eleições em portugal. método de hondt apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no...

Eleições em Portugal

Método de HondtMétodo de Hondt

Apura-se o número de votos recebidos por cada Apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo;lista, no círculo eleitoral respectivo;

O número de votos respectivos são divididos, O número de votos respectivos são divididos, sucessivamente, por 1, 2, 3, etc., sendo os sucessivamente, por 1, 2, 3, etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente de quocientes alinhados por ordem decrescente de grandeza numa série com tantos membros grandeza numa série com tantos membros quantos os mandatos atribuídos ao círculo quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;eleitoral respectivo;

Os mandatos pertencem às listas a que Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada lista tantos pela regra anterior, recebendo cada lista tantos mandatos quantos os seus termos na série;mandatos quantos os seus termos na série;

No caso de restar um só mandato para No caso de restar um só mandato para distribuir, e dos termos seguintes da série serem distribuir, e dos termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido menos votos. lista que tiver obtido menos votos.

ExemploExemploNo distrito de Leiria existem dez mandatos a atribuir.Nas últimas eleições legislativas registou-se a seguinte distribuição de votos:

ListaLista VotosVotos

PSDPSD 121350121350

PSPS 7038470384

CCDDSS 2348223482

PCPPCP 98109810

Apliquemos o método de Apliquemos o método de Hondt:Hondt:

DivisorDivisoreses

PSDPSD PSPS CCDDSS PCPPCP

11 121350121350 7038470384 2348223482 98109810

22 6067560675 3519235192 1174111741 49054905

33 4045040450 23461,323461,3 7827,37827,3 32703270

44 30337,530337,5 1759617596 5870,55870,5 2452,52452,5

55 2427024270 14076,814076,8 4696,44696,4 19621962

66 2022520225 11730,711730,7 3913,73913,7 16351635

77 17335,717335,7

Distribuição de Distribuição de mandatos:mandatos:

ListasListas MandatosMandatos

PSDPSD 66

PSPS 33

CCDDSS 11

PCPPCP 00

Sistemas de Sistemas de Votação Votação

PonderadaPonderada

Numa sociedade diversificada os eleitores, sejam eles indivíduos ou instituições, não são iguais e é por vezes recomendável reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus votos. A todo método no qual os eleitores A todo método no qual os eleitores não estejam em igualdade, em não estejam em igualdade, em termos dos votos que controlam, dá-termos dos votos que controlam, dá-se o nome de se o nome de sistema de votação sistema de votação ponderada. ponderada.

Questão:Questão:

Dado um eleitor com determinado número Dado um eleitor com determinado número de votos, que poder detém sobre a de votos, que poder detém sobre a eleição ?eleição ?

A resposta a esta pergunta baseia-se em A resposta a esta pergunta baseia-se em ideias matemáticas que vamos abordar de ideias matemáticas que vamos abordar de seguida.seguida.

Iremos abordar o caso em que a votação Iremos abordar o caso em que a votação apenas incide sobre duas alternativas ou apenas incide sobre duas alternativas ou candidatos -candidatos -moçãomoção..

TerminologiaTerminologia

Todo o sistema de votação ponderada Todo o sistema de votação ponderada é caracterizado por três elementos:é caracterizado por três elementos:

Jogadores ( PJogadores ( P11 , P , P22 , … , P , … , PN N ););

Pesos dos jogadores ( wPesos dos jogadores ( w11 , w , w22 , … , , … , wwNN ); );

Quota (q).Quota (q).

N – número de participantesN – número de participantes

Quota:Quota:

Número mínimo de votos necessário para aprovar Número mínimo de votos necessário para aprovar uma moção.uma moção.Qualquer número superior a metade da totalidade Qualquer número superior a metade da totalidade dos votos é um valor aceitável para o valor da quota.dos votos é um valor aceitável para o valor da quota.Formalmente:Formalmente:

NwwwqN

www

...

212

...21

Notação:Notação:

Uma forma conveniente de Uma forma conveniente de descrever um sistema de votação descrever um sistema de votação ponderada é,ponderada é,

[ q : w[ q : w11, w, w22, …, w, …, wN N ]]

a quota surge em primeiro lugar a quota surge em primeiro lugar seguida dos pesos dos participantes.seguida dos pesos dos participantes.

Exemplos:Exemplos:

Consideremos uma Consideremos uma corporação com quatro corporação com quatro elementos, com a elementos, com a distribuição de votos da distribuição de votos da tabela.tabela.

São necessários São necessários 14 votos para aprovar 14 votos para aprovar uma moção.uma moção.

[ 14 : 8, 6, 5, 1 ][ 14 : 8, 6, 5, 1 ]

MembrMembrosos

VotosVotos

PP11 88

PP22 66

PP33 55

PP44 11

Seja Seja [ 11: 12, 5, 4 ][ 11: 12, 5, 4 ] um sistema de um sistema de votação ponderada. Neste caso o votação ponderada. Neste caso o jogador P1 controla um número jogador P1 controla um número suficiente de votos para aprovar suficiente de votos para aprovar qualquer moção.qualquer moção.

A um jogador que detenha um número A um jogador que detenha um número de votos igual ou superior ao valor da de votos igual ou superior ao valor da quota chamamosquota chamamos ditadorditador..

No sistema de votação ponderada No sistema de votação ponderada [ 12: 9, 5, 4, 2] o jogador P[ 12: 9, 5, 4, 2] o jogador P11 não é um não é um ditador mas pode impedir uma ditador mas pode impedir uma moção de ser aprovada.moção de ser aprovada.

Nestas condições dizemos que um Nestas condições dizemos que um jogador tem jogador tem poder de vetopoder de veto..

Analisemos o sistema de votação ponderada Analisemos o sistema de votação ponderada [ 101 : 99, 98, 3 ] [ 101 : 99, 98, 3 ] ..

À primeira vista parece que os participantes À primeira vista parece que os participantes PP11 e P e P22 têm muito poder em relação ao P têm muito poder em relação ao P33. . Contudo só é possível aprovar uma moção Contudo só é possível aprovar uma moção com dois participantes a favor. Mais, com dois participantes a favor. Mais, quaisquer dois participantes juntos têm quaisquer dois participantes juntos têm uma coligação vencedora!!uma coligação vencedora!!

Vamos então introduzir a primeira Vamos então introduzir a primeira interpretação matemática de poder nos interpretação matemática de poder nos sistemas de votação ponderada para sistemas de votação ponderada para estudar o poder de cada jogador do estudar o poder de cada jogador do exemplo anterior.exemplo anterior.

Índice de Poder BanzhafÍndice de Poder Banzhaf

Chama-se a todo o conjunto de jogadores, que Chama-se a todo o conjunto de jogadores, que unam forças para votar em conjunto,unam forças para votar em conjunto, coligaçãocoligação..

Ao número total de votos controlado por uma Ao número total de votos controlado por uma coligação chamamoscoligação chamamos peso da coligaçãopeso da coligação . .

Às coligações que reúnam um número suficiente de Às coligações que reúnam um número suficiente de votos para aprovar uma moção chamamosvotos para aprovar uma moção chamamos coligações vencedorascoligações vencedoras..

A uma coligação formada por todos os elementos chama-se a grande coligação.

A um jogador cuja deserção de uma coligação vencedora a transforme numa coligação perdedora chamamos jogador crítico.

Determinação do índice de Determinação do índice de Poder Banzhaf de um jogador:Poder Banzhaf de um jogador:

Passo 1Passo 1 – Fazer a – Fazer a lista de todas as lista de todas as coligações coligações possíveis.possíveis.

ColigaçõesColigações

{P{P11}}

{P{P22}}

{P{P33}}

{P{P11, P, P22}}

{P{P11, P, P33}}

{P{P22, P, P33}}

{P{P11, P, P22, P, P33}}

[ 101 : 99, 98, 3 ] [ 101 : 99, 98, 3 ]

Passo 2Passo 2 – Determinar as coligações – Determinar as coligações vencedorasvencedorasColigaçãColigaçãoo

Peso da Peso da coligaçãocoligação

Ganha ou Ganha ou perdeperde

{P{P11}} 9999 PerdePerde



{P{P11, P, P22}} 197197 GanhaGanha



{P{P11, P, P22, , PP33}}

200200 GanhaGanha

Passo 3Passo 3 – Em cada coligação coligação – Em cada coligação coligação identificar os participantes críticos.identificar os participantes críticos.

ColigaçãColigaçãoo

Peso da coligaçãoPeso da coligação Ganha ou perdeGanha ou perde




{{PP11, , PP22}} 197197 GanhaGanha

{{PP11, , PP33}} 102102 GanhaGanha

{{PP22,, P P33}} 101101 GanhaGanha

{P{P11, P, P22, , PP33}}

200200 GanhaGanha

Passo 4Passo 4 – Contar o número de vezes que – Contar o número de vezes que um jogador é crítico ( Bum jogador é crítico ( BNN ). ).

PP11 – é critico duas vezes B – é critico duas vezes B11=2=2

PP22 – é crítico duas vezes B – é crítico duas vezes B22=2=2

PP33 – é crítico duas vezes B – é crítico duas vezes B33=2=2

Passo 5Passo 5 – Contar o número total de vezes – Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos ( T ).que todos os jogadores são críticos ( T ).

T=6T=6

O índice de poder de PO índice de poder de PNN é dado por B é dado por BNN/T ./T .

PP11: 2/6: 2/6 33,(3)% 33,(3)%DistribuiçãoDistribuição

PP22: 2/6: 2/6 33,(3)% 33,(3)% de Poderde Poder

PP33: 2/6: 2/6 33,(3)% 33,(3)% BanzhafBanzhaf

Exemplo:Exemplo:

No que toca à No que toca à contratação de contratação de jogadores a equipa jogadores a equipa do Hoquei de do Hoquei de Barcelos tem a Barcelos tem a seguinte distribuição seguinte distribuição de votos:de votos:

Jogadores

Peso dos Jogadore

sTreinado

r4

Presidente

3

Treinador

Adjunto

2

Equipa Médica

1

São necessários 6 votos para contratar um jogador (q = 6).

Estamos então na presença de um Estamos então na presença de um sistema de votação ponderada [ 6: 4, sistema de votação ponderada [ 6: 4, 3, 2, 1 ].3, 2, 1 ].

Vamos então encontrar a distribuição Vamos então encontrar a distribuição de poder Banzhaf deste sistema de de poder Banzhaf deste sistema de votação ponderada.votação ponderada.

Coligações:Coligações:Coligação Peso da coligação Vence ou perde

{T} 4 Perde

{P} 3 Perde

{TA} 2 Perde

{EM} 1 Perde

{T, P} 7 Ganha

{T, TA} 6 Ganha

{T, EM} 5 Perde

{P, TA} 5 Perde

{P, EM} 4 Perde

{TA, EM} 3 Perde

{T, P, TA} 9 Ganha

{T, P, EM} 8 Ganha

{T, TA, EM} 7 Ganha

{P, TA, EM} 6 Ganha

{T, P, TA, EM} 10 Ganha

Distribuição de Poder Distribuição de Poder Banzhaf:Banzhaf:Treinador : 5/12Treinador : 5/12 41,(6)% 41,(6)%

Presidente : 3/12Presidente : 3/12 25% 25%

T. Adjunto : 3/12 25%T. Adjunto : 3/12 25%

Eq. Médica : 1/12Eq. Médica : 1/12 8,(3)% 8,(3)%

O ÍNDICE DE PODER O ÍNDICE DE PODER

DE DE

SHAPLEY-SHUBIK SHAPLEY-SHUBIK

Coligação SequencialColigação Sequencial: : começa com um jogador, que se pode aliar a um segundo, começa com um jogador, que se pode aliar a um segundo,

seguidamente a um terceiro e assim sucessivamente.seguidamente a um terceiro e assim sucessivamente.

Será que a ordem interessa? Será que a ordem interessa? Vejamos que sim.Vejamos que sim.

{P1, P2, P3} P1, P2 e P3 juntaram-se e vão votar juntos

P1, P2, P3 P1 iniciou a coligação à qual se juntou P2 e por ultimo P3

P1, P3, P2 P2, P1, P3 P2, P3, P1 P3, P1, P2 P3, P2, P1

Notação: Notação: indica que a coligação é sequencial indica que a coligação é sequencial

Coligações Sequenciais com 3 jogadores

Com 3 jogadores temos 3! Coligações Com 3 jogadores temos 3! Coligações SequenciaisSequenciais

O que acontecerá se tivermos 4 jogadores? O que acontecerá se tivermos 4 jogadores?

Teremos 4! Coligações Sequenciais. Teremos 4! Coligações Sequenciais.

..

..

..

Com N jogadores teremos N! Coligações Com N jogadores teremos N! Coligações Sequenciais.Sequenciais.

Jogador PivotalJogador Pivotal

O Jogador PivotalO Jogador Pivotal

Coligação SequencialColigação Sequencial

GANHA

PERDE

…

1º 2º …Pivotal

Restantes

Cálculo do Índice de Poder Cálculo do Índice de Poder de Shapley-Shubik para o de Shapley-Shubik para o

Jogador PJogador P

Passo 1Passo 1: Fazer uma lista de todas as : Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. jogadores. Há N! destas coligações.

Passo 2Passo 2: Em cada coligação : Em cada coligação sequencial determinar o jogador sequencial determinar o jogador pivotal. Há um em cada coligação pivotal. Há um em cada coligação sequencial. sequencial.

Passo 3Passo 3: Contar o número total de : Contar o número total de vezes em que P é jogador pivotal e vezes em que P é jogador pivotal e denominar esse número por S. denominar esse número por S.

O Índice de Poder de Shapley-O Índice de Poder de Shapley-Shubik do Jogador P é dado pela Shubik do Jogador P é dado pela

fracçãofracção

!N

S

Exemplo Exemplo

“ “ Dias & Filhos ” é uma empresa Dias & Filhos ” é uma empresa familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, Afonso II, Afonso III) estão envolvidas na Afonso II, Afonso III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca a decisões, o sua gerência. No que toca a decisões, o Afonso I tem três votos, o Afonso II tem Afonso I tem três votos, o Afonso II tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma dois votos e o Afonso III um voto. Uma maioria de quatro votos é necessária maioria de quatro votos é necessária para aprovar uma moção. Como está para aprovar uma moção. Como está distribuído o poder pelas três gerações?distribuído o poder pelas três gerações?

Cálculo do Índice de Poder Cálculo do Índice de Poder de Shapley – Shubikde Shapley – Shubik

Passo1Passo1:: Fazer uma Fazer uma lista de todas as lista de todas as coligações coligações sequenciais sequenciais contendo N contendo N jogadores. Há N! jogadores. Há N! destas coligações.destas coligações.

Passo1Passo1: Há 3! =6 : Há 3! =6 coligações coligações sequenciaissequenciais..

Passo 2:Passo 2:

Em cada Em cada coligação coligação sequencial sequencial determinar o determinar o Jogador Pivotal.Jogador Pivotal.

Coligação Sequenci

al

Jogador Pivotal

A1, A2, A3 A2

A1, A3, A2 A3

A2, A1, A3 A1

A2, A3, A1 A1

A3, A1, A2 A1

A3, A2, A1 A1

Passo 2:Passo 2:

A distribuição deA distribuição dePoder de Shapley-Shubik é:Poder de Shapley-Shubik é:

AA11: 4/6 : 4/6 66,(6)% 66,(6)%AA22: 1/6 : 1/6

16(6)%16(6)% AA33: : 1/6 1/6 16(6)% 16(6)%

Passo 3Passo 3::

Contar o número Contar o número de vezes em que de vezes em que o jogador P é o jogador P é pivotal e pivotal e denominar esse denominar esse número por S. número por S.

Passo 3:Passo 3:

AA11 é pivotal 4 é pivotal 4 vezesvezes

AA22 é pivotal 1 vez é pivotal 1 vez

AA33 é pivotal 1 vez é pivotal 1 vez

Retomar o exemplo do Retomar o exemplo do Hoquei de BarcelosHoquei de Barcelos

T, P, TA, EM P, T, TA, EM TA, T, P, EM EM, T, P, TA

T, P, EM, TA P, T, EM, TA TA, T, EM, P EM, T, TA, P

T, TA, P, EM P, TA, T, EM TA, P, T, EM EM, P, T, TA

T, TA, EM, P P, TA, EM, T TA, P, EM, T EM, P, TA, T

T, EM, P, TA P, EM, T, TA TA, EM, T, P EM, TA, T, P

T, EM, TA, P P, EM, TA, T TA, EM, P, T EM, TA, P, T

Temos 4 jogadores, logo 4! Coligações sequenciais

Distribuição de poder de Shapley-Distribuição de poder de Shapley-ShubikShubik

JogadorJogadorNº de Nº de vezes vezes que é que é

PivotalPivotal

TT 1010

PP 66

TATA 66

EMEM 22

A distribuição de poder é:

Treinador : 10/24Treinador : 10/24 ( 41,(6)%)( 41,(6)%)

Presidente : 6/24Presidente : 6/24 (25%) (25%)

T. Adjunto : 6/24 (25%)T. Adjunto : 6/24 (25%)

Eq. Médica : 2/24Eq. Médica : 2/24 (8,(3)%) (8,(3)%)

Legislativas Legislativas 20022002

Legislativas 2002Legislativas 2002

Quem saiu vencedor Quem saiu vencedor

foi a coligação PSD/CDS.foi a coligação PSD/CDS.

Qual o índice de poder de cada Qual o índice de poder de cada partido segundo Banzhaf e Shapley-partido segundo Banzhaf e Shapley-Shubik?Shubik?

QUADRO DE RESULTADOSQUADRO DE RESULTADOSpartidopartido

ssvotosvotos %% mandatosmandatos

PPD/PPD/PSDPSD

21816721816722

40,140,155

102102

PSPS 20559820559866

37,837,844

9595

CDS-PPCDS-PP 475515475515 8,758,75 1414

PCP-PEVPCP-PEV 378640378640 6,976,97 1212

B.E.B.E. 149543149543 2,752,75 33

TotalTotal 226226

Analise do poder de cada Analise do poder de cada partido segundo partido segundo

BanzhafBanzhaf

[114: 102, 95, 14, 12, [114: 102, 95, 14, 12, 3]3]

Shapley - ShubikShapley - Shubik

Há 5!= 120 Há 5!= 120 coligações coligações sequenciaissequenciais

ContagemContagem

PartidosPartidos Nº de Nº de vezes que vezes que é pivotalé pivotal

PSDPSD 6060

PSPS 2020

CDSCDS 2020

PCPPCP 2020

BEBE 00

PartidosPartidos Nº de Nº de vezes que vezes que é críticoé crítico

PSDPSD 1111

PSPS 44

CDSCDS 44

PCPPCP 44

BEBE 00

Banzhaf Shapley-Shubik

Distribuição de PoderDistribuição de Poder

BANZHAFBANZHAF

PSD:PSD: 11/23 11/23 47, 8 % 47, 8 %

PS:PS: 4/23 4/23 17, 4 % 17, 4 %

PP: 4/23 PP: 4/23 17, 4 % 17, 4 %

PCP:PCP: 4/23 4/23 17, 4 % 17, 4 %

BE:BE: 0 % 0 %

SHAPLEY-SHUBIKSHAPLEY-SHUBIK

PSD:PSD: 60/120 60/120 50 % 50 %

PS:PS: 20/120 20/120 16, (6) % 16, (6) %

PP:PP: 20/120 20/120 16, (6) % 16, (6) %

PCP:PCP: 20/120 20/120 16, (6) % 16, (6) %

BE:BE: 0 %0 %

ComparaçãoComparação

PartidosPartidos BanzhafBanzhaf Shapley-Shapley-ShubikShubik

PSDPSD 47,8%47,8% 50%50%

PSPS 17,4%17,4% 16, (6)%16, (6)%

CDSCDS 17,4%17,4% 16, (6)%16, (6)%

PCPPCP 17,4%17,4% 16, (6)%16, (6)%

BEBE 0%0% 0%0%

ConclusãoConclusão Índice de Poder deÍndice de Poder de

BanzhafBanzhafShapley-ShubikShapley-Shubik

Qual estará mais perto da realidade?Qual estará mais perto da realidade?

Segundo Banzhaf um jogador entra e sai Segundo Banzhaf um jogador entra e sai quando quer.quando quer.

Segundo Shapley-Shubik um jogador entra na Segundo Shapley-Shubik um jogador entra na coligação para assumir um compromisso de coligação para assumir um compromisso de permanência.permanência.

Na prática a escolha do método é Na prática a escolha do método é baseada na análise da informação baseada na análise da informação que melhor se adequa às que melhor se adequa às características da situação.características da situação.

No último exemplo torna-se muito No último exemplo torna-se muito mais fácil a aplicação do índice de mais fácil a aplicação do índice de poder de Banzhaf do que o de poder de Banzhaf do que o de Shapley-Shubik. Shapley-Shubik.

eleições em portugal. método de hondt apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no...

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