UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN SETOR DE CINCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 3a edio PROFA. DEISE MARIA BERTHOLDI COSTA PROF. JOS LUIZ TEIXEIRA PROF. PAULO HENRIQUE SIQUEIRA PROFA. LUZIA VIDAL DE SOUZA ZAMBONI UFPR Curitiba - 2012 Captulo 1 - Axiomtica................................................................................................................ 004 1.1. Edificao Racional da Geometria......................................................................... 004 1.2. Postulados do Desenho Geomtrico.....................................................................007 1.3. Axiomas de incidncia............................................................................................008 1.4. Axiomas de ordem..................................................................................................009 1.5. Axiomas sobre medio de segmentos.................................................................010 1.6. Axiomas sobre medio de ngulos...................................................................... 011 1.7. Congruncia de tringulos.....................................................................................015 1.8. Desigualdades Geomtricas...................................................................................023 1.9. O axioma das paralelas. Estudo do paralelogramo. Relaes mtricas nos quadrilteros...................................................................... 029 1.10. Semelhana de tringulos. Estudo do tringulo retngulo.Teorema de Pitgoras. Relaes Trigonomtricas.................................................. 038 Captulo 2 - Lugares geomtricos................................................................................................046 2.1. A circunferncia como lugar geomtrico.............................................................046 2.2. A mediatriz como lugar geomtrico.....................................................................047 2.3. As paralelas como lugar geomtrico..................................................................... 049 2.4. A bissetriz como lugar geomtrico........................................................................ 051 2.5. Os ngulos e a circunferncia................................................................................. 056 2.6. ngulo central..........................................................................................................056 2.7. ngulo inscrito......................................................................................................... 057 2.8. ngulo de segmento................................................................................................ 058 2.9. Arco capaz................................................................................................................. 059 2.10. ngulos excntrico interior e exterior................................................................. 060 2.11. ngulo circunscrito................................................................................................ 062 2.12. Relaes mtricas nos segmentos......................................................................... 065 2.13. Terceira e quarta proporcionais...........................................................................067 2.14. Propriedades no tringulo retngulo.................................................................. 067 2.15. Teorema das bissetrizes......................................................................................... 072 2.16. Circunferncia de Apolnio.................................................................................074 2.17. Segmento ureo...................................................................................................... 077 2.18. Potncia de ponto em relao a uma circunferncia......................................... 079 2.19. Propriedades dos quadrilteros........................................................................... 082 Captulo 3 - Relaes mtricas nos tringulos...........................................................................084 3.1. Pontosnotveis: circuncentro, baricentro, incentro e ortocentro. Os ex-incentros..................................................................................... 084 3.2. Pontos da circunferncia circunscrita.................................................................... 091 3.3. Reta de Simson.......................................................................................................... 094 3.4. Reta de Euler............................................................................................................. 095 Captulo 4 - Relaes mtricas na circunferncia......................................................................098 4.1. Retificao e desretifio da circunferncia.......................................................... 098 4.2. Retificao de arcos de circunferncia................................................................... 101 S SU UM M R RI IO O 4.3. Diviso da circunferncia em arcos iguais - Processos Exatos........................... 105 4.4. Diviso da circunferncia em arcos iguais - Processos Aproximados.............111 4.5. Polgonos estrelados................................................................................................117 Captulo 5 - reas .........................................................................................................................119 5.1. Axiomas..................................................................................................................... 119 5.2. Equivalncia de reas..............................................................................................121 Captulo 6 - Geometria espacial de posio...............................................................................126 6.1. Conceitos primitivos e postulados........................................................................126 6.2. Posies relativas de duas retas.............................................................................127 6.3. Determinao de um plano....................................................................................129 6.4. Posies relativas de reta e plano..........................................................................130 6.5. Posies relativas de dois planos........................................................................... 131 6.6. Posies relativas de trs planos............................................................................ 132 6.7. ngulo entre reta e plano.......................................................................................134 6.8. ngulo entre dois planos........................................................................................ 137 6.9. ngulo diedro..........................................................................................................138 6.10. Triedros.................................................................................................................... 140 6.11. ngulos polidricos............................................................................................... 141 6.12. Estudo dos poliedros. Soma dos ngulos da face de um poliedro. Poliedros de Plato. Poliedros regulares............................................................ 142 Captulo 7 - Geometria espacial mtrica..................................................................................... 150 7.1. Estudo do prisma.....................................................................................................150 7.2. Pricpio de Cavalieri................................................................................................154 7.3. Estudo da pirmide.................................................................................................157 7.4. Estudo do octaedro regular....................................................................................163 7.5. Estudo do icosaedro regular................................................................................... 163 7.6. Estudo do dodecaedro regular............................................................................... 165 7.7. Estudo do cilindro.................................................................................................... 167 7.8. Estudo do cone.........................................................................................................169 7.9. Estudo da esfera.......................................................................................................172 Referncias Bibliogrficas............................................................................................................177 1.1. EDIFICAO RACIONAL DA GEOMETRIA A Geometria foi organizada de forma dedutiva pelos gregos.Deduziroudemonstrarumaverdadeestabelec-lacomoconsequnciadeoutras verdades anteriormente estabelecidas. No entanto, num caminho de retrocesso, chegaremos a um ponto de partida, a uma verdade impossvel de se deduzir de outra mais simples. AXIOMAS X TEOREMAS Esta a estrutura da Geometria, desde "Elementos" de Euclides, escrito no sculo III A.C., onde ele tentou definir os conceitos fundamentais. Atualmente, a Geometria aceita por normas: - Enunciar, sem definio, os conceitos fundamentais. -Admitir,semdemonstrao,certaspropriedadesquerelacionamestesconceitos, enunciando os axiomas correspondentes. - Deduzir logicamente as propriedades restantes. O que so os axiomas? Soafirmaestantasvezesprovadasnaprtica,quemuitopoucoprovvelque algum delas duvide. Devero ser o menor nmero possvel. RELAES ENTRE PROPOSIES Asproposies(outeoremas)podemserescritasnaformapq,ondepeqso chamados de hiptese e tese respectivamente. Entre as proposies deduzidas (ou teoremas) podem ocorrer as seguintes relaes: a) Recproca: Umteoremasedizrecprocodeoutroquandoasuahipteseeteseso, respectivamente, a tese e a hiptese do outro. Exemplos: Direto: Se dois lados de um tringulo so desiguais, ento ao maior lado ope-se o maior ngulo. C CA AP P T TU UL LO O 1 1: : A AX XI IO OM M T TI IC CA A UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA5 Recproco: Se dois ngulos de um tringulo so desiguais, ento ao maior ngulo ope-se o maior lado. Observao: Nem todos os teoremas recprocos so verdadeiros. Assim, por exemplo: Direto: Todos os ngulos retos so iguais. Recproco: Todos os ngulos iguais so retos. b) Teorema Contrrio: a proposio obtida pela negao da hiptese e tese de um teorema. Exemplos: Teorema: Todo ponto da bissetriz de um ngulo equidistante dos lados. Teorema contrrio: Todo ponto que no pertence bissetriz de um ngulo no equidistante dos lados. Observao: o teorema contrrio nem sempre verdadeiro. Teorema: Dois ngulos opostos pelo vrtice so iguais. Teorema contrrio: Dois ngulos que no so opostos pelo vrtice no so iguais. c) Contra-positiva: A contra-positiva de um teorema tem por hiptese a negao da tese do teorema e tem como tese a negao da hiptese do teorema. Exemplo:Teorema: Se um tringulo issceles, ento os ngulos da base so iguais. Contra-positiva: Se os ngulos da base de um tringulo no so iguais, ento o tringulo no issceles com esta base. Observao: A contra-positiva de um teorema sempre verdadeira. DEMONSTRAO O que uma demonstrao? Consiste num sistema de silogismos, por meio dos quais a veracidade da afirmao deduzida a partir dos axiomas e das verdades anteriormente demonstradas. O que um silogismo? O silogismo uma reunio de trs proposies: a maior, a menor e a concluso. Exemplos:a) - Todos os homens so mortais. - Eu sou homem. - Logo, sou mortal. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA6 b) A Terra esfrica. (Argumentao x fatos x deduo) Verifica-se que, todos os corpos que, em diferentes posies, projetam sombra redonda, tm a forma esfrica. A Terra, durante os eclipses lunares, projeta sobre a lua sombra redonda. Consequentemente, a Terra tem a forma de uma esfera. TCNICAS DE DEMONSTRAO Ademonstraodeumteoremaconsisteemefetuarumconjuntoderaciocnios dirigidos exclusivamente para provar que verdadeiro o fato afirmado pela proposio. Para demonstrarmos proposies condicionais do tipo p q podemos usar: a) Forma Direta: Admitimos como verdade (ou vlida) a proposio p, chamada de hiptese, e atravs de definies, propriedades, relaes, etc, pr-estabelecidos, conclumos a validade da proposio q, chamada de tese. b) Contra-positiva: Nestecaso,reescrevemosaproposiopqnaformaequivalente~q~peaplicamosaformadiretanacontra-positiva.Ouseja,partimosdanegaodatesepara concluirmos a negao da hiptese. c) Reduo ao Absurdo (RAA): A reduo ao absurdo consiste em provar que a negao do condicional p q uma contradio. Isto , ~(p q) p ~q F. Ou seja, partimos da negao da tese e procuramos encontrar uma contradio com a hiptese. Observao: RAA muito utilizado para provar unicidade. PARA QUE A DEMONSTRAO? Princpio da Razo Suficiente: Todas as afirmaes devero ser fundamentadas. Atravs da experincia, observao, ou de raciocnios lgicos (silogismos). Bskara no livro "Lilavti" apresenta a demonstrao de um teorema apenas com uma figura e uma palavra: V. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA7 Para se compreender o que est "escrito", necessrio pensar, raciocinar, deduzir. Ser que existem afirmaes suficientemente claras, que sejam evidentes? Exemplos: - Folha de Moebius; - Congruncia de dois tringulos, conhecidos 2 lados e um ngulo. O que no necessrio demonstrar? A axiomtica. 1.2. POSTULADOS DO DESENHO GEOMTRICO Assim como no estudo da Geometria se aceitam, sem definir, certas noes primitivas e semdemonstrarcertasproposiesprimitivas(oupostulados,ouaxiomas),noestudodo Desenhonecessrioaceitarcertospostuladosquetornamamatriaobjetiva,isto, independente da opinio do estudante. 1oPOSTULADO-OsnicosinstrumentospermitidosnoDesenhoGeomtrico,almdolpis, papel, borracha e prancheta, so: a rgua no graduada e os compassos comum e de pontas secas. A graduao da rgua ou "escala" s pode ser usada para colocar no papel os dados de um problema ou eventualmente para medir a resposta, a fim de conferi-la. 2o POSTULADO - proibido em Desenho Geomtrico fazer contas com as medidas dos dados; todavia, consideraes algbricas so permitidas na deduo (ou justificativa) de um problema, desde que a resposta seja depois obtida graficamente obdecendo aos outros postulados. 3o POSTULADO - Em Desenho Geomtrico proibido obter respostas " mo livre", bem como "por tentativas". UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA8 Asfigurasgeomtricaselementares,noplano,soospontoseasretas.Oplano constitudo de pontos e as retas so subconjuntos de pontos do plano. Pontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas que sero a seguir estudados. 1.3. OS AXIOMAS DE INCIDNCIA AXIOMA 1.1. Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem reta e pontos que no pertencem reta. AXIOMA 1.2. Dados dois pontos distintos, existe uma nica reta que contm estes pontos. Quando duas retas tm um ponto em comum, diz-se que elas se interceptam, ou que concorrem ou que se cortam naquele ponto. PROPOSIO:Duasretasdistintasounoseinterceptamouseinterceptamemumnico ponto. Prova: Sejam m e n duas retas distintas. A interseo destas duas retas no pode conter dois ou mais pontos, pois pelo Axioma 1.2 elas coincidiriam. Logo, a interseo de m e n vazia ou contm apenas um ponto. Observao: Imaginamos um plano como a superfcie de uma folha de papel que se estende infinitamente em todas as direes. Nela um ponto representado por uma pequena marca produzida pela ponta de um lpis. O desenho de uma parte da reta feito com o auxlio de uma rgua. Ao estudarmos geometria comum fazermos o uso de desenhos. Porm os desenhos devem ser considerados apenas como um instrumento de ajuda nossa intuio. Notao: Utilizaremos letras maisculas A, B, C, ... para designar pontos, e letras minsculas a, b, c, ... para designar retas. P PA AR RT TE E I I G GE EO OM ME ET TR RI IA A P PL LA AN NA A UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA9 1.4. OS AXIOMAS DE ORDEM A figura dada abaixo apresenta uma reta e trs pontos A, B e C desta reta. O ponto C localiza-se entre A e B, ou os pontos A e B esto separados pelo ponto C. Notao: Utilizaremos a notao A-C-B para denotar que o ponto C est entre A e B. Anoodequeumpontolocaliza-seentredoisoutrospontosumarelao,entre pontos de uma mesma reta, que satisfaz aos axiomas apresentados a seguir. AXIOMA2.1.Dadostrspontosdeumareta,umeapenasumdeleslocaliza-seentreos outros dois. DEFINIO: O conjunto constitudo por dois pontos A e B e por todos os pontos P tais que A-P-B chamado de segmento AB. Os pontos A e B so denominados extremos ou extremida-des do segmento.Notao:AB. Muitas figuras planas so construdas usando-se segmentos. A mais simples delas o tringulo que formado por trs pontos que no pertencem a uma mesma reta e pelos trs segmentosdeterminadosporestestrs pontos. Os trs pontos so chamados vrtices do tringulo e os segmentos so os lados. DEFINIO: Se A e B so pontos distintos, o conjunto constitudo pelos pontos do segmento ABe por todos os pontos P, tais que A-B-P chamado de semi-reta de origem A, que contm o ponto B. Notao:AB

. Observao: Dois pontos A e B determinam duas semi-retas, que contmAB. AXIOMA 2.2. Dados os pontos A e B, sempre existem: um ponto C tal que A-C-B e um ponto D tal que A-B-D. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA10 DEFINIO:SejamumaretameumpontoAquenopertenceam.Oconjuntoconstitudopelos pontos de m e por todos os pontos B tais que A e B esto em um mesmo lado da reta m chamado de semi-plano determinado por m que contm A. AXIOMA 2.3. Uma reta m determina dois semi-planos distintos, cuja interseo a reta m. DEFINIO: Um subconjunto do plano convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos est totalmente contido nele. Exemplos: 1.5. OS AXIOMAS SOBRE MEDIO DE SEGMENTOS AXIOMA3.1.Paracadapardepontoscorrespondeumnmeromaiorouigualazero.Este nmerozeroseesomenteseospontossocoincidentes.(conceitodedistnciaou comprimento). AXIOMA 3.2.Existe uma correspondncia biunvoca entre os nmeros reais e os pontos de uma reta. A diferena entre estes nmeros mede a distncia entre os pontos correspondentes. (conceito de coordenada). AXIOMA 3.3. Se A-C-B, entoAC CB AB + = . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA11 PROPOSIO: Se emAB

considerarmos o segmentoACtal queAC AB < , ento A-C-B. Prova: Como A origem de AB

no pode existir a relao B-A-C. Se A-B-C, ento pelo Axioma 3.3, teramos AB BC AC + =e como consequnciaAB AC. < Mas esta desigualdade contrria hiptese de queAC AB. < Portanto, teremos A-C-B. DEFINIO: O ponto mdio do segmentoAB um ponto C tal que A-C-B eAC CB = . EXERCCIO: Prove que um segmento tem apenas um ponto mdio. Observao: A noo de distncia uma das noes mais bsicas da Geometria. Ela satisfaz as seguintes propriedades:1. Para quaisquer dois pontos A e B do plano, temos queAB 0 > , eAB 0 = se e somente se A B. 2. Para quaisquer dois pontos A e B temos queAB BA = . 3.ParaquaisquertrspontosdoplanoA,BeC,tem-seAC AB BC < + .Aigualdade ocorre se e somente quando A-C-B (Desigualdade Triangular). DEFINIO:SejamAumpontodoplanoerumnmerorealpositivo.Acircunfernciade centro A e raio r o conjunto constitudo por todos os pontos B do plano, tais que AB r = . Todo ponto C tal queAC r externo circunferncia. 1.6. OS AXIOMAS SOBRE MEDIO DE NGULOS DEFINIO: Chamamos de ngulo a figura formada por duas semi-retas com a mesma origem. Elementos: lados, vrtice, espao angular. Notao: AB,AOB, ,O, , , ... UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA12 DEFINIO: ngulo raso formado por duas semi-retas distintas de uma mesma reta. AXIOMA 3.4. Todo ngulo tem uma medida em graus maior ou igual a zero. A medida de um ngulo zero se e somente se ele constitudo por duas semi-retas coincidentes. Todo ngulo raso mede 180. DEFINIO: Uma semi-reta n divide um semi-plano determinado por uma reta m quando ela estiver contida no semi-plano e sua origem for um ponto da reta que o determina. AXIOMA 3.5. possvel colocar, em correspondncia biunvoca, os nmeros reais entre zero e 180, e as semi-retas de mesma origem que dividem um dado semi-plano, de tal forma que adiferenaentreestesnmerossejaamedidadonguloformadopelassemi-retas correspondentes. DEFINIO: Considere as semi-retas de mesma origemOA

,OB

eOC

. SeAB OC P =

, ento OC

divide o ngulo convexo AB. AXIOMA 3.6. SeOC

divide um ngulo AB, ento AB = AC + CB.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA13 DEFINIO: Quando AC = CB entoOC

chamada bissetriz de AB. EXERCCIO: Construir a bissetriz do ngulo AB. DEFINIES: Dois ngulos so: a) consecutivos: quando possuem o mesmo vrtice e tm um lado comum.Exemplo: AB e CB; b) adjacentes: quando so tambm consecutivos e no tm pontos internoscomuns. Exemplo: AC e CB; c) complementares: quando a soma de suas medidas igual a 90o; d) suplementares: quando a soma de suas medidas igual a 180o; e) replementares: quando a soma de suas medidas igual a 360o. Osuplementodeumnguloonguloadjacenteaongulodado,obtidopelo prolongamento de um de seus lados. DEFINIO: Quando duas retas distintas se interceptam, formam-sequatrongulos.OsngulosABe DC so opostos pelo vrtice. Do mesmo modo o so os ngulos AD e BC. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA14 PROPOSIO:ngulos opostos pelo vrtice tm a mesma medida. Prova: Se AB e DC so ngulos opostos pelo vrtice, ento tm o mesmo suplemento: AD. Logo, oo AOB AOD 180 AOB DOC DOC AOD 180+ = =+ =

DEFINIO: Um ngulo cuja medida 90o chamado de ngulo reto. Osuplementodeumnguloretotambmumnguloreto.Quandoduasretasse interceptam, se um dos quatro ngulos formados por elas for reto, ento todos os outros tambm o sero. Neste caso diremos que as retas so perpendiculares. TEOREMA: Por qualquer ponto de uma reta passa uma nica perpendicular a esta reta. Prova: a)Existncia.DadaumaretameumpontoAsobreela,asduassemi-retas determinadas por A formam um ngulo raso.Considere um dos semi-planos determinados pela reta m. De acordo com o Axioma 3.5, entretodasassemi-retascomorigemA,quedividemosemi-planofixado,existeumacuja coordenadaseronmero90.Estasemi-retaformangulosde90ocomasduassemi-retas determinadas pelo ponto A sobre a reta m. Portanto, ela perpendicular a reta m. b) Unicidade. Suponha que existam duas retas n e n passando por A e perpendiculares am. Fixe um dos semi-planos determinados por m. As intersees das retas n e n com este semi-plano so semi-retas que formam um ngulo e formam outros dois ngulos e com as semi-retas determinadas pelo ponto A em m. Como n e n so perpendiculares a m, ento = = 90. Por outro lado, devemos ter + + = 180. Logo, = 0 e as retas n e n coincidem. EXERCCIO: Prove que se uma reta r intercepta um lado de um tringulo e no passa por um vrtice, ento r intercepta outro lado do tringulo. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA15 1.7. CONGRUNCIA DE TRINGULOS DEFINIO: Os segmentos AB eCDso congruentes quandoAB CD = . Os ngulos A e C so congruentes quando tm a mesma medida. Observao:Comestadefinio, as propriedades da igualdade de nmeros passam a valer paraacongrunciadesegmentosedengulos.Logo,umsegmentosempre congruente a ele mesmo e se dois segmentos so congruentes a um terceiro, ento so congruentes entre si. DEFINIO: Dois tringulos so congruentes se for possvel estabelecer uma correspondncia biunvocaentreseusvrticesdemodoqueladosenguloscorrespondentessejam congruentes. Observao:Quando escrevemos ABC = DEF significa que os tringulos ABC e DEF so congruentes e que a congruncia leva A em D, B em E e C em F. AXIOMA 4. SeAB DE = , A D =eAC DF = , ento ABC = EFG. Este axioma conhecido como o primeiro caso de congruncia de tringulos:Lado-ngulo-Lado (LAL). UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA16 Observao:Note que, de acordo com a definio de congruncia de tringulos, para verificar se dois tringulos so congruentes temos que testa seis relaes: congruncia dos trs pares de lados e congruncia dos trs pares de ngulos correspondentes. O axioma 4 afirma que suficiente verificar apenas trs delas, ou seja: AB DEAB DE, BC EF, AC DF A D A D, B E, C FAC DF= = = = = = = = = TEOREMA: Se A D = ,AB DE =e B E = , ento ABC = EFG. Este o segundo caso de congruncia de tringulos: ngulo-Lado-ngulo (ALA). Prova: Considere G um ponto da semi-retaAC

tal queAG DF = .Comparando os tringulos ABG e DEF temos que, pelo Axioma 4, ABG = DEF ( AB DE, A D, AG DF = = = ). Como consequncia, temos que ABG E = . Por hiptese, E ABC = , logo ABG ABC =e, portanto, as semi-retasBG

eBC

coincidem. Ento G C e, portanto, coincidem os tringulos ABC e ABG. Como j provamos que ABG = EFG ento ABC = EFG. DEFINIO: Um tringulo issceles quando tem dois lados congruentes. Estes lados chamam-se laterais e o terceiro lado chama-se base. PROPOSIO:Se um tringulo issceles, ento os ngulos da base so iguais. Prova: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA17 Seja ABC um tringulo issceles de baseBC. LogoAB AC = .Queremosprovarque B C = .VamoscompararotringuloABCcomelemesmo, fazendo corresponder os vrtices da seguinte maneira: A A, B C e C B. Pela hiptese temos que AB AC =e AC AB = . Como = , pelo Axioma 4 temos umacorrespondnciaquedefineABC=ACB.Portanto,ladosenguloscorrespondentesso congruentes, ou seja, B C = . PROPOSIO:Se num tringulo os ngulos da base so iguais, ento o tringulo issceles. Prova: Seja ABC um tringulo tal que B C = . Vamos provar que ele issceles, ou seja, que AB AC = . Vamos comparar o tringulo ABC com ele mesmo, fazendo corresponder os vrtices como na prova da proposio anterior, isto , A A, B C e C B. Como B C = e C B = ,porhiptese,eBC CB = estacorrespondnciadefineuma congruncia pelo caso ALA. Logo, lados e ngulos correspondentes so congruentes, ou seja, AB AC =e o tringulo issceles. DEFINIO: Sejam ABC um tringulo e D um ponto da reta que contm os vrtices B e C. Se D for o ponto mdio deBC, o segmentoAD chama-se mediana do tringulo relativa-mente ao ladoBC.O segmentoAD chama-se bissetriz do ngulo seAD

separa o ngulo CB em dois ngulos iguais, isto , se CD = DB. O segmento AD chama-se altura do tringulo relativamente ao ladoBC se a reta que contm AD for perpendicu-lar reta que contmBC. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA18 PROPOSIO:Em um tringulo issceles a mediana relativa base tambm bissetriz e altura. Prova: ConsidereABCumtringuloisscelesdebaseBCe medianarelativabaseAD.DevemosprovarqueBD=DC (bissetriz) e que BDA= 90 (altura). ComoBD DC = (poisADamedianarelativaaolado BC), AB AC =(pois o tringulo issceles de baseBC) e B C =(de acordocomaproposioanterior),entoABD=ACDpelo critrio LAL. Logo, lados e ngulos correspondentes so congruentes, ou seja, BD = DC e BDA ADC = . A primeira igualdade nos diz queAD bissetriz de ngulo BC. Como BDCngulorasoe o BDA ADC BDC 180 + = = .Como BDA ADC = ento conclumos que o BDA ADC 90 = = . PortantoAD perpendicular aBC, ou seja, a altura do tringulo ABC em relao sua base. TEOREMA: Se dois tringulos tm trs lados correspondentes congruentes ento os tringulos so congruentes. Este o terceiro caso de congruncia de tringulos: Lado-Lado-Lado (LLL). Prova: Sejam ABC e DEF dois tringulos tais que AB DE = , BC EF = , AC DF = . Vamos provar que ABC = DEF. Construa a partir da semi-reta BC

e no semi-plano oposto ao que contm o ponto A, um ngulo igual a F. No lado deste ngulo que no contm o ponto B, marque G tal queCG DF =e ligue B a G. ComoBC EF =(hiptese), CG DF =(construo) e BCG F =(construo),ento GBC = DEF por LAL. Logo lados e ngulos correspondentes so congruentes. Deste modo, GB ED = , UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA19 masED AB =pela hiptese. Portanto,GB AB = .AgoravamosmostrarqueGBC=ABC.TraceAG.ComoAC GC DF = = eAB BG DE = = entoAGCeAGBsoisscelesdebaseAG.Portanto BGA BAG = e AGC GAC = , e conclumos que BGC BAC = . Pelo primeiro caso de congruncia de tringulos podemosconcluirqueGBC=ABC.ComojtnhamosprovadoqueGBC=DEF, conclumos que ABC = EFG. EXERCCIOS 01. Mostre que as bissetrizes de um ngulo e do seu suplemento so perpendiculares. 02. Sabendo-se que os ngulos e so iguais, mostre queAC BC = . 03. Sabendo-se queAB AC =eBD CE = , mostre que: a) ACD = ABE b) BCD = CBE 04. ConsidereAC AD =eAB

bissetriz de CD. Prove que ACB = ADB. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA20 05. Sabendo-se que A ponto mdio dos segmentosCB eCE, prove que ABD = ACE. 06. Os ngulos e C so retos, e o segmentoDE cortaACno ponto mdio B deAC . Mostre queAD CE = . 07. Na figura dada abaixo, sabe-se queOC OB = ,OD OA =e BD = CA. Mostre queCD AB. = 08. O ngulo CMA reto e M o ponto mdio deAB. Mostre queAC BC. = 09. Na figura dada abaixo, os tringulos ABD e BCD so issceles, com base BD .Prove que os ngulosABC e ADCso iguais. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA21 10. Na figura dada abixo, a regio X representa um lago. Descreva um processo pelo qual ser possvel medir a distncia entre os pontos A e B. Qualquer medida fora do lago possvel. 11. Na figura abaixo temosAD DE = , = DC e ADE BDC. = Mostre que ADB = EDC. 12. Mostre que, se um tringulo tem os lados congruentes, ento tem tambm os trs ngulos congruentes. A recproca verdadeira? Prove ou d um contra-exemplo. DEFINIO:Umtringuloquepossuiostrsladoscongruenteschamadodetringulo equiltero. 13. MostrequenumtringuloisscelesABC,combaseBCabissetrizdongulo perpendicular base (ou o que o mesmo: a altura) e tambm mediana. 14. Supondo-se que ABD e BCD so tringulos issceles com base BD,prove que ABC ADC =e que AC bissetriz do ngulo BCD. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA22 15. Justifique o seguinteprocedimentopara a determinao do ponto mdio de um segmento. "Seja AB um segmento. Com um compasso centrado em A, desenhe uma circunferncia de raioAB. DescrevaoutracircunfernciademesmoraioecentroemB.Estasduas circunferncias se interceptam em dois pontos. Trace a reta ligando estes dois pontos. A interseo desta reta com o segmentoAB ser o ponto mdio deAB". 16. NaconstruoacimarealmentenecessrioqueascircunfernciastenhamraioAB(ou pode-se utilizar um raio r qualquer)? Justifique a resposta. 17. Mostre que, na construo descrita no exerccio 14, a reta que determina o ponto mdio deAB perpendicular aAB. DEFINIO:AmediatrizdeumsegmentoABumaretaperpendicularaosegmentoeque passa pelo seu ponto mdio. 18. Utilize a idia da construo descrita no exerccio 14 e proponha um mtodo de construo deumaperpendicularaumaretadadapassandoporumpontodestareta.Justifiquea construo. 19. Demonstre ou d um contra exemplo caso a sentena seja verdadeira ou falsa: Dados dois tringulos ABC e EFG, se = , AB EF =eBC FG = , ento os tringulos so congruentes. um quarto caso (ALL) de congruncia de tringulos? 20. Construir FG = BC. Justifique a construo. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA23 1.8. DESIGUALDADES GEOMTRICAS DEFINIO: Se ABC um tringulo, os seus ngulos ABC, BCA e CB, formados pelos lados, sochamadosdengulosinternosousimplesmentedengulosdotringulo.Os suplementos destes ngulos so chamados de ngulos externos do tringulo. TEOREMA DO NGULO EXTERNO: Todo ngulo externo de um tringulo maior do que qualquer um dos ngulos internos a ele no adjacentes. Prova: Na semi-retaBC

marque um ponto F tal que B-C-F. Devemos provar que ACF> e ACF> B.Vamos inicialmente provar que ACF> . Considere o ponto mdio M do segmentoAC. Na semi-retaBM

, marque um ponto D tal queBM MD =e traceCD. Compare os tringulos BMA e DMC. Como AM MC =(pois M mdio de AC ),BM MD =(construo) e BMA = DMC (ngulos opostos pelo vrtice), temos queBMA=DMC(LAL).Consequentemente,ladosenguloscorrespondentesso congruentes, ou seja, = MCD.Como a semi-retaCD

divide o ngulo ACFento MCD < ACF.Portanto, < ACF.Vamos provar queACF> B. Na semi-retaAC

marque um ponto G tal que A-C-G. Considere o ponto mdio N do segmento BC.Na semi-reta AN

, marque um ponto E tal queAN NE = etraceCE. CompareostringulosBNAeCNE.ComoBN NC = (poisN mdio deBC), AN NE =(construo) e BNA CNE =(ngulos opostos pelo vrtice), temos que BNA = CNE (LAL). Consequentemente, lados e ngulos correspondentes so congruentes, ou seja, B NCE. =Como a semi-reta CE

divide o ngulo BCG, ento NCE BCG. e queAP PM. > O nmeroPM chamado de distncia do ponto P reta r. Dado um tringulo ABC dizemos que o lado BC ope-se ao ngulo ou, de maneira equivalente, que o ngulo oposto ao lado BC. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA26 PROPOSIO: Se dois lados de um tringulo no so congruentes ento seus ngulos opostos no so iguais e o maior ngulo oposto ao maior lado. Prova: ConsidereumtringuloABCsendoBC AC .LogopodemossuporqueBC . Determine sobre a semi-retaCA

um ponto D, tal queCD BC. =ComoBCCBD(1). Como o tringulo CBD issceles de base BD (construo CB CD = ) temos que CBD= CDB(2). Pelo teorema do ngulo externo temos que CDB> CB (3). De (1), (2) e (3) temos que: CBA>CBD=CDB > CB, ou seja, B> . Analogamente, podemos provar que ao menor lado ope-se o menor ngulo. PROPOSIO:Se dois ngulos de um tringulo no so congruentes, ento seus lados opostos no so iguais e o maior lado oposto ao maior ngulo. Prova: Consideremos um tringuloABCtal que B , vamos supor que B> . Devemos mostrar queBCAC e queAC o maior lado (pois este oposto ao maior ngulo). a) Mostraremos inicialmente que os ladosBC e ACno so iguais. Dahiptesetemosque B.Logo,podemos concluirqueotringuloABCnoisscelesdebase ABe,portanto,osladosnosoiguais.Destaforma, BCAC. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA27 b) Agora vamos mostrar queBC . Podemos observar que, existem trs possibilidades que podem ocorrer:BC>AC ,BCACento, pela proposio anterior, deveramos ter >B, o que contraria a hiptese. Do mesmo modo, se ocorresseBC=ACo tringulo seria issceles e =B o que est em desacordo com a hiptese (provado no item a). Logo, deve ocorrerBCAC.Considereo ponto D na semi-retaAB

talqueBD BC = . Portanto, o tringulo BCD issce-les de baseCD.Logo, BCD=BDC(1). ComoAD=AB+BD ento D-B-A e a semi-retaCB

divideongulo ACD.Portanto, ACD> BCD(2). De (1) e (2) temos que, no tringulo ACD, ACD>BCD. Mas pela proposio anterior temosqueaomaiornguloope-seomaiorlado,ouseja,AD>AC. MasAD=AB+BD= AB+BCe, portanto,AB+BC>AC. DEFINIO: Um tringulo que possui um ngulo reto chamado tringulo retngulo. O lado oposto ao ngulo reto chamado hipotenusa, e os outros dois lados so denominados catetos. EXERCCIO: Mostre que num tringulo retngulo: a) A hipotenusa sempre menor que a soma dos catetos.b) A hipotenusa sempre maior que qualquer cateto. c) Os ngulos opostos aos catetos so agudos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA28 EXERCCIOS 01. Dados reta r, pontos P e Q, pede-se: obter sobre r um ponto A, tal quePA AQ +sejamnimo. Justifique a resoluo. 02.Nafiguraabaixo somente as medidas dos ngulos esto corretas. Responda as questes, justificando-as. a) Os tringulos ABC e DCB so congruentes? b) Qual o maior lado do tringulo ABC? c) Qual o menor lado do tringulo DBC? 03. Se, no problema anterior, os ngulos fossem os indicados abaixo, quais seriam as respostas? 04. Se um tringulo ABC equiltero e D um ponto tal que B-D-C, mostre queAD>BD. 05. Demonstre que: dados dois tringulos ABC e DEF, se A E = ,AB DE =e C F = , ento os tringulos so congruentes. Este o quarto caso de congruncia de tringulos, chamado de Lado-ngulo-nguloOposto - (LAAo) 06. Sejam ABC e DEF dois tringulos retngulos cujos ngulo retos so C e F.Prove que se AB DE =eBC EF =ento os tringulos so congruentes. Este o teorema de congruncia de tringulos retngulos - (LLAr) UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA29 07. Justifiquea construo da bissetriz de um ngulo dada no exerccio da pgina 13. (Ou seja, prove que: Ab = bB). 08. Prove que num tringulo issceles ABC, de baseBC, a altura relativa ao vrtice A tambm mediana e bissetriz. 1.9. O AXIOMA DAS PARALELAS AXIOMA 5. Por um ponto fora de uma reta m passa uma nica reta paralela a reta m. (Unicidade) Devemos observar que este axioma prescreve a unicidade, j que a existncia de reta paralela a m, passando por um ponto dado, j era garantida. PROPOSIO:Se a reta m paralela a duas outras retas n1 e n2, ento n1 e n2 so paralelas ou coincidentes. Prova: Vamos supor que m seja paralela a n1 e a n2, n1 n2 e que n1 no seja paralela a n2. Como n1 e n2 no coincidem e no so paralelas, ento elas tm um ponto em comum P. Mas pelo ponto P estopassandoduasretas,n1en2,quesodistintase paralelasaumamesmaretam.Oquecontradizo Axioma 5. PROPOSIO:Seumaretamcortaumadeduasparalelas,n1en2,entocortatambma outra. Prova: Vamos supor que n1seja paralela a n2, m corta n1 mas no corta n2. Como m no corta n2 ento m e n2 so parale-las.Assim,n2paralelaamean1.Pelaproposio anteriortemosquemen1soparalelas,oque contradiz a hiptese. Logo, m tambm corta n2. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA30 PROPOSIO:Sejam m, n1, n2, n1 n2, e os ngulos indicados2 e6 na figura abaixo. Se2 =6, ento as retas n1 e n2 so paralelas. Prova: Vamossuporque2=6equen1en2noso paralelas. Como as retas so distintas, elas se interceptam em algum ponto P, formando ento um tringulo. Nestetringulo2nguloexternoe6um ngulointernonoadjacenteaongulo2ouvice-versa. Assim, pelo teorema do ngulo externo teramos2 6, o quecontradizanossahiptese.Portanto,n1en2nose interceptam. DEFINIO:Quandoduasretas(nonecessariamenteparalelas)socortadasporuma transversal formam-se oito ngulos como indicados na figura abaixo. Chamam-se ngulos: correspondentes:1 e5,2 e6,3 e7,4 e8. opostos pelo vrtice:2 e4,1 e3,5 e7,6 e8. internos : entre as retas n1 e n2:3,4,5 e6. externos : fora das retas n1 e n2:1,2,7 e8. colaterais : aqueles que esto de um mesmo lado da transversal: colaterais internos:3 e6,4 e5.colaterais externos:1 e8,2 e7. alternos : aqueles que esto em semi-planos opostos em relao transversal: alternos internos:3 e5,4 e6. alternos externos:1 e7,2 e8. PROPOSIO:Seaocortarmosduasretascomumatransversalobtivermos3+6=180o, ento as retas so paralelas. Prova: Pela hiptese temos que3 +6 = 180o, mas como2 e3 so suplementares, ento 2 +3 =3 +6 = 180o, logo2 =6. Pela proposio anterior temos que as retas so paralelas. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA31 PROPOSIO:Seduasretasparalelassocortadasporumatransversal,entoosngulos correspondentes so iguais. Prova: Sejam n1 e n2 retas paralelas cortadas pela trans- versal m nos pontos A e B, respectivamente. Considere uma reta n passando pelo ponto A e formandocomatransversalquatrongulosiguaisaos nguloscorrespondentesformadospelaretan2coma mesma transversal. De acordo com a 1a proposio da pgina 30, n e n2 so paralelas. Mas pela hiptese temos que n1 e n2 so paralelas. Portanto n e n1 tambm so paralelas e concorrem num mesmo ponto A, logo n e n1 so coincidentes. Portanto, n1 forma com a reta m ngulos iguais aos correspondentes formadosporn2 com a reta m. COROLRIO: Se os ngulos alternos internos (ou externos) so congruentes, ento n1n2. Prova: Exerccio COROLRIO: Se n1n2 ento os ngulos alternos internos (ou externos) so congruentes. Prova: Exerccio TEOREMA: A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180o. Prova: Pelo vrtice A, construa n1 paralela a BC n2.Considere os ngulos como indicados na figura aolado.ComoasretasABeACsotransversaiss paralelasn1en2entoosngulosalternosinternosso iguais, ou seja, = e = . Como + + = 180o, temos que + + = 180o. COROLRIO:a) A soma das medidas dos ngulos agudos de um tringulo retngulo 90o. b) Cada ngulo de um tringulo equiltero mede 60o. c) A medida de um ngulo externo de um tringulo igual soma das medidasdos ngulos internos no adjacentes. d) A soma dos ngulos internos de um quadriltero 360o. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA32 TEOREMA: Se n1 e n2 so paralelas, ento todos os pontos de n1 esto mesma distncia de n2.(a recproca verdadeira) Prova: Sejamn1en2retasparalelas.Sobren1considere- mos dois pontos A e B, e deles baixemos perpendiculares retan2.SejamAeBrespectivamenteospsdestas perpendiculares. Devemos provar queAA BB = . Vamos unir A e B. Considere os tringulos AAB eBBA.ComoABcomum, AB A B AB = (poisso ngulosalternosinternosrelativostransversalAB)e AAB AB B = (poissongulos complementares,respectivamente, B AB e AB A ),logoostringulosAABeBBAso congruentes pelo critrio ALA. Portanto, lados e ngulos correspondentes so congruentes, ou seja,AA BB = . EXERCCIO:Refazeroexerccio5dapgina28utilizandoofatodequeasomadosngulos internos de um tringulo 180o. PARALELOGRAMO DEFINIO: Paralelogramo um quadriltero cujos lados opostos so paralelos. PROPOSIO:Em todo paralelogramo lados e ngulos opostos so congruentes. Prova: Seja ABCD um paralelogramo. Considere a diagonalBD. Como AB e DC so paralelas cortadas porBD, ento ABD BDC =(ngulos alternos inter-nos) e como AD e BC so paralelas cortadas por BD, ento ADB DBC. =ComoBD comum, podemos concluirqueostringulosADBeCBDso congruentespelocritrioALA.Logo,ladose ngulos correspondentes so congruentes, ou seja, AD BC = ,AB CD =e A C = . Temos ainda que D ADB BDC DBC ABD B. = + = + =Logo, D B. = UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA33 PROPOSIO: As diagonais de um paralelogramo se interceptam em um ponto que o ponto mdio das duas diagonais. Prova: SejaABCDumparalelogramocomas diagonaisACeBD. Seja M o ponto de interseo das diagonais. Devemos provar queDM MB =e AM MC. =ComoABeDCsoparalelascortadas pelastransversaisACeBD,entodeterminam ngulos alternos internos iguais, ou seja, BAM MCD =e ABM MDC. =Como AB CD =(lados doparalelogramo)entoAMB=CMDpelocritrioALA.Logoladosengulos correspondentes so congruentes, ou seja,AM MC =eBM MD. = PROPOSIO:Se os lados opostos de um quadriltero so congruentes ento o quadriltero um paralelogramo. Prova: SejaABCDumquadrilterocomAB CD =e BC AD. =Devemos provar que ABCD um paralelogramo, ou seja, que AB CD e BC AD. Considere a diagonalBD do quadrilte-ro. Nos tringulos ABD e CDB temos queBD lado comum, AB CD =(hiptese) e BC AD = (hiptese). Logo, os tringulos so congruentes pelo critrioLLL,eladosenguloscorrespondentessocongruentes.Ouseja, CDB ABD = e CBD ADB. =A primeira igualdade garante que ABDC e a segunda garante que BCAD. Logo, ABCD um paralelogramo. PROPOSIO: Se dois lados opostos de um quadriltero so congruentes e paralelos, ento o quadriltero um paralelogramo. Prova: Seja ABCD um quadriltero com AD BC e AD BC. =Devemos provar que ABCD um paralelogramo.Deacordocomaproposioanterior,seprovarmosqueAB CD = ,entoo quadriltero ser um paralelogramo. Considere a diagonalBD e os tringulos ADB e CBD. Como AD BC so cortadas pela transversalBDentoosngulosalternosinternossoiguais,ouseja, ADB DBC. = Como AD BC =(hiptese) eBD lado comum, ento ADB = CBD pelo critrio LAL. Logo, lados e ngulos correspondentes so congruentes, ou seja, AB CD. =Pela proposio anterior, ABCD um paralelogramo. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA34 TEOREMA: O segmento ligando os pontos mdios de dois lados de um tringulo paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento. Prova: SejamDeEospontosmdios de AB eACrespectivamente. Devemos pro-var que DEBC e que 1DE BC2= . Determinenasemi-retaED

um ponto F tal queFD DE. =ComoAD BD =(DpontomdiodeAB)e ADE FDB =(ngulos opostos pelo vrtice), ento ADE =FDBporLAL.Comoconsequnciate-mos que DFB AED =eFB AE. =ComoFB AE =eAE EC =(E ponto mdio deAC ), temos queFB EC. =Logo,FBeECsoparalelos(pois BFDe DEAsongulosalternosinternos congruentes)etmomesmocomprimento.Como,todoquadrilteroquepossuidoislados opostos paralelos e congruentes um paralelogramo, conclumos que FBCE um paralelogra-mo. Portanto, DEBC e tm o mesmo comprimento. Como D ponto mdio deFE , ento 1DE BC2= . PROPOSIO: Suponha que trs retas paralelas a, b e c, cortam as retas m e n nos pontos A, B e C e nos pontos A, B e C, respectivamente. SeAB BC = , entoAB B C = . Prova: Considere uma reta m paralela reta m que passa por B. Esta reta corta as retas a e c nos pontos D e E.Como ABBD e BCEB so paralelo-gramos (pois tm lados opostos paralelos) entoDB AB = eBE BC = .Almdisso, comoAB BC = porhiptese,entocon-clumos queDB B E = . Temos que DB A CB E =(opostos pelovrtice)e B DA B EC = (alternos internos determinados pela transversal DE e as retas paralelas a e c). Logo, ADB = CEB pelo critrio ALA. Portanto,AB B C = . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA35 COROLRIO: Suponha que k retas paralelas a1, a2, ..., ak cortam duas retas m e n nos pontos A1, A2, ..., Ak e nos pontos A1, A2, ..., Ak respectivamente.Se 1 2 2 3 k 1 kA A A A ... A A= = = , ento 1 2 2 3 k 1 kA A A A ... A A = = = . Este corolrio uma generalizao da proposio anterior. TEOREMA DE TALES: Se um feixe imprprio de retas interceptado por um feixe prprio de retas, ento a razo entre dois segmentos quaisquer de uma delas igual razo entre os segmentos respectivamente correspondentes na outra reta do mesmo feixe. Prova: Considerequeossegmentos 1 2A Ae 3 4A Asejam comensurveis. Ento existeumsegmentouquesubmltiplo deambos.Logo,existemnmerospeq, tais que1 2A A= pu e 3 4A A= qu.Portanto, 1 23 4p A Aq A A= . Conduzindoretass1,s2,s3,...,pelospontosdedivisodossegmentos 1 2A Ae 3 4A A , os segmentos 1 2B Be 3 4B Bso divididos,respectivamente, em p e q partes de comprimentou,taisque1 2B B = pue3 4B B= qu.Conclumosentoque 1 23 4p B Bq B B= .Demodoanlogo,podemosdemonstrarque 1 2 1 23 4 3 4A A C CA A C C= , e para quaisquer segmentos determinados pelas paralelas usadas para definir o par de segmentos 1 2A Ae 3 4A A . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA36 Exemplo: O baricentro divide as medianas na razo a b cAG BG CG 2m m m 3= = = . EXERCCIOS 01. Na figura abaixo, O o ponto mdio deAD e B C. =Se B, O e C so colineares, mostre que ABO = DCO. DEFINIO: Um segmento ligando dois pontos de uma circunferncia e passando por seu centro chama-se dimetro. 02. Na figura abaixo, o ponto O o centro da circunferncia, AB um dimetro e C outroponto da circunferncia. Mostre que = 2. 03. Mostre que se os ngulos opostos de um quadriltero so congruentes, ento o quadriltero um paralelogramo. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA37 04. Mostre que se as diagonais de um quadriltero se interceptam em um ponto que ponto mdio de ambas, ento o quadriltero um paralelogramo. DEFINIO: Um retngulo um quadriltero que tem todos os seus ngulos retos. 05. Mostre que todo retngulo um paralelogramo. 06. Mostre que as diagonais de um retngulo so congruentes. 07. Mostre que se as diagonaisdeum paralelogramo so congruentes, ento o paralelogramo um retngulo. DEFINIO: Um losango (ou rombo) um quadriltero que tem todos os seus lados congruentes. 08. Mostre que todo losango um paralelogramo. 09. Mostre que as diagonaisde um losango cortam-se em ngulo reto e so bissetrizes dos seus ngulos. 10. Mostre que um paralelogramo cujas diagonais so perpendiculares um losango. DEFINIO: Um quadrado um quadriltero que tem os quatro ngulos retos e os quatro lados congruentes. 11. Prove que um quadrado um retngulo e que tambm um losango. 12. Mostre que se as diagonais de um quadriltero so congruentes e se cortam em um ponto quepontomdiodeambas,entooquadrilteroumretngulo.Se,almdisso,as diagonais so perpendiculares uma a outra, ento o quadriltero um quadrado. DEFINIO: Um trapzio um quadriltero em que dois lados opostos so paralelos. Os lados paralelosdeumtrapziosochamadosdebaseseosoutrosdoissochamadosde laterais. Um trapzio escaleno tem suas laterais no congruentes. Um trapzio retngulo (oubi-retngulo)temdoisngulosretos.Umtrapzioisscelestemaslaterais congruentes. 13. Seja ABCD um trapzio de base AB. Se ele issceles, mostre que A B =e C D. = UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA38 14. Mostre que as diagonais de um trapzio issceles so congruentes. 15.Provequeosegmentoligandoospontosmdiosdaslateraisdeumtrapzioescaleno paralelo s bases e que seu comprimento a mdia aritmtica dos comprimentos das bases. Dica: Considere o ponto E como sendo a interseo das retas AB e DN, prove que DNC = ENB (ALA). Considere tambm o tringulo DAE e o segmentoMN. 16.Provequeospontosmdiosdosladosdeumquadrilteroqualquersovrticesdeum paralelogramo. 17. Prove que a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados (n 2).180o.

1.10. SEMELHANA DE TRINGULOS DEFINIO: Dois tringulos so semelhantes se for possvel estabelecer uma correspondncia biunvocaentreseusvrticesdemodoquenguloscorrespondentessejamiguaise lados correspondentes sejam proporcionais. Ou seja, se ABC e EFG so dois tringulos semelhantes e se A E, B F e C G a correspondnciaqueestabeleceasemelhana,entovalemsimultaneamenteasseguintes igualdades: ABC ~ EFG A D, B E, C F,AB BC ACDE EF DF= = == = UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA39 Observao: O quociente comum entre as medidas dos lados correspondentes chamado de razo de proporcionalidade entre os dois tringulos. EXERCCIO:Doistringuloscongruentessosemelhantes.Justifiqueaafirmaoeindiquea razo de proporcionalidade. PROPRIEDADES DA SEMELHANA DE DOIS TRINGULOS: a) Reflexiva: ABC ~ ABC b) Simtrica: ABC ~ DEF DEF ~ ABC c) Transitiva: ABC ~ DEF e DEF ~ GHI ABC ~ GHI TEOREMA: Se A D =e B E = , ento ABC ~ DEF. Este conhecido como o segundo caso de semelhana de tringulos (AAA ou AA). Prova: Como a soma dos ngulos de um tringulo 180o, ento as igualdades A D =e B E =acarretam em C F. =Resta provar que os lados correspondentes so proporcionais. ConsidereopontoGnasemi-retaEF

talqueDG AB. = ConstruaaretaparalelaaEF quepassapor G, determinando o ponto H emDF . Logo, temos DGH = ABC ( A D = , AB DG =e B E DGH = =sendo que esta ltima igualdade deve-se ao paralelismo de GH e EF). Logo,AB DG = eAC DH. =Como HG paralela a EF, e ambas so cortadas pelas retas DE e DF ento determinam segmentos proporcionais, ou seja, DG DHDE DF= . ComoAB DG = eAC DH =ento substituindo na igualdade acima temos AB ACDE DF= . De maneira anloga demonstramos que AB BCDE EF= . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA40 TEOREMA: Se A D =e AB ACDE DF=ento ABC ~ DEF. Este conhecido como primeiro caso de semelhana de tringulos (LAL). Prova: Construa um tringulo GHI tal queGH DE = , G A =e H B = . Logo por AAA temos que ABC ~ GHI. Portanto, os lados correspondentes so proporcionais: AB ACGH GI= . Como GH DE = , ento AB ACEF GI= . Porm, pela hiptese sabemos que AB ACDE DF= , e podemos concluir queGI DF. = Portanto, DEF = GHI ( DF GI = , D G =eDE GH = - LAL). Como ABC ~ GHI e DEF = GHI, temos que ABC ~ DEF. TEOREMA: Se AB BC ACDE EF DF= = , ento ABC ~ DEF. Este o terceiro caso de semelhana de tringulos (LLL). Prova: Considere o tringulo GHI tal que G A = ,GH DE =eGI DF. = Logo, podemos conclui da hiptese que AB ACGH GI= , e como H A = temos que ABC ~ GHI. Portanto, lados correspondentes so proporcionais, ou seja, AB BCGH HI=(1). Da hiptesetemosque AB BCDE EF= , masDE GH = (construo),ento AB BCGH EF=UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA41 Comparando esta ltima expresso com (1) temos queHI EF. = Logo, DEF = GHI ( DE GH = ,EF HI =eDF GI = ). Como ABC ~ GHI temos que ABC ~ DEF. DEFINIO: Dados dois segmentos p e q, a mdia aritmtica entre eles um segmento x tal quex= (p + q)/2 e a mdia geomtrica (ou mdia proporcional) entre eles, um segmento y, tal que yp.q. = PROPOSIO: Em todo tringulo retngulo a altura relativa ao vrtice do ngulo reto mdia geomtrica(ouproporcional)entreasprojeesdoscatetossobreahipotenusa.Os catetossomdiasgeomtricasentreahipotenusaeassuasprojeessobrea hipotenusa. Prova: Seja ABC um tringulo retngulo com ngulo reto no vrtice A. Trace a alturaAH= h do vrtice A ao ladoBC. As projees dos catetos b e c so os segmen-tosCH= m eBH= n. ComoAHperpendicularaBC,entoos tringulos HBA e HAC so retngulos. Como B C += 90o e B BAH += 90o, ento BAH C = . Temos que B C += 90o e C HAC += 90o, ento HAC B = . Logo, HBA ~ HAC por AAA, e estes tringulos so semelhantes ao tringulo ABC. Logo, podemos escrever as expresses que traduzem a proporcionalidade dos lados: - ABC ~ HBA a b cc h n= = c2 = a.nA H, B B e C A - ABC ~ HAC a b cb m h= = b2 = a.mA H, B A e C C - HBA ~ HAC b m hc h n= = h2 = m.nH H, B C e A A UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA42 TEOREMADEPITGORAS:Emtodotringuloretngulooquadradodocomprimentoda hipotenusa igual soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Prova: Considere um tringulo ABC retngulo em A. Devemos mostrar que a2 = b2 + c2. Na proposio anterior foi provado que ABC ~ HBA ~ HAC e portanto que b2 = a.m e c2 = a.n. Somando membroamembro as duas expresses temos que: b2 + c2 = a.m + a.n = a(m + n) = a.a = a2. Ou seja, a2 = b2 + c2. EXERCCIO: Prove a recproca do teorema de Pitgoras. DEFINIO: Considere os tringulos OAB e OCD retngulos em B e D. Com as medidas dos lados destes tringulos podemos definir as seguintes razes trigonomtricas: 1. tangente de = tan() = cateto oposto AB CDcateto adjacente OB OD= = , 2. seno de = sen() = cateto oposto AB CDhipotenusa OA OC= =e 3. cosseno de = cos() = cateto adjacente OB ODhipotenusa OA OC= = . Ao considerar uma circunferncia de raio unitrio, podemos encontrar as relaes trigo-nomtricas conforma mostram as figuras a seguir. Como tan() = sen( ) AM AM OM.cos( ) OA OM OA= =, temos que tan( ) 1sen( ) cos( )= (1).Temos que OMA ~ OPT, ou seja, PT OTAM OA=(2).MasOA=cos(),OT =1eAM=sen().Substituindoestessegmentosem(2), obtemos a relao (1), ou seja,PT= == = tan(). UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA43 Outras relaes trigonomtricas so as seguintes: 4. secante de = sec() = hipotenusa 1cos( ) cateto adjacente=, 5. cotangente de = cotg() = cateto adjacente cos( )sen( ) cateto oposto= e 6. cossecante de = cosec() = hipotenusa 1sen( ) cateto oposto=. Como OMR ~ MAO, temos OM ORAM OM= .Temos queOM = 1 eAM = sen(), ou seja, 1OR cot g( )sen( )= = . Outra semelhana entre os tringulos OMA ~ OSM, logo OM OSOA OM= .Temos as medidas deOM = 1 eOA = cos(), ou seja, 1OS sec( )cos( )= = . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA44 Como OBM ~ ONQ, temos que ON NQOB BM= .Temos queON = 1,OB = sen() eBM = cos(), ou seja, cos( )NQ cot g( )sen( )= = . EXERCCIOS 01.Na figura abaixo D e E so pontos mdios de AB e AC , respectivamente. Mostre que ADE e ABC so semelhantes. 02.Provequeseumtringuloretngulotemngulosagudosde30oe60oentoseumenor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa. 03.Mostre que dois tringulos equilteros so sempre semelhantes. 04.Mostre que so semelhantes dois tringulos issceles que tm iguais os ngulos opostos base. 05. Na figura abaixo temose que BDA ~ ABC, sendo a semelhana a que leva B em A, D em B e A em C. Prove que o tringulo BDA issceles. 06.Provequeasalturas(ouasmedianas,ouasbissetrizes)correspondentesemtringulos semelhantes esto na mesma razo que os lados correspondentes. 07. Prove que a bissetriz de um ngulo de um tringulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados. Isto , se ABC o tringulo e BD a bissetriz do ngulo UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA45 B, sendo D um ponto do ladoAC , ento AD ABDC BC= . Dica: trace pelo ponto A uma reta r paralela a BD, que intercepta a semi-retaCB

em um ponto E formando tringulos semelhantes. 08. Se dois tringulos tm lados correspondentes paralelos, ento prove que so semelhantes. 09. Usando as definies trigonomtricas, prove as relaes trigonomtricas: a) sen2() + cos2() = 1 b) cos(90 ) = sen(), onde 0 < < 90 c) sen(90 ) = cos(), onde 0 < < 90 d) tan2() + 1 = sec2() e) 1 + cotg2() = cosec2() f) sen(45) = sen(45) = 22 g) tan(45) = 1 h) sen(60) = 32 i) cos(60) = 12 j) tan(60) =3k) sen(30) = 12 l) cos(30) = 32 m) tan(30) = 33 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA46 OsproblemasemDesenhoGeomtricoresumem-seemencontrarpontos,epara determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. DEFINIO:Umconjuntodepontosdoplanoconstituiumlugargeomtrico(L.G.)em relao a uma determinada propriedade P quando satisfaz s seguintes condies: a) Todo ponto que pertence ao lugar geomtrico possui a propriedade P; b) Todo ponto que possui a propriedade P pertence ao lugar geomtrico. Observao:Na resoluo de problemas, procuramos construir graficamente uma determinada figura, mas que satisfaa as condies impostas (ou propriedades). Geralmente, estas condies impostas so lugares geomtricos construtveis com rgua e compasso. O emprego de figuras que constituem lugares geomtricos nas resolues de problemas grficos chamado de Mtodo dos Lugares Geomtricos. 2.1. LUGAR GEOMTRICO 1 - CIRCUNFERNCIA LG 01:Olugargeomtricodospontosdoplanosituadosa umadistnciaconstanterdeumpontofixoOa CIRCUNFERNCIA de centro O e raio r.Notao: CIRCUNF(O,r). EXERCCIO: Construir um tringulo ABC, dados os trs lados a, b e c. C CA AP P T TU UL LO O 2 2: : L LU UG GA AR RE ES S G GE EO OM M T TR RI IC CO OS S UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA47 Para se provar que uma determinada figura F um lugar geomtrico dos pontos do plano que tm uma propriedade P, temos que demonstrar dois teoremas: a) todo ponto de F tem a propriedade P; b) todo ponto que tem a propriedade P pertence a F. importante frisar a necessidade de demonstrar os dois teoremas, pois um s deles no garante que a figura F seja um lugar geomtrico. No caso da circunferncia, temos que: a) todo ponto da circunferncia (de centro O e raio r) equidista do ponto O segundo uma distncia r; b) todo ponto que equidista de O segundo uma distncia r pertence circunferncia de centro O e raio r. 2.2. LUGAR GEOMTRICO 2 - MEDIATRIZ LG 02: O lugar geomtrico dos pontos do plano eqidistantes dedoispontosAeBdadosaMEDIATRIZdo segmentoAB. Considere dois pontos fixos A e B. Sejam P e Q dois pontos tais queAP PB AQ QB. = = =Como P e Q possuem a mesma propriedade, e por eles passa uma nica reta m ento veremos que m possuir a mesma propriedade de P e Q. Observao:Lembre-sequeestaconstruonosforneceamediatrizdeAB,poiscomo AP PB AQ QB = = = , o quadriltero APBQ um losango e, portanto, as suas diagonais cortam-se em ngulo reto e no ponto mdio das mesmas. Mostraremos que a mediatriz um lugar geomtrico: 1a parte: Todo ponto da mediatriz de AB equidistante de A e B. Prova: NostringulosXAMeXBMtemosAM =BM(M ponto mdio pela hiptese), AMX BMX = (ambos so retos pela hiptese)eXMlado comum. Portanto, XAM = XBM por LAL, logo, lados e ngulos correspondentes so congruentes, ou seja,XA =XB.UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA48 2a parte: Todo ponto equidistante de A e B pertence mediatriz deAB.Prova: Seja Y um ponto equidistante de A e B. Traamos por Y a reta r perpendicular aAB e vamos provar que r a mediatriz deAB isto , que r passa pelo ponto mdio deAB. Seja M o ponto de interseo de r eAB.ComoYM a altura relativa baseAB do tringuloisscelesYAB,entoYMtambmmediana,isto,Mopontomdio deAB.Assim, a reta r perpendicular a AB e passa pelo ponto mdio do mesmo, isto , r a mediatriz deAB.Logo, Y pertence mediatriz deAB.Portanto, a mediatriz um lugar geomtrico. EXERCCIOS 01. Traar a mediatriz do segmentoAB dado abaixo, nas seguintes condies: 02. Traar uma reta perpendicular a uma reta dada r, por um ponto P dado. a) P r; b) P r. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA49 03. Traar a circunferncia que passe pelos pontos A, B e C dados. 04. Construir um ngulo reto. 2.3. LUGAR GEOMTRICO 3 - RETAS PARALELAS LG 03: O lugar geomtrico dos pontos do plano equidistantes de uma reta dada deste plano compe-se de duas retas PARALELAS reta dada e construdas mesma distncia d da reta considerada. Vamos mostrar que um lugar geomtrico: Seja F = s1 s2, onde s1r e dist(s1, r) = d, s2r e dist(s2, r) = d. 1a parte: Todos os pontos de F distam d da reta r. Prova: Seja X um ponto de F. Ento X s1 ou X s2, ou seja, dist(X, r) = dist(s1, r) ou dist(X, r)= dist(s2, r). Portanto, dist(X, r) = d. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA50 2a parte: Todos os pontos que distam d da reta r pertencem F. Prova: Seja Y um ponto que dista d da reta r, ou seja, dist(Y, r) = d. Logo, dist(Y, r) = dist(s1, r) ou dist(Y, r) = dist(s2, r) e assim Y s1 ou Y s2. Portanto, Y F. Logo, F = s1 s2 um lugar geomtrico. Observao:Nas demonstraes das duas partes utilizamos a ideia das distncias entre duas retasparalelasedadistnciadepontoreta.Aspassagenspodemserdetalhadas utilizando-se retngulos. EXERCCIOS 01. Traar pelo ponto P uma reta paralela a reta r dada de duas maneiras distintas. 02. Traar paralelas a distncia d da reta r. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA51 03. Construir um tringulo MNP com a mesma rea do tringulo ABC dado, em que a base ser o lado a. 2.4. LUGAR GEOMTRICO 4 - BISSETRIZ LG 04: O lugar geomtrico dos pontos do plano equi-distantesdeduasretasconcorrentesdadas, compe-sededuasoutrasretas,perpendicu-laresentresieBISSETRIZESdosngulos formados pelas retas dadas. Observao:Asretasb1eb2assimconstrudascomo mostraafiguraacimasobissetrizesdos ngulos formados pelas retas dadas (pois, para b1 temos que O13 = O23 por LLL, ou seja, lados e ngulos correspondentes so congruentes: 13 = 32). Mostraremos que um lugar geomtrico: Sejam r e s as retas concorrentes, Ob1 e Ob2 as bissetrizes dos ngulos formados por r e s, e F = Ob1 Ob2. 1a parte: Todo ponto de F equidista dos lados desse ngulo (rs). Prova: Seja XumpontoquepertenceaF. Logo,X b1ou X b2. Como as distncias de X aos lados do ngulo somedidassegundosegmentosperpendiculares entoXA = dist(X, r) eXB= dist(X, s). Nos tringulos XOA e XOB temos que OX lado comum, XA = XB (por hiptese X pertence UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA52 bissetriz) e OBX OAX = = 90. Assim, pelo critrio LAAo, XOA = XOB. Logo, XA XB = , ou seja, X equidista de r e s. 2a parte: Todo ponto que equidistante dos lados de um ngulo pertence F. Prova: Considere um ponto Y equidistante de r e s, e a semi-retaOY

. Provaremos queOY

a bissetriz do ngulo formado pelas retas. Como Y equidistante de r e s, teremos dist(Y, r) = dist(Y, s). Considere dist(Y, r) =YCe dist(Y, s) =YD. Assim temos que YC YD. =NostringulosYOCeYOD,temos:OYladocomum,YC YD = (hiptese)e YCO YDO = = 90. Assim, pelo caso especial de congruncia de tringulos retngulos LLAr, conclumos que YOC = YOD socongruentes. Logo, YC = YD, ou seja,OY

bissetriz. Assim temos que Y Ob1 ou Y Ob2, portanto, Y F. DEFINIO:Atangenteaumacircunfernciaaretaqueinterceptaacircunferncianum nico ponto. O ponto comum chamado ponto de tangncia. PROPOSIO: Se uma reta tangente a uma circunferncia, ento ela perpendicular ao raio que une o centro ao ponto de tangncia. Prova: Considere o ponto de tangncia T e um ponto PTdaretatangentettalqueOP t.Provaremos que os pontos P e T devem ser coincidentes. Determine na reta t um ponto T tal que T-P-T ePT PT = .ComoOP umladoemcomum, OPT OPT = =90ePT PT = ,temosqueOT OT = . ComoOTmede o raio da circunferncia, OTtambm mede o raio, ou seja, T um ponto da circunferncia. Contradio, pois desta forma a tangente t possui dois pontos da circunferncia. Logo, P e T coincidem, ePT t. PROPOSIO: Se uma reta perpendicular a um raio em sua extremidade, ento a reta tangente circunferncia. Prova: ConsidereumaretatperpendicularaoraioOT . Determine um ponto P qualquer de t. Provaremos que este ponto no pertence ao crculo de centro O e raioOT . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA53 Como t OT , temos que: 2 2 2OT PT OP + =Portanto,podemosconcluirqueOT AYB = (para P interno a F) ou APB< AYB = (para P externo a F) Nos dois casos, temos que APB> ou APB< , ou seja, APB . Portanto, o par de arcos capazes o lugar geomtrico. EXERCCIO: Construir o par de arcos capazes de um segmentoAB segundo um ngulo . 2.10. NGULO EXCNTRICO INTERIOR E EXTERIOR DEFINIO:nguloexcntricointerioronguloformadoporduascordasdeuma circunferncia que se cortam no interior da circunferncia, porm, fora do centro. TEOREMA: O ngulo excntrico interior tem por medida a semi-soma dos arcos compreendidos entre os lados e seus prolongamentos. Prova: Seja APBum ngulo excntrico interior. Prolongando AP e BP obtemos os pontos C e D UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA61 sobre a circunferncia. Devemos provar que AOB CODAPB2+= . Determine o segmentoAC.O ngulo APB um dos ngulos externos do tringulo PAC, logo, APB PAC PCA = + (1). Como PAC e PCAso ngulos inscritos, temos que: CODPAC2=(2) e AOBPCA2=(3). Logo, substituindo (2) e (3) em (1) podemos concluir que: AOB COD AOB CODAPB2 2 2+= + = . DEFINIO: ngulo excntrico exterior o ngulo que possui o vrtice fora da circunferncia e cujos lados so secantes mesma. TEOREMA: O ngulo excntrico exterior tem por medida a semidiferena dos arcos compreen-didos entre os seus lados. Prova: Seja APBum ngulo excntrico interior. Devemos mostrar que AOB CODAPB2= . Unindo A e C temos um tringulo ACP. Como ACB um dos ngulos externos desse tringulo, temos que ACB PAC APB = +ou APB ACB PAC = (1). Como PAC e ACB so ngulos inscritos, temos que DOCPAC2=(2) e AOBACB2=(3). UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA62 Substituindo (2) e (3) em (1) podemos concluir que AOB DOC AOB DOCAPB2 2 2= = . 2.11. NGULO CIRCUNSCRITO DEFINIO: ngulo circunscrito o ngulo cujo vrtice um ponto exterior circunferncia e cujos lados so formados por duas tangentes circunferncia. TEOREMA: Considere uma circunferncia e um ngulo circunscrito de vrtice P. Sejam A e B os pontos de tangncia dos lados do ngulo na circunferncia, ento AP BP =e a medida do ngulo circunscrito P igual ao suplementar do menor arco determinado por A e B. Prova: Parte a: Provar queAP BP. =Considere o tringulo APB. Como PA tangentecircunfernciaemA eAB uma cordadacircunferncia,temosqueBPum ngulo de segmento e, portanto,BP =AOB2 (1) Analogamente,BP tangente circun-ferncianoponto B eAB uma corda da cir-cunferncia.Temostambmque ABP um ngulo de segmento e, portanto,AOBABP2=(2). Logo, de (1) e (2) temos que AOB BAP ABP2= = , ou seja, o tringulo APB issceles de baseAB. Portanto,AP BP. = Parte b: Provar que APB= 180o AB. Como AOBP um quadriltero temos que a soma dos seus ngulos internos vale 360o, ou seja, OAP OBP AOB BPA + + + = 360o. Temos que OAP OBP = =90o, ento AOB BPA + = 180o, ou seja, APB= 180o AB. Observao:Poderamos tambm provar o item a mostrando que PAO = PBO por LLAr. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA63 EXERCCIOS 01. Construir os arcos capazes do segmentoAB = 5cm segundo os ngulos de 60o, 45o, 135o e 120o. 02. Considere a figura dada abaixo. Quanto vale em funo de ? Observao:Se quisermos o arco capaz de 120o, basta construir o de 60o e tomar o outro arco. 03. Uma semi-circunferncia um arco capaz de ____o, pois o ngulo central correspondente mede _____o. Construa o arco capaz de 90o de um segmentoAB.Descreva o processo de construo. 04. Dados os pontos A, B e C encontrar um ponto P do qual possamos ver os segmentosAB e BC segundo ngulos constantes e respectivamente. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA64 05. Traar uma reta p perpendicular a uma reta r dada, e que passe por um ponto P, da reta r, dado usando o conceito de arco capaz. 06. Traar uma perpendicular ao segmentoAB por um ponto P, sem prolongar o segmento. 07. Construir um tringulo ABC conhecendo:BC = 5,5cm, ha = 4cm e = 60o. 08. Prove que o dimetro a maior corda da circunferncia. 09. Prove que o dimetro perpendicular a uma corda divide-a ao meio. 10. Prove que o dimetro que divide ao meio uma corda perpendicular a essa corda. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA65 2.12. RELAES MTRICAS NOS SEGMENTOS PROPORCIONALIDADE NOS SEGMENTOS Considere um feixe de retas paralelas cortadas por um feixe de retas concorrentes. TEOREMADETALES:Umfeixederetasparalelas divideumfeixederetasconcorrentes segundo segmentos proporcionais. EXERCCIOS 01. Dividir o segmentoAB = 8cm em n partes iguais. 02. Dividir um segmentoAB = 8,4cm em partes proporcionais aos segmentos dados abaixo. 03. Dividir um segmentoAB = 11 cm em partes proporcionais a nmeros dados a = 2,3, b = 3 e c = 1/2. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA66 04. Dividir um segmentoAB = 9 cm por um ponto P numa razo dada k = 7/2. 05. Dividir um segmentoAB = 7 cm por um ponto Q numa razo dada k = 7/2. DEFINIO: Os conjugados harmnicos so pontos P e Q que dividem um segmentoAB em uma mesma razo pq, ou seja, p APq BP= (quando A-P-B) e p AQq BQ = +(quando A-B-Q). 06. Obter os conjugados harmnicos do segmentoAB = 7cm na razo dada k = 5/3. (terceiroequarto harmnicos). UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA67 2.13. TERCEIRA E QUARTA PROPORCIONAIS QUARTA PROPORCIONAL A TRS SEGMENTOS (OU NMEROS) DADOS DEFINIO:Dadostrssegmentos(ounmeros)a,bec,aquartaproporcionalaostrs segmentosumsegmento(ounmero)x,talque,naordemdada,elesaseguinte proporo: a cb x=EXERCCIO: Dados a, b e c obter a quarta proporcional nesta ordem. TERCEIRA PROPORCIONAL A DOIS SEGMENTOS (OU NMEROS) DADOS DEFINIO:Dadosdoissegmentos(ounmeros)aeb,aterceiraproporcionalaosdois segmentosumsegmentox,talque,naordemdada,elesformemaseguinte proporo: a bb x=EXERCCIO: Obter a terceira proporcional aos segmentos a e b, nessa ordem. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA68 2.14. PROPRIEDADES NO TRINGULO RETNGULO EXERCCIO: Construir um tringulo retngulo sendo dadas as projees m e n dos catetos b e c, respectivamente. EXERCCIO: Construir um tringulo retngulo sendo dadas a hipotenusa a e a projeo m do cateto b sobre a hipotenusa. Recordando: h2 = m.n b2 = a.m c2 = a.n PROPOSIO: Em todo tringulo retngulo a altura do vrtice do ngulo reto mdia geom-trica (ou proporcional) entre as projees dos catetos sobre a hipotenusa. PROPOSIO: Em todo tringulo retngulo os catetos so mdias geomtricas entre a hipotenusa e as suas projees sobre a hipotenusa. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA69 MDIA GEOMTRICA OU MDIA PROPORCIONAL DEFINIO: Dados dois segmentos p e q, a mdia geomtrica (ou mdia proporcional) entre eles, um segmento x, tal que: p xx q=oux2 = p.qoux = p.q. EXERCCIOS 01. Obter a mdia geomtrica entre os segmentos p e q dados. 02. Dados p e q obter x, tal que x2 = p2 + q2. 03. Dados p e q obter x, tal que x2 = p2 q2. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA70 04. Dados p, q e r obter x tal que x2 = p2 + q2 r2. 05. Dados p, q e r obter um segmento x tal que x2 = p2 + q2 + r2. 06. Dado o segmento p = 4,3 cm, obter: a) x =p 2. b) y =p 3. c) z =p 5. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA71 d) t =p 10. e) w =p 11. 07. Dado o segmento p, obter y tal que:y p.3 5= 08. Dado o segmento p do exerccio anterior, obter t, x, y, z tais que y p t x z1 2 3 4 5= = = = .

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA72 2.15. TEOREMA DAS BISSETRIZES TEOREMA: Em um tringulo, a bissetriz de um ngulo divide o lado oposto em dois segmentos, os quais so proporcionais aos outros dois lados. Prova: Parte a: bissetriz interna. Seja um tringulo MAB. Considere a bissetriz interna bi do ngulo M.Seja P o ponto de interseo da reta bi com o ladoAB. Queremos mostrar que AP ba PB= . Comobibissetrizinternadongulo Mtemosque AMP PMB = = .Considerea semi-retaAM

etraceporBumaretaparalelabissetrizbi,obtendoumpontoBsobrea semi-retaAM

. Sejam os ngulos 1 = MBB e 2 = MB B. ComoPMeBBsoparalelas(porconstruo)cortadaspelatransversalMBento determinam ngulos alternos internos congruentes, ou seja, = 1 (1). E como PM e BB so paralelas (por construo) cortadas pela transversal MB ento determinam ngulos correspondentes congruentes, ou seja, = 2 (2). De (1) e (2) temos que = 1 = 2. NotringuloMBBtemosdoisngulosinternoscongruentes(1=2)entoele issceles de baseBBe, portanto,MB MB = (3). Como temos as retas AB e AB concorrentes e cortadas pelas paralelas MP e BB ento pelo teorema de Tales temos queAPPB =AMMB. Mas de (3) temos queMB MB = e, portanto, APPB = AMMB ouAP ba PB= . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA73 Parte b: bissetriz externa. Seja um tringulo MAB. Considere o prolongamento do ladoAM e um ponto C tal queA-M-C.Sejambeabissetrizexternadotringulorelativaaongulo M,eQopontode interseo da reta be com a reta AB. Queremos mostrar queAQ ba QB = . Como be bissetriz externa do ngulo M temos que BMQ=QMC. Trace por B uma reta paralela bissetriz be, obtendo um ponto B sobre a semi-reta AM

. Sejam os ngulos 1 = B BM e 2 = BB M. ComoBBeMQsoparalelas(porconstruo)cortadaspelatransversalMBento determinam ngulos alternos internos congruentes, ou seja, = 1 (1). E como BB e MQ so paralelas (por construo) cortadas pela transversal MB ento determinam ngulos correspondentes congruentes, ou seja, = 2 (2). De (1) e (2) temos que = 1 = 2. No tringulo MBB temos dois ngulos congruentes (1 = 2) ento ele issceles de baseBBe, portanto,MB MB = (3). Como temos as retas AQ e AM concorrentes e cortadas pelas paralelas MQ e BB ento pelo teorema de Tales temos que AQBQ =AMMB. Mas de (3) podemos concluir queMB MB =e, portanto, AQBQ =AMMB ou AQ ba BQ = . Observaes: a) As duas bissetrizes bi e be formam ngulo de 90o, pois os ngulos interno e externo, do tringulo MAB relativos ao vrtice M so suplementares. b) ComoAP ba PB=e AQ ba QB = temos que P e Q so os conjugados harmnicos de A e B na razo ba. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA74 2.16. LUGAR GEOMTRICO 6 - CIRCUNFERNCIA DE APOLNIO Considere um segmentoAB e uma razo ba. LG 06 :O lugar geomtrico dos pontos do plano cuja razo das distncias a dois pontos fixos A e B constante e igual a ba compe-se de uma circunferncia, cujo dimetro o segmento PQ, onde P e Q so os conjugados harmnicos de A e B na razo ba. Mostraremos que um lugar geomtrico: Prova: 1 parte: todo ponto M que satisfaz a relao MA ba MB=pertence circunferncia de dimetroPQ.Considere os pontos P e Q conjugados harmnicos deAB na razo ba. Determine os pontos X e Y na semi-retaAM

tais queMX MY MB = = .Temosque MA b MA APa MB MX PB= = = .PeloteoremadeTalespodemosconcluirque UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA75 MP BX. Como MA b MA AQa MB MY QB= = = , podemos concluir queMQ BY. Pelo teorema das bissetrizes podemos concluir queMQ

bissetriz de BMXe MP

bissetriz de AMB , o que implica que PMB BMQ += 90o. Logo, M pertence ao arco capaz de 90 emPQ que a circunferncia de Apolnio deAB na razo ba. 2 parte: todo ponto M da circunferncia de dimetroPQ satisfaz a relao MA ba MB= . Considere os pontos P e Q conjugados harmnicos deAB na razo ba e um ponto M pertencente circunferncia com dimetroPQ. Determine os segmentosBX PM eBY QM.PeloteoremadeTales,temosque AP MA ba PB MX= = (1)e AQ MA ba QB MY= = (2),ouseja, MA MAMY MX= . Logo, podemos concluir queMX MY = , ou seja, M ponto mdio deXY.Como PMQ = 90, e os segmentos BX PM e BY QM determinam XBY = 90. Logo, B pertence ao arco capaz de 90 do segmentoPQ, eBM MX MY = = = raio do arco capaz de 90.Portanto,substituindoBM MX MY = = em(1)e(2)teremos AP MA ba PB MB= = eAQ MA ba QB MB= = , ou seja, M satisfaz a relao MA ba MB= . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA76 EXERCCIOS 01. Dados os pontos A e B, construir o lugar geomtrico dos pontos M tais que MA 72 MB= . 02. Dados os pontos A e B, construir o lugar geomtrico dos pontos M tais que MA 35 MB= . 03. Construir um tringulo ABC, dados a = 2,8cm, ha = 2,2cm e b 3c 5= . UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA77 2.17. SEGMENTO UREO DE UM SEGMENTO DADO DEFINIO:DadoumsegmentoABdizemosqueseefetuaumadivisoureadeABpor meio de um ponto P quando esse ponto divide o segmento em duas partes desiguais, talqueamaior(estaosegmentoureo)mdiageomtricaentreamenoreo segmento todo. Logo, o segmentoAP ureo do segmento dadoAB quando 2AP AB.PB =ou o mesmo que AP PBAB AP= . Assim, dado um segmentoAB queremos obter o seu segmento ureoAP. Considere o segmento AB de medida a. Como queremos a medida do segmento ureo deAB, sejaAP x =a medida que deve ser determinada. Logo,PB a x = . Como AP deve ser ureo de AB, ento deve satisfazer a seguinte relao: 2AP AB.PB =ou x2 = a.(a x) x2 = a2 a.x x2 + a.x a2 = 0 Portanto, a soluo desta equao :2 2a a 5 a 5 axa a 4a2 2 2x2a a 5 a 5 ax2 2 2 + = = + = = = Destas duas razes apenas x considerada, pois tem medida menor que a =AB. Para determinarmos a medida do segmento ureo devemos obter um segmento com a medida x, ou seja, obter os segmentos de medidas: a 52 e a2. Estas medidas so hipotenusa e cateto de um tringulo retngulo de catetos a e a2. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA78 CONSTRUO 1: Obter o segmento ureo de um segmento dadoAB. Procedimento: - Por uma das extremidades do segmentoAB traar uma reta perpendicular; - obter o ponto mdio M deAB;- sobre a perpendicular obter o ponto C tal queBC = a2; - unir A e C AC= a 52 (pelo teorema de Pitgoras); - descrever uma circunferncia de centro em C e raio a2, obtendo sobre ACum ponto D tal que ADa 5 a2 2= ; - transportar o segmentoAD sobreAB tal queAD AP; =-AP ureo deAB. Observaes:a) Segundo Euclides dividir um segmento em mdia e extrema razo. b) AexistnciadeduasrazesindicaqueexistemdoispontosPePquedividemo segmento AB em duas partes desiguais, tal que a maior seja mdia geomtrica entre a menor e o segmento todo. Ou seja, 2AP AB.PB =e 2AP AB.P B = , porm, somente o segmentoAP dito segmento ureo deAB, e o segmentoAP ureo deP B . c) Veremos a seguir que o segmentoAB ureo do segmentoAC CD + . CONSTRUO 2: Dado um segmentoAQ obterAB, sabendo-se queAQ ureo deAB. Consideraes: Conhecemos agora a medida do segmento ureo AQ. Fazendo AQ = x e AB = a, ento PB = (a x). UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA79 Como AQ ureo de AB ento pela definio devemos ter: 2AQ AB.QB = , ou seja, x2= a.(a x). x2+ ax a2 = 0 a2 a.x x2 = 0. Portanto, a soluo desta equao : 2 2x x 5 x 5 xax x 4x2 2 2a2x x 5 x 5 xa2 2 2+ = = + + = = = + Apenasaprimeiraraizaconsiderada,assim,paraobteramedidadeABbasta construir um tringulo retngulo, onde x e x2 so catetos e x 52ser a hipotenusa. 2.18. POTNCIA DE UM PONTO EM RELAO A UMA CIRCUNFERNCIA TEOREMA: Considere uma circunferncia qualquer de centro O e raio r, e um ponto P. Por P podemos traar infinitas retas cortando a circunferncia nos pontos A e B, C e D, E e F, etc. Denomina-se potncia de ponto com relao a uma circunferncia, a relao: PA.PB = PC.PD = PE.PF = ... = k, onde, para cada posio para P existe uma constante k, chamada potncia do ponto P em relao Circunf(O,r). Prova: 1o Caso: P externo circunferncia Considere duas secantes quaisquer passando por P e cortando a circunferncia nos pontos A, B, C e D. SejamostringulosPADePCB.Como APD= BPC(poiscomum)e B= D(ngulos inscritos numa mesma circunferncia que enxergam umamesmacordaAC temosquePAD~PCB.Logo,osladoscorrespondentesso UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA80 proporcionais: PA PDPC PB=ouPA.PB PC.PD = = k. 2o Caso: P interno circunferncia ConsidereduassecantesquaisquerpassandoporPe cortando a circunferncia nos ponto A, B, C e D. SejamostringulosAPDeCPB.Como APD= BPC (ngulosopostospelovrtice)e B = D (pois B e D pertencem ao arco capaz da cordaBD), temos que PAD ~ PCB. Logo, os lados correspondentes so proporcionais, ou seja, PA PDPC PB=ouPA.PB =PC.PD = k. Observao:SePexternoeumadasretastangenteacircunferncianumpontoTento 2PT PA.PB. = Defato,considerandoumaretatangente circunferncianumpontoTeumasecantemesma, temosdoistringulosPTAePBT,onde P P =(ngulo comum), ATP TBP =(ngulos de segmento e inscritorelativosauma mesma cordaAT ). Portanto, PTA~PBT,eosladoscorrespondentesso proporcionais, ou seja, PA PTPT PB=ou 2PT PA.PB. = Observaes: a) Se P externo circunferncia, a potncia k positiva; b) Se P interno circunferncia, a potncia k negativa; c) Se P ponto da circunferncia ento a potncia k nula; d) Para cada posio do ponto P a potncia possui um valor k. Observao:Nafigurado 2o caso, chamandoPA = a,PB = a,PC = b ePD =b, podemos escrever:a.a=b.b=koua= kaeb= kb.Ouseja,ossegmentosaea,bebso inversamenteproporcionaiscomrelaoaumaconstantek.Sek=1entoa= 1a. Assim, conhecidos segmentos, podemos obter os seus inversos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA81 EXERCCIOS 01.DadosossegmentosAB,aeb,dividirABempartesinversamenteproporcionaisaos segmentos a e b:AB = 6,5cm, a = 3cm e b = 2cm. 02. Traar tangentes circunferncia dada, que passem pelo ponto P dado, sem usar o centro da mesma. 03. Justificar a obteno do segmento ureo utilizando o conceito de potncia de ponto em uma circunferncia. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA82 2.19. PROPRIEDADES DOS QUADRILTEROS QUADRILTERO INSCRITVEL PROPOSIO: Um quadriltero ABCD, convexo, inscritvel quando A C + =180o ou B D + = 180o. Prova: Seja um quadriltero ABCD inscritvel, ou seja, seus vrtices pertencem a uma mesma circunferncia. ConsidereongulocentralBD=.Logo,=2 (pois ngulo inscrito na circunferncia relativo ao ngulo central BD = ). Assim, o360C2 =(pois C ngulo inscri-to na circunferncia relativo ao ngulo central 360o ). Logo, oo360 A C 1802 2 + = + = . E como A B C D + + + = 360o, ento B D + =180o. A recproca desta proposio verdadeira. QUADRILTERO CIRCUNSCRITVEL PROPOSIO: Um quadriltero ABCD circunscritvel quando a soma dos lados opostos so iguaisAB CD BC AD. + = +Prova: Seja ABCD um quadriltero circunscrito a uma circunferncia, ou seja, seus quatro lados so tangentes circunferncia. Sejam P, Q, R e S os pontos de tangncia de Erro! Erro! Erro! Erro!respectivamente. Pela potncia do ponto A em relao circunferncia, temos: 2 2AP AS = AP AS = .Analogamenteparaosoutrosvrtices temos:BP BQ = ,CQ CR =eDR DS =(1). Temos que, por (1), AB + CD = AP + BP+CR+DR= AS +BQ +CQ +DS= AD +BC.A recproca desta proposio verdadei-ra. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA83 EXERCCIOS 01. Determine o valor de x e y. Justifique a resposta. 02.Emumacircunfernciaduascordassecortam,os segmentos de uma medem 3cm e 6cm respectivamente; um dos segmentos da outra corda mede 2cm. Calcular o outro segmento. 03. Provar as recprocas das proposies anteriores. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA84 3.1. PONTOS NOTVEIS 1O CIRCUNCENTRO: O Considere um tringulo ABC e as mediatrizes mAB, mBC e mAC. PROPRIEDADE: As mediatrizes dos lados de um tringulo interceptam-se em um mesmo ponto O que est a igual distncia dos vrtices do tringulo. Prova: Sejam mAB, mBC e mAC mediatrizes dos ladosAB,BC eACdo tringulo ABC.Seja O o ponto tal que {O} = mAB mAC.Assim, temos que O mAB OA =OB (pela propriedade de mediatriz) e O mAC OA =OC (pela propriedade de mediatriz) Logo, pela propriedade transitiva, temos OB = OC, e com isto, o ponto O equidistante dos pontos B e C, ou seja, O pertence a mediatriz de BC, ou O mBC. Portanto, {O} mAB mBC mAC eOA =OB =OC. DEFINIO: O circuncentro de um tringulo o ponto de encontro de suas mediatrizes. Como O equidistante dos pontos A, B e C ento ele centro de uma circunferncia que circunscreve o tringulo ABC. Observao: Dependendo da posio do circuncentro podemos classificar os tringulosquanto aos ngulos. DEFINIO: Ceviana um segmento que une um vrtice dum tringulo a qualquer ponto do lado oposto. C CA AP P T TU UL LO O 3 3: : R RE EL LA A E ES S M M T TR RI IC CA AS S N NO OS S T TR RI I N NG GU UL LO OS S UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA85 2O BARICENTRO: G Considere um tringulo ABC e as medianas ma, mb e mc. PROPRIEDADE:Astrsmedianasdeumtringulo interceptam-senummesmopontoG,quedivide cada mediana em duas partes, tais que, a parte que tem o vrtice o dobro da outra. Prova: Devemos provar que aAM bBM cCM= {G} e que bBG 2GM = , cCG 2GM =e aAG 2GM = . Seja X o ponto tal que bBMintercepta cCM .Considere o segmento b cM M , que paralelo ao ladoBC e mede a metade deBC (1). Assim,temosqueosngulosalternosinternossocongruentes,ouseja, b cM M X= XCB e c bM M X = XBC.Portanto, McXMb ~ CXB (possuem dois pares de ngulos congruentes). Assim, temos que os lados correspondentes so proporcionais, ento, por (1), bM XXB = cM XGX = c bM M 12 BC= , ou seja, bBX =2.XMe cCX =2.XM(2). Seja Y o ponto tal que aAMintercepta cCM . Consideremos agora, o segmento c aM M , que paralelo ao ladoACe mede a metade deAC(3). Assim, temos que os ngulos alternos internos so congruentes, ou seja, c aM M Y=YAC e a cM M Y= YCA.Portanto, McYMa ~ CYA (possuem dois pares de ngulos congruentes). Assim, temos que os lados correspondentes so proporcionais, ento, por (3), aM YYA = cM YYC = c aM M 12 AC= , ou seja, aAY =2.YMe cCY =2.YM(4). Comparando (2) e (4) temos que cCX =2.XMe cCY =2.YM , ou cCX 12 M X =e cCY 12 M Y = , logo X Y. Assim,chamandoestepontoXYdeGtemosque aAM bBM cCM ={G}e bBG 2GM = , cCG 2GM =e aAG 2GM = . DEFINIO: O baricentro de um tringulo o ponto de interseo das suas medianas. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA86 EXERCCIOS 01. Construir o tringulo ABC, dados em situao o baricentro G e os vrtices B e C. 02. Construir o tringulo ABC, dados: a = 6cm, mb = 4cm e mc = 5cm. 03. Construir o tringulo ABC, dados: a = 6cm, b = 7cm e mc = 5cm. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA87 3O INCENTRO: I Considere um tringulo ABC e as bissetrizes ba, bb e bc. PROPRIEDADE:Astrsbissetrizesdeumtringulo interceptam-se em um mesmo ponto que est a igual distncia dos lados do tringulo. Prova: Sejam ba, bb e bc, bissetrizes dos ngulos , B e C do tringulo ABC.Seja I o ponto tal que {I} = bb bc. Assim, temos que I bb dist(I, BA) = dist(I, BC) (pela propriedade de bissetriz) e I bc dist(I, CA) = dist(I, CB) (pela propriedade de bissetriz) Logo,pelapropriedadetransitiva,temosquedist(I,BA)=dist(I,CA),ecomisto,o ponto I equidistante das retas BA e CA, ou seja, I pertence a bissetriz de BC, ou I ba. Portanto, {I} = ba bb bc e dist(I, AB) = dist(I, BC) = dist(I, AC). DEFINIO: O incentro de um tringulo o ponto de encontro de suas bissetrizes. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA88 Observaes: a) o incentro de um tringulo o centro da circunferncia inscrita a esse tringulo; b) as bissetrizes externas de dois ngulos encontram-se com a bissetriz interna do ngulo oposto; estes pontos de interseo, Ia, Ib e Ic, so chamados de ex-incentros; c) os ex-incentros so equidistantes de um lado do tringulo e dos prolongamentos dos outros dois; d) os ex-incentros so centros de circunferncias que tangenciam um lado do tringulo e os prolongamentos dos outros dois. 4O ORTOCENTRO: H Considere um tringulo ABC e as alturas ha, hb e hc. PROPRIEDADE: As trs retas suportes das alturas de um tringulo interceptam-se em um mesmo ponto H. Prova: Devemos mostrar que o ponto H nico. Sejam Ha, Hb e