Funcao do 2o grau: Equacao e Inequacao2a Edicao do Curso de Difusao Pre-Calculo aos alunos de

graduacao da ESALQ

Patricia Araripe e Pollyane Vieira

15 de fevereiro de 2019

Definicao (1)(Funcao) Dados dois conjuntos A e B nao vazios, uma relacao f de Aem B recebe o nome de funcao definida em A com imagens em B se, esomente se, para todo x ∈ A existe um unico correspondente emy ∈ B.

Definicao (2)(Funcao do 2o grau) Uma funcao do segundo grau ou quadraticaassocia a cada x ∈ R o elemento ax2 + bx + c ∈ R em que a 6= 0.

f : R→ R

f (x) = ax2 + bx + c

Observacao: O grau de uma funcao e determinado pelo maiorexpoente da variavel.

Exemplo (1)

1. f (x) = x2 − 3x + 22. f (x) = 2x2 + 4x− 33. f (x) = −3x2 + 5x− 14. f (x) = −2x2 + 5x5. f (x) = x2 − 4

Qual o valor dos coeficientes a, b e c nas funcoes acima?

PARABOLA

O grafico de uma funcao quadratica e sempre uma parabola,sendo esta com dois comportamentos diferentes.

RAIZ DA FUNCAO

Os valores que o grafico da funcao intercepta o eixo x saochamados de raızes ou zeros da funcao.

Sao os valores de x tais que f (x) = 0, ou seja,

ax2 + bx + c = 0.

Temos aqui uma equacao do 2o grau e para resolve-lautilizaremos a formula de Bhaskara, dada por:

Deve-se considerar os casos para ∆:

∆ > 0

A funcao possui 2 raızes reais.

∆ = 0

A funcao possui 1 raız real.

∆ < 0

A funcao nao possui raızes reais.

Exemplo (2)Determine as raızes das seguintes funcoes:

1. f (x) = x2 − 3x + 22. f (x) = 4x2 − 4x + 13. f (x) = x2 − 4x + 5

Solucao:1. S = {1, 2}2. S = { 1

2}3. S = ∅

VERTICE DA PARABOLA

O vertice V de uma parabola e representado pelo ponto deintersecao do eixo de simetria com a propria parabola, sendosuas coordenadas dadas por

Exemplo (3)Determine o vertice da parabola que representa as seguintes funcoes:

1. f (x) = x2 − 3x + 22. f (x) = 4x2 − 4x + 13. f (x) = x2 − 4x + 5

Solucao:1. V(3

2 ,−14 )

2. V(12 , 0)

3. V(2, 1)

O ponto de interseccao da parabola com o eixo y e (0, c).

CONJUNTO IMAGEM DA FUNCAO QUADRATICA

O conjunto imagem da funcao quadratica e determinado apartir do (yV) da parabola. Existem dois casos a se considerar:

a > 0A funcao apresentara um ponto de mınimo, em que yV e ovalor mınimo da funcao.

a > 0A funcao apresentara um ponto de maximo, em que yV e ovalor maximo da funcao.

ESTUDO DOS SINAIS DA FUNCAO QUADRATICA

Os sinais da funcao quadratica sao estudados por meio docoeficiente a e do ∆. Apresentam-se os possıveis casos:

INEQUACAO 2O GRAU

Uma inequacao e uma desigualdade, em que no lugar de umsinal de igual na sentenca matematica utiliza-se sinais de:

ax2 + bx + c� 0, em que a, b, c ∈ R a 6= 0

< Menor que> Maior que≤ Menor que ou igual a≥ Maior que ou igual a

Por exemplo, na desigualdade x2 + 6x + 9 > 0, tem-se:

Incognita⇒ x (expoente de x e igual a 2 )

1o membro⇒ x2 + 6x + 9

2o membro⇒ 0

Resolver a inequacao e encontrar todos os valores reais de xque tornem a desigualdade verdadeira e escrever o conjuntosolucao.

Considere os seguintes passos:

1. Igualar a sentenca do 2o grau a zero;

2. Localizar e (se existir) as raızes da equacao no eixo x;

3. Estudar o sinal da funcao correspondente, tendo-se comopossibilidades:

4. Escrever o conjunto solucao.

Exemplo (1)

Resolva as inequacoes:

1. x2 − 2x− 8 < 0.2. −x2 − 3x− 2 ≤ 03. 2x2 − 2x + 5 > 0

Solucao:1. S = {x ∈ R| − 2 < x < 4}2. S = {x ∈ R|x ≤ −2 ou x ≥ −1}3. S = R

SISTEMAS DE INEQUACOES DO 2O GRAU E

INEQUACOES SIMULTANEAS

Existem sistemas de inequacoes que aparecem uma ou maisinequacoes do 2o grau. A resolucao deve ser feita por:

1. Resolver cada inequacao separadamente;

2. Fazer a interseccao das solucoes usando as retas dosintervalos;

3. Dar a solucao.

Uma inequacao do 2o grau e simultanea quando aparecer duasdesigualdades numa so sentenca. A resolucao deve ser feita damesma maneira que em sistemas de inequacoes do 2o grau.

Exemplo (2)

Encontre o conjunto solucao das seguintes inequacoes:

1.{

x2 − 6x + 9 ≥ 03x− 6 > 0

2. 3 < x2 − 2x + 8 ≤ 8

Solucao:

1. S = {x ∈ R|x > 2}

2. S = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 2}

INEQUACAO PRODUTO E INEQUACAO QUOCIENTE

Algumas inequacoes apresentam o produto de funcoes,enquanto que algumas apresentam o quociente de funcoes.

Neste caso:

I Fazer a analise de sinais de todas as funcoes e;

I Determinar a solucao pela interseccao do estudo de sinaisdas funcoes das inequacoes.

Uma observacao importante na resolucao da inequacaoquociente e que a funcao expressa no denominador nao podeser igual a zero.

Exemplo (3)

Determine o conjunto solucao das inequacoes:

1.(x2 − 7x + 10

)(6x + 12) ≥ 0

2. −x2+4x−3−x+2 ≥ 0

Solucao:

1. S = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}

2. S = {x ∈ R|1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}

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