exercícios Álgebra

.Exerccios de lgebra Linear

Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente

Mestrado Integrado em Engenharia Biolgica

Nuno Martins

Departamento de Matemtica

Instituto Superior Tcnico

Setembro de 2010

1

ndice

1a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Sistemas de equaes lineares).................3 Resoluo da 1a cha de exerccios...........................................................................................5 2a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Matrizes)................................................17 Resoluo da 2a cha de exerccios.........................................................................................19 3a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Determinante)........................................34 Resoluo da 3a cha de exerccios.........................................................................................38 4a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Espaos lineares)....................................46 Resoluo da 4a cha de exerccios.........................................................................................54 5a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Transformaes lineares).......................118 Resoluo da 5a cha de exerccios........................................................................................126 6a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Valores prprios e vectores prprios)....179 Resoluo da 6a cha de exerccios........................................................................................183 7a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Produtos internos e ortogonalizao)....212 Resoluo da 7a cha de exerccios........................................................................................216 1a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................247 Resoluo da 1a Ficha de exerccios facultativos...................................................................249 2a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................254 Resoluo da 2a Ficha de exerccios facultativos...................................................................256 3a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................266 Resoluo da 3a Ficha de exerccios facultativos...................................................................267 4a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................272 Resoluo da 4a Ficha de exerccios facultativos...................................................................273

2

1a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Sistemas de equaes lineares)

1. Quais das seguintes equaes so equaes lineares em x; y e z ?

(a) 3x+p3y + z = 1 (b)

1

2x+ z = 0 (c) x1 + 3y z = 2 (d) x yz = 1

2. Diga qual dos seguintes pontos: (0; 0) ; (1; 1) ; (1;1) ; (1; 1) a soluo do seguinte sistema deequaes lineares nas variveis x; y. 8

(a)

8

Resoluo da 1a Ficha de exerccios

1. As equaes das alneas (a) e (b) so lineares.

2. O ponto (1;1) a soluo desse sistema de equaes lineares.

3. Os pontos: (1;1; 1; 0) ; (1;1; 1; 2) ;3;9; 7;

3p

2

so solues desse sistema de equaes lineares.

4 (a)

Tem-se

8>>>>>:x = 1

4w

y = 54w

z = 34w.

A soluo geral do sistema : X =

2664xyzw

3775 =2666666664

14s

54s

34s

s

3777777775, para qualquer s 2 R, isto , o conjunto soluo

dado por: S =

14s; 54s; 34s; s: s 2 R.

Para s = 4, tem-se a seguinte soluo da equao qumica: x = 1; y = 5; z = 3; w = 4:

(b) Tem-se

8

5. (a)2 3 j 15 7 j 3

!

52L1+L2!L2

2 3 j 10 1

2j 1

2

. Logo,

2x+ 3y = 112y = 1

2

,x = 2y = 1.

A soluo geral do sistema S = f(2;1)g.

(b)2 4 j 103 6 j 15

!

32L1+L2!L2

2 4 j 100 0 j 0

. Logo, 2x+ 4y = 10, x = 5 2y.

A soluo geral do sistema S = f(5 2s; s) : s 2 Rg.

(c)4 2 j 56 3 j 1

!

32L1+L2!L2

4 2 j 50 0 j 17

2

. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel).

S = ?.

(d)

24 2 1 3 j 53 2 2 j 55 3 1 j 16

35 ! 32L1+L2!L2

52L1+L3!L3

24 2 1 3 j 50 7=2 13=2 j 5=20 11=2 13=2 j 7=2

35 ! 11

7L2+L3!L3

! 11

7L2+L3!L3

24 2 1 3 j 50 7=2 13=2 j 5=20 0 26=7 j 52=7

35.

Logo,

8

(g)

24 2 3 j 31 2 j 53 2 j 7

35 !L1$L2

24 1 2 j 52 3 j 33 2 j 7

35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3

24 1 2 j 50 7 j 70 8 j 8

35 ! 87L2+L3!L3

24 1 2 j 50 7 j 70 0 j 0

35.Logo,

x 2y = 57y = 7 ,

x = 3y = 1. A soluo geral do sistema S = f(3;1)g.

(h)

24 1 2 1 3 j 32 4 4 3 j 93 6 1 8 j 10

35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3

24 1 2 1 3 j 30 0 6 3 j 30 0 2 1 j 1

35 ! 13L2+L3!L3

24 1 2 1 3 j 30 0 6 3 j 30 0 0 0 j 0

35.Logo,

x+ 2y z + 3w = 36z 3w = 3 ,

x = 2y 5

2w + 7

2

z = 12w + 1

2.

A soluo geral do sistema S =2s 5

2t+ 7

2; s; 1

2t+ 1

2; t: s; t 2 R.

(i)

24 1 5 4 13 j 33 1 2 5 j 22 2 3 4 j 1

35 !3L1+L2!L22L1+L3!L3

24 1 5 4 13 j 30 16 10 44 j 70 8 5 22 j 5

35 ! 12L2+L3!L3

! 12L2+L3!L3

24 1 5 4 13 j 30 16 10 44 j 70 0 0 0 j 3

2

35.Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.

(j)

26640 0 2 3 j 42 0 6 9 j 72 2 5 2 j 40 100 150 200 j 50

3775 !L1$L3150L4!L4

26642 2 5 2 j 42 0 6 9 j 70 0 2 3 j 40 2 3 4 j 1

3775 !L1+L2!L2!

L1+L2!L2

26642 2 5 2 j 40 2 1 7 j 30 0 2 3 j 40 2 3 4 j 1

3775 !L2+L4!L426642 2 5 2 j 40 2 1 7 j 30 0 2 3 j 40 0 2 3 j 4

3775 !L3+L4!L4!

L3+L4!L4

26642 2 5 2 j 40 2 1 7 j 30 0 2 3 j 40 0 0 0 j 0

3775.

Logo,

8>>>>>>:x1 =

192 9x4

x2 =174x4 52

x3 = 32x4 + 2

7

A soluo geral do sistema dada por S =

192 9s; 17

4s 5

2;3

2s+ 2; s

: s 2 R.

(k)

24 1 2 3 1 j 13 1 2 5 j 23 6 9 3 j 6

35 !3L1+L2!L23L1+L3!L3

24 1 2 3 1 j 10 5 7 8 j 10 0 0 0 j 3

35.Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.

6. (a) Sejam A =

24 1 11 11 1

35 e B =24 111

35.

[A j B] =24 1 1 j 11 1 j 11 1 j 1

35 !L1$L3

24 1 1 j 11 1 j 1 1 1 j 1

35 !L1+L2!L2L1+L3!L3

!L1+L2!L2L1+L3!L3

24 1 1 j 10 1 1 j 00 1 1 2 j 1

35 !L2+L3!L3

24 1 1 j 10 1 1 j 00 0 (1 ) (+ 2) j 1

35.

Se = 1 ento carA = car [A j B] = 1 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se x + y + z = 1. A soluo geral deste sistema ento dada porS = f(1 s t; s; t) : s; t 2 Rg.

Se = 2 ento carA| {z }=2

< car [A j B]| {z }=3

. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.

Se 6= 1 e 6= 2 ento carA = car [A j B] = 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e determinado, tendo-se8

Se 6= 4 ento carA = car [A j B] = 2 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvele indeterminado, tendo-se

x+ 2y + z = 1( 4) y + (8 2) z = 1 ,

8>>>>>:x = 1 2

4 (+ 4) z

y =1

4 + 2z.

A soluo geral deste sistema ento dada por S =1 2

4 (+ 4) s;1

4 + 2s; s: s 2 R

.


< car [A j B]| {z }=2

. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.

(c) Sejam A =

24 1 1 3 4 22 3 1

35 e B =24 21

35. [A j B] =24 1 1 j 23 4 2 j 2 3 1 j 1

35 !3L1+L2!L22L1+L3!L3

!3L1+L2!L22L1+L3!L3

24 1 1 j 20 1 2 3 j 60 1 1 2 j 3

35 !L2+L3!L3

24 1 1 j 20 1 2 3 j 60 0 3 + j 3

35.

Se = 3 ento carA = car [A j B] = 2 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvele indeterminado, tendo-se

x+ y + 3z = 2y 7z = 3 ,

8

!L2+L3!L3

24 1 1 j 20 1 1 j (1 )0 0 (1 ) (+ 2) j (1 + ) (1 2)

35.

Se = 1 ento carA = car [A j B] = 1 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se x + y + z = 1. A soluo geral deste sistema ento dada porS = f(1 s t; s; t) : s; t 2 Rg.


< car [A j B]| {z }=3

. O sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.

Se 6= 1 e 6= 2 ento carA = car [A j B] = 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e determinado, tendo-se8


< car [A j B]| {z }=3

. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel).

S1 = ?:

Se 6= 1 e 6= 1 e 6= 2 ento carA = car [A j B] = 3 = no de incgnitas do sistema. Logo osistema possvel e determinado, tendo-se8

(b) Sejam A =

26640 0 2 1 1 1 32 2 1 11 1 3 14

3775 e B =2664124

3775 : [A j B] =26640 0 2 j 1 1 1 3 j 12 2 1 1 j 21 1 3 14 j 4

3775 !L1$L3!L1$L3

26642 2 1 1 j 21 1 1 3 j 10 0 2 j 1 1 3 14 j 4

3775 !L1$L226641 1 1 3 j 12 2 1 1 j 20 0 2 j 1 1 3 14 j 4

3775 !2L1+L2!L2L1+L4!L4

!2L1+L2!L2L1+L4!L4

26641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 2 j 0 0 2 11 j 3

3775 !2L2+L3!L32L2+L4!L4

26641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 0 10 j 0 0 0 1 j 3

3775 !L1$L2!L1$L2

26641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 0 1 j 30 0 0 10 j

3775 !(10)L3+L4!L426641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 0 1 j 30 0 0 0 j 3 ( 10) +

3775.

Se = 3 ( 10) ento carA = car [A j B] = 3 < 4 = no de incgnitas do sistema.Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se8

8:x = +1

2+1 1 (+1)2

(21) y = z +1

2+1 1

w = +1(21) +

.

A soluo geral do sistema ento dada por

S; =

( + 12+ 1

1 (+ 1)2

(2 1)

; s + 1

2+ 1 1; s; + 1

(2 1) +

!):

Se = 0 e = 1 ento carA = car [A j B] = 2 < 4 = no de incgnitas do sistema.Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se

x y + z + w = 1y + z = 0 ,

x = 1 wy = z.

A soluo geral deste sistema ento dada por S; = f(1 s; t; t; s) : s; t 2 Rg.

Se ( = 0 e 6= 1) ou = 12ento carA| {z }

=2

< car [A j B]| {z }=3

. Logo, o sistema no tem soluo (

impossvel). S; = ?.

8. (a) Sejam A =

24 1 2 33 1 21 5 8

35 e Ba;b;c =24 abc

35 : [A j Ba;b;c] =24 1 2 3 j a3 1 2 j b1 5 8 j c

35 !3L1+L2!L2L1+L3!L3

!3L1+L2!L2L1+L3!L3

24 1 2 3 j a0 7 11 j b 3a0 7 11 j c a

35 !L2+L3!L3

24 1 2 3 j a0 7 11 j b 3a0 0 0 j c b+ 2a

35.Para que haja soluo necessrio que carA = car [A j Ba;b;c], isto , necessrio que

c b+ 2a = 0:

(b) Sejam A =

24 1 2 42 3 13 1 2

35 e Ba;b;c =24 abc

35 : [A j Ba;b;c] =24 1 2 4 j a2 3 1 j b3 1 2 j c

35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3

!2L1+L2!L23L1+L3!L3

24 1 2 4 j a0 7 9 j b 2a0 7 10 j c 3a

35 !L2+L3!L3

24 1 2 4 j a0 7 9 j b 2a0 0 1 j c b a

35.Como carA = car [A j Ba;b;c], este sistema tem soluo para quaisquer valores de a; b; c.

13

9. (a) Sejam x = 1 + t e y = 1 t. Logo

x+ y = 2:

(b) Sejam x = t, y = 1 2t e z = 1. Tem-se ento o seguinte sistema:8>>>:

x = 2 (w + 1) 3z 12

y = w + 1 +z 12

1.

14

Deste modo, obtm-se o sistema de equaes lineares:8>:

p(0) = 10p(1) = 7p(3) = 11p(4) = 14.

O que equivalente a existir soluo para o seguinte sistema de equaes lineares nas variveis a; b; c e d:8>>>:d = 10a+ b+ c+ d = 727a+ 9b+ 3c+ d = 1164a+ 16b+ 4c+ d = 14.

Ou seja: 8>>>:d = 10a+ b+ c = 327a+ 9b+ 3c = 2116a+ 4b+ c = 6.

Atendendo a que: 24 1 1 1 j 327 9 3 j 2116 4 1 j 6

35 !27L1+L2!L216L1+L3!L3

24 1 1 1 j 30 18 24 j 600 12 15 j 42

35 !16L2!L2

15

!16L2!L2

24 1 1 1 j 30 3 4 j 100 12 15 j 42

35 !4L2+L3!L3

24 1 1 1 j 30 3 4 j 100 0 1 j 2

35 ;tem-se 8>>>:

a = 1b = 6c = 2d = 10.

(ii) Para que os pontos P1 = (2; 7); P2 = (4; 5) e P3 = (4;3) pertenam circunferncia de equaox2 + y2 + ax+ by + c = 0; necessrio que8

2a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Matrizes)

1. Efectue, sempre que possvel, as seguintes operaes.

(i) 1

32 3

(ii)0 1

+

10

(iii)

322

1 1 1

32 4

3 p5 12

(iv) 2

1 03 1

2

1

3

0 6

2 3

(v)

13

0 21 1

(vi)

2 p3 4 01

(vii) p

23

4 1

22

(viii)

0@24 214

1

35 2 p2 3 1AT

(ix)

0BBBB@224 13 0 1213121

35T 24 1 0 1213121

35266664

89

131

13

121

531 5

2

3777751CCCCAT

(x)

24 1 12 0 20 1 14

06 2 5 1

35T 24 1 02 4133

35 (xi)24 1 02 4133

35T 24 1 12 0 20 1 14

06 2 5 1

352. Determine as caractersticas e as nulidades das seguintes matrizes reais, identicando os respectivospivots.

(i)

24 0 00 00 0

35 (ii)24 1 2 30 1 11 2 3

35 (iii)24 2 12 41 2

35 (iv)24 1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

35

(v)

24 0 1 1 11 1 1 01 1 2 1

35 (vi)2664

1 2 1 3 21 1 3 2 12 7 1 9 83 3 2 4 6

3775 (vii)26641 3 1 20 11 5 32 5 3 14 1 1 5

3775(viii)

5 1 20 2 0

(ix)

24 3 6 92 4 61 2 3

35 (x)24 2 10 6 8 41 5 3 4 22 10 6 8 4

353. Seja 2 R. Em funo do parmetro , calcule a caracterstica e a nulidade das seguintes matrizes.Em cada alnea, indique ainda (se existirem), justicando, os valores de para os quais essas matrizesso invertveis:

(i)

24 1 0 11 0 1

35 (ii)24 1 2 1 23 2 1

35 (iii)24 2 2 2 1 10 2 1 + 1

35

(iv)

26641 0 1 0 1 0 03 0 0

1 1 1 2

3775 (v)26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2

3775 (vi)26641 1 01 1 01 1 3 01 1 2 1

3775

17

4. Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes.

(i)0 11 0

(ii)

1 00 1

(iii) [1] (iv)

1 23 4

(v)

24 1 2 34 5 67 8 9

35(vi)

24 1 0 20 3 04 0 5

35 (vii)24 1 2 14 0 61 8 1

35 (viii) cos sen sen cos

(ix)

2664k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

3775, com k 6= 0 (x)26640 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0

3775, com k1; k2; k3; k4 6= 0

(xi)

2666666664

513

213

213

813

213

713

613

213

213

613

713

213

813

213

213

513

3777777775(xii)

2666666664

1 1212

12

12

1 0 12

12

0 1 12

12

1212

1

3777777775

5. Seja A; =

26641 0 1 01 2 + 0 1 1 2 + +

3775, com ; 2 R:(a) Determine a caracterstica e a nulidade de A; em funo de e .

(b) Determine os valores dos parmetros e para os quais A; invertvel.

6. Seja A =

26641 0 22 2 44 0 3 8 0 2 2

3775, com 2 R.(a) Determine a caracterstica e a nulidade de A em funo do parmetro e diga, justicando,quais so os valores de para os quais A invertvel.

(b) Para = 1; determine a inversa da matriz A1.

7. Seja Ba;b =

26640 0 a 12 2 0 a0 0 a b3 0 6 0

3775, com a; b 2 R:(a) Determine a caracterstica e a nulidade de Ba;b em funo de a e b.

(b) Para a = 1 e b = 0 calcule a matriz inversa da matriz B1;0, isto , (B1;0)1.

(c) Determine a soluo geral do sistema linear B1;0X = C, C =1 2 3 1 T .

(d) Para b = 1, determine a soluo geral do sistema linear Ba;1X = D, em que D o simtrico da3a coluna de Ba;1.

18


1. (i) 1

32 3

= [2 1] (ii) No possvel.

(iii)

24 32 21 1

3524 13 2 43 p5 1

2

35 =24 112 3 2p5 5

83

2p5 72

35

(iv) 21 03 1

2

1

3

0 6

2 3=

2 22032

(v) No possvel. (vi) No possvel.

(vii) p

23

4 1

22=

24 4p2 12p2 2p212 3

26

35

viii)

0@24 214

1

35 2 p2 3 1AT =

24 4p2 12p2 2p212 3

26

35

(ix)

0BBBB@224 13 0 1213121

35T 24 1 0 1213121

35266664

89

131

13

121

531 5

2

3777751CCCCAT

=

24 0 0 00 0 00 0 0

35

(x)

24 1 12 0 20 1 14

06 2 5 1

35T 24 1 02 4133

35 =2666666664

1 1856

10

7616

73

3

3777777775

(xi)

24 1 02 4133

35T 24 1 12 0 20 1 14

06 2 5 1

35 = 1 56 76 7318 10 16 3

2. (i) Seja A =

24 0 00 00 0

35. carA = 0; nulA = 2. No existem pivots.19

(ii)

24 1 2 30 1 11 2 3

35 !L1+L3!L3

24 1 2 30 1 10 0 0

35.

Assim, sendo A =

24 1 2 30 1 11 2 3

35, tem-se carA = 2 e nulA = 1. Pivots: 1 e 1.

(iii)

24 2 12 41 2

35 !L1$L3

24 1 22 42 1

35 !2L1+L2!L22L1+L3!L3

24 1 20 00 3

35 !L1$L3

24 1 20 30 0

35.

Assim, sendo A =

24 2 12 41 2


(iv)

24 1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

35 !5L1+L2!L29L1+L3!L3

24 1 2 3 40 4 8 120 8 16 24

35 !2L2+L3!L3

24 1 2 3 40 4 8 120 0 0 0

35.

Assim, sendo A =

24 1 2 3 40 4 8 120 0 0 0


(v)

24 0 1 1 11 1 1 01 1 2 1

35 !L1$L2

24 1 1 1 00 1 1 11 1 2 1

35 !L1+L3!L3

!L1+L3!L3

24 1 1 1 00 1 1 10 2 1 1

35 !2L2+L3!L3

24 1 1 1 00 1 1 10 0 3 3

35.

Assim, sendo A =

24 1 1 1 00 1 1 10 0 3 3

35, tem-se carA = 3 e nulA = 1. Pivots: 1; 1 e 3.

(vi)

26641 2 1 3 21 1 3 2 12 7 1 9 83 3 2 4 6

3775 !L1+L2!L22L1+L3!L33L1+L4!L4

26641 2 1 3 20 3 2 1 10 3 1 3 40 3 1 5 12

3775 !L2+L3!L3L2+L4!L4

20

!L2+L3!L3L2+L4!L4

26641 2 1 3 20 3 2 1 10 0 1 2 30 0 3 4 11

3775 !3L3+L4!L426641 2 1 3 20 3 2 1 10 0 1 2 30 0 0 2 2

3775.

Assim, sendo A =

26641 2 1 3 21 1 3 2 12 7 1 9 83 3 2 4 6

3775, tem-se carA = 4 e nulA = 1. Pivots: 1; 3;1 e 2.

(vii)

26641 3 1 20 11 5 32 5 3 14 1 1 5

3775 !2L1+L3!L34L1+L4!L4

26641 3 1 20 11 5 30 11 5 30 11 5 3

3775 !L2+L3!L3L2+L4!L4

26641 3 1 20 11 5 30 0 0 00 0 0 0

3775.

Assim, sendo A =

26641 3 1 20 11 5 32 5 3 14 1 1 5


(viii) Sendo A =5 1 20 2 0

, tem-se carA = 2 e nulA = 1. Pivots: 5 e 2.

(ix)

24 3 6 92 4 61 2 3

35 !L1$L3

24 1 2 32 4 63 6 9

35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3

24 1 2 30 0 00 0 0

35.Assim, sendo A =

24 3 6 92 4 61 2 3

35, tem-se carA = 1 e nulA = 2. Pivot: 1.

(x)

24 2 10 6 8 41 5 3 4 22 10 6 8 4

35 !12L1+L2!L2L1+L3!L3

24 2 10 6 8 40 0 0 0 00 0 0 0 0

35.

Assim, sendo A =

24 2 10 6 8 41 5 3 4 22 10 6 8 4

35, tem-se carA = 1 e nulA = 4. Pivot: 2.

3. (i)

24 1 0 11 0 1

35 !L1+L2!L2

24 1 0 10 + 10 1

35 !L2+L3!L3

24 1 0 10 + 10 0

35.21

Seja A =

24 1 0 11 0 1

35. Se 6= 0 ento carA = 3 e nulA = 0.Se = 0 ento carA = 2 e nulA = 1.

Assim, A invertvel se e s se 6= 0, uma vez que s neste caso que carA = no de colunas de A.

(ii)

24 1 2 1 23 2 1

35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3

24 1 0 1 + 2 2 + 20 2 4 1 3

35 !2L2+L3!L3

24 1 0 1 + 2 2 (1 + )0 0 3 +

35.Seja A =

24 1 2 1 23 2 1

35. Se 6= 3 e 6= 12ento carA = 3 e nulA = 0.

Se = 3 ou = 12ento carA = 2 e nulA = 1.

Assim, A invertvel se e s se 6= 3 e 6= 12, uma vez que s neste caso que carA = no de

colunas de A.

(iii)

24 2 2 2 1 10 2 1 + 1

35 !L1+L2!L2

24 2 2 0 1 2 1 + 0 2 1 + 1

35 !L2+L3!L3

24 2 2 0 (1 ) (1 + ) 1 + 0 0 2 (+ 1)

35.Seja A =

24 2 2 2 1 10 2 1 + 1

35. Se = 1 ento carA = 1 e nulA = 2.Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 1.

Se 6= 1 e 6= 1 ento carA = 3 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 1 e 6= 1, uma vez que s neste caso que carA = no de

colunas de A.

(iv)

26641 0 1 0 1 0 03 0 01 1 1 2

3775 !3L1+L3!L3L1+L4!L4

26641 0 1 0 1 0 00 0 + 3 30 1 0 2

3775 !L2+L4!L426641 0 1 0 1 0 00 0 + 3 30 0 0 2

3775.

Seja A =

26641 0 1 0 1 0 03 0 01 1 1 2

3775. Se = 2 ou = 3 ento carA = 3 e nulA = 1.22

Se 6= 2 e 6= 3 ento carA = 4 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 2 e 6= 3, uma vez que s neste caso que carA = no de

colunas de A.

(v)

26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2

3775 !L1+L3!L32L1+L4!L4

26641 0 1 0 1 1 00 0 (1 ) (1 + ) 10 0 0 2 ( 1)

3775.

Seja A =

26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2

3775. Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 2.Se = 1 ento carA = 3 e nulA = 1.Se 6= 1 e 6= 1 ento carA = 4 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 1 e 6= 1, uma vez que s neste caso que carA = no de

colunas de A.

(vi)

26641 1 01 1 01 1 3 01 1 2 1

3775 !L1+L2!L2L1+L3!L3L1+L4!L4

26641 1 00 + 1 1 00 0 ( 1) (+ 1) 00 0 0 ( 1) (+ 1)

3775.

Seja A =

26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2

3775. Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 2.Se = 0 ento carA = 3 e nulA = 1.

Se = 1 ento carA = 1 e nulA = 3.Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 2.

Se 6= 0 e 6= 1 e 6= 1 ento carA = 4 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 1 e 6= 1, uma vez que s neste caso que carA = no de

colunas de A.

4. (i)0 1 j 1 01 0 j 0 1

!L1$L2

1 0 j 0 10 1 j 1 0

. Logo

0 11 0

1=

0 11 0

23

(ii)1 00 1

1=

1 00 1

(iii) [1]1 = [1]

(iv)1 2 j 1 03 4 j 0 1

!

3L1+L2!L2

1 2 j 1 00 2 j 3 1

!

L2+L1!L1

!L2+L1!L1

1 0 j 2 10 2 j 3 1

!

12L2!L2

1 0 j 2 10 1 j 3

212

.

Logo1 23 4

1=

2 132

12

.

(v)

24 1 2 3 j 1 0 04 5 6 j 0 1 07 8 9 j 0 0 1

35 !4L1+L2!L27L1+L3!L3

24 1 2 3 j 1 0 00 3 6 j 4 1 00 6 12 j 7 0 1

35 !2L2+L3!L3

!2L2+L3!L3

24 1 2 3 j 1 0 00 3 6 j 4 1 00 0 0 j 1 2 1

35.

Logo,

24 1 2 34 5 67 8 9

35 singular e como tal no invertvel.

(vi)

24 1 0 2 j 1 0 00 3 0 j 0 1 04 0 5 j 0 0 1

35 !4L1+L3!L3

24 1 0 2 j 1 0 00 3 0 j 0 1 00 0 3 j 4 0 1

35 !23L3+L1!L1

!23L3+L1!L1

24 1 0 0 j 53 0 230 3 0 j 0 1 00 0 3 j 4 0 1

35 !13L2!L2

13L3!L3

24 1 0 0 j 53 0 230 1 0 j 0 13

00 0 1 j 4

30 1

3

35.

Logo

24 1 0 20 3 04 0 5

351 =24 53 0 230 1

30

43

0 13

35.

(vii)

24 1 2 1 j 1 0 04 0 6 j 0 1 01 8 1 j 0 0 1

35 !4L1+L2!L2L1+L3!L3

24 1 2 1 j 1 0 00 8 2 j 4 1 00 6 0 j 1 0 1

35 !34L2+L3!L3

24

!34L2+L3!L3

24 1 2 1 j 1 0 00 8 2 j 4 1 00 0 3

2j 4 3

41

35 !23L3!L3

24 1 2 1 j 1 0 00 8 2 j 4 1 00 0 1 j 8

312

23

35 !2L3+L2!L2L3+L1!L1

!2L3+L2!L2L3+L1!L1

2666641 2 0 j 11

31223j

0 8 0 j 43

0 43j

0 0 1 j 83

12

23

377775 ! 18L2!L22666641 2 0 j 11

31223j

0 1 0 j 16

0 16j

0 0 1 j 83

12

23

377775 !2L2+L1!L1

!2L2+L1!L1

2666641 0 0 j 4 1

21

j0 1 0 j 1

60 1

6j0 0 1 j 8

312

23

377775.

Logo

24 1 2 14 0 61 8 1

351 =266664

4 121

16

0 16

83

12

23

377775.

(viii) Para 6= k2; (k 2 Z)

cos sen j 1 0sen cos j 0 1

!

(cos)L1!L1(sen)L2!L2

cos2 cos sen j cos 0sen2 sen cos j 0 sen

!

L2+L1!L1

!L2+L1!L1

1 0 j cos sen

sen2 sen cos j 0 sen

!( sen2 )L1+L2!L2

!( sen2 )L1+L2!L2

1 0 j cos sen0 sen cos j sen2 cos sen (1 sen2 )

!

1sen cos

L2!L2

!1

sen cosL2!L2

1 0 j cos sen0 1 j sen cos

. Note que sen cos 6= 0 para todo o 6= k

2; (k 2 Z).

Logocos sensen cos

1=

cos sen sen cos

, para todo o 6= k

2; (k 2 Z)

Se =

2+ 2k; (k 2 Z) ;cos sensen cos

1=

0 11 0

1=

0 11 0

=

cos sen sen cos

.

25

Se = 2k; (k 2 Z),cos sensen cos

1=

1 00 1

1=

1 00 1

=

cos sen sen cos

.

Se = + 2k; (k 2 Z) ;cos sensen cos

1=

1 00 1

1=

1 00 1

=

cos sen sen cos

.

Se =3

2+ 2k; (k 2 Z),cos sensen cos

1=

0 11 0

1=

0 11 0

=

cos sen sen cos

.

Logo, para todo o 2 R cos sensen cos

1=

cos sen sen cos

.

(ix) Seja k 6= 0.

2664k 0 0 0 j 1 0 0 01 k 0 0 j 0 1 0 00 1 k 0 j 0 0 1 00 0 1 k j 0 0 0 1

3775 ! 1kL1+L2!L21kL3!L3

1kL4!L4

2664k 0 0 0 j 1 0 0 00 k 0 0 j 1

k1 0 0

0 1k1 0 j 0 0 1

k0

0 0 1k1 j 0 0 0 1

k

3775 ! 1k2L2+L3!L31kL1!L1

! 1k2L2+L3!L31kL1!L1

26641 0 0 0 j 1

k0 0 0

0 k 0 0 j 1k

1 0 00 0 1 0 j 1

k3 1k2

1k0

0 0 1k1 j 0 0 0 1

k

3775 ! 1kL3+L4!L41kL2!L2

26641 0 0 0 j 1

k0 0 0

0 1 0 0 j 1k2

1k

0 00 0 1 0 j 1

k3 1k2

1k

00 0 0 1 j 1

k41k3

1k2

1k

3775.

Logo

2664k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

37751

=

26641k

0 0 0 1k2

1k

0 01k3

1k2

1k

0 1k4

1k3

1k2

1k

3775.

(x) Sejam k1; k2; k3; k4 6= 0.

26

26640 0 0 k1 j 1 0 0 00 0 k2 0 j 0 1 0 00 k3 0 0 j 0 0 1 0k4 0 0 0 j 0 0 0 1

3775 !L1$L4L2$L3

2664k4 0 0 0 j 0 0 0 10 k3 0 0 j 0 0 1 00 0 k2 0 j 0 1 0 00 0 0 k1 j 1 0 0 0

3775 !1k4L1!L1

1k3L2!L2

1k2L3!L3

1k1L4!L4

!1k4L1!L1

1k3L2!L2

1k2L3!L3

1k1L4!L4

26641 0 0 0 j 0 0 0 1

k4

0 1 0 0 j 0 0 1k3

0

0 0 1 0 j 0 1k2

0 0

0 0 0 1 j 1k11 0 0 0

3775.

Logo

26640 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0

37751

=

26640 0 0 1

k4

0 0 1k3

0

0 1k2

0 01k11 0 0 0

3775.

(xi)

2666666664

513

213

213

813

213

713

613

213

213

613

713

213

813

213

213

513

3777777775= 1

13

2666666664

5 2 2 8

2 7 6 2

2 6 7 2

8 2 2 5

3777777775:

2666666664

5 2 2 8 j 1 0 0 0j

2 7 6 2 j 0 1 0 0j

2 6 7 2 j 0 0 1 0j

8 2 2 5 j 0 0 0 1

3777777775!L1$L3

2666666664

2 6 7 2 j 0 0 1 0j

2 7 6 2 j 0 1 0 0j

5 2 2 8 j 1 0 0 0j

8 2 2 5 j 0 0 0 1

3777777775!

L1+L2!L2 52L1+L3!L3

4L1+L4!L4

!L1+L2!L2 52L1+L3!L3

4L1+L4!L4

2666666664

2 6 7 2 j 0 0 1 0j

0 13 13 0 j 0 1 1 0j

0 13 392

13 j 1 0 520

j0 26 26 13 j 0 0 4 1

3777777775!

L2+L3!L32L2+L4!L4

27

!L2+L3!L32L2+L4!L4

2666666664

2 6 7 2 j 0 0 1 0j

0 13 13 0 j 0 1 1 0j

0 0 132

13 j 1 1 320

j0 0 0 13 j 0 2 2 1

3777777775!

12L1!L1

113L2!L2

213L3!L3

113L4!L4

!12L1!L1

113L2!L2

213L3!L3

113L4!L4

2666666664

1 3 72

1 j 0 0 12

0j

0 1 1 0 j 0 113

113

0j

0 0 1 2 j 213

213

313

0j

0 0 0 1 j 0 213

213

113

3777777775!

L4+L1!L12L4+L3!L3

!L4+L1!L12L4+L3!L3

2666666664

1 3 720 j 0 2

13926

113j

0 1 1 0 j 0 113

113

0j

0 0 1 0 j 213

213

113

213j

0 0 0 1 j 0 213

213

113

3777777775!

L3+L2!L272L3+L1!L1

!L3+L2!L272L3+L1!L1

2666666664

1 3 0 0 j 713

513

813

613j

0 1 0 0 j 213

113

213

213j

0 0 1 0 j 213

213

113

213j

0 0 0 1 j 0 213

213

113

3777777775!

3L2+L1!L1

2666666664

1 0 0 0 j 113

213

213

0j

0 1 0 0 j 213

113

213

213j

0 0 1 0 j 213

213

113

213j

0 0 0 1 j 0 213

213

113

3777777775.

Logo

2666666664

513

213

213

813

213

713

613

213

213

613

713

213

813

213

213

513

3777777775

1

=

0BBBBBBBB@113

2666666664

5 2 2 8

2 7 6 2

2 6 7 2

8 2 2 5

3777777775

1CCCCCCCCA

1

=

= 13

2666666664

113

213

213

0

213

113

213

213

213

213

113

213

0 213

213

113

3777777775=

2666666664

1 2 2 0

2 1 2 2

2 2 1 2

0 2 2 1

3777777775.

28

(xii)

2666666664

1 1212

12

12

1 0 12

12

0 1 12

12

1212

1

3777777775= 1

2

2666666664

2 1 1 1

1 2 0 1

1 0 2 1

1 1 1 2

3777777775.

2666666664

2 1 1 1 j 1 0 0 0j

1 2 0 1 j 0 1 0 0j

1 0 2 1 j 0 0 1 0j

1 1 1 2 j 0 0 0 1

3777777775!L1$L4

2666666664

1 1 1 2 j 0 0 0 1j

1 2 0 1 j 0 1 0 0j

1 0 2 1 j 0 0 1 0j

2 1 1 1 j 1 0 0 0

3777777775!

L1+L2!L2L1+L3!L32L1+L4!L4

!L1+L2!L2L1+L3!L32L1+L4!L4

2666666664

1 1 1 2 j 0 0 0 1j

0 1 1 1 j 0 1 0 1j

0 1 1 1 j 0 0 1 1j

0 1 1 3 j 1 0 0 2

3777777775!

L2+L3!L3L2+L4!L4

2666666664

1 1 1 2 j 0 0 0 1j

0 1 1 1 j 0 1 0 1j

0 0 0 2 j 0 1 1 2j

0 0 2 4 j 1 1 0 3

3777777775!L3$L4

!L3$L4

2666666664

1 1 1 2 j 0 0 0 1j

0 1 1 1 j 0 1 0 1j

0 0 2 4 j 1 1 0 3j

0 0 0 2 j 0 1 1 2

3777777775!

2L4+L3!L3 12L4+L2!L2

L4+L1!L1

2666666664

1 1 1 0 j 0 1 1 1j

0 1 1 0 j 0 12

12

0j

0 0 2 0 j 1 1 2 1j

0 0 0 2 j 0 1 1 2

3777777775!

12L3!L3

12L4!L4

!12L3!L3

12L4!L4

2666666664

1 1 1 0 j 0 1 1 1j

0 1 1 0 j 0 12

12

0j

0 0 1 0 j 12

12

1 12j

0 0 0 1 j 0 12

12

1

3777777775!

L3+L2!L2L3+L1!L1

2666666664

1 1 0 0 j 12120 1

2j0 1 0 0 j 1

21 1

212j

0 0 1 0 j 12

12

1 12j

0 0 0 1 j 0 12

12

1

3777777775!

L2+L1!L1

!L2+L1!L1

2666666664

1 0 0 0 j 1 12

120

j0 1 0 0 j 1

21 1

212j

0 0 1 0 j 12

121 1

2j0 0 0 1 j 0 1

2121

3777777775.

29

Logo

2666666664

1 1212

12

12

1 0 12

12

0 1 12

12

1212

1

3777777775

1

=

0BBBBBBBB@12

2666666664

2 1 1 1

1 2 0 1

1 0 2 1

1 1 1 2

3777777775

1CCCCCCCCA

1

= 2

2666666664

1 12

120

121 1

212

12

121 1

2

0 12

121

3777777775=

2666666664

2 1 1 0

1 2 1 1

1 1 2 1

0 1 1 2

3777777775.

5. A; =

26641 0 1 01 2 + 0 1 1 2 + +

3775 !L2$L326641 0 1 00 1 1 2 + 1 2 + +

3775 !L1+L3!L3L1+L4!L4

!L1+L3!L3L1+L4!L4

26641 0 1 00 1 0 2 + + 1 0 2 + + 1 +

3775 !L2+L3!L3L2+L4!L4

26641 0 1 00 1 0 0 + 1 00 0 + 1

3775 !L3+L4!L4

!L3+L4!L4

26641 0 1 00 1 0 0 + 1 00 0 0

3775.Se = 1 e = 0 ento carA = 2 e nulA = 2.

Se ( = 1 e 6= 0) ou ( 6= 1 e = 0) ento carA = 3 e nulA = 1.

Se 6= 1 e 6= 0 ento carA = 4 e nulA = 0.

Assim, A; invertvel se e s se 6= 1 e 6= 0, uma vez que s neste caso que carA; = no decolunas de A;.

6. (a) Tem-se

A =

26641 0 22 2 44 0 3 8 0 2 2

3775 !2L1+L2!L24L1+L3!L3L1+L4!L4

26641 0 20 ( 2) 00 0 (2 ) (2 + ) 00 0 0 ( 2)

3775 :Logo, como carA + nulA = 4,se = 0 ento carA = 1 e nulA = 3;se = 2 ento carA = 2 e nulA = 2;se = 2 ento carA = 3 e nulA = 1;se 6= 0 e 6= 2 e 6= 2 ento carA = 4 e nulA = 0.

30

Assim, A invertvel se e s se 2 Rn f2; 0; 2g, uma vez que s nestes casos que carA = no decolunas de A.

(b)A1 j I

=

=

26641 0 1 2 j 1 0 0 02 1 1 4 j 0 1 0 04 0 1 8 j 0 0 1 01 0 1 1 j 0 0 0 1

3775 !2L1+L2!L24L1+L3!L3L1+L4!L4

26641 0 1 2 j 1 0 0 00 1 1 0 j 2 1 0 00 0 3 0 j 4 0 1 00 0 0 1 j 1 0 0 1

3775 !2L4+L1!L1 13L3+L1!L1

13L3+L2!L2

!2L4+L1!L1 13L3+L1!L1

13L3+L2!L2

26641 0 0 0 j 7

30 1

32

0 1 0 0 j 231 1

30

0 0 3 0 j 4 0 1 00 0 0 1 j 1 0 0 1

3775 !L4!L413L3!L3

26641 0 0 0 j 7

30 1

32

0 1 0 0 j 231 1

30

0 0 1 0 j 43

0 13

00 0 0 1 j 1 0 0 1

3775Logo

(A1)1 =

2664730 1

32

231 1

30

43

0 13

01 0 0 1

3775 :

7. (a) Ba;b =

26640 0 a 12 2 0 a0 0 a b3 0 6 0

3775 !L1$L226642 2 0 a0 0 a 10 0 a b3 0 6 0

3775 !L2$L4

!L2$L4

26642 2 0 a3 0 6 00 0 a b0 0 a 1

3775 ! 32L1+L2!L2

L3+L4!L4

26642 2 0 a0 3 6 3

2a

0 0 a b0 0 0 1 b

3775.Se a = 0 ou ( a 6= 0 e b = 1) ento carBa;b = 3 e nulBa;b = 1.Se a 6= 0 e b 6= 1 ento carBa;b = 4 e nulBa;b = 0.

(b) [B1;0 j I] =

26640 0 1 1 j 1 0 0 02 2 0 1 j 0 1 0 00 0 1 0 j 0 0 1 03 0 6 0 j 0 0 0 1

3775 !L1$L426643 0 6 0 j 0 0 0 12 2 0 1 j 0 1 0 00 0 1 0 j 0 0 1 00 0 1 1 j 1 0 0 0

3775 ! 23L1+L2!L2

L3+L4!L4

! 23L1+L2!L2

L3+L4!L4

26643 0 6 0 j 0 0 0 10 2 4 1 j 0 1 0 2

3

0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0

3775 !L4+L2!L26L3+L1!L1

26643 0 0 0 j 0 0 6 10 2 4 0 j 1 1 1 2

3

0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0

3775 !12L2!L2

13L1!L1

31

!12L2!L2

13L1!L1

26641 0 0 0 j 0 0 2 1

3

0 1 2 0 j 12

12

12

13

0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0

3775 !2L3+L2!L226641 0 0 0 j 0 0 2 1

3

0 1 0 0 j 12

12

52

13

0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0

3775.

Logo (B1;0)1 =

26640 0 2 1

312

12

52

13

0 0 1 01 0 1 0

3775.

(c) Como B1;0 invertvel,

B1;0X = C , X = (B1;0)1C , X =

26640 0 2 1

312

12

52

13

0 0 1 01 0 1 0

377526641231

3775 =2666666664

193

193

3

2

3777777775:

(d) Seja X = (x1; x2; x3; x4).

Ba;1X = D ,

26640 0 a 12 2 0 a0 0 a 13 0 6 0

37752664x1x2x3x4

3775 =2664a0a6

3775 .A soluo geral de Ba;1X = D dada por:

(Soluo particular de Ba;1X = D) + (Soluo geral de Ba;1X = 0).

O vector (0; 0;1; 0) uma soluo particular de Ba;1X = D. Determinemos a soluo geral deBa;1X = 0.

Tem-se

26640 0 a 12 2 0 a0 0 a 13 0 6 0

3775 !L1+L3!L3 32L2+L4!L4

26640 0 a 12 2 0 a0 0 0 00 3 6 3

2a

3775 !L1$L2L3$L4

!L1$L2L3$L4

26642 2 0 a0 0 a 10 3 6 3

2a

0 0 0 0

3775 !L2$L326642 2 0 a0 3 6 3

2a

0 0 a 10 0 0 0

3775.

Logo,

8>>:x = 2x3x2 =

2 +

a2

2

x3

x4 = ax3

32

Assim, a soluo geral de Ba;1X = 0 dada por:(2s;

2 +

a2

2

s; s;as) : s 2 R

Logo, a soluo geral do sistema linear Ba;1X = D dada por:

f(0; 0;1; 0)g+2s;

2 +

a2

2

s; s;as

: s 2 R

=

2s;

2 +

a2

2

s; s 1;as

: s 2 R

.

Resoluo Alternativa.

[Ba;1 j D] =

26640 0 a 1 j a2 2 0 a j 00 0 a 1 j a3 0 6 0 j 6

3775 !L1+L3!L3 32L2+L4!L4

26640 0 a 1 j a2 2 0 a j 00 0 0 0 j 00 3 6 3

2a j 6

3775 !L1$L2L3$L4

!L1$L2L3$L4

26642 2 0 a j 00 0 a 1 j a0 3 6 3

2a j 6

0 0 0 0 j 0

3775 !L2$L326642 2 0 a j 00 3 6 3

2a j 6

0 0 a 1 j a0 0 0 0 j 0

3775.

Tem-se ento

8>:2x+ 2y + aw = 0

3y + 6z 32aw = 6

az + w = a,

8>:x = 2z 2y =

a2

2+ 2(z + 1)

w = a az

Logo, a soluo geral do sistema linear Ba;1X = D dada por:2s 2;

a2

2+ 2

(s+ 1) ; s;a as

: s 2 R

=

2s;

2 +

a2

2

s; s 1;as

: s 2 R

:

33

3a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Determinante)

1. Classique quanto paridade as seguintes permutaes de nmeros de 1 a 6:

(i) (312645) (ii) (234516) (iii) (654321) (iv) (123456)

(v) (546321) (vi) (453261) (vii) (634125) (viii) (123465)

2. Na expresso do determinante de uma matriz do tipo 6 6 diga qual o sinal que afecta cada umadas seguintes parcelas:

(i) a23a31a42a56a14a65 (ii) a16a25a34a43a52a61(iii) a54a45a63a32a26a11 (iv) a16a23a34a41a62a55

3. Verique que

(i)

0 0 a130 a22 a23a31 a32 a33

= a13a22a31 (ii)0 0 0 a140 0 a23 a240 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

= a14a23a32a414. Calcule os seguintes determinantes e diga quais so as matrizes singulares:

(i) 1 23 4

(ii) 18563 1857321472 21482 (iii) 1 +p2 2p32 +p3 1p2

(iv)

cos sen sen cos (v)

2 0 15 3 05 1 2

(vi)2 3 25 1 32 1 1

(vii)

2 1 15 1 32 3 2

(viii)8 12 85 1 32 1 1

(ix)1 2 34 5 67 8 9

(x)0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0

(xi)

2 2 8 60 1 2 00 0 3 230 0 0 5

(xii)1 3 1 11 2 1 12 1 1 12 0 2 0

(xiii)0 0 0 50 0 3 230 1 2 02 2 8 6

(xiv)

12 22 32 42

22 32 42 52

32 42 52 62

42 52 62 72

(xv)0 4 0 0 00 0 0 2 00 0 0 0 10 0 3 0 05 0 0 0 0

(xvi)

a 0 0 0 bb a 0 0 00 b a 0 00 0 b a 00 0 0 b a

5. Que condies devem os parmetros reais a; b e c vericar para que a matriz24 1 a a21 b b2

1 c c2

35seja invertvel?

34

6. Verique que a matriz 2666640 a 0 0 0e 0 b 0 00 f 0 c 00 0 g 0 d0 0 0 h 0

377775no invertvel para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.

7. Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz AI singular, onde A dada por:

(i)0 32 1

(ii)

24 1 0 20 1 22 2 0

358. Use a frmula de inverso de matrizes para inverter:

(i)1 23 4

(ii)

24 1 1 10 1 10 0 1

35 (iii)24 1 0 41 1 30 6 0

359. Sejam

A =

26643 2 0 21 0 0 30 9 2 03 1 0 2

3775 B =26641 0 0 24 0 1 00 1 0 30 1 2 2

3775 .Sem calcular A1 e B1, determine a entrada (2; 2) de A1 e a entrada (2; 3) de B1.

10. Use a regra de Cramer para calcular as solues dos sistemas:

(i)2x+ 3y = 15x+ 7y = 3

(ii)

8

(i)

d e fg h ia b c

(ii)a b c2d 2e 2fg h i

(iii)a+ d b+ e c+ fd e fg h i

(iv)

a b c

d 3a e 3b f 3c2g 2h 2i

(v)a g db h ec i f

13. Sejam a; b; c 2 R. Sabendo que

a b c2 1 01 2 1

= 1; calcule:(i)

a b c6 3 0121 1

2

(ii)

a b c2a+ 2 2b+ 1 2ca+ 1 b+ 2 c+ 1

(iii)a 1 b 2 c 13 3 11 2 1

(iv)

1 1 12 1 0

3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1

14. Sejam ; 2 R. Sabendo que

1 2 1 11 + 2

= 1; calcule1 2 + 2 2

.15. Seja 2 R. Verique que

1 1 1 1 1 + 1 2 2 2 2 + 1 + 2 3 3 3 + 1 + 2 + 3 4 4 + 1 + 2 + 3 + 4 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

= 6.

16. Seja 2 R. Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n.2666666664

: : : 1 + 1 1 : : : 1... 1 + 1

. . .... 1

. . . 1...

.... . . + 1 1

1 1 1 : : : 1 + 1

377777777517. Verique que

1 1 1x1 y1 y1x2 x2 y2

= (y1 x1) (y2 x2) .18. Mostre que:

(i)

a1 b1 a1 + b1 + c1a2 b2 a2 + b2 + c2a3 b3 a3 + b3 + c3

=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

(ii)b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1

= 036

(iii)

a1 + b1 a1 b1 c1a2 + b2 a2 b2 c2a3 + b3 a3 b3 c3

= 2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

19. Verique que a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2

= a1 c1a2 c2+ a1 c1b2 d2

+ b1 d1a2 c2+ b1 d1b2 d2

:20. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x = 0 e x = 2 se tem

x2 x 22 1 10 0 5

= 0.21. Sem calcular o determinante, diga qual o coeciente de x3 na expresso

2x x 1 21 x 1 13 2 x 19 8 7 x

.22. Resolva as seguintes equaes.

(i)

1 x 10 1 11 0 2

= 0 (ii)x x x xx 4 x xx x 4 xx x x 4

= 0 (iii)x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x

= 0

23. Sabendo que 533; 715 e 871 so mltiplos de 13, justique que

5 3 37 1 58 7 1

tambm mltiplo de 13,sem calcular o determinante.

24. Sem calcular o determinante, verique que

2 1 81 0 103 7 4

mltiplo de 5.25. Seja A = (aij)nn com n mpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n: Mostre que A no

invertvel.

37


1.(i) (312645) par pois tem 4 inverses. (ii) (234516) par pois tem 4 inverses.(iii) (654321) mpar pois tem 15 inverses. (iv) (123456) par pois tem 0 inverses.(v) (546321) mpar pois tem 13 inverses. (vi) (453261) par pois tem 10 inverses.(vii) (634125) mpar pois tem 9 inverses. (viii) (123465) mpar pois tem 1 inverso.

2. (i) (234516) par pois tem 4 inverses e (312645) par pois tem 4 inverses. Logo, tem-se

+a23a31a42a56a14a65

uma vez que (234516) e (312645) tm a mesma paridade.

(ii) (123456) par pois tem 0 inverses e (654321) mpar pois tem 15 inverses. Logo, tem-se

a16a25a34a43a52a61uma vez que (123456) e (654321) tm paridades diferentes.

(iii) (546321) mpar pois tem 13 inverses e (453261) par pois tem 10 inverses. Logo, tem-se

a54a45a63a32a26a11uma vez que (546321) e (453261) tm paridades diferentes.

(iv) (123465) mpar pois tem 1 inverso e (634125) mpar pois tem 9 inverses. Logo, tem-se

+a16a23a34a41a62a55

uma vez que (123465) e (634125) tm a mesma paridade.

3. (i) (123) par pois tem 0 inverses e (321) mpar pois tem 3 inverses. Atendendo denio dedeterminante, tem-se

0 0 a130 a22 a23a31 a32 a33

= a13a22a31uma vez que (123) e (321) tm paridades diferentes.

(ii) (1234) par pois tem 0 inverses e (4321) par pois tem 6 inverses. Atendendo denio dedeterminante, tem-se

0 0 0 a140 0 a23 a240 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

= a14a23a32a41uma vez que (1234) e (4321) tm a mesma paridade.

4. (i) 1 23 4

= 4 6 = 2 6= 0, logo a matriz no singular.38

(ii) 18563 1857321472 21482

= 18563 1021472 10 = 18563 102909 0

= 29090 6= 0, logo a matriz no singular.(iii)

1 +p2 2p32 +p3 1p2 = 1 2 (4 3) = 2 6= 0, logo a matriz no singular.

(iv) cos sen sen cos

= cos2 ( sen2 ) = 1 6= 0, logo a matriz no singular.(v)

2 0 15 3 05 1 2

= 12 + 5 (15) = 8 6= 0, logo a matriz no singular.

(vi)

2 3 25 1 32 1 1

= 2 + 18 + 10 4 15 (6) = 13 6= 0, logo a matriz no singular.

(vii)

2 1 15 1 32 3 2

= 2 3 25 1 32 1 1

=por (vi) 13 6= 0, logo a matriz no singular.

(viii)

8 12 85 1 32 1 1

= 42 3 25 1 32 1 1

=por (vi) 52 6= 0, logo a matriz no singular.

(ix)

1 2 34 5 67 8 9

=1 2 32 1 04 2 0

=1 2 32 1 00 0 0

= 0, logo a matriz singular.

(x)

0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0

=0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= 1 6= 0, logo a matriz no singular.

(xi)

2 2 8 60 1 2 00 0 3 230 0 0 5

= 30 6= 0, logo a matriz no singular.(xii)

1 3 1 11 2 1 12 1 1 12 0 2 0

=1 3 1 10 1 2 22 1 1 12 0 2 0

= 2(1)4+1

3 1 11 2 21 1 1

+ (2)(1)4+31 3 10 1 22 1 1

== 2 [6 + 1 + (2) (1) (2) 6] + 2 [1 + 12 2 2] = 20 + 18 = 38 6= 0,

logo a matriz no singular.

39

(xiii)

0 0 0 50 0 3 230 1 2 02 2 8 6

=2 2 8 60 1 2 00 0 3 230 0 0 5

=por (xi) 30 6= 0, logo a matriz no singular.

(xiv)

12 22 32 42

22 32 42 52

32 42 52 62

42 52 62 72

=12 22 32 42

3 5 7 95 7 9 117 9 11 13

=12 22 32 42

3 5 7 92 2 2 22 2 2 2

=12 22 32 42

3 5 7 92 2 2 20 0 0 0

== 0, logo a matriz singular.

(xv)

0 4 0 0 00 0 0 2 00 0 0 0 10 0 3 0 05 0 0 0 0

= 5(1)5+1

4 0 0 00 0 2 00 0 0 10 3 0 0

= 5244(1)1+1

0 2 00 0 13 0 0

35 =

= 120 6= 0, logo a matriz no singular.

(xvi)

a 0 0 0 bb a 0 0 00 b a 0 00 0 b a 00 0 0 b a

= a5 + b5 6= 0 se e s se a 6= b, logo a matriz no singular se e s se

a 6= b.

5. Seja

A =

24 1 a a21 b b21 c c2

35 ,com a; b; c 2 R. A matriz A invertvel se e s se detA 6= 0. Tem-se

detA =

1 a a2

1 b b2

1 c c2

=1 a a2

0 b a b2 a20 c a c2 a2

= 0se a = b ou a = c. Se a 6= b e a 6= c ento

detA =

1 a a2

1 b b2

1 c c2

=1 a a2

0 b a b2 a20 c a c2 a2

=1 a a2

0 b a b2 a20 0 c2 a2 (c a)(b+ a)

=

=

1 a a2

0 b a b2 a20 0 (c a) [(c+ a) (b+ a)]

=1 a a2

0 b a b2 a20 0 (c a) (c b)

= 0se b = c. Logo, a matriz A invertvel se e s se a 6= b; a 6= c e b 6= c.

40

6. Seja

A =

2666640 a 0 0 0e 0 b 0 00 f 0 c 00 0 g 0 d0 0 0 h 0

377775 ,com a; b; c; d; e; f; g; h 2 R. Se a = 0 ou h = 0 ento detA = 0, isto , A no invertvel. Se a 6= 0 e

h 6= 0 ento

detA =

0 a 0 0 0e 0 b 0 00 f 0 c 00 0 g 0 d0 0 0 h 0

=

0 a 0 0 0e 0 b 0 00 0 0 0 00 0 g 0 d0 0 0 h 0

= 0,

isto , A no invertvel. Logo, A no invertvel para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.

7. Determinemos todos os valores do escalar para os quais a matriz A I singular, isto , todosos valores prprios de A.

(i) det (A I) = 32 1

= (1 + ) 6 = 2 + 6.Logo, det (A I) = 0, ( = 2 ou = 3).

(ii) det (A I) =1 0 20 1 22 2

= 1 2+ 4 (1 + ) 4 (1 ) ==

1 2+ 8. Logo, det (A I) = 0, ( = 0 ou = 3 ou = 3).

8. (i) A1 =1

detA(cof A)T =

1

24 32 1

T=

2 13=2 1=2

(ii) A1 =1

detA(cof A)T =

1

1

24 1 0 01 1 00 1 1

35T =24 1 1 00 1 10 0 1

35

(iii) A1 =1

detA(cof A)T =

1

6

24 18 0 624 0 64 1 1

35T =24 3 4 2=30 0 1=61 1 1=6

359. Tem-se

detA =

3 2 0 21 0 0 30 9 2 03 1 0 2

= (2) (1)3+3

3 2 21 0 33 1 2

= (2) (2 + 18 (4) 9) = 30.

41

Logo,

A1

(2;2)

=1

detA

(cof A)T

(2;2)

=1

detA(cof A)(2;2) =

1

30(1)2+2

3 0 20 2 03 0 2

= 45 .

detB =

1 0 0 24 0 1 00 1 0 30 1 2 2

=1 0 0 20 0 1 80 1 0 30 0 2 1

= (1)(1)1+1

0 1 81 0 30 2 1

= 17.Logo,

B1

(2;3)

=1

detB

(cof B)T

(2;3)

=1

detB(cof B)(3;2) =

1

17(1)3+2

1 0 24 1 00 2 2

= 1417 .

10. (i) x =

1 33 7 2 35 7 =

21 = 2 e y =

2 15 3 2 35 7 =

1

1 = 1

(ii)

x =

1 1 01 0 11 2 2

1 1 02 0 11 2 2

=55 = 1; y =

1 1 02 1 11 1 2

1 1 02 0 11 2 2

= 0 e z =

1 1 12 0 11 2 1

1 1 02 0 11 2 2

=

5

5 = 1

11. detC =

1 0 12 3 20 1 2

= 6 6= 0, logo C invertvel. detD =9 8 17 3 02 0 0

= 6 6= 0, logo D invertvel.

(i) det (2C1) = 231

detC= 4

3

(ii) detC3 (2C)1

= (detC)3

1

231

detC= (detC)2

1

8=9

2

(iii) detCT (trC)C

1= det

C1

1

trC(C1)T

=

1

(trC)3det (C1) det (C1) =

=1

23

1

detC

2=

1

288

(iv) detCT tr

14CT

C2=1

23detCTdet (C2) =

1

23detC

1

(detC)2=

42

=1

231

detC= 1

48

(v) det2CT 2

3D31

DT1

C1

= (2)3 det CT 1det2

3D3 1det(DT )1C

== 8 (detC)

32

31

(detD)3detD

detC= 8

1

(detD)227

8=27

36= 3

4.

12. (i)

d e fg h ia b c

= 5 (ii)a b c2d 2e 2fg h i

= 10 (iii)a+ d b+ e c+ fd e fg h i

= 5

(iv)

a b c

d 3a e 3b f 3c2g 2h 2i

= 10 (v)a g db h ec i f

= 5

13.(i)

a b c6 3 0121 1

2

= 32 (ii)

a b c2a+ 2 2b+ 1 2ca+ 1 b+ 2 c+ 1

= 1 (iii)a 1 b 2 c 13 3 11 2 1

= 1(iv)

1 1 12 1 0

3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1

= 1 1 12 1 0

3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1

==

1 2 12 1 0

3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1

= 1 2 12 1 03a 3b 3c

= 3a b c2 1 01 2 1

= 3

14.

1 2 + 2 2

= .15.

1 1 1 1 1 + 1 2 2 2 2 + 1 + 2 3 3 3 + 1 + 2 + 3 4 4 + 1 + 2 + 3 + 4 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

=

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 0

= 6.

43

16.

: : : 1 + 1 1 : : : 1... 1 + 1

. . .... 1

. . . 1...

.... . . + 1 1

1 1 1 : : : 1 + 1

=

0 0 : : : 01 0 : : : 0... 0

. . .... 0

. . . 0...

.... . . 0

1 0 0 : : : 0

= n.

17.1 1 1x1 y1 y1x2 x2 y2

=1 0 0x1 y1 x1 y1 x1x2 0 y2 x2

= (y1 x1) (1)2+2 det 1 0x2 y2 x2

= (y1 x1) (y2 x2) .

18.(i)

a1 b1 a1 + b1 + c1a2 b2 a2 + b2 + c2a3 b3 a3 + b3 + c3

=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

(ii)

b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1

=a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c

a b c1 1 1

=0 0 0a b c1 1 1

= 0

(iii)

a1 + b1 a1 b1 c1a2 + b2 a2 b2 c2a3 + b3 a3 b3 c3

=2a1 a1 b1 c12a2 a2 b2 c22a3 a3 b3 c3

=2a1 b1 c12a2 b2 c22a3 b3 c3

= 2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

19. a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2

= a1 c1a2 c2+ a1 c1b2 d2

+ b1 d1a2 c2+ b1 d1b2 d2

:20.

0 0 22 1 10 0 5

=0 0 22 1 10 0 0

= 0 e4 2 22 1 10 0 5

=0 0 02 1 10 0 5

= 0

21.O coeciente de x3 na expresso

2x x 1 21 x 1 13 2 x 11 1 1 x

1.

44

22. (i)

1 x 10 1 11 0 2

= 0,1 x 00 1 11 0 1

= 0, 1 + x = 0, x = 1

(ii)

x x x xx 4 x xx x 4 xx x x 4

= 0,x x x x0 4 x 0 00 0 4 x 00 0 0 4 x

= 0, x (4 x)3 = 0, (x = 0 ou x = 4)

(iii)

x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x

= 0,x 1 1 10 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 1 1 x

= 0,

,

x 1 x 1 x 1 x0 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 0 0 x 1

= 0,0 1 x 1 x 1 x20 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 0 0 x 1

= 0,

,

0 0 0 3 2x x20 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 0 0 0

= 0,0 0 0 3 2x x20 x 1 0 00 0 x 1 01 0 0 0

= 0,

,

1 0 0 00 x 1 0 00 0 x 1 00 0 0 3 2x x2

= 0, (x 1)2 (3 2x x2) = 0, (x = 1 ou x = 3)

23.

5 3 37 1 58 7 1

=5 53 37 71 58 87 1

=5 53 5337 71 7158 87 871

. Como 533; 715 e 871 so mltiplos de 13 ento a 3acoluna tambm mltipla de 13. Logo

5 3 37 1 58 7 1

mltiplo de 13.

24.

2 1 81 0 103 7 4

=2 1 8 + (3) 11 0 10 + (3) 03 7 4 + (3) (7)

=2 1 51 0 103 7 25

. Como a 3a coluna mltiplade 5, logo

2 1 51 0 103 7 25

mltiplo de 5.25. Seja A = (aij)nn com n mpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n: Mostre que A

no invertvel.Dem. (aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n), AT = A. Logo

detA = detAT= det (A) = (1)n detA =

n mpar detA, detA = 0:

Pelo que A no invertvel.

45

4a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Espaos lineares)

1. Verique que os seguintes subconjuntos de R2, com as operaes usuais, no so subespaos de R2.(i) f(x; y) 2 R2 : x 0g (ii) f(x; y) 2 R2 : xy = 0g (iii) f(x; y) 2 R2 : y = x2g

2. Verique que os seguintes conjuntos, com as operaes usuais, so (todos os) subespaos de R2.(i) f(0; 0)g(ii) Vk = f(x; kx) : x 2 Rg com k 2 R(iii) U = f(0; a) : a 2 Rg(iv) R2

3. No espao linear R3, considere o subconjunto

Uk = f(x; y; k) : x; y 2 Rg

onde k uma constante real. Determine os valores de k para os quais Uk subespao de R3.

4. Considere o espao linear V = R3. Diga quais dos seguintes subconjuntos de V , com as operaesusuais, so subespaos de V e indique os respectivos conjuntos geradores.

(i) f(x; y; z) 2 R3 : z = 2g (ii) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y z = 0g(iii) f(x; y; z) 2 R3 : x > 0g (iv) f(0; 0; z) : z 2 Rg(v) f(x; y; z) 2 R3 : y = 2x e z = 3xg (vi) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y = 1g(vii) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0 e x y z = 0g(viii) f(x; y; z) 2 R3 : x = y ou y = zg(ix) f(x; y; z) 2 R3 : x y = 0 e 2y + z = 0g (x) f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g

5. Seja Pn o espao linear de todos os polinmios reais de varivel real e de grau menor ou igual a n,com as operaes usuais: Diga quais dos seguintes subconjuntos de P2, com as operaes usuais, sosubespaos de P2 e indique os respectivos conjuntos geradores.(i) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a0 = 0g (ii) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 = 2a0 e a1 = 0g(iii) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a1 = 1g (iv) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 = 2g(v) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 + 2a0 = 0g

6. SejaMmn(R) o espao linear de todas as matrizes do tipo mn com entradas reais. Diga quais dosseguintes subconjuntos deM23(R), com as operaes usuais, so subespaos deM23(R) e indiqueos respectivos conjuntos geradores.

(i)

a b cd 0 0

2M23(R) : b = a+ c

(ii)

a b cd 0 f

2M23(R) : b < 0

(iii)

a b cd e f

2M23(R) : a = 2c e f = 2e+ d

:

46

7. Determine o espao das colunas, o espao das linhas e o ncleo das seguintes matrizes.

(i)1 10 0

(ii)

1 2 30 0 0

(iii)

0 0 00 0 0

(iv)

24 2 1 10 0 10 0 0

35(v)

24 1 02 32 1

35 (vi)24 1 22 42 4

35 (vii)24 0 00 00 0

35 (viii)24 1 0 12 3 02 1 0

358. Verique que, com as operaes usuais, o seguinte conjunto de matrizes8

Encontre uma matriz 2 2 que no pertena a

L

1 11 0

;

0 01 1

;

0 20 1

:

Antes de a determinar, explique porque que essa matriz existe.

15. Determine os vectores (a; b; c) de R3 que pertencem a L (fu; v; wg) onde

u = (2; 1; 0); v = (1;1; 2) e w = (0; 3;4):

16. Sejam

A =

1 1 52 3 13

e B =

24 1 1 14 3 13 1 3

35 :Verique que o espao das linhas de A igual ao espao das linhas de B: Conclua ento que osespaos das colunas de AT e de BT so iguais.

17. Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaos do espao linear R4.(i) f(x; y; z; w) 2 R4 : x = 0 e y + z = 0g(ii) f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ y + z + w = 0g(iii) f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y z = 0 e x+ y + 2w = 0 e y z + w = 0g

18. Dena por meio de sistemas de equaes homogneas os seguintes subespaos.

(i) Em P2: L (f1 t2; 1 + tg) (ii) L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (2; 1;2)g)(iii) L (f(0; 1; 0); (2; 1;2)g) (iv) L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g) (v) L (f(1; 0;1; 1)g)(vi) L (f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2); (3;6; 11;1); (0; 0; 1;2)g)

19. Determine as condies que os parametros i; i(i = 1; 2) devem vericar para que os vectores(1; 1; 3) e (2; 2; 9), no espao linear R3, sejam linearmente independentes.

20. Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R3 so linearmente dependentes ou linearmente inde-pendentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique (para cada um) um subcon-junto linearmente independente com o maior no possvel de elementos e escreva os restantes comocombinao linear desses vectores.

(i) f(4; 2; 1); (2; 6;5); (1;2; 3)g (ii) f(1; 2;1); (3; 2; 5)g(iii) f(1; 2; 3); (1; 1; 1); (1; 0; 1)g (iv) f(1; 0;1); (0; 0; 0); (0; 1; 1)g(v) f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g (com x; y; z 2 R).

21. Determine todos os valores de a para os quais f(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)g uma base de R3:22. Sejam U = L (f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0)g) e Vk = L (f(2; k; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) subespaos deR4:Determine

os valores de k para os quais dim (U \ Vk) = 1.23. No espao linear R3, construa uma base que inclua os vectores:

(i) (1; 0; 2) e (0; 1; 2). (ii) (2;1; 1) e (4; 2; 1). (iii) (1; 2; 1) e (1; 0;1).

48

24. Verique que os seguintes subconjuntos do espao linear de todas as funes reais de varivel real solinearmente dependentes. Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com omaior no possvel de elementos e escreva os restantes como combinao linear desses vectores.

(i) S = fcos2 t; sen2 t; cos 2tg (ii) S = f2; sen2 t; cos2 tg(iii) S = fet; et; cosh tg (iv) S = 1; t; t2; (t+ 1)2Determine uma base para cada subespao L(S) e calcule a respectiva dimenso.

25. Seja V o espao linear de todas as funes reais de varivel real. Sejam f; g; h 2 V , com f (t) = sen t,g (t) = cos t e h (t) = t. Mostre que o conjunto ff; g; hg linearmente independente.

26. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de R2. Determine bases e as dimenses dosespaos gerados por cada um desses conjuntos. Em cada base de R2 encontrada, exprima o vector(0;1) como combinao linear dos vectores dessa base ordenada. Isto , determine as coordenadasdo vector (0;1) em cada base ordenada encontrada. Relativamente a cada base ordenada de R2,determine ainda o vector cujas coordenadas so (0;1).(i) f(1; 3); (1;1)g (ii) f(0; 0); (1; 2)g (iii) f(2; 4)g(iv) f(5; 0); (0; 2)g (v) f(1; 2); (2;3); (3; 2)g (vi) f(1; 0); (0; 1)g

27. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de R3. Determine bases e as dimensesdos espaos gerados por cada um desses conjuntos. Em cada base de R3 encontrada, exprima ovector (1; 1;2) como combinao linear dos vectores dessa base ordenada. Isto , determine ascoordenadas do vector (1; 1;2) em cada base ordenada encontrada. Relativamente a cada baseordenada de R3, determine ainda o vector cujas coordenadas so (1; 1;2).(i) f(1; 2; 3); (0; 0; 0); (0; 1; 2)g (ii) f(1; 2; 0); (0; 1;1)g(iii) f(3; 2; 2); (1; 2; 1); (0; 1; 0)g (iv) f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g(v) f(1; 1;1); (2; 3; 4); (4; 1;1); (0; 1;1)g (vi) f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g

28. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de R4. Determine bases e as dimenses dosespaos gerados por cada um desses conjuntos. Em cada alnea indique uma base de R4 que incluapelo menos dois vectores do conjunto apresentado.

(i) f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 0; 0); (1; 1; 1; 1); (0; 1; 1; 1)g(ii) f(1;1; 0; 2); (3;1; 2; 1); (1; 0; 0; 1)g(iii) S = f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0); (0; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 0); (0; 0; 1; 1)g(iv) f(1; 0; 0; 2); (1; 0; 2; 0); (1; 2; 0; 0); (3; 0; 0; 0)g(v) f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2); (3;6; 11;1); (0; 0; 5; 5)g(vi) S = f(2; 1;1; 2); (1;1; 1; 2); (4;2; 2;2); (5;2; 2; 2)g :Nesta alnea, verique que (8;3; 3; 5) 2L (S) e determine uma base de L (S) que inclua o vector (8;3; 3; 5).

29. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de P2 (espao linear dos polinmios reais degrau menor ou igual a 2). Determine bases e as dimenses dos espaos gerados por cada um dessesconjuntos. Determine as coordenadas do vector 1 t em cada base ordenada de P2 encontrada.Relativamente a cada base ordenada de P2, determine ainda o vector cujas coordenadas so (1; 3; 2).(i) f2 + t t2; 2t+ 2t2;t2g (ii) f2t t2; 1 2t2; 2 + t; 1 4tg(iii) f1 + t2; t t2; 1 t+ 2t2; 1 + tg (iv) f1 + 2t+ t2; 2 tg

49

(v) f1 + 2t t2; 3 + t2; 5 + 4t t2;2 + 2t t2g (vi) f1; t; t2g30. Mostre que as matrizes

1 10 0

;

0 01 1

;

1 00 1

e0 11 1

formam uma base para o espao linearM22(R):

31. Seja S =

1 31 2

;

0 115 3

;

2 53 1

,4 11 5

;

3 22 3

. Seja W um subespao de

M22(R) gerado por S. Determine uma base para W que inclua vectores de S.32. Determine uma base paraM32(R). Qual a dimenso do espao linearM32(R)?33. Determine uma base para cada um dos seguintes subespaos de M33(R) e calcule a respectiva

dimenso:

(i) O conjunto de todas as matrizes (reais) diagonais do tipo 3 3:(ii) O conjunto de todas as matrizes (reais) simtricas do tipo 3 3:

34. Determine as dimenses e indique bases para: o ncleo, o espao das linhas e o espao das colunasdas seguintes matrizes.

(i)3 16 2

(ii)

3 0 6 01 0 2 0

(iii)

24 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

35 (iv)24 1 1 21 2 10 1 1

35

(v)

26641 0 00 1 00 0 10 0 0

3775 (vi)24 1 3 0 20 2 2 01 3 0 2

35 (vii)26641 2 3 12 3 2 03 4 1 11 1 1 1

3775 :Determine tambem a caracterstica e a nulidade de cada uma delas.

35. Sejam U e V subespaos de W tais que dimU = 4; dimV = 5 e dimW = 7. Diga quais as dimensespossveis para U \ V .

36. Determine bases e calcule as dimenses de U + V e U \ V , dizendo em que casos U + V a somadirecta U V (determine-a) dos subespaos U e V .(i) U = L (f(1;1; 1); (0; 1; 1)g) ; V = L (f(1; 1; 2); (1; 1; 1)g) em R3:(ii) U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y z = 0 e x+ y = 0g ; V = L (f(1; 1; 1)g) em R3:(iii) U = L (f(1; 0; 1); (1; 1; 2)g) ; V = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + 3z = 0g em R3:(iv) U = f(x; y; z) 2 R3 : x = y = zg ; V = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g em R3:(v) U = L (f1 + t; 1 t2g), V = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 + a0 = 0g em P2.(vi) U = L (f1 + t; 1 t3g), V = L (f1 + t+ t2; t t3; 1 + t+ t3g) em P3.(vii) U = L (f(2;2; 1;2); (1; 1; 1; 3); (0; 0;6;8); (1; 1;5;5)g) ;V = L (f(0; 0; 0;1); (0; 1; 2; 3); (0; 2; 4; 8)g) em R4:(viii) U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y + 3z = 0 e y + 2z + 3w = 0g,

50

V = L (f(2; 5;4; 1); (0; 9;6; 1); (4;1; 2;1)g) em R4:Neste alnea (viii) mostre que U = V .

(ix) Seja U o subespao de R5 gerado por

f(1;1;1;2; 0); (1;2;2; 0;3); (1;1;2;2; 1)g .Seja V o subespao de R5 gerado por

f(1;2;3; 0;2); (1;1;3; 2;4); (1;1;2; 2;5)g .

Comece por escrever U e V como solues de sistemas de equaes lineares homogneas.

(x) Sejam U e V subespaos de R4 gerados respectivamente por F e por G, com

F = f(1; 0;1; 0); (0; 1; 1; 1); (1; 0; 0;2) ; (0; 0;1; 2)g ;G = f(1; 1; 1; 1); (1; 2; 0;1); (0; 0; 1; 1)g .

37. Seja A =

2666641 1 0 2 10 0 2 4 02 2 1 2 11 1 2 2 10 0 0 0 0

377775 :(i) Calcule a nulidade e a caracterstica de A:

(ii) Determine bases para o espao das colunas de A e para o ncleo de A:

(iii) Usando a alnea anterior, determine a soluo geral do sistema de equaes lineares homogneoAu = 0.

(iv) Resolva o sistema de equaes Au = b, com b = (1; 0; 2;1; 0): Note que b igual 1a colunade A e use esse facto de modo a encontrar uma soluo particular de Au = b.

38. Utilize a informao da seguinte tabela para, em cada caso, determinar a dimenso do espao geradopelas linhas de A, do espao gerado pelas colunas de A, do ncleo de A e do ncleo de AT . Digatambem se o correspondente sistema de equaes lineares no homogneo AX = B possvel,determinando para esses casos, o nmero de parmetros que entram na soluo geral de AX = B.

A 3 3 3 3 3 3 5 9 9 5 4 4 6 2car A 3 2 1 2 2 0 2

car [A j B] 3 3 1 2 3 0 2

39. Construa uma matriz cujo ncleo seja gerado pelo vector (2; 0; 1).

40. Existe alguma matriz cujo espao das linhas contm o vector (1; 1; 1) e cujo ncleo contm (1; 0; 0)?

41. Quais so as matrizes do tipo 3 3 cujo ncleo tem dimenso 3?42. Seja A 2 Mmn(R) tal que C(A) = N (A). Prove que A 2 Mnn(R) com n par. D um exemplo

para n = 4.

43. Seja A 2Mnn(R) tal que carA = n e A2 = A. Prove que A = I.

51

44. Sejam B1 = f(1; 2); (0; 1)g e B2 = f(1; 1); (2; 3)g duas bases ordenadas de R2. Seja v = (1; 5).(i) Determine as coordenadas de v em relao base B1.

(ii) Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2.

(iii) Determine as coordenadas de v em relao base B2, usando as alneas anteriores.

(iv) Determine, directamente, as coordenadas de v em relao base B2.

(v) Determine a matriz SB2!B1 de mudana da base B2 para a base B1.

(vi) Determine as coordenadas de v em relao base B1, usando a alnea anterior, e compare como resultado obtido em (i).

45. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de R2, onde

v1 = (1; 2), v2 = (0; 1).

Suponha que a matriz SB2!B1 de mudana da base B2 para a base B1, dada por:

SB2!B1 =2 11 1

.

Determine B2.

46. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1, onde

w1 = 1 + t, w2 = 1 + t.


SB1!B2 =2 31 2

.

Determine B1.

47. Sejam B1 = f1; 1 t; t2g e B2 = f1; 1 + t; 1 + t+ t2g duas bases ordenadas de P2.(i) Suponha que as coordenadas de um vector p(t) 2 P2 em relao base B2 so dadas por (1; 2; 3).Determine as coordenadas do mesmo vector p(t) em relao base B1.

(ii) Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2 e utilize-a para determinaras coordenadas do vector 2 t+ t2 na base B2.

48. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1, onde

w1 = t, w2 = 1 t.


SB2!B1 =2 31 2

.

Determine B1.

52

49. Sejam B1 = fv1; v2; v3g e B2 = fw1; w2; w3g duas bases ordenadas de R3, onde

v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 0), v3 = (0; 0; 1).


SB1!B2 =

24 1 1 22 1 11 1 1

35 .Determine B2.

50. Sejam B1 =

1 00 0

;

0 10 0

;

0 01 0

,0 00 1

e

B2 =

1 11 1

;

1 11 1

;

1 11 1

,1 11 1

duas bases ordenadas deM22(R). Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a baseB2 e utilize-a para determinar as coordenadas do vector

1 23 4

em relao base B2.

51. Seja B = fv1; v2g uma base ordenada de P1. Sejam (1;1) e (2; 2) respectivamente as coordenadasde dois polinmios 1 + t e 1 t em relao base B: Determine B.

52. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1. Suponha que (1;1) e (2; 2) sorespectivamente as coordenadas de um polinmio p (t) em relao s bases B1 e B2: Suponha aindaque (1; 1) e (2;2) so respectivamente as coordenadas de um polinmio q (t) em relao s basesB1 e B2: Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2.

53


1. (i) Seja U = f(x; y) 2 R2 : x 0g. Por exemplo:

(1; 1) 2 U , mas (1)(1; 1) = (1;1) =2 U .

Logo, U no subespao de R2.

(ii) Seja U = f(x; y) 2 R2 : xy = 0g. Por exemplo:

(1; 0); (0; 1) 2 U , mas (1; 0) + (0; 1) = (1; 1) =2 U .


(iii) Seja U = f(x; y) 2 R2 : y = x2g. Por exemplo:

(1; 1) 2 U , mas 2(1; 1) = (2; 2) =2 U .


2. Atendendo s respectivas dimenses, os seguintes subespaos de R2, com as operaes usuais, sotodos os subespaos de R2.(i) f(0; 0)g subespao de R2.

(ii) Seja Vk = f(x; kx) : x 2 Rg com k 2 R (xo). Sejam (x1; kx1); (x2; kx2) 2 Vk e 2 R. Tem-se

(x1; kx1) + (x2; kx2) = (x1 + x2; k (x1 + x2)) 2 Vke, com (x; kx) 2 Vk,

(x; kx) = (x; k (x)) 2 Vk.Logo, para todo o k 2 R, Vk subespao de R2.Em alternativa, uma vez que

Vk = L (f(1; k)g) ,para todo o k 2 R, conclui-se que Vk subespao de R2 (para todo o k 2 R).

(iii) Seja U = f(0; a) : a 2 Rg. Sejam (0; a1) ; (0; a2) 2 U e 2 R. Tem-se

(0; a1) + (0; a2) = (0; a1 + a2) 2 U

e, com (0; a) 2 U ,(0; a) = (0; a) 2 U .

Logo, U subespao de R2.Em alternativa, uma vez que

U = L (f(0; 1)g) ,conclui-se que U subespao de R2.

(iv) R2 subespao de R2.

54

3. Uk subespao de R3 se e s se k = 0.

4. (i) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : z = 2g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U no subespao de R3.(ii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y z = 0g. Tem-se

U = f(x; y; x+ y) : x; y 2 Rg .Uma vez que

(x; y; x+ y) = (x; 0; x) + (0; y; y) = x(1; 0; 1) + y(0; 1; 1),

para quaisquer x; y 2 R, tem-se:U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g) .

Logo, U subespao de R3.Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A = 1 1 1 :(iii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x > 0g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U no subespao de R3.(iv) Seja U = f(0; 0; z) : z 2 Rg. Uma vez que (0; 0; z) = z(0; 0; 1), para qualquer z 2 R, tem-se:

U = L (f(0; 0; 1)g) .Logo, U subespao de R3.

(v) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : y = 2x e z = 3xg. Tem-se U = f(x; 2x; 3x) : x 2 Rg.Uma vez que (x; 2x; 3x) = x(1; 2; 3), para qualquer x 2 R, tem-se:

U = L (f(1; 2; 3)g) .Logo, U subespao de R3.

Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A = 2 1 03 0 1

:

(vi) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y = 1g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U no subespao de R3.(vii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0 e x y z = 0g. Tem-se

U = f(0; y;y) : y 2 Rg .Uma vez que

(0; y;y) = y(0; 1;1),para qualquer y 2 R, tem-se:

U = L (f(0; 1;1)g) .Logo, U subespao de R3.

Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A =1 1 11 1 1

:

(viii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x = y ou y = zg. Tem-se:U =

(x; y; z) 2 R3 : x = y [ (x; y; z) 2 R3 : y = z

55

Por exemplo:(1; 1; 2); (1; 2; 2) 2 U , mas (1; 1; 2) + (1; 2; 2) = (2; 3; 4) =2 U .


(ix) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x y = 0 e 2y + z = 0g. Tem-se

U = f(x; x;2x) : x 2 Rg .

Uma vez que(x; x;2x) = x(1; 1;2),

para qualquer x 2 R, tem-se:U = L (f(1; 1;2)g) .

Logo, U subespao de R3.

Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A =1 1 00 2 1

:

(x) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g. Por exemplo:

(1; 0; 1); (0; 1; 0) 2 U , mas (1; 0; 1) + (0; 1; 0) = (1; 1; 1) =2 U .

Logo, U no subespao de R3.O conjunto de todos os polinmios reais de grau igual a n:

U = fa0 + a1t+ + antn 2 Pn : a0; a1; :::; an 2 R e an 6= 0g ,

com as operaes usuais, no um espao linear. Por exemplo: o polinmio nulo p(t) = 0 =2 U .

5. Seja P2 o espao linear de todos os polinmios reais de varivel real e de grau menor ou igual a 2,com as operaes usuais:(i) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a0 = 0g. Tem-se

U =a1t+ a2t

2 : a1; a2 2 R= L

t; t2.

Logo, U subespao de P2.

(ii) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 = 2a0 e a1 = 0g. Tem-se

U =a0 + 2a0t

2 : a0 2 R.

Uma vez quea0 + 2a0t

2 = a0(1 + 2t2),

para qualquer a0 2 R, tem-se:U = L

1 + 2t2

.


(iii) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a1 = 1g. Por exemplo: o polinmio nulo p(t) = 0 =2 U . Logo, Uno subespao de P2.

56

(iv) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 = 2g. Por exemplo: o polinmio nulo p(t) = 0 =2 U .Logo, U no subespao de P2.

(v) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 + 2a0 = 0g. Tem-se

U =a0 + a1t+ (a1 2a0) t2 : a0; a1 2 R

.

Uma vez quea0 + a1t+ (a1 2a0) t2 = a0(1 2t2) + a1(t+ t2),

para quaisquer a0; a1 2 R, tem-se:U = L

1 2t2; t+ t2 .


6. SejaM23(R) o espao linear de todas as matrizes do tipo 2 3 com entradas reais.(i) Seja U =

a b cd 0 0

2M23(R) : b = a+ c

. Tem-se

U =

a a+ c cd 0 0

: a; c; d 2 R

.

Uma vez que a a+ c cd 0 0

= a

1 1 00 0 0

+ c

0 1 10 0 0

+ d

0 0 01 0 0

,

para quaisquer a; c; d 2 R, tem-se:

U = L

1 1 00 0 0

;

0 1 10 0 0

;

0 0 01 0 0

.

Logo, U subespao deM23(R).

(ii) Seja U =

a b cd 0 f

2M23(R) : b < 0

. Por exemplo: a matriz nula

0 0 00 0 0

=2 U .

Logo, U no subespao deM23(R).

(iii) Seja U =

a b cd e f

2M23(R) : a = 2c e f = 2e+ d

. Tem-se

U =

2c b cd e 2e+ d

: b; c; d; e 2 R

.

Uma vez que 2c b cd e 2e+ d

= b

0 1 00 0 0

+ c

2 0 10 0 0

+ d

0 0 01 0 1

+ e

0 0 00 1 2

,

57

para quaisquer b; c; d; e 2 R, tem-se:

U = L

0 1 00 0 0

;

2 0 10 0 0

;

0 0 01 0 1

;

0 0 00 1 2

.

Logo, U subespao deM23(R). :

7. (i) Seja A =1 10 0

. Tem-se C(A) = L (f(1; 0)g) e L(A) = L (f(1;1)g).

Seja u = (x; y) 2 R2. Atendendo a que1 10 0

xy

= 0, x y = 0,

o ncleo de A dado por:

N (A) = u 2 R2 : Au = 0 = (x; y) 2 R2 : x y = 0 == f(x; x) : x 2 Rg = fx(1; 1) : x 2 Rg = L (f(1; 1)g) .

(ii) Seja A =1 2 30 0 0

. Tem-se C(A) = L (f(1; 0)g) e L(A) = L (f(1; 2; 3)g).

Seja u = (x; y; z) 2 R3. Atendendo a que1 2 30 0 0

24 xyz

35 = 0, x+ 2y + 3z = 0,o ncleo de A dado por:

N (A) = u 2 R3 : Au = 0 = (x; y; z) 2 R3 : x+ 2y + 3z = 0 == f(2y 3z; y; z) : y; z 2 Rg = fy(2; 1; 0) + z(3; 0; 1) : y; z 2 Rg= L (f(2; 1; 0); (3; 0; 1)g) .

(iii) Seja A =0 0 00 0 0

. Tem-se C(A) = f(0; 0)g e L(A) = f(0; 0; 0)g.

O ncleo de A dado por: N (A) = R3.

(iv) Seja A =

24 2 1 10 0 10 0 0

35. Tem-seC(A) = L (f(2; 0; 0); (1; 1; 0)g) e L(A) = L (f(2; 1; 1); (0; 0; 1)g) :

Seja u = (x; y; z) 2 R3. Atendendo a que24 2 1 10 0 10 0 0

3524 xyz

35 = 0,8


N (A) = u 2 R3 : Au = 0 = (x; y; z) 2 R3 : 2x+ y + z = 0 e z = 0 == f(x;2x; 0) : x 2 Rg = fx(1;2; 0) : x 2 Rg = L (f(1;2; 0)g) .

(v) Seja A =

24 1 02 32 1

35. Tem-seC(A) = L (f(1; 2; 2); (0; 3; 1)g) e L(A) = L (f(1; 0); (2; 3)g) ,

pois

(2; 1) =4

3(1; 0) +

1

3(2; 3).

Seja u = (x; y) 2 R2. Atendendo a que

24 1 02 32 1

35 xy

= 0,

8>>>>>>>:x = 0

2x+ 3y = 0

2x+ y = 0


N (A) = u 2 R2 : Au = 0 = (x; y) 2 R2 : x = 0 e 2x+ 3y = 0 e 2x+ y = 0 = f(0; 0)g .

(vi) Seja A =

24 1 22 42 4

35. Tem-seC(A) = L (f(1; 2; 2)g) e L(A) = L (f(1; 2)g) .

Seja u = (x; y) 2 R2. Atendendo a que24 1 22 42 4

35 xy

= 0,

8

O ncleo de A dado por:N (A) = R2.

(viii) Seja A =

24 1 0 12 3 02 1 0

35. Tem-seC(A) = L (f(1; 2; 2); (0; 3; 1); (1; 0; 0)g) e L(A) = L (f(1; 0; 1); (2; 3; 0); (2; 1; 0)g) .

Seja u = (x; y; z) 2 R3. Atendendo a que

24 1 0 12 3 02 1 0

3524 xyz

35 = 0,24 1 0 10 1 20 0 4

3524 xyz

35 = 0,8>>>>>>>:x+ z = 0

y 2z = 0

4z = 0

o ncleo de A dado por:N (A) = u 2 R3 : Au = 0 = f(0; 0; 0)g .

Observao: Como N (A) = f(0; 0; 0)g e sendo A quadrada 3 3, tem-se L(A) = C(A) = R3.

8. Seja

U =

8

10. Considere, no espao linear R4, os vectores v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (1;1; 0; 0) e v3 = (0; 1; 2; 1).Tem-se2664

1 1 0 j 1 j 2 j 1 j 00 1 1 j 4 j 0 j 1 j 10 0 2 j 2 j 2 j 2 j 11 0 1 j 2 j 2 j 2 j 0

3775 !L1+L4!L426641 1 0 j 1 j 2 j 1 j 00 1 1 j 4 j 0 j 1 j 10 0 2 j 2 j 2 j 2 j 10 1 1 j 3 j 0 j 1 j 0

3775 !L2+L4!L4

!L2+L4!L4

26641 1 0 j 1 j 2 j 1 j 00 1 1 j 4 j 0 j 1 j 10 0 2 j 2 j 2 j 2 j 10 0 0 j 1 j 0 j 0 j 1

3775 : (*)Logo, (2; 0; 2; 2); (1; 1;2; 2) 2 L (fv1; v2; v3g), com

(2; 0; 2; 2) = (1; 0; 0; 1) + (1;1; 0; 0) + (0; 1; 2; 1)(1; 1;2; 2) = 3(1; 0; 0; 1) + (2)(1;1; 0; 0) + (1)(0; 1; 2; 1).

Atendendo a (*), (1; 4; 2; 2); (0; 1; 1; 0) =2 L (fv1; v2; v3g).

11. Tem-se24 3 2 j 10 1 j 22 5 j k

35 !23L1+L3!L3

24 3 2 j 10 1 j 20 11=3 j k + 2=3

35 ! 11

3L2+L3!L3

24 3 2 j 10 1 j 20 0 j k + 8

35 :Logo, 8 o nico valor de k para o qual o vector u = (1;2; k) 2 R3 combinao linear dos vectores

v = (3; 0;2) e w = (2;1;5):

12. Considere, no espao linear P2, os vectores p1(t) = 2+ t+2t2, p2(t) = 2t+ t2, p3(t) = 25t+5t2e p4(t) = 2 3t t2. O vector

q(t) = 2 + t+ t2

pertence expanso linear L (fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g)? Podem os vectores p1(t), p2(t), p3(t) e p4(t) gerarP2? Tem-se 24 2 0 2 2 j 21 2 5 3 j 1

2 1 5 1 j 1

35 ! 12L1+L2!L2

L1+L3!L3

24 2 0 2 2 j 20 2 6 2 j 00 1 3 1 j 1

35 !12L2+L3!L3

!24 2 0 2 2 j 20 2 6 2 j 00 0 0 0 j 1

35 . (**)Atendendo a (**), q(t) = 2 + t+ t2 =2 L (fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g). Logo,

fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g no pode gerar P2:

61

13. (i) Seja U = f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g. Seja (x; y; z) 2 R3. Tem-se(x; y; z) = x(1; 0; 0) + y(0; 1; 0) + z(0; 0; 1).

Logo, U gera R3.

(ii) Seja U = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g. Seja (x; y; z) 2 R3. Tem-se(x; y; z) = x(1; 1; 1) + (y x) (0; 1; 1) + (z y) (0; 0; 1).

Logo, U gera R3.

(iii) Seja U = f(1; 1; 1) ; (1; 1;1); (1;1;1); (1;1; 1)g. Seja (x; y; z) 2 R3. Determinemos osvalores dos escalares 1; 2; 3; 4 para os quais se tem24 xy

z

35 = 124 111

35+ 224 111

35+ 324 111

35+ 424 111

35 .Ora a ltima igualdade equivalente a24 xy

z

35 =24 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

3526641234

3775 .24 1 1 1 1 j x1 1 1 1 j y1 1 1 1 j z

35 !L1+L2!L2L1+L3!L3

24 1 1 1 1 j x0 2 2 0 j y x0 0 2 2 j z x

35 .Logo 8>>>>>>>>>>>>>>>:

1 =12x+ 1

2y + s

2 =12y 1

2z + s

3 =12x 1

2z + s

4 = s, s 2 Re assim24 xy

z

35 = 12x+

1

2y + s

24 111

35+ 12y 1

2z + s

24 111

35+ 12x 1

2z + s

24 111

35+ s24 111

35 ,com s 2 R. Logo, U gera R3.

14.

3 11 1

= 1A+ 2B + 3C =

1 1 + 23

1 + 2 2 3,

8>>>:1 = 31 + 23 = 11 + 2 = 12 3 = 1

,8

Logo 3 11 1

= 3

1 11 0

2

0 01 1

0 20 1

.

Seja U = L

1 11 0

;

0 01 1

;

0 20 1

.

Existe D 2M22 (R) tal que D =2 U uma vez que

U M22 (R) e dimU| {z }3

< dimM22 (R)| {z }=4

.

Sejaa bc d

2 U . Tem-se

a bc d

2 U se e s se existirem escalares ; ; 2 R tais quea bc d

= A+ B + C.

a bc d

= A+ B + C ,

a bc d

=

1 1 + 23

1 + 2 2 3,

8>>>:1 = a1 + 23 = b1 + 2 = c2 3 = d2664

1 0 0 j a1 0 2 j b1 1 0 j c0 1 1 j d

3775 !L1+L2!L2L1+L3!L3

26641 0 0 j a0 0 2 j b a0 1 0 j c a0 1 1 j d

3775 !L3+L4!L412L2+L4!L4

!L3+L4!L412L2+L4!L4

26641 0 0 j a0 0 2 j b a0 1 0 j c a0 0 0 j d+ 1

2(b+ a) c

3775 !L2$L326641 0 0 j a0 1 0 j c a0 0 2 j b a0 0 0 j d+ 1

2(b+ a) c.

3775Logo, para que o sistema linear anterior seja possvel necessrio que se tenha

d+1

2(b+ a) c = 0.

Deste modo podemos escrever

U =

a bc d

2M22 (R) : d+ 1

2(b+ a) c = 0

e assim, sendo V =

a bc d

2M22 (R) : d+ 12 (b+ a) c 6= 0

, tem-se

M22 (R) = U V .

Ou seja, qualquer vector de V que no seja o vector nulo, esse vector no pertence a U . Por exemplo1 11 1

=2 U = L

1 11 0

;

0 01 1

;

0 20 1

.

63

15. Sejamu = (2; 1; 0); v = (1;1; 2) e w = (0; 3;4):

O vector (a; b; c) de R3 pertencer a L (fu; v; wg) se existirem ; ; 2 R tais que

(a; b; c) = (2; 1; 0) + (1;1; 2) + (0; 3;4),

isto , se o seguinte sistema (nas variveis , e ) fr possvel e determinado:8

Alm disso, uma vez que(1;1;1) = (1; 1; 5) 2(0; 1; 3),

tem-seL(A) = L(A0) = L(B0) = L(B).

Finalmente, como se tem sempre

C(AT ) = L(A) e L(B) = C(BT ),

conclui-se que C(AT ) = C(BT ).

17. (i) Seja U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x = 0 e y = zg. Tem-se

U = f(0;z; z; w) : z; w 2 Rg .

Atendendo a que(0;z; z; w) = z(0;1; 1; 0) + w(0; 0; 0; 1),

tem-seU = L (f(0;1; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) .

(ii) Seja U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ y + z + w = 0g. Tem-se

U = f(y z w; y; z; w) : y; z; w 2 Rg .

Atendendo a que

(y z w; y; z; w) = y(1; 1; 0; 0) + z(1; 0; 1; 0) + w(1; 0; 0; 1),

tem-seU = L (f(1; 1; 0; 0); (1; 0; 1; 0); (1; 0; 0; 1)g) .

(iii) Seja U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y z = 0 e x+ y + 2w = 0 e y z + w = 0g. Observe-seque

U = N (A), com A =24 1 2 1 01 1 0 20 1 1 1

35 .Tem-se

A =

24 1 2 1 01 1 0 20 1 1 1

35 !L1+L2!L2

24 1 2 1 00 1 1 20 1 1 1

35 !L2+L3!L3

24 1 2 1 00 1 1 20 0 0 3

35 = A0.Logo, U = N (A) = N (A0). Assim,

U =(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y z = 0 e y + z + 2w = 0 e 3w = 0 =

= f(z; z; z; 0) : z 2 Rg = fz(1; 1; 1; 0) : z 2 Rg = L (f(1; 1; 1; 0)g) .

65

18. (i) Seja U = L (f1 t2; 1 + tg) um subespao de P2. Seja p (t) 2 U , com p (t) = a0 + a1t + a2t2.Ento, existiro ; 2 R tais que

p (t) = a0 + a1t+ a2t2 =

1 t2+ (1 + t) .

Tem-se ento a matriz aumentada24 1 1 j a00 1 j a11 0 j a2

35 !L1+L3!L3

24 1 1 j a00 1 j a10 1 j a0 + a2

35 !L2+L3!L3

24 1 1 j a00 1 j a10 0 j a0 + a2 a1

35 .Logo, para que o sistema linear anterior seja possvel preciso que a0 + a2 a1 = 0. Assim,

U =p (t) = a0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : a0 + a2 a1 = 0.

(ii) Seja U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (2; 1;2)g). Seja (x; y; z) 2 U . Ento, existiro ; ; 2 R taisque

(x; y; z) = (1; 0; 1) + (0; 1; 0) + (2; 1;2).Tem-se ento a matriz aumentada24 1 0 2 j x0 1 1 j y

1 0 2 j z

35 !L1+L3!L3

24 1 0 2 j x0 1 1 j y0 0 0 j z x

35 .Assim,

U =(x; y; z) 2 R3 : z x = 0 .

Observao extra: U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (2; 1;2)g) = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0)g), uma vez que

(2; 1;2) = (2)(1; 0; 1) + (0; 1; 0).

(iii) Seja V = L (f(0; 1; 0); (2; 1;2)g). Seja (x; y; z) 2 V . Ento, existiro ; 2 R tais que

(x; y; z) = (0; 1; 0) + (2; 1;2).

Tem-se ento a matriz aumentada24 0 2 j x1 1 j y0 2 j z

35 !L1 !L2

24 1 1 j y0 2 j x0 2 j z

35 !L2+L3!L3

24 1 1 j y0 2 j x0 0 j z x

35 .Assim,

V =(x; y; z) 2 R3 : z x = 0 .

Observao extra: V = L (f(0; 1; 0); (2; 1;2)g) = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0)g), uma vez que

(2; 1;2) = (2)(1; 0; 1) + (0; 1; 0) e (1; 0; 1) =12

(2; 1;2) + 1

2(0; 1; 0).

66

(iv) Seja W = L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g). Seja (x; y; z) 2 V . Ento, existiro ; 2 R tais que(x; y; z) = (1; 1; 2) + (2; 1; 1).

Tem-se ento a matriz aumentada24 1 2 j x1 1 j y2 1 j z

35 !L1+L2!L22L1+L3!L3

24 1 2 j x0 1 j y x0 3 j z 2x

35 !3L2+L3!L3

24 1 2 j x0 1 j y x0 0 j z 3y + x

35 .Assim,

W =(x; y; z) 2 R3 : x 3y + z = 0 .

Observao extra: W = L (f(3; 1; 0); (1; 0; 1)g) = L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g), uma vez que(3; 1; 0) = 2(2; 1; 1) + (1)(1; 1; 2), (1; 0; 1) = (1; 1; 2) + (1)(2; 1; 1)

e(1; 1; 2) = (3; 1; 0) + 2(1; 0; 1), (2; 1; 1) = (3; 1; 0) + (1; 0; 1).

(v) Seja U = L (f(1; 0;1; 1)g). Seja (x; y; z; w) 2 U . Ento, existir 2 R tal que(x; y; z; w) = (1; 0;1; 1).

Tem-se ento a matriz aumentada26641 j x0 j y1 j z1 j w

3775 !L1+L3!L3L1+L4!L4

26641 j x0 j y0 j x+ z0 j w x

3775 .Assim,

U =(x; y; z; w) 2 R4 : y = 0 e x+ z = 0 e w x = 0 .

(vi) Seja U = L (f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2); (3;6; 11;1); (0; 0; 1;2)g). Como

(3;6; 11;1) = (1;2; 5;3) + (2;4; 6; 2) e (0; 0; 1;2) = 12(1;2; 5;3) 1

4(2;4; 6; 2)

entoU = L (f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2)g) .

Seja (x; y; z; w) 2 U . Ento, existiro ; 2 R tais que(x; y; z; w) = (1;2; 5;3) + (2;4; 6; 2).

Tem-se ento a matriz aumentada26641 2 j x2 4 j y5 6 j z3 2 j w

3775 !2L1+L2!L25L1+L3!L33L1+L4!L4

26641 2 j x0 0 j 2x+ y0 4 j 5x+ z0 8 j 3x+ w

3775 !2L3+L4!L4 .67

!2L3+L4!L4

26641 2 j x0 0 j 2x+ y0 4 j 5x+ z0 0 j 7x+ 2z + w

3775 !L2$L326641 2 j x0 4 j 5x+ z0 0 j 2x+ y0 0 j 7x+ 2z + w

3775 :Assim,

U =(x; y; z; w) 2 R4 : 2x+ y = 0 e 7x+ 2z + w = 0 .

19. Podemos colocar os vectores do conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g como colunas de uma matriz A ede seguida aplicar a essa matriz o mtodo de eliminao de Gauss. Se 1 6= 0, tem-se

A =

24 1 21 23 9

35 ! 11L1+L2!L2

31L1+L3!L3

266666664

1 2

0 112 + 2

0 312 + 9

377777775= A0.

As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g linearmenteindependente se 1 6= 0 e

2 6=

112 ou 21 6= 3

. Se 1 = 0, tem-se

24 0 21 23 9

35 !L1$L3

24 3 91 20 2

35 !1

3L1+L2!L2

24 3 90 31 + 20 2

35 .Logo, o conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g linearmente independente se 1 = 0 e (2 6= 31 ou 2 6= 0).Assim, o conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g linearmente independente se e s se

1 6= 0 e2 6=

112 ou

216= 3

ou (1 = 0 e (2 6= 31 ou 2 6= 0)) .

20. (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(4; 2; 1); (2; 6;5); (1;2; 3)g como colunas de umamatriz A e de seguida aplicar a essa matriz o mtodo de eliminao de Gauss:

A =

24 4 2 12 6 21 5 3

35 !L1$L3

24 1 5 32 6 24 2 1

35 !2L1+L2!L24L1+L3!L3

!24 1 5 30 16 80 22 11

35 !18L2!L2

111L3!L3

24 1 5 30 2 10 2 1

35 !L2+L3!L3

24 1 5 30 2 10 0 0

35 = A0.As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto f(4; 2; 1); (2; 6;5); (1;2; 3)g

68

linearmente dependente, mas o conjunto f(4; 2; 1); (2; 6;5)g linearmente independente. Procuremosento ; 2 R tais que

(1;2; 3) = (4; 2; 1) + (2; 6;5).Atendendo ao que j se fez e considerando a 3a coluna como o termo independente do sistema, tem-se8>>>>>>>:

4+ 2 = 1

2+ 6 = 2

5 = 3

,8

(v) Como a dimenso de R3 3, ento qualquer conjunto de vectores de R3 com mais do que trsvectores linearmente dependente. O conjunto

f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g formado por quatro vectores de R3, logo linearmente dependente para quaisquer x; y; z 2 R.Resoluo alternativa para vericar a dependncia linear: Podemos colocar os vectores do

conjunto f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essamatriz o mtodo de eliminao de Gauss.

A =

24 1 0 1 x1 2 2 y0 3 3 z

35 !L1+L2!L2

24 1 0 1 x0 2 1 y x0 3 3 z

35 ! 32L2+L3!L3

! 32L2+L3!L3

24 1 0 1 x0 2 1 y x0 0 3

2z 3

2(y x)

35 = A0.As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto

f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g linearmente dependente para quaisquer x; y; z 2 R, mas o conjunto f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3)g linear-mente independente.

Observao extra: encontrmos trs vectores de R3 linearmente independentes. Como a dimenso deR3 3, ento o conjunto f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3)g desde logo uma base de R3, sem ser preciso vericarse gera R3.Procuremos ento ; ; 2 R tais que

(x; y; z) = (1; 1; 0) + (0; 2; 3) + (1; 2; 3).

Atendendo ao que j se fez e considerando a 4a coluna como o termo independente do sistema, tem-se8>>>>>>>:+ = x

+ 2 + = y

3 + 3 = z

,

8>>>>>>>:+ = x

2 + = y x32

= z 3

2(y x)

,

8>>>>>>>: = x 2

3z + y

= (y x) 13z

= 23z y + x.

Pelo que

(x; y; z) =

x 2

3z + y

(1; 1; 0) +

(y x) 1

3z

(0; 2; 3) +

2

3z y + x

(1; 2; 3).

21. Podemos colocar os vectores do conjunto f(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)g como colunas de uma Amatriz e de seguida aplicar a essa matriz o mtodo de eliminao de Gauss.

A =

24 a2 0 10 a 01 2 1

35 !L1$L3

24 1 2 10 a 0a2 0 1

35 !a2L1+L3!L3

70

!a2L1+L3!L3

24 1 2 10 a 00 2a2 1 a2

35 !2aL2+L3!L3

24 1 2 10 a 00 0 1 a2

35 = A0.As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto

Sa =(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)

linearmente independente se e s se a =2 f1; 0; 1g. Logo

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