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TRANSFORMADA DE TRANSFORMADA DE LAPLACELAPLACE
Revisão de alguns:ConceitosDefiniçõesPropriedadesAplicações
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Introdução
A Transformada de Laplace é um método de transformar equações diferenciais em equações algébricas mais facilmente solucionáveis
Um exemplo simples de transformada matemática é quando o problema de multiplicação é transformado em uma operação mais simples de soma pela transformada logarítmica
Transformaçãologarítmica
Transformaçãoinversa
multiplicação
ou divisão
adição ou
subtração
solução
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CBA ×=
Transformaçãologarítmica
Transformaçãoinversa
multiplicação
ou divisão
adição ou
subtração
solução
)log(log CBA ×=CB loglog +=
CBD loglog +=
⇒ DA =log
DA loganti=
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Uma transformada de Laplace é um tipo de operação matemática semelhante a essa transformação logarítmica
Equações diferenciais que descrevem como um sistema comporta-se com o tempo são transformadas em relações algébricas simples, não envolvendo o tempo, em que podemos realizar operações algébricas normais.
Então podemos usar uma transformada inversa para obter a solução que descreve como o sinal varia com o tempo.
Transformaçãode Laplace
Transformaçãoinversa
comportamento descrito por equações diferenciais
domínio do tempo
manipulação algébrica de equações
domínio s
solução no domínio
do tempo
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TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE
( )∫∞ −
0dtetemponofunção st
( ) ( )∫∞ −=
0dtetfsF st
Notação da transformada de Laplace
( ) )(. tiRtv =
( ) )(. sIRsV =
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Transformada de Laplace da Transformada de Laplace da função degrau unitáriofunção degrau unitáriof (t)
( ) 00 <→= ttf1
( ) 01 >→= ttfTempo t0
Transformada de Laplace da função degrau unitário para t >0
( ) ∫∞ −=
01 dtesF st
( ) ∞−−= 0][1 stes
sF
( )s
sF 1=
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Transformada de Laplace da Transformada de Laplace da função degrau de amplitude função degrau de amplitude aa
f (t)( ) 00 <→= ttfa
( ) 0>→= tatfTempo t0
Transformada de Laplace da função degrau a para t >0
( ) ∫∞ −=
0. dteasF st
( ) ∞−−= 0][ stesasF
( )sasF =
( ) ∫∞ −=
0dteasF st⇒
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Exemplo: Determinar, a partir da definição, a transformada de Laplace da função eat, onde a é uma constante.Solução:
atetf =)(
∫∞ −=
0)( dteesF stat
( )∫∞ −−=
0)( dtesF tas
( )[ ]∞
−−
−−=
0
1)( taseas
sF
Transformada de Laplace
assF
−=
1)(
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Tabelas de Transformadas de LaplaceTabelas de Transformadas de Laplace
Senóide
Exponencial crescente
Rampa unitária
Degrau unitário
Impulso unitário
Descrição da função no tempo
Transformada de Laplace
Função no tempo
s1
( )assa+
2
1s
)(tδ 1
01)(00)(
>→=<→=
ttfttf
t
ate−−1
22 ωω+s
22
2
2 ωςωω
++ ss
tωsen
( )te t )1(sen1
2
2ςω
ςω ςω −−
−
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Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace
1. A soma de duas funções torna-se a soma de suas duas transformadas de Laplace
)()(setorna)()( 2121 sFsFtftf +−+
2. A subtração de duas funções torna-se a subtração de suas duas transformadas de Laplace
)()(setorna)()( 2121 sFsFtftf −−−
3. A multiplicação de uma função por uma constante torna-se a multiplicação da transformada de Laplace da função pela mesma constante
)(.setorna)(. sFatfa −
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Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace
4. Uma função com atraso de tempo Ts, isto é , f (t-T), torna-se e-Ts F(s) para valores de T maiores ou iguais a zero )(setorna)( sFeTtf Ts−−−
5. A derivada primeira de uma função torna-se s vezes a transformada de Laplace da função menos o valor de f (t) em t=0
)0()(setorna)( fsFstfdtd
−−
onde f (0) é o valor da função em t = 0
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Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace
6. A derivada segunda de uma função torna-se s2 vezes a transformada de Laplace da função menos s vezes o valor da função em t=0 menos o valor da derivada primeira de f (t) em t=0
dtdfsfsFstf
dtd )0()0()(setorna)( 2
2
2
−−−
Onde:s f (0) é s multiplicado pelo valor da função em t = 0 e
dtdf )0( é a derivada primeira da função em t = 0
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Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace
7. A n-ésima derivada de uma função torna-se sn vezes a transformada de Laplace da função menos os termos envolvendo f (t) e suas derivadas em t=0
1
11 )0()0()(setorna)( −
−− −−−− n
nnn
n
n
dtfdfssFstf
dtd
K
ou
1
1
2
221 )0()0()0()0()()(
−
−
−
−−− −−−−−=
n
n
n
nnnn
n
n
dtfd
dtfds
dtdfsfssFs
dttfdL K
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Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace
8. A primeira integral de uma função, entre o instante 0 e o instante t torna-se (1/s) vezes a transformada de Laplace da função
)(1setorna)(0
sFs
dttft
−∫
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Exemplo: Determinar, utilizando as tabelas, a transformada de Laplace das seguintes funções:a) 2t
221 t 3
1s
Assim, para obter a transformada de Laplace de t, precisamos multiplicar a função na tabela por 2. Como é uma constante, a transformada de Laplace de t2 será:
3
2)(s
sF =b) atet −2
A tabela dá a transformada de Laplace de como
Utilizando a tabela, a transformada de Laplace é
( )32)(as
sF+
=
Note que a transformada de Laplace de duas funções multiplicadas não é a multiplicação das duas transformadas de Laplace separadas.
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( )atet −+12c)
A transformada de Laplace da soma de duas funções é a soma de suas funções transformadas separadas:
atetttf −+= 22)(
( )33
22)(ass
sF+
+=
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Exemplo: Determinar, utilizando as tabelas, a transformada inversa de:
s2
a)
A tabela inclui uma transformada de Laplace de s1
e assim, se esse termo é multiplicado por uma constante 2, a transformação inversa será a função que dá a transformada de Laplace de 1/s multiplicada pela mesma constante.
A transformação inversa será 2.
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123+s
b)
Essa transformada pode ser rearranjada para dar:( )( )2123
+s
A tabela contém a transformadaas +
1 , cuja inversa é ate−
Assim a transformação inversa é somente as +1 multiplicada
pela constante (3/2), sendo a = (1/2), isto é:
2
23)(
t
etf−
=
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52−s
c)
Essa transformada pode ser rearranjada para dar:
( )52−+s
A tabela contém a transformadaas +
1 , cuja inversa é ate−
Assim a transformação inversa é somente as +1 multiplicada
pela constante 2, sendo a =–5, isto é:
tetf 52)( =
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Utilizando as Transformadas de Laplace Utilizando as Transformadas de Laplace para resolver equações diferenciaispara resolver equações diferenciais
1. Transformar cada termo na equação diferencial em suas transformadas de Laplace, isto é, mudar a função do tempo para uma função em s.
2. Pesquisar todas as manipulações- por exemplo, considerar o que acontece quando uma entrada degrau é aplicada ao sistema.
3. Converter a função de Laplace resultante em uma equação como função do tempo, isto é, a transformada inversa de Laplace.
Para usar as tabelas de transformadas de Laplace e assim determinar a conversão, é freqüentemente necessário decompor em frações parciais para obter as formas padrão dadas nas tabelas
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Exemplo: Usar a transformada de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial:
423 =+ xdx com x = 0 em t = 0dt
Solução:
[ ]s
sXxssX 4)(2)0()(3 =+− se x(0) = 0
[ ]s
sXssX 4)(20)(3 =+−
4)(2)(3 2 =+ ssXsXs
sssX
234)( 2 +
=( )[ ]32
)32(2)(+
=ss
sX⇒
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( )[ ]32)32(2)(
+=
sssX
Agora é necessário encontrar as funções que dariam as transformadas de Laplace desta forma, de modo a obter a transformação inversa de x.
( )assa+
( )ate−−1Se a transformada inversa de é , então:
32
=a e
−=
−32
12)(t
etx
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Exemplo: Para uma tensão de entrada degrau de amplitude Vem t = 0 em um circuito RC, a equação diferencial para a diferença de potencial no capacitor vc é dada por:
CC v
dtdvRCV += com vc = 0 em t = 0
Solução:
)()( sVssVRCsV
CC +=
( )sRCsVsVC 1
)(+
=( )[ ]RCssRCVsVC 1
)1()(+
=⇒
( )ate−−1( )ass
a+
A função dá a transformada de Laplace
−=
−RC
t
C eVtv 1)(RCa 1=sendo:
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Frações ParciaisFrações Parciais
2343
2 +++xx
x2
21
1+
++ xx⇒
Existem três tipos básicos de frações parciais:
1. Fatores lineares no denominador
( )( ) ( ) ( )csbsas
sf+++
Expressão
( ) ( ) ( )csC
bsB
asA
++
++
+Fração parcial
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Frações ParciaisFrações Parciais2. Fatores lineares repetidos no denominador
( )( )nas
sf+
Expressão
( ) ( ) ( ) ( )nasN
asC
asB
asA
+++
++
++
+K32Fração parcial
3. Fatores quadráticos no denominador, quando o fator tem raízes complexas conjugadas ( )
cbsassf++2
Expressão
cbsasBAs++
+2Fração parcial
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Frações ParciaisFrações Parciais
Fatores quadráticos no denominador, quando o fator tem raízes complexas conjugadas e existe também um fator linear no denominador
( )( ) ( )dscbsas
sf+++2Expressão
dsC
cbsasBAs
++
+++
2Fração parcial
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Exemplo:23
432 ++
+xx
x
( ) ( )2143
2343
2 +++
=++
+xx
xxx
x
( ) ( ) 212143
++
+=
+++
xB
xA
xxx
( ) ( )( ) ( )( ) ( )21
1221
43++
+++=
+++
xxxBxA
xxx
( ) BAxBAx +++=+ 243
==→ 2
1BA
=+=+
423
BABA
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Teoremas do valor inicialTeoremas do valor iniciale do valor finale do valor final
Teorema do valor inicial
)(lim)(lim0
tfssFts →∞→
=
Teorema do valor final
)(lim)(lim0
tfssFts ∞→→
=
Os teoremas do valor inicial e do valor final são muito úteis quando é necessário determinar a partir da transformada de
Laplace o comportamento da função f (t ) em 0 e ∞