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Triângulos ― classificação
Quanto aos ângulos Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos.
Equilátero: três lados de mesma medida.
Obs.: os três ângulos internos têm
medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e
um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado
o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
Isósceles: dois lados de mesma medida.
Obs.: os ângulos opostos aos lados
congruentes também são de mesma
medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos
e um obtuso.
Escaleno: três lados de medidas
diferentes entre si.
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Triângulos - medidas de seus ângulos
Soma das medidas dos
ângulos internos
Teorema do ângulo externo
Condição de existência de um triângulo
a + b + g = 180º a + x = 180º b + g = x
A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior.
b + c > a
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Triângulos – cevianas e pontos notáveis
Ceviana Definição Ponto notável Figura
Mediana
É o segmento que tem como
extremidade um vértice do
triângulo e o ponto médio do lado
oposto a esse vértice.
Baricentro (G): é o ponto de
encontro das medianas do
triângulo; é o centro de
gravidade do triângulo.
Bissetriz
É o segmento que tem uma
extremidade em um vértice do
triângulo, divide o ângulo ao meio
e tem a outra extremidade no
lado oposto a esse vértice.
Incentro (I): é o encontro das
bissetrizes internas do
triângulo; é o centro da
circunferência inscrita no
triângulo, pois equidista dos
três lados.
Altura
É o segmento com uma
extremidade em um vértice e a
outra extremidade no lado oposto
ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
Ortocentro (H): é o ponto de
encontro das retas que contêm
as alturas, podendo pertencer
ao exterior do triângulo.
Mediatriz
Reta que passa pelo ponto médio
de um lado do triângulo e é
perpendicular a ele.
Circuncentro (C): é o ponto
de encontro das mediatrizes
dos lados do triângulo; é o
centro da circunferência
circunscrita ao triângulo, pois
equidista dos três vértices.
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Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.
1o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente
3o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente
4o caso: LAAo Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente
2o caso: LLL Três lados congruentes
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Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes.
1o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será.
3o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados
proporcionais.
2o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.
Casos de semelhança:
Assim teremos:
= = =AB BC AC
constanteDE EF DF
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Relações métricas no triângulo retângulo
Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado , com D em .
ADBC BC
Definições dos segmentos:
=
=
=
=
=
=
BC hipotenusa (medida "a")
AB cateto (medida "c")
AC cateto (medida "b")
BD projeção do cateto AB
sobre a hipotenusa (medida "m")
DC projeção do cateto AC
sobre a hipotenusa (medida "n")
AD altura relativa à
hipotenusa (medida "h")
Assim teremos: 2 2 2
2
2
2
= +
=
=
=
=
a b c
a h b c
b m a
c n a
h m n
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Quadriláteros
Quanto aos
ângulos
Quanto às
diagonais
Quanto aos
lados
Paralelogramo
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
Encontram-se no
seu ponto médio.
Lados opostos
congruentes.
Retângulo
Quatro ângulos
retos.
São congruentes. Lados opostos
congruentes.
Losango
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
São perpendiculares
entre si e estão
contidas nas
bissetrizes dos
ângulos internos do
losango.
Quatro lados
congruentes.
Quadrado
Quatro ângulos
retos.
Encontram-se no
seu ponto médio e
são congruentes.
Quatro lados
congruentes.
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
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Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.
Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.