Matemática 12.º Ano Combinações, Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

J. Silvestre, 2007-11-20 0. Combinações....................................................................................................................................................................................1

A fórmula e o significado ......................................................................................................................... 1

Propriedades........................................................................................................................................... 2

1. Triângulo de Pascal.........................................................................................................................................................................3

Algumas propriedades ............................................................................................................................. 3

Exercícios (1).......................................................................................................................................... 4

2. Binómio de Newton.........................................................................................................................................................................4

Em busca do desenvolvimento da potência de uma soma........................................................................... 4

Desenvolvimento alternativo ..................................................................................................................... 6

Exercícios (2).......................................................................................................................................... 6

Soma dos números de uma linha do Triângulo de Pascal ............................................................................ 7

Exercícios (3).......................................................................................................................................... 7

Termo médio........................................................................................................................................... 7

Exercícios (4).......................................................................................................................................... 8

0. Combinações

A fórmula e o significado Designa-se por “combinações de n elementos, p a p ”, e representa-se por p

nC , o número de

subconjuntos distintos com p elementos que é possível extrair de um conjunto com n elementos.

Para contar estes subconjuntos (ou seja, para determinar pnC ) podemos proceder do seguinte modo:

• Começamos por determinar o número de sequências distintas com p elementos que é possível

formar a partir dos n elementos do conjunto completo. Temos n elementos à escolha para a 1.ª

posição, 1−n para a 2.ª posição,..., 1+− kn para a k.ª posição,..., 1+− pn para a última

posição. O número total de sequências possíveis é pois igual a

( ) ( ) ( )121 +−⋅⋅−⋅−⋅ pnnnn K

que pode reescrito da sequinte forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 11

11

1

121121

⋅⋅−−⋅−⋅⋅−−⋅−⋅+−⋅⋅−⋅−⋅=+−⋅⋅−⋅−⋅

K

KKK

pnpn

pnpnpnnnnpnnnn

( )!!

pn

n

−=

e que é geralmente representado por pn A (arranjos sem repetição de n elementos p a p ).

• Acontece que, ao efectuarmos a contagem desta forma, estamos a contar o mesmo subconjunto

mais de uma vez, visto que aos mesmos p elementos de um subconjunto correspondem pp A

sequências distintas de números. Assim, o número de subconjuntos vai ser igual ao número de

sequências pn A dividido pelo número de vezes que cada subconjunto aparece na lista de

sequências. O resultado é

( )

( ) !!

!

!

1

!

!

ppn

n

ppn

nAAC p

pp

np

n

−=

⋅−

=÷=

Obviamente pnC só está definido se (cumulativamente)

- n e p são números inteiros não negativos (i.e. pertencem a 0NI ): o número de elementos de um

conjunto é um número inteiro, que será positivo se houver elementos ou será zero se o conjunto for

vazio;

- np ≤ (não é possível extrair mais do que n elementos de um conjunto que só tem n elementos.

Propriedades 1. Para qualquer 0NIn ∈ e para qualquer { }np ,,2,1,0 K∈ , tem-se uma das seguintes situações:

- se 0=p ou np = então 1=pnC ;

- se np <<0 então pn

pn

pn CCC 1

11 −

−− += .

Esta propriedade pode ser verificada a partir da fórmula ( ) !!

!

ppn

nCp

n

−= , mas pode também ser

justificada do sequinte modo (no que se segue, B designa um conjunto com n elementos):

- se 0=p estamos a extrair um subconjunto com 0 elementos e só há um subconjunto nessas

condições: o conjunto vazio;

- se np = estamos a extrair todos os elementos do conjunto, e só há uma forma de o fazer;

- se np <<0 podemos começar por formar um subconjunto 'B com 1−n elementos de B ,

deixando um elemento isolado; para formar o nosso subconjunto com p elementos de B temos

então duas alternativas: ou extraímos 1−n elementos de 'B e lhes juntamos o elemento que

ficou de fora (o que dá 11

−−

pn C subconjuntos distintos com p elementos) ou extraímos os n

elementos todos de 'B (o que dá mais pn C1− subconjuntos distintos com p elementos). Todos

os pnC subconjuntos de B podem ser obtidos de uma destas formas, portanto tem-se

pn

pn

pn CCC 1

11 −

−− += .

2. Para qualquer NIn ∈ (i.e. para cada número inteiro 0>n ) tem-se nCn =1 .

Esta propriedade obtém-se imediatamente substituindo p por 1 na fórmula e simplificando.

Alternativamente: fazer 1=p corresponde a contar o número de subconjuntos de 1 elemento que

é possível formar a partir dos n elementos do conjunto original B ; obviamente existirão tantos

subconjuntos de 1 elemento quantos os elementos, ou seja, n .

3. Para qualquer 0NIn ∈ e para qualquer { }np ,,2,1,0 K∈ , tem-se

pnn

pn CC −= .

Mais uma vez, esta propriedade pode ser verificada a partir da fórmula, ou pode ser justificada do

seguinte modo:

A cada subconjunto de p elementos que formemos corresponde um e apenas um subconjunto

de pn − elementos: os que “deixámos para trás”. Logo, terá que haver tantos subconjuntos de

p elementos (em número de pnC ) quantos os subconjuntos com pn − elementos ( pn

nC − ),

donde sai o resultado pretendido.

1. Triângulo de Pascal

Algumas propriedades • O Trângulo de Pascal é um triângulo de números com este aspecto (são mostradas apenas as

primeiras 5 linhas).

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Constrói-se linha por linha, aplicando as seguintes regras:

- a n-ésima linha tem n números, em posições intercaladas com a linha imediatamente acima;

- o primeiro número e o último número de cada linha são iguais a 1;

- os restantes números de cada linha obtêm-se adicionando os dois números mais próximos da linha

imediatamente acima.

• Repara que estas são exactamente as mesmas regras que encontrámos acima, na propriedade 1

das combinações:

- o primeiro valor possível para n é zero, e para esse valor apenas está definida uma “combinação”,

que é 00C ; o 2.º valor possível para n é 1, e para esse valor de n estão definidas 2 “combinações”,

que são 01C e 1

1C ; e assim sucessivamente: para o k-ésimo valor que n pode tomar, estão definidas k

“combinações”;

- na lista nnnn CCC ,,, 10 K o primeiro elemento e o último elemento são ambos iguais a 1;

- se escrevermos sucessivamente estas listas, com os números intercalados, a propriedade

pn

pn

pn CCC 1

11 −

−− += garante que cada número de uma lista (à excepção dos das pontas) resulta da

soma dos números mais próximos da lista imediatamente acima.

Como as regras de formação são as mesmas,

as entradas as entradas as entradas as entradas do Triângulo de Pascal são do Triângulo de Pascal são do Triângulo de Pascal são do Triângulo de Pascal são ocupadas pelocupadas pelocupadas pelocupadas pelas “combinações” as “combinações” as “combinações” as “combinações” pnC ....

• Como o primeiro valor que n toma nas combinações é zero, a 1.ª linha corresponde a 0=n , a 2.ª

linha corresponde a 1=n ,..., a r-ésima linha corresponde a 1−= rn (verifica na porção do Triângulo

de Pascal reproduzida acima que, por exemplo, a 5.ª linha corresponde a 415 =−=n ).

Do mesmo modo, como o primeiro valor que p toma em cada linha é zero, o 1.º elemento de uma

linha corresponde a 0=p , o 2.º elemento corresponde a 1=p ,..., o k-ésimo elemento corresponde a

1−= kp (verifica na porção do Triângulo de Pascal reproduzida acima que o 2222.º elemento da 4444.ª linha

é igual a 13

1214 CC =−

− ).

• Observando o Triângulo de Pascal, verificas que ele é simétrico em relação a uma linha vertical que

passe pelo “vértice” (o número 1 situado no topo): as entradas simétricas em relação a esta linha são

iguais. Por que será?

Quais são essas entradas simétricas? São as entradas que se situam à mesma distância dos extremos

do triângulo. Se uma dessas entradas corresponde a pnC , então deixa à sua esquerda exactamente p

entradas, logo a sua simétrica será a entrada que deixa à sua direita exactamente p entradas, e

corresponde a pnnC − . Mas nós já sabemos que p

nC = pnnC − , portanto em cada linha do Triângulo de em cada linha do Triângulo de em cada linha do Triângulo de em cada linha do Triângulo de

PascalPascalPascalPascal aaaas entradas simétricas são iguaiss entradas simétricas são iguaiss entradas simétricas são iguaiss entradas simétricas são iguais -- ou seja, o Triângulo de Pascal é simétrico.

Exercícios (1)

□ Exerc□ Exerc□ Exerc□ Exercício 1.ício 1.ício 1.ício 1. (a: fácil/médio; b: difícil)

A soma dos três primeiros números de uma certa linha (linha r) do Triângulo de Pascal é igual a 154.

a) Qual é o terceiro número da linha imediatamente abaixo (linha r+1)?

b) Qual é o penúltimo número da mesma linha (linha r)?

□ Exerc□ Exerc□ Exerc□ Exercício 2.ício 2.ício 2.ício 2. (bastante difícil)

Três números consecutivos de uma certa linha do Triângulo de Pascal são 80730, 296010 e 888030.

Determine o 2.º número dessa mesma linha do Triângulo de Pascal.

(SugestSugestSugestSugestõesõesõesões:

- Dê nomes aos três números do enunciado: 80730=x , 296010=y , 888030=z .

- Considere que pnCx= e obtenha as expressões correspondentes para y e z . Nestas expressões só

intervêm n e p . Temos pois 3 equações e 2 incógnitas ( n e p ); em teoria será possível

determinarmos os valores das incógnitas.

- Vai-nos ser útil considerar duas novas quantidades, x

y=α e y

z=β . Use as expressões de x , y e

z obtidas na etapa anterior para relacionar as novas quantidades α e β com as incógnitas n e p .

- Calcule os valores de x

y=α e y

z=β a partir dos dados do enunciado, e substitua-os nas equações

que obteve na etapa anterior. Deste modo obteve um sistema de duas equações do 1.º grau em n e

em p , sistema este que pode ser resolvido (por exemplo pelo método de substituição) para obter n e

p . Caso tenha usado valores aproximados para α e β , não irá obter valores inteiros para n e p ,

pelo que terá que arredondar para o inteiro mais próximo.

- Recorrendo à sua calculadora, confirme que pnCx= , 1+= p

nCy e 2+= pnCz .

- Por fim, use a informação de que agora dispõe para responder à questão colocada no enunciado.)

2. Binómio de Newton

Em busca do desenvolvimento da potência de uma soma Considere a conhecida expansão do quadrado de uma soma:

( ) 222 2 bababa ++=+ .

Repare que esta igualdade pode ser escrita na forma

( ) ∑=

− ⋅⋅=+2

0

222

p

ppp baCba

(a parcela 2a obtém-se fazendo 0=p , a parcela ab2 corresponde a 1=p , e a parcela 2b resulta de

fazer 2=p ).

Se usarmos a letra n para representar o número 2, a igualdade pode ainda ser escrita na forma

( ) ∑=

− ⋅⋅=+n

p

ppnp

nn baCba0

.

Facilmente se verifica que esta igualdade permanece válida quando 1=n e quando 0=n . Com um

pouco mais de contas, verifica-se que também é válida quando 3=n . Mas será que é válida para

qualquer n inteiro?

Para mostrar que sim, suponhamos (“hipótese de indução”) que a igualdade

( ) ∑=

− ⋅⋅=+n

p

ppnp

nn baCba0

é válida para um certo número inteiro n , e vejamos se ainda é válida quando avançamos para o

número inteiro seguinte (isto é, quando substituimos n por 1+n ):

( ) ( )( )( )

( )

( )

∑∑

∑∑

∑∑

∑

+

=

−+−

=

−+

=

+−

=

−+

=

−

=

−

=

−

+

⋅⋅+⋅⋅=

−=⇒+=

⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+=

++=+

1

1

11

0

1

0

1

0

1

00

0

1

11fazer

indução de hipótese aaplicar

n

k

kknk

nn

p

ppnp

n

n

p

ppnp

nn

p

ppnp

n

n

p

ppnp

nn

p

ppnp

n

n

p

ppnp

n

nn

baCbaC

kppk

baCbaC

baCbbaCa

baCba

bababa

( )

( )

( )

∑

∑

∑

∑∑

∑∑

+

=

−++

++−++

+

=

−++−++

+

=

−+−

+

+

=

−+−

=

−++

+

=

−+−

=

−+

⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

=

1

0

11

1111

1

1

110010

1

10

1

11

01

10

1

11

1

101

1

1

11

0

1

11

11

fazer

n

p

ppnp

n

nnnn

nn

p

ppnp

nnn

nn

p

ppnp

np

nn

nn

p

ppnp

nn

p

ppnp

nn

n

p

ppnp

nn

p

ppnp

n

baC

baCbaCbaC

babaCCba

babaCbaCba

baCbaC

kp

Concluímos, finalmente, que a igualdade ainda é válida para o número inteiro seguinte:

( ) ∑+

=

−+++ ⋅⋅=+1

0

111n

p

ppnp

nn baCba .

Mas daqui, por um procedimento semelhante, mostraríamos que a igualdade se manteria válida se

substituíssemos n por 2+n , 3+n , etc.., percorrendo todos os números inteiros não negativos.

(Chama-se a isto uma demonstração por indução.)

Conclusão: para qualquer número inteiro 0≥n é válida a expansão

( ) ∑=

− ⋅⋅=+n

p

ppnp

nn baCba0

A esta expansão da potência de uma soma dá-se o nome de Binómio de Newton.

Para cada valor de p , a parcela ppnp

n baC ⋅⋅ − é um termo do desenvolvimento de ( )nba + . Obviamente

o 1.º termo corresponde a 0=p , o 2.º termo corresponde a 1=p ,..., o k -ésimo termo corresponde a

1−= kp . Portanto, o k -ésimo termo (que podemos representar por kT : “termo de ordem k ”) é dado

por

111

−+−− ⋅⋅= kkn

kn

k baCT .

Desenvolvimento alternativo Repare-se que, quando o índice p percorre os números inteiros de 0 até n , o número pnr −=

percorre também os números inteiros de n até 0 (por ordem decrescente). Então também podemos

usar r como índice do somatório, visto que iremos obter exactamente as mesmas parcelas (por ordem

inversa). Substituindo p por rnr −= na expressão que está a ser somada, obtemos

( ) ( )

∑

∑

=

−

=

−−−−

⋅⋅=

⋅⋅=+

n

r

rnrr

n

n

r

rnrnnrn

nn

baC

baCba

0

0

onde se usou a propriedade rn

rnn CC =− .

Mas r é uma “variável muda” (é um índice que só aparece dentro do somatório), e portanto podemos

voltar a usar um p em seu lugar:

( ) ∑=

−⋅⋅=+n

p

pnpp

nn baCba0

Esta é uma versão alternativa do Binómio de Newton. Ambas são perfeitamente equivalentes: as 1+n

parcelas são as mesmas – só muda a ordem pela qual são somadas. Neste desenvolvimento o

k -ésimo termo é 111

+−−− ⋅⋅= knk

kn

k baCT . Obviamente é diferente do k -ésimo termo do desenvolvimento

anterior.

Como existem estas duas versões equivalentes do Binómio de Newton, todas as questões que

coloquemos que envolvam a posição de cada termo são vazias de sentido, salvo no caso excepcional

de se tratar do termo médio, que é o mesmo em ambas as expansões.

Exercícios (2)

□ Exerc□ Exerc□ Exerc□ Exercício 3.ício 3.ício 3.ício 3. (médio)

No desenvolvimento de 12

3 1

+x

x existe algum termo independente? Calcula-o se existir, ou justifica

que não existe.

Soma dos números de uma linha do Triângulo de Pascal Já sabemos que os elementos da r -ésima linha do Triângulo de Pascal (i.e. da “linha número r ”, se

numerarmos as linhas começando em 1) são 0Cn , 1Cn ,..., nnC , onde 1−= rn . Qual será a soma de

todos estes números? Podemos escrevê-la na forma de somatório: ∑=

=+++n

pp

nn

nnn CCCC0

10 K . Mas

como vamos calcular este somatório?

Repare-se que este somatório é muito parecido com o da expansão do Binómio de Newton,

( ) ∑=

− ⋅⋅=+n

p

ppnp

nn baCba0

. A diferença é que nas parcelas não aparecem os factores pna − e pb .

Será que existe algum valor que possamos atribuir a a e a b para que as suas potências sejam todas

iguais? Sim, existe: o número 1! Então, tomando 1=a e 1=b e substituindo no Binómio de Newton,

obtemos

( )

∑

∑∑

=

==

−

=

⋅⋅=⋅⋅=+

n

pp

n

n

pp

nn

p

ppnp

nn

C

CC

0

00

111111

Mas ( )n11+ é simplesmente n2 , portanto

nn

pp

nC 20

=∑=

.

Substituindo n por 1−r , concluímos que

a soma das entradas da r -ésima linha do Triângulo de Pascal

é igual a 12 −r .

Exercícios (3)

□ Exerc□ Exerc□ Exerc□ Exercício 4.ício 4.ício 4.ício 4. (médio)

O produto dos 4 elementos das extremidades de uma linha do Triângulo de Pascal (os dois primeiros e

os dois últimos) é igual a 1296. Qual é a soma de todos os números da linha seguinte (imediatamente

abaixo) do Triângulo de Pascal?

Termo médio A expansão de ( )nba + tem 1+n termos. Se n for par – ou seja, se mn 2= para um certo inteiro m –

então o termo mmm

nm baCT ⋅⋅=+1 deixa exactamente m termos à sua esquerda e m termos à sua

direita, ou seja, está posicionado no meio do desenvolvimento. Por esse motivo, dá-se-lhe o nome de

termo médio do desenvolvimento.

Substituindo m por 2n

, podemos escrever o termo médio da seguinte forma:

22

22 1

nn

nn baCT n ⋅⋅=+ .

O termo médio não depende do desenvolvimento do Binómio de Newton que estamos a utilizar: ele vai

ser igual a 22

2

nn

n baCn ⋅⋅ tanto no desenvolvimento ( ) ∑=

− ⋅⋅=+n

p

ppnp

nn baCba0

como no desenvolvimento

alternativo ( ) ∑=

−⋅⋅=+n

p

pnpp

nn baCba0

.

Exercícios (4)

□ Exerc□ Exerc□ Exerc□ Exercício 5.ício 5.ício 5.ício 5. (difícil)

No desenvolvimento de ( )nx 32 − , ao dividir o termo do 4º grau (ou seja, o termo onde aparece 4x ) pelo

termo do 2.º grau (o termo cuja parte literal é 2x ) obtém-se 2

23

x− . Determina o termo médio deste

desenvolvimento.

(SugestSugestSugestSugestõesõesõesões:

- Escreve a expressão geral dos termos deste desenvolvimento, mantendo as letras n e p mas

substituindo a e b pelos respectivos valores.

- Determina os valores de p correspondentes aos termos do 4.º grau e do 2.º grau, e simplifica ao

máximo esses termos, de modo a que desapareça o p e fique apenas o n .

- Calcula o quociente entre esses termos, e compara com 2

23

x . Qual terá que ser o valor de n ?

- Uma vez conhecido n , calcula o termo médio do desenvolvimento.)