Download - Redução ao 1ºquadrante
Nome:Maria Cristina KesslerClaudio Gilberto de Paula
4ª aula4ª aula
Você já aprendeu como calcular um ângulo sabendo o valor da função, por exemplo, sabendo o seno do ângulo.
Pergunta:
E se o ângulo não for do 1º quadrante?
For do 2º?
Ou do 3º?
Ou mesmo do 4º quadrante?
Retomando...
Sen x = 0,5.
Acionando-se a função sen-1(x) da calculadora se pode ler no visor:
x = 30º
Para estes casos precisamos reduzir ao 1º quadrante.
Para estes casos precisamos reduzir ao 1º quadrante.
O que vem a ser isso?
Na aula anterior você deve ter percebido que diferentes ângulos podem apresentar o mesmo valor para as funções trigonométricas.
Por exemplo:
Assim...
Reduzir ao 1º Q é encontrar o ângulo do 1º Q cujas razões são iguais, em valor absoluto, às razões de ângulos maiores que 90º.
Vamos ver os seguintes casos:
sen45° = sen135° = sen225°= sen315°
Relações entre ângulos do 1º e 2º Q
Relações entre ângulos do 1º e 3º Q;
Relações entre ângulos do 1º e 4º Q;
Usando a calculadora determine os valores de:
Dica: observe a soma destes ângulos que apresentam o mesmo valor para o seno.
Dica: observe a soma destes ângulos que apresentam o mesmo valor para o seno.
Estabeleça uma relação entre estes ângulos, situados no 1o e no 2o quadrante, que apresentam o mesmo valor para o seno.
Relações entre ângulos do 1º e 2º Q
Utilize 4 casas decimais
O segmento verde representa o sen â
O vermelho representa o sen b̂
b̂ é um ângulo do 2º Q
Observe que os segmentos verde e vermelho são iguais,
ou seja
sen â = sen b̂
Quando isto acontece?
â é um ângulo do 1º Q
quando â + = 180°,
ou = 180º - â .
quando â + = 180°,
ou = 180º - â .
b̂
b̂
Estas considerações permitem determinar o seno de um ângulo do 2º quadrante a partir de sua relação com um ângulo do 1º quadrante.
Vejamos:
Sabendo que sen(x) = 0,6947 e que x é um ângulo do 2° quadrante, determine o ângulo x.
Precisamos descobrir qual o ângulo do 1º quadrante que apresenta este mesmo valor para o seno.
DESAFIO
O ângulo do 1º quadrante é
Agora vamos descobrir qual o ângulo do 2º quadrante que também apresenta este valor para o seno.
Lembrete: sen â = sen quando â + = 180°. Lembrete: sen â = sen quando â + = 180°.
b̂ b̂
Logo:
sen(98°) = sen( sen(98°) = sen(
sen(155°) = sen ( sen(155°) = sen ( ) =) =
sen(180°) = sen(sen(180°) = sen( ) =) =
) =) =
x =
d] Sabendo que sen x = 0,9781e
que x 2º Q então x =
a]Sabendo que sen x = 0,2079 e que x 2º Q então x =
b] Sabendo que sen x = 0,5878 e que
x 2º Q então x =
c]Sabendo que sen x = 0,2924 e
que x 2º Q então x
Virando a folha tem mais...
TUDO TRANQUILO?
Para as demais razões trigonométricas o raciocínio é semelhante desde que se observe o sinal de cada uma delas no 2º quadrante.
VEJAMOS...
Sabendo que tan x = - 0,3640 e
que x 2º Q então x =
Lembre-se: â + = 180°.
b̂
0,3640Para descobrir o ângulo do 1º Q que apresenta o mesmo valor para a tangente introduza na calculadora 0,3640.
Desconsidere o sinal pois no 1º Q todas as seis funções têm sinal positivo.
b̂
Para acionar a função tan-1.tecle INV e depois TAN
Agora que você conhece o ângulo “â” do 1º Q, determine o do 2º Q,
filme
a] Sabendo que tan x = - 0,1405 e que x 2º Q então x =
b] Sabendo que cos x = -0,9063 e que
x 2º Q então x =
c] Sabendo que tan x = - 11,4301 e
que x 2º Q então x =
d] Sabendo que cos x = - 0,2079 e
que x 2º Q então x =
AINDA NÃO ACABOU ...
Sabendo que sec x = - 1,4663 e que x 2º Q , determine x
filmeO visor mostrará o valor do ângulo x, no caso 133º.
Como a calculadora não tem esta função teremos que usar a relação:
cos x = 1/ sec x .
Introduza na calculadora o
valor 1, 4663 e tecle 1/x
Para encontrarmos o ângulo correspondente a este valor do cosseno aciona-se a tecla cos-1.Tecle INV e depois COS.
O visor mostrará o valor do cosseno.
1,4663
a] Sabendo que csc x = 2,3662 e que x 2º Q então x =
b] Sabendo que cot x = -0,1763 e que
x 2º Q então x =
c] Sabendo que sec x = - 4,8097 e
que x 2º Q então x =
Observe que determinados ângulos apresentam o mesmo valor para o seno, porém com sinais contrários.
Relações entre ângulos do 1º Q e 3º Q
Usando a calculadora determine os valores de:
Na caixa abaixo estabeleça uma relação entre estes ângulos situados no 1º Q e no 3º Q.
Dica: observe a diferença entre estes ângulos
Dica: observe a diferença entre estes ângulos
b̂
O segmento verde representa o sen â
O vermelho representa o sen b̂
Observe que os segmentos verde e vermelho são iguais em módulo porém apresentam sentidos contrários.
sen = - sen â b̂
Quando isto acontece?
Quando - â = 180°,
ou = 180º + â .
b̂
b̂
b̂ é um ângulo do 3º Q
â é um ângulo do 1º Q
A partir dessas considerações complete as sentenças abaixo:
sen = - sen â = - sen ( - 180º )b̂ b̂
cos = - cos â = - cos ( - 180º )b̂b̂
tg = tg â = tg ( - 180º)b̂b̂
cot = cot â = cot ( -180º )b̂b̂
sec = - sec â = - sec ( -180º)b̂b̂
sen(198°) = -sen ( sen(198°) = -sen (
sen(195°) = -sen ( sen(195°) = -sen ( ) =) =
sen(227°) = -sen (sen(227°) = -sen ( ) =) =
) =) =
Podemos encontrar as razões trigonométricas de ângulos do 3Q a partir das relações abaixo:
csc = - csc â = - csc ( - 180º)b̂b̂
Resolva agora as questões abaixo considerando x um ângulo do 3º Q:
a) Se cos x = - 0,8480 então x =
b) Se tan x = 2,0503 então x =
e) Se cot x = 0,1763 então x =
c) Se cos x = -0,5736 então x =
d) Se csc x = -2,3662 então x =
f) Se sec x = - 4,8097 então x =
Desconsidere o
sinal da razão
trigonométrica
para que a
calculadora
forneça o
ângulo do 1ºQ
Desconsidere o
sinal da razão
trigonométrica
para que a
calculadora
forneça o
ângulo do 1ºQ
Observe que determinados ângulos apresentam o mesmo valor para o seno, porém com sinais contrários.
Relações entre ângulos do 1º Q e 4º Q
Usando a calculadora determine os valores de:
Na caixa abaixo estabeleça uma relação entre estes ângulos situados no 1º Q e no 4º Q.
Dica: observe a SOMA destes ângulos
Dica: observe a SOMA destes ângulos
ESTÁ QUASE NO FIM!
O segmento verde representa o sen â
O vermelho representa o sen b̂
Observe que os segmentos verde e vermelho são iguais em módulo porém apresentam sentidos contrários.
sen = - sen âb̂
Quando isto acontece?
Quando + â = 360°,
ou = 360º - â .
b̂
b̂
b̂ é um ângulo do 4º Q
â é um ângulo do 1º Q
b̂â
â
Pode-se escrever também que: a) Se cos x = - 0,8480 então x =
sen = - sen â = - sen (360º - â)
cos = cos â = cos (360º - â)
tg = - tg â = -tg (360º - â)
cot = - cot â = -cot(360º - â)
sec = sec â = sec (360º - â)
csc = - csc â = - csc (360º - â)
b) Se tan x = 2,0503 então x =
c) Se cos x = -0,5736 então x =
d) Se csc x = -2,3662 então x =
e) Se cot x = 0,1763 então x =
f) Se sec x = - 4,8097 então x =
b̂
b̂
b̂
b̂
b̂
b̂
Lembre-se:
Para salvar o que escreveu você deve :
1 - Sair do modo de apresentação (clicando no botão esc );
2 – Salvar.
Registre abaixo suas dificuldades. Explicite quais os conceitos que não compreendeu bem, exercícios que não conseguiu resolver, etc.