Propagação de cheias em rios
Prof. Benedito C. Silva
IRN/UNIFEI
MMC44 - Modelagem e Simulação Computacional em Recursos Hídricos
Objetivo
Qual é o hidrograma em um local B a jusante se o hidrograma em um local A a montante é conhecido?
magnitude da vazão Níveis máximos tempo de ocorrência dos picos tempo de chegada da onda
?
Exemplo rio Uruguai
distância: 192 Km
Propagação
O que acontece com uma onde de cheia enquanto viaja ao longo do rio?
translação amortecimento contribuição de afluentes efeitos de jusante
Translação
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
Amortecimento
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
Efeitos de jusante
A
B
Q
t
Hidrograma em AHidrograma em B
h em B (maré)
Efeitos de jusante
Exemplo rio Amazonas Entre Óbidos e Macapá
Óbidos (efeito ausente ou imperceptível) Macapá (efeito da maré é
preponderante) Aramanduba (ponto intermediário –
efeitos mistos)
Cotas no posto Obidos (17050000) no ano de 1997 (último posto c/ medidas de vazão no rio Amazonas)
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
31/1
2/96
15/1
/97
30/1
/97
14/2
/97
1/3/
9716
/3/9
731
/3/9
715
/4/9
730
/4/9
715
/5/9
730
/5/9
714
/6/9
729
/6/9
714
/7/9
729
/7/9
713
/8/9
728
/8/9
712
/9/9
727
/9/9
712
/10/
9727
/10/
9711
/11/
9726
/11/
9711
/12/
9726
/12/
97
Cot
a(cm
)
Cotas no posto Macapá (19500000) no ano de 1997 (último posto fluviométrico do rio Amazonas)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
31/12/96
15/1/97
30/1/97
14/2/97
1/3/97
16/3/97
31/3/97
15/4/97
30/4/97
15/5/97
30/5/97
14/6/97
29/6/97
14/7/97
29/7/97
13/8/97
28/8/97
12/9/97
27/9/97
12/10/97
27/10/97
11/11/97
26/11/97
11/12/97
26/12/97
Cot
a(cm
)
Cotas no posto Aramanduba (18400000) no ano de 1938(Rio Amazonas, montante da confluência com rio Xingu, jusante de Óbidos)
0
100
200
300
400
500
600
31/1
2/37
15/1
/38
30/1
/38
14/2
/38
1/3/
3816
/3/3
831
/3/3
8
15/4
/38
30/4
/38
15/5
/38
30/5
/38
14/6
/38
29/6
/38
14/7
/38
29/7
/38
13/8
/38
28/8
/38
12/9
/38
27/9
/38
12/1
0/38
27/1
0/38
11/1
1/38
26/1
1/38
11/1
2/38
26/1
2/38
Cot
a(cm
)
Velocidade de propagação de ondas de cheia
Ondas de cheia se propagam para jusante com uma velocidade que é maior do que a própria velocidade média da água.
Assim, a velocidade de propagação da onde de cheia em um rio cuja velocidade média, durante uma cheia, é de 1 m.s-1, é superior a 1 m.s-1, podendo chegar a 1,6 m.s-1, por exemplo.
Celeridade
A velocidade de propagação das ondas de cheia em rios pode ser estimada pela celeridade cinemática, que pode ser obtida com base nas características médias das seções transversais do rio e de sua declividade.
Velocidade da onda cinemática
Uma abordagem mais intuitiva...
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Considerando que:
Então: AfQ
0f SS
Q2Q1
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Imaginando uma onda de cheia gerada por um aumento de vazão de Q1 para Q2...
Q2 Q1
Frente da onda
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Depois de um pequeno intervalo de tempo a onda deve ter se deslocado para jusante
Q2 Q1
Frente da onda
tt t
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
O volume adicional necessário para o avanço da onda é:
Q2 Q1
Frente da onda
tt t
tQQVolume 12
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Q2 Q1
tt t
xAAVolume 12
x
Considerando que A1 é a área molhada da seção quando Q = Q1;e que A2 é a área molhada da seção quando Q = Q2;
Ou,
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Q2 Q1
tt t
xAAtQQ 1212
x
Os dois volumes devem ser iguais, então:
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Q2 Q1
tt t
12
12
AAQQ
tx
x
Reorganizando:
Mas, x/t é a velocidade de avanço da onda...
Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática
Q2 Q1
tt t
AQ
tx
x
Se pensarmos numa variação de vazão bem pequena
Assim...
A celeridade da onda cinemática pode ser estimada por:
AQ
dtdxc
Portanto a velocidade com que se propaga a onda de cheia depende da relação entre vazão e área molhada, que é uma característica da seção transversal, da declividade e da rugosidade do rio ou canal.
Celeridade
dAdQc
nSR
AAuQ21
32
h
u35c
combinando:
pode-se obter:
O que significa que a celeridade(velocidade de propagação da onda de cheia)é superior à velocidade média da água.
Celeridade
A velocidade de propagação das ondas de cheia é maior do que a própria velocidade média da água
Além disso, a velocidade de propagação das cheias tende a ser maior para cheias maiores, porque o nível da água e a velocidade média tendem a ser maiores.
u35c
Celeridade
Por outro lado, em rios com grandes planícies de inundação, a velocidade de propagação das ondas de cheia tende a diminuir drasticamente no momento em que o rio começa a transbordar.
Celeridade aumenta
Celeridade diminui
Celeridade
Evidências experimentais
Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research
Tempo de viagem
192 km mais ou menos 2 dias
Cálculos de propagação
Modelos hidrodinâmicos Modelos simplificados
Equações de Saint-Venant
As equações utilizadas para descrever o comportamento do escoamento em rios e canais foram inicialmente derivadas no século XIX
Hipóteses assumidas
1. O escoamento é unidimensional; a velocidade é uniforme e igual à média; a nível da água é horizontal na seção transversal.
Escoamento em meandros e transições é fortemente tridimensional
Velocidade é maior no centro da seção Em curvas o nível da água pode não ser
horizontal
Hipóteses assumidas
2. Pressão é hidrostática (depende apenas da profundidade)
Variações de forma da seção devem ser relativamente suaves.
Hipóteses assumidas
3. É possível usar fórmulas para perda de carga semelhantes às usadas em escoamento permanente (como Manning).
4. A declividade do canal é pequena, o cosseno do ângulo é quase igual a 1.
Continuidade ou conservação de massa
x1
x2
Considere um volume de controle entre as seções x=x1 e x=x2e ao longo de um intervalo de tempo de t=t1 a t=t2
A A
Continuidade ou conservação de massa de água:
dxAAx
xtt
2
112 dtuAuA
t
txx
2
121
02
112
2
112
t
txx
x
xtt dtQQdxAA
=
considerando que Q=u.Ae que a massa específica da água é constante:
Forças agindo sobre o volume de controle
Elevation View
Plan View
Fg = Força da gravidade
Ff = Força de atrito com o fundo e margens
Fe = Força devida às contrações e expansões da seção
Fw = força de atrito do vento na superfície
Fp = diferença de pressão nos limites de montante e jusante do volume de controle
Equações na forma integral
2
1
2
10
2
1
2
12
2
12111
2
12
21
22
112
t
t
x
xf
t
t
x
x
t
txx
t
txx
x
xtt dxdtSSAgdxdtIgdtIIgdtAuAudxuAuA
02
112
2
112
t
txx
x
xtt dtQQdxAA
Equações estabelecidas sem exigir que A; Q; u fossem variáveis contínuas e diferenciáveis.
Também não exigem que x2-x1 seja uma distância infinitesimalmente pequena.
Alguns esquemas numéricos estão baseados na forma integral das equações, em vez de usar a forma diferencial.
Método dos volumes finitos se baseia em equações na forma integral.
Equações na forma integral
Considerando variáveis contínuas e diferenciáveis e usando expansão em série de Taylor pode se chegar a outra forma:
02
1
2
1
dtdxtA
xQx
x
t
t
dtdxSSAIxIgdtdx
xAu
tQ x
x
t
tf
x
x
t
t
2
1
2
102
12
1
2
1
2
Equações na forma diferencial
Em um volume infinitamente pequeno as equações anteriores também devem valer, assim:
0
tA
xQ
201
2
gISSgAxIg
xAu
tQ
f
Equações na forma diferencial
considerando que
Q=u.A
0
tA
xQ
201
2
gISSgAgIAQ
xtQ
f
Equações na forma diferencial
combinando os termos com I1 e I2
0
tA
xQ
00
2
fgASSdxdhgA
AQ
xtQ
que não é mais exatamente uma equação de conservação de quantidade deMovimento, muitas vezes chamada de “equação dinâmica”
h é a profundidade
Equações de Saint-Venant na forma mais usual atualmente
0
0
2
fSAgxhAg
AQ
xtQ
xQ
tA
Vazão e nível da água
322 RAnQQ
S f
Solução das equações de Saint-Venant Não existem soluções analíticas para as
equações de Saint-Venant na maior parte das aplicações úteis.
Somente nas décadas mais recentes é que os métodos numéricos e os computadores digitais permitiram a solução das equações completas de Saint-Venant.
Atualmente existem diversos programas computacionais de modelos matemáticos que resolvem as equações de Saint-Venant numericamente para resolver problemas de propagação de vazão em rios e canais.
0qtA
xQ
0Sxh
AgAQ
xtQ
f
2
34
RA
QQnS
2
2
f
t2
ZZZZtZ j
1iji
1j1i
1ji
i
ji
j1i
i
1ji
1j1i
xZZ
1x
ZZxZ
2
ZZ1
2ZZ
Zji
j1i
1ji
1j1i
Aplicando este esquema:
A estas equações:
Equações de diferenças numéricas
0
2qq
t2AAAA
xQQ
1xQQ j
i1j
ij
1iji
1j1i
1ji
i
ji
j1i
i
1ji
1j1i
0SxhhAgAQ
AQ
1
SxhhAgAQ
AQ
t2QQQQ
x
jfi
ji
j1i
jj
i
2j
1i
2
1jfi
1ji
1j1i
1j1j
i
21j
1i
2
j1i
ji
1j1i
1ji
i
1ii AA5.0A 1ii RR5.0R 3
4RA
QQnS
2
2
f
continuidade
Dinâmica
Incógnitas – não linear
0
2qq
t2AAAA
xQQ
1xQQ j
i1j
ij
1iji
1j1i
1ji
i
ji
j1i
i
1ji
1j1i
0SxhhAgAQ
AQ
1
SxhhAgAQ
AQ
t2QQQQ
x
jfi
ji
j1i
jj
i
2j
1i
2
1jfi
1ji
1j1i
1j1j
i
21j
1i
2
j1i
ji
1j1i
1ji
i
1ii AA5.0A 1ii RR5.0R 3
4RA
QQnS
2
2
f
continuidade
Dinâmica
Esquema de Preissmann
Cada trecho entre duas seções define duas equações: continuidade dinâmica
Cada seção tem duas incógnitas: h e Q no tempo
futuro
Modelos hidrodinâmicos
Atualmente existem programas de modelos como o HEC-RAS que podem ser utilizados para os cálculos de propagação de cheias em rios
Simulação hidrodinâmica
Modelos simplificados
Em função da dificuldade que havia para resolver as equações de Saint-Venant, um grande número de métodos simplificados foi criado para calcular os efeitos que ocorrem em ondas de cheia à medida que se propagam ao longo de rios
Estes métodos utilizam a equação da continuidade mas simplificam ao máximo a equação da conservação da quantidade de movimento
Escoamento em riosModelo Muskingum
Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.
),( QIfS
QIdtdS
Supõe que S (armazenamento) estárelacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)
52
Escoamento em rios: Muskingum
Continuidade
Relação
tttt QCICICQ 32111
2t)X1(K
2t)X1(K
C ;
2t)X1(K
2tKX
C ;
2t)X1(K
2tKX
C 321
QIdtdS
S = K [X I +(1-X) Q]
C1+C2+C3=1K é o tempo médio de deslocamento da ondaX é um ponderador entre as vazões de entrada e saída
A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:
53
Intervalo de tempo
Para que os coeficientes da equação sejam positivos
t 2KX e 0
2t)X1(K
2tKX
C1
t X)-2K(1 e 0
2t)X1(K
2t)X1(K
C3
)X1(K2tKX2 )X1(2K
tX2
5,0X0
0 0,5 X
2K/t
1
0
R egião v ál id a
é o intervalo de tempo para simulação da propagaçãot
K e X
O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser definidos antes dos cálculos.
Definir valor de X
O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 0,5, mas na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3.
Dependendo do valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia.
Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre amortecimento.
Quando X é igual a zero o amortecimento é máximo.
Efeito de X
Efeito de K
Definir K
O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de t.
O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade.
Quanto maior o valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal.
Estimativa de K e XTradicional método da laçada
S/∆t
QI
X=X1 X= XnVariar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta
Ajustar uma linha de tendência linear
K será igual ao coeficiente angular da reta
S/∆t = a. QI + b
K = a
𝑆𝑡+1∆𝑡 = 0,5ሾሺ𝐼𝑡+1 +𝐼𝑡ሻ−ሺ𝑄𝑡+1 +𝑄𝑡ሻሿ+ 𝑆𝑡∆𝑡
60
Método da laçada - Exemplo
A tabela abaixo apresenta os hidrogramas de vazões medidos nas seções de entrada e saída de um trecho de rio. Determine os valores dos parâmetros K e X
Tempo (h)
Entrada (m3/s)
Saída (m3/s)
0 30 306 120 3912 286 4518 412 9324 373 18130 306 23736 246 26442 198 26148 165 24654 141 22560 123 20266 108 18472 93 17478 81 15384 72 13590 63 117
Muskingum-Cunge
)1(5,0xcSb
QXooo
o
ocxK
6,04,0
4,00
3,00
.35
nbQSc
oo
Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho
2,08,00
000
0 ..8,0..
xtccSb
Qx
0
1/2
0 02
0 0
. 1 1 1,5.2 . . .c t Qx
b S t c
Ou:
62
Roteiro de Ajuste
1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5
2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada
3) Calcular co
4) Calcular ∆x por processo iterativo
5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por
6) Calcular K e X e verifique se está dentro da faixa de validade
7) Caso contrário modifique ∆x
ooo
oo cSb
Qx 5,2
63
Exemplo Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de
um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045.
o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s
smbonQoSoco /86,1
35
4,06,0
4,03,0
mxx
x 568.586,10007,030
87.5,2
mx 6018Por convergência
tK = 1,34X=0,31
Tempo(40min)
vazão de entrada m s3 /
vazão de saída m s3 /
1 20 202 30 203 60 204 90 205 100 21,16 130 27,07 115 42,28 95 63,99 80 85,910 60 103,011 40 102,412 20 92,413 20 77,214 20 59,415 20 41,9
mx 6000 adotado
Muskingum Cunge não linear
A celeridade não é constante Os parâmetros do método de
Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da
água ou com a vazão
Celeridade aumenta
Celeridade diminui
Muskingum Cunge não linear
Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis
A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)
Só o que não muda é o x
Muskingum Cunge não linear
Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q
67
Solução não-linear
Cálculo de X e K em cada célula de cálculo
t
xi i+1
t
t+1 It+1
It
Qt+1
Qt
Calcular K e X com base em:
(1) Qt
(2) Qt, It e It+1
(3) todos.
31
tttt
IQIQo
68
Exemplo Jacuí
Linear x Não-linear
Evento Linear Não-Linear1 0,91 0,972 0,83 0,943 0,92 0,964 0,88 0,98