UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

PERÍODO: 2005-4 PROFESSORA: ELIANA MARIA DO SACRAMENTO SOARES

Aplicação da Matemática na Engenharia Resfriamento de um Corpo

Nome: Wiliam Menegotto. Curso: Engenharia Mecânica. Créditos: 142. Local de Trabalho: Agrale SA. Nome: Egon De Pozza Curso: Engenharia Mecânica. Créditos: 80. Local de Trabalho: IMSB Maquinas.

Caxias do Sul, 15 de Dezembro de 2005

INTRODUÇÃO

As equações diferenciais têm interesse para quem não é matemático, especialmente em virtude da possibilidade de usá-las na investigação de ampla variedade de problemas nas ciências físicas, biológicas e sociais. Há três etapas identificáveis neste processo, que estão sempre presentes, independente do campo particular de aplicação.

Em primeiro lugar, é necessário traduzir, em termos matemáticos, a situação física, o que em geral se faz mediante hipóteses em torno do que está ocorrendo, e que parecem ser coerentes com os fenômenos observados. Por exemplo, observou-se que os materiais radioativos decaem com uma taxa proporcional à quantidade de material presente na atmosfera; que o calor passa de um corpo quente para outro mais frio a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre dois corpos; que os corpos se deslocam de acordo com as Leis de Newton do movimento; e que as populações de insetos, isoladas, crescem a uma taxa proporcional à população presente. Cada uma destas afirmações envolve uma taxa de variação (derivadas) e, por isso, ao ser expressa matematicamente, assume a forma de uma equação diferencial. A equação diferencial é o modelo matemático do processo.

OBJETIVOS

Neste trabalho vamos estudar a aplicação de equações diferencias na

difusão do calor, analisando o processo de revenimento feito em peças de aço ABNT 4140 forjado.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

RESFRIAMENTO DE UM CORPO

Um corpo que não possui internamente nenhuma fonte de calor, quando deixado em um meio ambiente na temperatura T, tende àquela do meio que cerca Ta. Assim, se a temperatura T< Ta, este corpo se aquecerá e, caso contrário, se resfriará.

A temperatura do corpo, considerada uniforme, será pois uma função do tempo T=T(t). Verifica-se experimentalmente que quanto maior for o valor I T - Ta I mais rápida será a variação de T(t).

Isto é evidenciado de forma precisa pela chamada Lei de Resfriamento enunciada por I. Newton: “A taxa de variação da temperatura de um corpo (sem fonte interna) é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio ambiente”. Colocando em termos matemáticos

)( aTTdtdT −−= λ

Onde 0>λ pois se aTT > então 0<dtdT

e se 0, >>dtdT

TT a

Neste modelo matemático, a temperatura do corpo só atinge a

temperatura Ta no limite em que +∞→t ; entretanto na realidade, a temperatura ambiente é atingida num tempo finito.

REVENIMENTO

É o tratamento usado para remover os problemas deixados pela têmpera. Depois de temperada, a peça é aquecida e mantida por algum tempo a uma temperatura, em geral abaixo de 600°C. Ocorre assim, um alívio das tensões internas e mudanças na estrutura da martensita e outras transformações. O resultado é uma redução da dureza (normalmente excessiva após a têmpera) e da fragilidade do aço. A dureza final diminui com o aumento da temperatura do revenido.

PORCEDIMENTO EXPERIMENTAL

O procedimento experimental foi realizado na empresa Agrale S.A. e consiste no estudo do resfriamento de peças de aço ABNT 4140 forjado que sofreram um tratamento térmico de revenimento, com essa analise pretende-se prever qual a taxa de resfriamento usando os conhecimentos que nos foram passados durante o semestre na matéria de Equações Diferenciais.

DESCRIÇÃO DO PROCESSO Um lote de peças é aquecido em um forno a uma temperatura de 220°C

e permanece no mesmo durante o período de 1hora após esse tempo este lote é retirado do forno, o resfriamento ocorre à temperatura ambiente.

Peças analisadas

Forno para revenimento Para analise do processo foram feita diversas medições que estão

relacionadas na tabela abaixo. Posteriormente esses dados poderão ser comparados com os resultados obtidos através dos cálculos feitos usando as aplicações de equações diferenciais.

Medição 1 3 6 9 11 14 16 18 19

Temperatura °C

220 171 142 122 109 96 88 79 74

Tempo minutos

0 2 5 8 10 13 15 18 20

Valores obtidos através da medição da temperatura

De acordo com a lei do arrefecimento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substancia numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substancia e a do ar. Sendo assim pretendesse calcular as temperaturas das peças em cada instante considerando que a temperatura

ambiente é de 27°C e as peças foram retiradas do forno a uma temperatura de 220°C e após 15 minutos a sua temperatura é de 88°C.

Seja T a temperatura da substância no tempo t minutos.

Então, )27( −−= TkdtdT ou kdt

TdT −=− 27

Integrando entre os limites t=0 min, T=220°C e t=15 min e T= 88°C

,27

15

0

88

220 ∫∫ −=−

dtkT

dT -1.1518 = -15k, 15k = 1.1518

Com isso,

,27 0220 ∫∫ −=

−YX

dtkT

dT sendo “x” a Temperatura que queremos calcular e

“y” o Tempo no qual queremos encontrar tal temperatura, através dessa formula podemos calcular a temperatura em qualquer instante para este processo.

Ex.: Para o Tempo y = 5 min

,27

5

0220 ∫∫ −=−

dtkT

dTX ln(x-27) - ln(220-27) = -5k,

ln(x-27) = ln(193) - 5k

Como 15k = 1,1518 antão, 3.ln(x-27) = 3.ln(193) - 3.(5k) x = 158,47°C

Com isso foram calculados os tempos abaixo relacionados

Medição 1 3 6 9 11 14 16 18 19

Temperatura °C

220 192,52 158,47 131,42 116,55 98,13 88 75,45 68,55

Tempo minutos

0 2 5 8 10 13 15 18 20

Valores calculados usando o principio da “Lei do Resfriamento de Newton”

Podemos notar algumas variações comparando os valores medidos e os calculados como, por exemplo, o primeiro na medição onde foi encontrado um valor bem maior do que o calculado, isso se explicar se considerarmos que quando as peças são retiradas do formo elas são movimentadas até o local onde permanecerão para o resfriamento, isso faz com que a troca de calor seja maior nesse instante.

CONCLUSÃO Com este trabalho foi possível a nós uma maior compreensão do que foi

estudado durante o semestre verificando que temos inúmeras possibilidades de aplicações das equações diferenciais dentro das empresas.

BIBILIOGRAFIA BOYCE, W. E. e DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais e problemas

de valores de contorno. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 6 edição, 1997. BASSANEZI, R. C. e FERREIRA Jr, W. C. Equações diferenciais com

Aplicações. AYERES Jr, F. Equação diferencia – Coleção Shãum.