≠0, pelo algoritmo da divisão

existem e são únicos os inteiros 1q e 1r tais que: 11 rbqa com br 10 .

Se 01 r então 1bqa , portanto ab . Logo bbamdc , . Caso isso não

aconteça, ou seja, se 01 r , aplicaremos o lema anterior, no qual o

1,, rbmdcbamdc . Daí pelo algoritmo da divisão existe 2q e 2r tais que:

212 rrqb , com 220 qr .

Se 02 r então br1 e o 11, rrbmdc . Caso isso não aconteça, ou seja, se

02 r , aplicamos novamente o lema, isto é, existem 3q e 3r , tais que:

3231 rrqr , com 330 qr .

Se 03 r então 12 rr e o 221, rrrmdc . Caso contrário, ou seja, 03 r ,

efetuamos novamente o lema.


Assim o processo se repetirá n vezes, até encontrarmos um resto nr , tal que

01 nr , isto é, o nnn rrrmdc ,1 , 111 nnnn rrqr , com 110 nn qr

.

Tendo como base o algoritmo de Euclides apresentado acima, foi deduzido o

dispositivo para a determinação do mdc (figura 1) utilizado no 4º ano do Ensino

Fundamental.

Para determinar mdc(a,b) fazemos divisões sucessivas até que encontramos

nrbamdc , . Veja:

Figura 1

Vamos determinar mdc(1348,698) utilizando o algoritmo de Euclides.

Concluímos então que o mdc(1348,698) = 2.

A determinação do mdc(1348,698) pelo algoritmo de Euclides nos

permite também apresentar o mdc como combinação linear de 1348

com 698, basta para isso eliminar os restos nas igualdades, veja:

2 = 22–4.5=22–(26–22).5 = 22-26.5+22.5 = 26.(-5)+22.6 = 26.(-5)+(48-26).6 =

= 26.(-5)+48.6-26.6 =26.(-11)+48.6 = (650-48.13)(-11)+48.6 =

= 650(-11)+48.143+48.6 = 650(-11)+48(149) = 650(-11)+(698-650).149 =

= 650(-11)+698.149+650(-149) = 650(-160)+698.149 =


= (1348-698)(-160)+698.149 = 1348(-160)+698.160+698.149 =

= 1348.(-160)+698.(309).

Assim, podemos dizer que 2=1348x+698y é uma combinação linear de 1398 com

698 que resulta no mdc(1348,698). Uma possível solução para x e y é x=-160 e

y=309.

Equações Diofantinas Lineares

Uma Equação Diofantina Linear com duas incógnitas x e y é uma equação do

tipo:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄

onde a, b e c são inteiros dados e 𝑎 𝑒 𝑏 ≠ 0.

Todo par de inteiros x0, y0 tais que cbyax 00 é uma solução inteira ou

apenas uma solução da equação cbyax .

Consideremos, como exemplo, a equação diofantina linear com duas incógnitas

8x + 2y = 22.

Observe que 8.3 + 2.(-1) = 22, e também 8.(-1)+2.15=22, assim como 8.2 + 2.3

= 22.

Portanto, os pares 3 e -1, -1 e 15 e também o par 2 e 3 são soluções inteiras da

equação diofantina linear 8x + 2 y = 22.

Existem equações diofantinas lineares com duas incógnitas que não têm

solução.

Considere por exemplo a equação 6x + 2y = 3. Veja que 6 e 2 são inteiros pares

e o produto de um inteiro par com qualquer inteiro sempre irá resultar em um

inteiro par, consequentemente não iremos encontrar inteiros x e y tais que o

resultado seja 3, já que 3 é um inteiro ímpar!

De modo geral, a equação diofantina linear ax+by=c não tem solução sempre

que o mdc(a,b) não dividir c, como veremos no seguinte teorema, que nos dá

uma condição para a existência de solução deste tipo de equação.

Teorema: A equação diofantina linear cbyax tem solução se, e somente

se, o mdc(a,b) divide c.

O teorema seguinte apresenta uma forma de obter outras soluções para a

equação cbyax a partir de uma solução já determinada.


Teorema: Se d divide c (d|c), sendo ),( bamdcd , e se o par de inteiros x0, y0

é uma solução particular da equação diofantina cbyax , então todas as

outras soluções desta equação são dadas pelas equações:

td

bxx

0 e t

d

ayy

0 .

Onde t é um inteiro arbitrário.

Como se vê, se d = mdc (a,b) divide c , então a equação diofantina linear ax +

by = c admite um número infinito de soluções inteiras, uma para cada valor do

inteiro arbitrário t.

Corolário: Se o mdc(a,b)=1 e se e se o par de inteiros x0, y0 é uma solução

particular da equação diofantina cbyax , então todas as outras soluções

desta equação são dadas pelas equações:

btxx 0 e atyy 0 .

Onde t é um inteiro arbitrário.

Cabe ressaltar que os teoremas aqui citados não serão demonstrados. A

demonstração pode ser encontrada nos livros apresentados na bibliografia

listada ao final do capítulo.

Vamos apenas considerar que cada uma das proposições nos orienta em como

podemos resolver equações diofantinas ou problemas que recaem em uma

equação diofantina.

Exemplo:

Um circo cobra R$ 6,00 a entrada de crianças e R$ 11,00 a de adultos. Qual é o

menor número de pessoas que pode assistir a um espetáculo de maneira que a

bilheteria seja R$ 350,00? (Em tempo: a capacidade desse circo é suficiente

para esse número de pessoas).

Resolução: Inicialmente, considere que o problema pode ser modelado pela

equação diofantina 6x + 11y = 350. Utilizando o algoritmo de Euclides, vamos

determinar o mdc(6,11), veja:


Concluímos então que mdc(6,11)=1. É claro que 1 divide 350 e, portanto, a

equação possui solução. Na verdade a equação possui infinitas soluções (mas

não é qualquer solução que serve para o problema).

Para encontrar uma solução vamos usar o método de eliminar os restos, assim

como fizemos para escrever 2=1348.(-160)+698.309, no exemplo anterior.

Observe que 1 = 6 - 5.1 = 6 - (11-6).1 = 6 + 6 – 11= 6.2 +11.(-1).

Assim, o par 2 e -1 é uma solução para a equação 6x+11y = 1, para encontrarmos

uma solução para a equação pedida (6x+11y=350) basta multiplicar a equação

anterior por 350, assim, obtemos o seguinte resultado 6.2.350+11.(-

1).350=1.350, ou seja, o par x=700 e y=-350 é uma solução para a equação 6x

+11y = 350 dada no problema. Mas observe que esta solução não serve para o

problema pois x e y são pessoas! Mas agora, fazendo uso do corolário temos

condições de encontrar outras soluções e, soluções possíveis para resolver o

problema, basta para tanto considerar as seguintes equações:

x = 700 + 11t e y = -350 – 6t.

Como o problema pede o número de pessoas, x e y devem ser números positivos,

para isso devemos escolher um t que satisfaça as desigualdades:

700 + 11t > 0 e -350 – 6t >0.

Então: 700 + 11t > 0 ⇒ 11t > -700 ⇒ t > -63,63 e, por outro lado devemos ter

também -350 – 6t >0 ⇒ -6t > 350 ⇒ t < - 58,33 o que implica que o inteiro t

deve pertencer ao intervalo -63,63 < t < -58,33. O que nos leva a testar os

valores t = -63, t = -62, t = -61, t = -60, t = -59 e t = -58. Mas como o problema

pede o menor número de pessoas, devemos encontrar o menor valor de x e y

para satisfazer a equação, o que nos leva a t = -63. Assim, temos:

x = 700 + 11(-63) = 7 crianças e y = -350 – 6(-63) = 28 adultos, total de 35

pessoas. Concluímos então que 35 será o número mínimo de pessoas para que

a bilheteria seja R$ 350,00.

Recapitulando

No capítulo 8 você estudou os conceitos de máximo divisor comum e conheceu

as Equações Diofantinas.

Embora exista um grande número de propriedades e considerações acerca do

assunto mdc, apenas as mais importantes foram aqui relacionadas, pois o

objetivo principal do capítulo é usar o máximo divisor comum e suas


propriedades para encontrar soluções para as equações diofantinas e resolver

alguns problemas interessantes que recaem em nessas equações.

Vale considerar que as demonstrações dos teoremas que não foram

apresentadas no decorrer do capítulo são bastante interessantes e vale a pena

consultar a bibliografia indicada para verificar como são feitas tais

demonstrações.


Sejam a e b dois inteiros tais que a≠0 ou b≠0. Chama-se máximo divisor comum

de a e b, ou simplesmente, o MDC de a e b, o inteiro positivo d (d>0) que satisfaz

as seguintes condições:

i. 𝑑|𝑎 𝑒 𝑑|𝑏;

ii. 𝑆𝑒 𝑐|𝑎 𝑒 𝑠𝑒 𝑐|𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑐 ≤ 𝑑.

Pelas condições i e ii, temos que o inteiro d é o maior divisor dentre todos os

divisores comuns de a e b, ou o máximo divisor comum de a e b.

Notação: 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑑.

Equação Diofantina Linear

Uma Equação Diofantina Linear com duas incógnitas x e y é uma equação do

tipo:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄

onde a, b e c são inteiros dados e 𝑎 𝑒 𝑏 ≠ 0.

Todo par de inteiros x0, y0 tais que cbyax 00 é uma solução inteira ou

apenas uma solução da equação cbyax .

Dica de Leitura

Para maiores informações sobre o assunto MDC e Equações Diofantinas

sugerimos a leitura dos seguintes artigos selecionados da Revista do Professor

de Matemática:

• Uma equação diofantina e suas resoluções, Gilda de La Rocque e João B.

Pitombeira – RPM19;

• Uma interpretação geométrica do mdc, Zelci C. De Oliveira – RPM29;

• Dispositivo prático para expressar o mdc de dois números como combinação

linear deles, José P. Q. Carneiro – RPM37.




1992.




Paulo: Atual, 2003.



RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto

da. Números racionais, reais e complexos. Porto alegre: Editora UFRGS,2006.






S.R.L.,1996.



em<http://www.tec-



Atividades

1) Calcule o mdc(963,657) pelo algoritmo de Euclides e apresente a sua

expressão como combinação linear de 963 e de 657.

2) Calcule o mdc(252,-180) pelo algoritmo de Euclides e apresente a sua

expressão como combinação linear de 252 e de -180.

3) Um carpinteiro recebeu a incumbência de cortar 40 toras de madeira de 8m

cada uma e 60 toras da mesma madeira de 6m cada uma, em pedaços de mesmo

tamanho, sendo que o comprimento desses pedaços deveria ser o maior

possível. Nessas condições, ao todo, quantos pedaços de madeira foram

cortados pelo carpinteiro?





4) Um pai e um filho são pescadores. Cada um tem um barco e vão ao mar no

mesmo dia. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. Em

quantos dias se encontrarão em casa pela primeira vez? Extraído da RPM, nº 32,

3º quadrimestre de 1996, pág. 57.

5) O número de soluções da equação 4x + 7y = 83, onde x e y são inteiros

positivos, é:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinito. Extraído do Provão do Ano de 1999, questão n.º 22.


1) Com o algoritmo de Euclides e você vai encontrar o seguinte resultado

mdc(963,657)=mdc(963,657)=9.

Você deve também encontrar 9 = 963(-15) + 657(22) e, de forma geral podemos

escrever 9 = 963x + 657y.

2) Neste exercício, você deve considerar que mdc(252,-180)=mdc(252,180).

Com o algoritmo de Euclides e você vai encontrar o seguinte resultado

mdc(252,-180)=mdc(252,180)=36.

3) Você deve também encontrar 36 = 252(-2) + (-180)(-3) e, de forma geral

podemos escrever 36 = 252x + (-180)y.Neste problema usamos o máximo divisor

comum. Como mdc(6,8) = 2

40 toras de 8m cada uma nos dá um total de 160 pedaços de 2m cada um.

60 toras de 6m cada uma nos dá um total de 180 pedaços de 2m cada um.

Total de pedaços medindo 2m, que foram cortados pelo carpinteiro 340.

4) Neste problema usamos o mínimo múltiplo comum.

O mmc(15,20) = 60, portanto pai e filho se encontrarão pela primeira vez após

60 dias.

5) Temos que resolver a equação diofantina 8374 yx . Assim como no

problema feito no capítulo só nos servem as soluções positivas e, portanto o

resultado será 3 possíveis soluções ou alternativa (D).


Congruências no Conjunto dos Números Inteiros


Revisador por: Claudia Lisete Oliveira Groenwald16






(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

A noção de congruência foi apresentado por Karl Friedrich Gauss (1977-1855),

em sua obra Disquisitiones arithmeticae em 1801. Tal conceito é um dos mais

importantes da Teoria de Números. Veremos aqui as principais propriedades

das congruências bem como uma introdução ao conjunto das classes residuais.

Inteiros Congruentes

Sejam a e b dois inteiros quaisquer e seja m um inteiro positivo fixo. Diz-se que

a é congruente a b se e somente se m divide a diferença ba , em outras

palavras, a é congruente a b módulo m, se e somente se existe um inteiro q tal

que qmba .

A notação mba mod será utilizada para representar que a é congruente a b

modulo m. De forma simbólica temos que bammba mod , ou seja,

qmba , com q ℤ.

Veja os seguintes exemplos e considerações:

a) 7mod243 , porque 3247 , já que 21 é um múltiplo de 7;

b) 8mod6315 , porque 63158 , já que 48 é um múltiplo de

8;

Dois inteiros quaisquer são congruentes módulo 1, ou seja, sempre é verdade

que 1modba sejam quais forem os inteiros a e b;

Quando dois inteiros são congruentes, módulo 2, então ambos são pares ou

ambos são ímpares. Isto significa que se 2modba então a e b são pares ou

a e b são ímpares.

Se m não divide a diferença ba , então dizemos que a é incongruente a b

módulo m, e escrevemos mba mod .

É fácil ver que 7mod1225 , pois 1225|7 .

Exemplos:

1 Resolver a seguinte equação .modx 73

Observe que resolver a equação significa, por definição, encontrar valores de x

que satisfazem a igualdade:


𝑥 − 3 = 7𝑘; 𝑘 ∈ ℤ

Esta igualdade pode ser reescrita como 37 kx e então temos que o inteiro

x será um elemento do conjunto:

{… , −11, −4,3,10,17, … }

2 Quais os números que deixam resto 3 quando divididos por sete?

𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 7) ⇒ 𝑥 − 3 = 7𝑘 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑥 = 7𝑘 + 3

Logo, os números que deixam resto 3 ao serem divididos por sete são:

𝑥 = {7𝑘 + 3|𝑘 ∈ ℤ} = {… , −11, −4, 3, 10, 17, … }

Propriedades das Congruências

Vamos apresentar agora uma lista de proposições que versam sobre as

propriedades mais importantes da teoria de congruências.

Teorema 1: Sejam m um inteiro positivo fixo 0m e sejam a, b e c inteiros

quaisquer. Então vale as seguintes propriedades:

i) Propriedade reflexiva: maa mod .

ii) Propriedade simétrica: se mba mod , então mab mod .

iii) Propriedade transitiva: Se mba mod e se mcb mod então

mca mod .

iv) Se mba mod e se c ℤ tal que 0c então mcbcac mod .

Antes de iniciarmos a demonstração deste teorema vamos observar que como a

relação de congruência módulo m satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica

e transitiva dizemos que a congruência módulo m é uma relação de

Equivalência.

Demonstração do teorema:

Para provarmos o item (i) vamos observar que 0m , ou seja,

maaaam mod .

Agora, se é verdade que mba mod então, por definição, temos que

qmbaqmbabam .1.1

mabbammqba mod .


Nesse item temos que mba mod e mcb mod então é verdade que

,qmabqmbabam para algum qℤ e também é verdade que

,11 mqcbmqcbcbm para algum 1q ℤ. Assim, temos que

qqmcamqcqmamqcb 111 . Logo mmodca .

Para o último item temos considerar que se mmodba então existe um

inteiro q tal que qmba e, portanto

mcmodbcacmc.qbcacqm.cba.c .

Teorema 2: Sejam m um inteiro positivo fixo 0m e sejam a, b e c inteiros

quaisquer. Então vale as seguintes propriedades:

i) Se mba mod e se mn | com n ℤ tal que 0n , então nba mod .

ii) Se mba mod e se a, b e m são divisíveis pelo inteiro 0d , então

d

m

d

b

d

amod .

Demonstração do teorema:

Como mba mod então, por definição, temos que existe q inteiro tal que a –

b = qm e, como mn , por hipótese, temos que existe k inteiro tal que m = nk.

Temos então que a – b = qnk, ou seja, ban , logo nba mod .

Se mmodba então temos que qmba então se, por hipótese, o inteiro

d é um divisor dos inteiros a, b e m podemos considerar que d

me

d

b,

d

a são

números inteiros e é verdade que

d

mmod

d

b

d

a

d

m.q

d

b

d

a.

Teorema 3: Se mbcac mod e se o dmcmdc , , então

d

mba mod .

Demonstração: Consideremos que se mbcac mod então temos que existe

um inteiro q tal que ,qmcbaqmbcac . Como, por hipótese,

dmcmdc , , existem inteiros r e s tais que drc e dsm , onde r e s são

primos entre si. De fato, conforme o corolário apresentado no capítulo anterior


temos que se dmcmdc , então 1,

d

m

d

cmdc , e portanto é verdade que

1

s,rmdc

d

m,

d

cmdc . Como consequência temos que

,qsrbaqdsdrba o que implica em rbas , como r e s são

primos entre si o 1, srmdc , logo, pelo teorema de Euclides (também

apresentado no capítulo 8) temos bas , ou seja, sba mod e sendo d

ms

temos que

d

mmodba .

Teorema 4: Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se e somente se a e

b deixam mesmo resto quando divididos por m.

Demonstração: A demonstração deste teorema será dado em duas etapas já que

é um teorema do tipo se, e somente se.

() Suponhamos inicialmente que )(mod mba , então )ba(|m , ou seja,

existe um inteiro k tal que mkba (equação 1).

Seja r o resto da divisão de b por m, então pelo algoritmo da divisão temos que

rmqb (equação 2), com mr 0 .

Portanto, substituindo a equação 2 na equação 1, temos que

km)rmq(a e então rmqkma e assim temos que

r)qk(ma o que significa que r é o resto da divisão de a por m, isto é,

os inteiros a e b quando divididos por m deixam mesmo resto r.

() Suponhamos agora que a e b quando divididos por m deixam mesmo resto

r. Então, pelo algoritmo da divisão, temos que existem inteiros q e k tais que

rmqa e rmkb , com mr 0 . Assim, temos que

)kq(mrmkrmq)rmk()rmq(ba , ou seja,

)kq(mba . Consequentemente temos que )ba(|m e então

)m(modba .

Teorema 5: Seja m um inteiro positivo fixo e sejam a, b, c e d inteiros

quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

i) Se )m(modba e se )m(moddc , então será verdade que

)m(moddbca e )m(modbdac ;

ii) Se )m(modba então )m(modcbca e )m(modbcac ;


iii) Se )m(modba então )m(modba nn para todo inteiro positivo n.

Demonstração: Vamos começar demonstrando o item (i). Considerando

verdadeiro que )m(modba e )m(moddc temos que existem inteiros k e

q tais que qmdcekmba . Assim é verdadeiro que

).m(moddbca

m)qk()db()ca(

qmkmdcba

Também será verdade que dqmcebkma e daí segue que:

).m(modbdac

m)bqkdkqm(bdac

bqmkmdkqmbdac

bdbqmkmdkqm)dqm)(bkm(ac

2

2

Para provar o item (ii) vamos considerar que sendo verdadeiro que

)m(modba e já tendo provado as propriedades do item (i) e a propriedade

)m(modcc temos que é imediato que )m(modcbca e

)m(modbcac .

O item (ii) será provado no próximo capítulo quando discutiremos a técnica de

demonstração por indução matemática.

Vejamos agora alguns exemplos da aplicação das propriedades apresentadas.

Exemplos:

1) Sabendo que )(mod 62513 e que )(mod 628 podemos afirmar que:

a) )(mod 6225813 ou, simplesmente, )(mod 62721 .

b) )(mod.. 6225813 ou )(mod 650104 .

c) )(mod 62513 33 ou )(mod 6156252197 .

2) Usando congruências e suas propriedades, mostre que o inteiro 1198 n é

um múltiplo de 17.


Para mostrar que 1198 n é um múltiplo de 17 vamos considerar que devemos

mostrar que existe um inteiro k tal que kn 171198 e isto significa mostrar

que )(modn 171198 .

Começamos então escrevendo )(mod17219 , que sabemos ser verdade pois

19 – 2 = 17. Agora, também será verdade que:

).(mod

)(mod)()(mod)(mod

171619

174191741917219

4

222222

Como é verdade que )(mod17116 , já que 16-(-1)=17, temos que:

).(mod

)(mod)()(mod

)(mod)()()(mod

n

nn

17119

1711917119

1711917119

8

88

2244

Qual o resto da divisão de 5120𝑝𝑜𝑟 3?

5 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑3)

52 ≡ 22(𝑚𝑜𝑑3) ⇒ 52 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑3)

(52)60 ≡ 1120(𝑚𝑜𝑑3) ⇒ 5120 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑3)

Logo o resto da divisão de 5120𝑝𝑜𝑟 3 é 1.

3) Qual é o algarismo das unidades de 727?

73 ≡ 3(mod 10)

(73 )3 ≡ 33(mod 10) ⇒ 79 ≡ 7(mod10)

(79 )3 ≡ 73(mod 10) ⇒ 727 ≡ 3(mod10)

Logo o algarismo das unidades de 727 é 3.

Classes Residuais

Chama-se classe residual módulo m (m>0) de um inteiro a o conjunto de todos

os inteiros que são congruentes ao inteiro a módulo m.

Pode-se dizer, que a classe residual de a módulo m, indicada por a é o conjunto

formado por todos os inteiros que quando divididos por m deixam resto a.


Assim, temos os seguintes exemplos:

a) Se m=1. Todos os inteiros quando divididos por 1 deixam resto zero, logo

existe apenas uma classe residual distinta se m=1, que será denominada de

classe do zero módulo 1 e representada por }Zq,q.x|Zx{ 10 . O

conjunto }{Z 01 é denominado o conjunto das classes residuais módulo 1.

b) Se m=2. Os inteiros quando divididos por 2 deixam resto zero, ou um e,

portanto existem duas classes residuais distintas se m=2, ou seja se m=2 temos

a classe do zero módulo 2 e a classe do um, módulo 2. As classes são

representadas simbolicamente por:

,...},,,,,,,{...,}Zq,q.x|Zx{ 108642024020

,...},,,,,,,{...,}Zq,q.x|Zx{ 119753113121

Observe que: Z10 e 10 .

O conjunto }1,0{2 Z é denominado o conjunto das classes residuais módulo

2.

c) Se m=3. Os inteiros quando divididos por 3 deixam resto zero, um ou dois e,

portanto, existem três classes residuais distintas se m=3. A saber:

,...},,,,,,{...,}Zq,q.x|Zx{ 12963036030

,...},,,,,,,{...,}Zq,q.x|Zx{ 1310741258131

,...},,,,,,,{...,}Zq,q.x|Zx{ 1411852147232

Novamente, observe que: Z 210 , 210 e ainda 10 ,

20 e 21 .

O conjunto },,{Z 2103 é denominado o conjunto das classes residuais

módulo 3.

De modo geral podemos dizer que para m>0, temos m-1 classes residuais

diferentes e, assim temos:

ℤm }m,...,,,,,{ 143210 .

Sendo que ℤm é o conjunto das classes residuais módulo m.

No conjunto das classes residuais módulo m podemos definir as operações de

adição e de multiplicação como segue:


Operação de adição: baba

Operação de multiplicação: baba

Como o conjunto ℤm é um conjunto com um número finito de elementos,

podemos construir e apresentar as “tábuas das operações de adição e

multiplicação em ℤm”. Tais tábuas são tabelas onde apresentamos os resultados

das operações, observando que, como resultado da operação, devemos sempre

obter elementos do conjunto em questão. Veja o exemplo abaixo onde

construímos as tábuas da adição e da multiplicação no conjunto ℤ4= },,,{ 3210 .


Recapitulando

Você estudou no capítulo 9 algumas propriedades das congruências e viu

algumas aplicações deste importante conceito da Teoria de Números. Você

conheceu também o conjunto das classes residuais módulo m, ℤm

}m,...,,,,,{ 143210 , e as operações de adição e multiplicação que estão

definidas nesse conjunto.

Dica de Leitura

Para maiores informações sobre o assunto estudado sugiro a leitura do seguinte

artigo Congruência, divisibilidade e adivinhações escrito por Benedito T. V.

Freire para Revista do Professor de Matemática número 22.



1992.


Paulo: Atual, 2003.











S.R.L.,1996.



em<http://www.tec-



Atividades

1) Encontre uma solução para cada equação:

a. )(modx 37

b. )(modx 61

c. )(modx 22

2) Mostre que se )(modn 127 , então )(modn 43 para todo n inteiro.

3) Achar todos os inteiros x tais que 150 x e )(modx 1563 .

4) Determine o algarismo das unidades de 4003 .

5) Construa a tábua da adição e a tábua da multiplicação em ℤ5.


1)

a. x{...,-5,-2,1,4,7,10,...}

b. x{...,-13,-7,-1,5,11,17,...}

c. x{...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...}

2)





)(modn)q(n

q.nq.n

qnmodn

431343

44334343

127127

3)

},,{xqx

.q.xqx

qx)(modx

127225

323536153

15631563

4) Inicialmente vamos observar que o algarismo das unidades de um número a

é exatamente o resto da divisão deste número por 10, ou seja, se o algarismo

das unidades de a é b então o resto da divisão de a por 10 é b. Vale também

que )(modba 10 . Assim, para resolver nosso problema devemos encontrar x

tal que )(modx 103400 . Então:

)(mod

)(mod)()(mod

)(mod)()()(mod

)(mode

1013

10131013

10131013

101993

400

10010044

2222

2

5)


Indução Matemática


Revisador por: Claudia Lisete Oliveira Groenwald18






(PPGECIM) da ULBRA.


Introdução

No último capítulo do livro apresentamos uma importante e muito utilizada

técnica de demonstração. Aqui apresentaremos exemplos da demonstração por

indução finita aplicados na Teoria dos Números, mas a técnica de demonstração

aparece em proposições e teoremas na geometria, na trigonometria, no estudo

de polinômios entre outras áreas.

Princípio de Indução Matemática

Inicialmente vamos considerar o “efeito dominó”. Este efeito é ilustrado por

uma brincadeira que fazemos quando criança: fazemos uma fila com as peças

do jogo dominó, separadas umas das outras por uma pequena distância, ao

derrubar a primeira peça, observamos que todas as demais peças são

derrubadas em cadeia.

Imaginemos agora que a fila de dominós é infinita, será que todos os dominós

irão cair? Para que isto ocorra as seguintes questões devem ser atendidas:

a) a primeira peça é derrubada na direção das demais;

b) se qualquer peça está suficientemente próxima da seguinte da fila, então,

ao ser derrubada, fará com que a sua vizinha seguinte também seja derrubada.

Observe que nenhuma das duas questões pode ser desconsiderada,

pois, se a primeira peça não for derrubada, nenhuma será e, se por ventura

alguma peça não estiver bem posicionada, pode ocorrer de cair uma peça,

mas esta não derrubar a sua vizinha. Esta brincadeira de criança ilustra um

dos teoremas mais importantes da Teoria de Números que é o Princípio de

Indução Matemática.

Antes de apresentar o Princípio de Indução Matemática vamos ainda

apresentar a definição de elemento mínimo e o Princípio da Boa Ordenação.

Elemento mínimo e Princípio da Boa Ordenação


Considere X um subconjunto do conjunto dos números inteiros. Denominamos

elemento mínimo de X um elemento xX tal que x≤y para todo yX. O elemento

mínimo do conjunto X é representado por minX.

Observe os seguintes conjuntos:

1) O conjunto dos Números Naturais (ℕ), possui elemento mínimo que é 0.

Observe que 0ℕ e 0≤y, yℕ. Assim, temos que minℕ=0

2) Seja X = {2,3,5,7,11,13,...}, o conjunto dos Números Inteiros primos

positivos. Observe que o elemento mínimo de X é 2, pois 2X e 2≤y, para todo

yX. Neste caso, minX=2.

3) Considere X = {...,-12,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,...}, o conjunto dos múltiplos de 3.

O conjunto X não possui elemento mínimo, pois não existe xX tal que x≤y para

todo y de X.

Quando existe o elemento mínimo de X, este elemento é único. O elemento

mínimo também pode ser denominado primeiro elemento de X ou menor

elemento de X.

A seguir apresentamos o Princípio da Boa Ordenação que diz que:

Todo subconjunto não vazio X⊂ℕ, possui um elemento mínimo.

Isto significa que todo subconjunto não vazio X, do conjunto dos Números

Naturais (ℕ), possui elemento mínimo.

Usando o princípio da Boa Ordenação podemos deduzir os teoremas que

seguem, que são amplamente utilizados na demonstração de inúmeras

propriedades definidas em subconjuntos de ℤ com elemento mínimo.

Princípio de Indução (1): Seja P(n) uma proposição cujo universo é o conjunto

dos inteiros maiores ou iguais a um inteiro dado a. Suponhamos que se consiga

provar que:

i) P(a) é verdadeira.

ii) Se k≥a e P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo n≥a.

Este princípio é utilizado para demonstrar igualdades e, quando utilizamos tal

princípio para fazer uma demonstração, dizemos que estamos fazendo uma

demonstração por indução finita ou indução sobre n.


Na técnica de demonstração por indução é obrigatório verificar se as condições

(i) e (ii) são satisfeitas.

A verificação da condição (i) geralmente é mais simples (essa etapa é

denominada Base de Indução). Para verificarmos a validade da condição (ii) é

necessário que se faça a demonstração de um “teorema auxiliar” cuja hipótese

é:

Hipótese: a proposição P(n) é verdadeira para algum k a.

A hipótese acima é denominada hipótese de indução (HI) e a tese é do teorema

é:

Tese: A proposição P(k+1) é verdadeira.

A etapa em que provamos a tese é denominada passagem de indução.

A seguir vamos apresentar alguns exemplos da aplicação do Princípio de Indução

Matemática. Cabe salientar que não vamos nos ater a demonstração do

princípio de indução, pois temos por objetivo apresentar exemplos de

demonstrações com o uso do princípio. Outra observação importante é que as

proposições aqui demonstradas são exemplos clássicos da aplicação do princípio

de indução e são encontrados em quase todos os livros indicados na bibliografia.

Exemplo

1) Prove que 1 + 2 + 3 + 4+. . . +𝑛= 𝑛(𝑛+1)

2, para todo inteiro n1.

Demonstração: Começamos verificando se a proposição é verdadeira para n=1

(base de indução), ou seja, vamos verificar se fazendo n=1 temos válida a

igualdade:

𝑛 = 1 ⇒ 1 =1(1+1)

2 = 1

Concluímos que P(1) é verdadeira.

Agora, vamos escrever a hipótese de indução, ou seja, vamos supor que a

afirmação é válida para k≥1. Assim, vamos considerar válida a igualdade:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 =𝑘(𝑘+1)

2,


Devemos então provar que a igualdade é verdadeira para k+1, ou seja:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

Começamos então observando que:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

𝑘(𝑘 + 1)

2+ (𝑘 + 1) =

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

𝑘2 + 𝑘

2+ 2(𝑘 + 1) =

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

𝑘2 + 𝑘 + 2𝑘 + 2

2=

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

𝑘2 + 3𝑘 + 2

2=

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

Fatorando a equação: 𝑘2 + 3𝑘 + 2 = 0

𝑘 = 1 𝑒 𝑘 = 2

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) = 0

Logo:

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2=

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

O que verifica a proposição P(n) para qualquer que seja x ∈ ℕ.

Concluímos então que a sentença é válida para todo n≥1, como queríamos

demonstrar.

2) Prove que 1)1(

1...

5.4

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

n

n

nn para todo inteiro

n 1.

Demonstração: Por indução matemática, iniciamos verificando se a base de

indução é válida.

Base de Indução (BI): Para n=1 temos que:


1

1.2=

𝑛

𝑛 + 1

1

2=

1

1 + 1

1

2=

1

2

o que nos mostra que P(1) é verdadeira.

Hipótese de Indução (HI): Vamos supor que a afirmação é válida para k≥1, ou

seja, é verdade que 11

1

54

1

43

1

32

1

21

1

k

k

)k(k...

.....

Passagem de Indução (PI): Vamos provar que a afirmação é válida para k+1, ou

seja, vamos provar que 2

1

21

1

1

1

32

1

21

1

k

k

)k)(k()k(k...

...

Observe:

.k

k

)k)(k(

)k(

)k)(k(

kk

)k)(k(

)k(k

)k)(k(k

k

)k)(k()k(k...

..

2

1

21

1

21

12

21

12

21

1

121

1

1

1

32

1

21

1

2

2

indução dehipótese por

Temos assim, que a proposição é verdadeira.

3) Prove por indução que 4n – 1 é um múltiplo de 3 para todo n inteiro e positivo.

Demonstração:

Base de Indução (BI): 314141 , que é múltiplo de 3.


Hipótese de Indução (HI): Suponhamos que 14 k é múltiplo de 3 para k>0, em

outras palavras, existe um inteiro q tal que qk 314 .

Passagem de Indução (PI): Vamos mostrar que 14 1 k também é um múltiplo

de 3. Observe que:

)q(qq).q(.kk 1433121412141314414 1 indução

de hipótese

,

que é, de fato, um múltiplo de 3.

4) Teorema 5 do capítulo anterior item iii) Seja m um inteiro positivo fixo e

sejam a e b inteiros quaisquer. Então se )m(modba então )m(modba nn

para todo inteiro positivo n.

Demonstração: Vamos observar inicialmente que já é hipótese que

)m(modba , logo a base de indução está comprovada. Por hipótese de

indução vamos supor que é verdade que )m(modba kk para k≥1. Vamos

agora provar que a afirmação é valida para k+1, ou seja, vamos provar que

)m(modba kk 11 . Observe que, por hipótese, temos )m(modba e

)m(modba kk , sendo assim, aplicando a propriedade que foi demonstrada

no item (i) do teorema 5, do capítulo anterior, temos que:

)m(modba)m(modb.ba.a kkkk 11 .

Provando assim a validade da proposição.

Princípio de Indução (2): Seja r um inteiro fixo e P(n) uma proposição associada

a cada inteiro n≥r. Suponhamos que se consiga provar que:

i) P(r) é verdadeira.

ii) Se P(k) é verdadeira e para todo inteiro k tal que k≥r, então P(k+1)

também é verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo n≥a.


5) Prove que .n,nn 42 !

Demonstração:

Base de Indução (BI): A afirmação é válida para n=4, pois

24123441624 ...! .

Hipótese de Indução (HI): Suponhamos que é verdade que !kk 2 para k≥4.

Passagem de Indução (PI): Para provar que a afirmação é válida para k+1, isto

é, provar que !)k(k 12 1 vamos observar inicialmente que 2<k+1, já que

k≥4. Então:

!

!!

)k(

)k()k(k)k(

)k(.k

k

kk

kk

12

11122

122212

1

1

Recapitulando

Neste capítulo você conheceu o Princípio de Indução Matemática e viu a

demonstração de algumas proposições com o uso desta importante ferramenta

matemática.

Princípio da Indução

Seja uma propriedade P, relacionada com os números Naturais, que pode ser

verdadeira ou falsa, e suponhamos que:

1. P é verdadeiro para n=0

2. P sendo verdadeiro para n=p, implica que é verdadeiro para n=p+1

Nestas condições, a propriedade P é verdadeira para todo número Natural

“n”.

Observações:

1. Conforme a propriedade, o caso inicial pode não ser n=0, mas igual a outro

número natural conveniente.

2. Na demonstração temos: 1º a hipótese da indução; 2º o caso inicial pois é a

partir dele que fazemos a indução.

Passos da indução:


1º Prova-se para n=0;

2º supõe-se verdadeiro para n;

3º demonstra-se que a propriedade é verdadeira pra n=1.

Dica de Leitura

Para maiores informações sobre o assunto estudado sugiro a leitura do artigo

“Vale para 1, para 2, para 3,...vale para sempre?” de Renate Watanabe na

Revista do Professor de Matemática número 22.

Referências


1992.


Paulo: Atual, 2003.

LOPES, Luís. Manual de Indução Matemática. Rio se Janeiro: Interciência,

1998.








S.R.L.,1996.



em<http://www.tec-







Atividades

1) Verifique se os conjuntos abaixo possuem elemento mínimo e, em caso

afirmativo apresente-o.

a) Conjunto dos divisores de 10.

b) Conjunto dos inteiros negativos.

c) Conjunto dos inteiros primos.

2) Verifique se é válida a seguinte afirmação: 412 nn é um número primo,

0n .

3) Prove que 122221 12 nn... para todo n>0.

4) Prove que 0),73(|8 2 nn

5) Prove que .n,nn 3122


1)

a. O conjunto possui mínimo que é -10.

b. O conjunto não possui elemento mínimo.

c. O conjunto não possui mínimo.

2) A proposição é falsa, pois para n=41 temos

43411141414141412 .)( que não é primo já que é um múltiplo

de 41 (ou de 43).

3) BI:P(1) é verdadeira pois 11221 111 .

HI: Suponhamos que P(k) é verdadeira para k>0, ou seja, é verdade que

122221 12 kk... .

PI: P(k+1) é verdadeira, veja:

1212221222221 112 kkkkkk ....indução de

hipotese

4) BI: P(0) é válida, pois )(| . 738 02 já que 88 | .


HI: Supõe que P(k) é verdadeira para k≥0, isto é )(| k 738 2 . Assim, estamos

considerando que 732 n é um múltiplo de 8, ou seja, existe inteiro q tal que

qk 8732 .

PI: Observe que P(k+1) é verdadeira, observe:

)q(

q

q

).q(.kk)k(

798

5672

76372

79787337373 222212

indução

hipótese

5) BI: P(3) é verdadeira, pois 713239 2 . .

HI: Suponhamos que é verdade que .k,kk 3122

PI: Considerando a hipótese 122 kk temos que também será válido

que:

k)k()k(

kk)k(

kkk

)k()k()k(k

2121

2221

2412

121212

2

2

2

2

Mas observe que 62 k pois 3k , então temos que também é verdade que

112612212 )k()k(k)k( , sendo assim, temos:

1121 2 )k()k( . Logo a afirmação é verdadeira.


Bom trabalho, professor-autor!

Ao finalizar a produção, envie este arquivo para o e-mail

conteú[email protected] com o nome da disciplina no assunto.

A entrega dos textos originais será aceita apenas se todos os

capítulos estiverem em um único arquivo com todas as seções

preenchidas.

Caso tenha dúvidas sobre a produção do livro didático, entre em

contato com o LAC ou com a coordenação do seu curso.

LAC – Prédio 11, sala 123

Fone: 3462.9534 (direto) ou 3477.4000 Ramal: 9534 / 2844

[email protected]

Equipe LAC - EAD

Claudiane Furtado – Coordenadora Luiz Specht – Coordenador Adjunto Gerson Brisolara – Jornalista Aline Guterres – Jornalista Rafaele Caroline da Silva – Jornalista Jeane Oliveira – Jornalista Vanessa Ramos Furtado da Silva – Jornalista Cristiano Lopes – Animador 3D Felipe Pereira – Programador Ane Sefrin Arduim – Revisora de Textos Igor Campos Dutra – Revisor de Textos Jonatan Souza – Diagramador Marcelo Ferreira – Diagramador Rogério Lopes – Ilustrador Joe Beck – Desenhista Jeferson Nunes – Líder II (responsável operações/edições) Tiago Pereira – Operador de Câmera

Celso Rodrigues – Repórter Cinematográfico Jonas Pinheiro – Assistente de Produção Douglas Coutinho – Editor VT Guilherme Oliveira – Editor de vídeo

Klaus Frantz – Editor de vídeo

mailto:[email protected]


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