PROJETO GEOMÉTRICO DE
RODOVIAS
Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica
Prof. Paulo Augusto F. Borges
O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos
e trechos curvos alternadamente. Os trechos retos recebem o
nome de tangentes e os trechos curvos de curvas horizontais.
As tangentes devem ser melhor concordadas através de curvas,
de forma a dar suavidade ao traçado. Normalmente há a
necessidade de utilizar inúmeras curvas em um projeto, devido
às características geológicas, geotécnicas, à topografia da
região atravessada, problemas de desapropriações e outros.
Sempre deve-se atentar em projetar curvas com raios
superiores ao mínimo estabelecido sem se preocupar com a
quantidade excessiva de curvas.
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
1. Introdução
Assim, o raio adotado para cada curva circular deve ser
aquele que melhor se adapte ao traçado do terreno,
respeitando-se valores mínimos que garantam a segurança dos
veículos que percorrem a estrada na velocidade do projeto. A
equação para o cálculo do raio mínimo é dada por:
𝑅𝑚í𝑛 =𝑉𝐷2
127 ∙ (𝑒𝑚á𝑥 + 𝑓𝑚á𝑥)
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
2. Raio Mínimo de Curvatura
Tabela 1: Raios mínimos de Curvatura
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
2. Raio Mínimo de Curvatura
Tabela 2: Coeficientes de atrito transversal máximos admissíveis
A recomendação da AASHTO é utilizar a equação abaixo para o cálculo do
fator de atrito transversal:
𝑓𝑇 = 0,19 −𝑉
1600
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
2. Raio Mínimo de Curvatura
A Figura 1 abaixo, mostra a concordância das curvas horizontais
circulares simples com as tangentes do traçado e a
nomenclatura adotada:
Figura 1: Parâmetros Geométricos da curva
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
3. Parâmetros Geométricos
A notação convencionalmente utilizada para os elementos
característicos das concordâncias com curvas circulares
simples e suas respectivas denominações, são as
seguintes:
PI: Ponto de Interseção;
PC: Ponto de Curva;
PT: Ponto de Tangente;
Δ: Ângulo de deflexão;
AC: Ângulo Central;
T: Tangente Externa ou Exterior (m);
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
3. Parâmetros Geométricos
D: Desenvolvimento (ou comprimento) da curva
circular (m);
R: Raio da curva circular (m);
O: Centro da curva circular.
Relação entre os parâmetros:
No triângulo retângulo O-PC-PI, temos:
𝑡𝑔𝐴𝐶
2=𝑇
𝑅 𝑇 = 𝑅 ∙ 𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
3. Parâmetros Geométricos
𝐷
2∙𝜋∙𝑅=
𝐴𝐶
360 𝐷 =
𝜋∙𝑅∙𝐴𝐶
180 para AC em graus
ou 𝐷 = 𝐴𝐶 ∙ 𝑅 para AC em radianos
𝐺
20=
360
2∙𝜋∙𝑅 𝐺 =
1145,9156
𝑅 para G em graus
Em que G é o grau da curva ou o ângulo central
correspondente a um arco de 20 metros.
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
3. Parâmetros Geométricos
CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
3. Desenho do Eixo Projetado
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
Após a elaboração do projeto geométrico da rodovia,
deve-se realizar a locação para materializar a posição da
estrada em campo. Para este processo devem-se seguir os
seguintes passos:
Locação dos PI’s (pontos de Interseção);
Cálculo dos ângulos de deflexão das tangentes;
Locação em campo das curvas e demais elementos
geométricos. A locação das curvas será realizada pelo
processo das deflexões e cordas.
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
Figura 3: Deflexões e cordas.
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
Para locar o ponto B, distante 𝐿1 metros de um ponto
A, é necessário que se calcule inicialmente a deflexão 𝑑1.
Chamando de 𝛼1 o ângulo central que corresponde ao arco
de comprimento 𝐿1, temos:
𝐺
20=𝛼1
𝐿1 𝛼1 =
𝐺∙𝐿1
20
Sendo 𝐴𝑂 perpendicular a 𝐼𝐴 e o triângulo ∆𝐴𝐼𝐵 isósceles,
temos:
𝑑1 =𝛼1
2 𝑑1 =
𝐺∙𝐿1
40
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
Analogamente, para calcular a deflexão 𝑑2.para a
locação do ponto C distante 𝐿2 metros do ponto A:
𝑑2 =𝛼2
2 𝑑2 =
𝐺∙𝐿2
40
Conclui-se que a deflexão é proporcional ao comprimento do
arco e a constante 𝐺∙
40 corresponde à deflexão para um arco
de 1 metro de comprimento, concluindo que para calcular a
deflexão para locar um arco de comprimento L qualquer
será:
𝑑 = 𝐿 ∗𝐺
40
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
Para locar uma curva a partir do PC, supondo que a
estaca do PC seja 𝑁𝑃𝐶 + 𝑓𝑃𝐶 , em que 𝑁𝑃𝐶 é o número
de estacas inteiras e 𝑓𝑃𝐶 a fração da estaca, a deflexão
para locar a primeira estaca inteira da curva será dada por:
𝑑1 = 20 − 𝑓𝑃𝐶 ∗𝐺
40
Para locar as demais estacas inteiras, basta somar ao valor
da deflexão inicial 𝑑1 , valores 𝐺
2 (lembre-se que o
estaqueamento é de 20 em 20 metros).
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
TABELA DE LOCAÇÃO DE CURVAS
GMS Grau Decimal
AC = 22º,36' 00,0'' 22,6000000
R = 600,000 m
d para o PT = 11º,18' 00,0'' 11,3000000
D = 236,667 m
dm = 0,04774648293 °
Est [PI] = 148 + 5,60 m
Exemplo:
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
TABELA DE LOCAÇÃO DE CURVAS
Estaca Corda (m) Distância (m) Deflexão (graus) Deflexão (GMS)
142 + 5,708 0 0 0 0º,00' 00,0''
143 14,292 14,292 0,682392734 0º,40' 56,6''
144 20 34,292 1,637322393 1º,38' 14,4''
145 20 54,292 2,592252051 2º,35' 32,1''
146 20 74,292 3,547181710 3º,32' 49,9''
147 20 94,292 4,502111368 4º,30' 07,6''
148 20 114,292 5,457041027 5º,27' 25,3''
149 20 134,292 6,411970685 6º,24' 43,1''
150 20 154,292 7,366900344 7º,22' 00,8''
151 20 174,292 8,321830002 8º,19' 18,6''
152 20 194,292 9,276759661 9º,16' 36,3''
153 20 214,292 10,231689320 10º,13' 54,1''
154 20 234,292 11,186618978 11º,11' 11,8''
154 + 2,375 2,375 236,667 11,300016875 11º,18' 00,1''
Curva Horizontal Circular Simples
LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS
CIRCULARES
LOCAÇÃO DE CURVAS POR OFFSETS
CURVAS HORIZONTAIS COMPOSTAS
CURVA COMPOSTA COM 2 CENTROS
CURVAS HORIZONTAIS COMPOSTAS
CURVA COMPOSTA COM 2 CENTROS
CURVA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO
A utilização de curvas horizontais circulares na
concordância horizontal de traçados de uma estrada cria
problemas nos pontos de concordância, devido à
descontinuidade da curvatura no ponto de passagem da
tangente para circular (PC) e no ponto de passagem da circular
para a tangente (PT). Em um traçado racional estas
descontinuidades não devem ser aceitas.
Para solucionar este problema, utiliza-se das curvas
horizontais com transição, as quais permitem utilizar um trecho
com curvatura progressiva.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
Estes trechos visam cumprir as seguintes funções:
a) Permitir a variação contínua da superelevação.
No trecho reto, a superelevação é nula.
No circular, há necessidade de uma superelevação, a qual
depende da velocidade diretriz e do raio da curva.
A inclinação poderá atingir valores de 10% ou até 12% em
alguns casos.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
Segundo Pimenta (2001), Se fosse feita a variação da
inclinação anterior dentro da curva, se o desenvolvimento fosse
suficiente, ainda assim teríamos a inconveniente condição de
necessitarmos da inclinação total logo após o PC, quando o
valor da superelevação ainda é praticamente zero. Essa
situação se agrava se a força centrípeta necessária for maior
que a força de atrito máxima. O veículo não conseguirá seguir
na curva, saindo da estrada.
Se fizermos a variação antes da curva, teremos uma
condição inconveniente que é criar a força transversal na reta,
obrigando ao motorista a forçar o volante no sentido contrário ao
da curva que se aproxima.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
b) Criar uma variação contínua de aceleração
centrífuga na passagem do trecho reto para o trecho
circular. Sendo a força centrífuga (FC):
𝐹𝐶 = 𝑚 ∙ 𝑉2
𝑅
onde 𝑚 é a massa do veículo, 𝑉 a velocidade e 𝑅 o raio da
curva. O valor da forca centrífuga é nulo na reta, e em função do
raio, pode assumir um valor significativo logo após o PC.
Consequência: Desconforto para os passageiros e falta de
estabilidade para o veículo.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
c) Gerar um traçado que possibilite ao veículo manter-
se no centro da faixa de rolamento. Inviável o veículo sair do trecho reto e entrar no curvo
instantaneamente.
Na prática isso provocaria desconforto e insegurança pelo
motorista.
O giro é feito num intervalo de tempo no qual o veículo
percorre uma trajetória de raio variável.
Uma curva de raio variável possibilita que a trajetória do
veículo coincida com o traçado ou, pelo menos, aproxime-se
dele.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
d) Proporcionar um trecho fluente, sem
descontinuidade da curvatura e esteticamente
agradável. Isso ocorre devido a suave variação do raio de curvatura
existente.
A variação da curvatura do raio da estrada é chamada de
CURVAS DE TRANSIÇÃO.
Possuem raio instantâneo variando de ponto para ponto
desde o valor do 𝑅𝑐 (em concordância com o trecho circular
𝑅𝑐) até o valor infinito (em concordância com o trecho reto).
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
1. Introdução
Perspectiva de Curva Horizontal
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
a) Clotóide ou Espiral 𝑅 ∗ 𝐿 = 𝑘2 (R é o raio, L o comprimento percorrido e
K, uma constante).
b) Lemniscata 𝑅 ∗ 𝑃 = 𝐾 (em que P é o raio do vetor).
b) Parábola Cúbica 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥3 (onde a é uma constante).
2. Tipos de Curvas com Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
a) Clotóide ou Espiral 𝑅 ∗ 𝐿 = 𝑘2
b) Lemniscata 𝑅 ∗ 𝑃 = 𝐾
b) Parábola Cúbica 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥3
2. Tipos de Curvas com Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
2. Tipos de Curvas com Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Quando o ângulo de transição 𝜃𝑠 é pequeno, as três
curvas apresentam resultados semelhantes.
Entre as diversas curvas de transição possíveis de serem
utilizadas, a clotóide é a mais vantajosa do ponto de vista
técnico, sendo a mais indicada porque:
É a curva descrita por um veículo, em velocidade constante,
quando o volante é girado com velocidade angular
constante;
O grau G, proporcional à curvatura, varia linearmente com o
comprimento percorrido.
𝑅 ∗ 𝐿 = 𝑘2 → 𝐺 = 𝑘′2 ∗ 𝐿
2. Tipos de Curvas com Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Como a aceleração centrífuga varia inversamente
proporcional ao raio, varia também linearmente com o grau
da curva, e portanto, com o comprimento percorrido:
𝑎𝑐 =𝑉2
𝑅
𝑎𝑐 = 𝑉2 ∗ 𝐺 ∗ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2. Tipos de Curvas com Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
2. Tipos de Curvas com Transição
As normas do DNIT somente dispensam o uso de
curvas de transição nas concordâncias horizontais com curvas
circulares de raios superiores aos valores indicados na tabela
abaixo, para as diferentes velocidades diretrizes:
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
p p
AC
AC
R
T
O1
O2
Ts
PI
TS
ST
SC CS
I
t
O1 = Centro original da Curva Circular
O2 = Centro deslocado da Curva Circular
t = Distância de deslocamento do centro
q = Complemento da Tangente "T"
p = Complemento do Raio "R"
AC = Ângulo Central da Curva
I = Ângulo de deflexão das Tangentes
T = Tangente externa da Curva Circular
Ts = Tangente externa da Curva de Transição
PI = Ponto de interseção das tangentes
TS = Ponto de Início da Curva.
SC = Ponto de início do ramo circular
CS = Ponto do término do ramo circular
ST = Ponto de término da curva
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
Sendo 𝐿𝑠 o comprimento de transição e 𝑅𝑐 o raio do
trecho circular temos:
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
𝑑𝐿 = 𝑅 ∙ 𝑑𝜃
𝑑𝜃 =𝑑𝐿
𝑅=𝑑𝐿
𝑘2𝐿 =𝐿 ∙ 𝑑𝐿
𝑘2
𝜃 = 𝐿
𝑘2∙ 𝑑𝐿
𝐿
0
𝜃 =1
𝑘2∙𝐿2
2=
𝐿2
2∙𝐿𝑠∙𝑅𝑐 (em radianos)
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
𝑑𝑋 = 𝑑𝐿 ∙ cos 𝜃
𝑋 = cos 𝜃 ∙ 𝑑𝐿𝐿
0
Desenvolvendo cos 𝜃 em série e
integrando, tem-se:
𝑋 = 𝐿 ∙ 1 −𝜃2
10+𝜃4
216−⋯+
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
𝑑𝑌 = 𝑑𝐿 ∙ sen 𝜃
𝑌 = sen𝜃 ∙ 𝑑𝐿𝐿
0
Desenvolvendo sen 𝜃 em série e
integrando, tem-se:
𝑌 = 𝐿 ∙𝜃
3−𝜃3
42+𝜃5
1320−⋯+
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
Em particular, no ponto SC da curva, onde R assume o valor 𝑅𝑐 e
L é o comprimento da espiral 𝐿𝑠, temos:
𝜃 =𝐿𝑠2
2 ∙ 𝐿𝑠 ∙ 𝑅𝑐=
𝐿𝑠2 ∙ 𝑅𝑐
𝑋𝑠 = 𝐿𝑠 ∙ 1 −𝜃2
10+𝜃4
216−𝜃6
9360+⋯
𝑌𝑠 = 𝐿𝑠 ∙𝜃
3−𝜃3
42+𝜃5
1320−
𝜃7
75600+⋯
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
𝑄 = 𝑋𝑠 − 𝑅𝑐 ∙ sen 𝜃𝑠
𝑝 = 𝑌𝑠 − 𝑅𝑐 ∙ 1 − cos 𝜃𝑠
𝑇𝑇 = 𝑄 + 𝑅𝑐 + 𝑝 ∙ 𝑡𝑔𝐴𝐶
2
𝐷𝑐 = 𝐴𝐶 − 2 ∙ 𝜃𝑠 ∙ 𝑅𝑐
𝐸 =𝑅𝑐 + 𝑝
cos𝐴𝐶2
− 𝑅𝑐
𝑇𝐿 = 𝑋𝑠 − 𝑌𝑠 ∙ cotg 𝜃𝑠
𝑇𝐶 =𝑌𝑠
sen 𝜃𝑠
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
As estacas dos pontos notáveis da curva de transição serão
calculadas pelas expressões:
𝐸 𝑇𝑆 = 𝐸 𝑃𝐼 − 𝑇𝑇
𝐸 𝑆𝐶 = 𝐸 𝑇𝑆 + 𝐿𝑠
𝐸 𝐶𝑆 = 𝐸 𝑆𝐶 + 𝐷𝑐
𝐸 𝑆𝑇 = 𝐸 𝐶𝑆 + 𝐿𝑠
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
4. Compatibilidade entre Raio e Deflexão
Nos casos de deflexões pequenas, menores que 55º, existe
a possibilidade de, conforme o raio adotado, o arco circular
desaparecer entre os dois ramos da espiral, ou formando um
cotovelo ou o cruzamento destes ramos, ao invés da
desejada concordância. Para evitar sucessivas tentativas de
correção, deve-se verificar se a deflexão medida (real) é
maior que a deflexão calculada, utilizando a seguinte
expressão:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐=342 ∙ 𝑅 + 290
𝑅
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
4. Compatibilidade entre Raio e Deflexão
Se ∆𝒎𝒆𝒅 > ∆𝒄𝒂𝒍𝒄 significa que há compatibilidade entre raio
e deflexão; caso contrário (∆𝒎𝒆𝒅 < ∆𝒄𝒂𝒍𝒄 ), deve ser feita
uma reavaliação a partir da alteração do valor do raio, no
caso aumentando-o por ser a única variável, pois a deflexão
medida é inalterável.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
5. Comprimento Mínimo de Transição
Critério dinâmico (𝑳𝒔 conforto) Estabelece uma taxa máxima de variação da aceleração
centrífuga por unidade de tempo, representado por J.
Trecho em tangente: 𝑎𝑐 = 0
Trecho circular: 𝑎𝑐 =𝑉2
𝑅
Sendo o comprimento de transição 𝑳𝒔 igual ao produto
da velocidade uniforme do veículo pelo tempo que o mesmo
necessita para percorrer a clotóide (𝑳𝒔 = 𝑉 ∙ 𝑡), temos:
𝐽 =𝑎𝑐𝑡=𝑉2 𝑅𝑐
𝐿𝑠 𝑉 =𝑉3
𝑅𝑐𝐿𝑠
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Critério dinâmico (𝑳𝒔 conforto)
Logo tem-se que:
𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛 =𝑉3
𝐽 ∙ 𝑅𝑐
Na condição mais desfavorável, quando 𝐽 = 𝐽𝑚á𝑥 e 𝑉 = 𝑉𝑃
tem-se:
𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛 =𝑉𝑝3
𝐽𝑚á𝑥 ∙ 𝑅𝑐
5. Comprimento Mínimo de Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Critério dinâmico (𝑳𝒔 conforto) Experiências comprovaram que os valores ideais para J estão
entre 0,3 𝑎 0,8 𝑚/𝑠3. Com fundamento em experiências do
Engº Joseph Barnett, da “Public Road Administration/USA”, e em
conformidade com as normas técnicas do D.N.E.R, adotaremos a
chamada fórmula de Barnett, que adota para J o valor de
0,6 𝑚/𝑠3. Assim o comprimento mínimo do trecho em transição
será:
𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛 =𝑉𝑝3
𝐽𝑚á𝑥 ∙ 𝑅𝑐=
𝑉𝑝3,6
3
0,6 ∙ 𝑅𝑐= 0,036 ∙
𝑉𝑝3
𝑅𝑐
5. Comprimento Mínimo de Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Critério Segurança (Tempo )
5. Comprimento Mínimo de Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Critério Estético (proposto pela AASHTO)
5. Comprimento Mínimo de Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Critério Estético (proposto pela AASHTO)
Velocidade de
Projeto em km/h 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Inclinação
Relativa em % 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,48 0,45 0,42 0,40
5. Comprimento Mínimo de Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
6. Comprimento Máximo de Transição
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
3. Características Geométricas da Espiral
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO
Exemplo Concordância Horizontal com Transição
LOCAÇÃO CURVAS HORIZONTAIS
COM TRANSIÇÃO
A locação da curva de transição é iniciada pela
localização do ponto TS sobre a primeira tangente a uma
distância TT do ponto de interseção PI, quando este for
acessível, conforme indica a figura abaixo.
LOCAÇÃO CURVAS HORIZONTAIS
COM TRANSIÇÃO
Depois disso, pode-se iniciar a locação do primeiro
ramo da espiral. Para R<100 m, a locação da espiral deve
ser feita de 5 em 5 m. Para R≥100 m, a locação deve ser
feita de 10 em 10 m. A locação da curva de transição
poderá ser feita de duas formas:
a) Com o uso das coordenadas X e Y, utilizando-se a
origem no TS (ou ST), o eixo x na direção da respectiva
tangente e o sentido do TS (ou ST) para o PI.
b) Pelas deflexões d em cada ponto.
LOCAÇÃO CURVAS HORIZONTAIS
COM TRANSIÇÃO
Os valores 𝐿, 𝜃, 𝑋, 𝑌, 𝑐 𝑒 𝑑 são calculados
pelas equações:
L = Distância do TS (ou ST) ao ponto considerado, ao
longo da cruva
𝜃 =𝐿2
2∙𝐿𝑠∙𝑅𝑐 𝑑 = arctg
𝑌
𝑋 𝑐 =
𝑋
cos 𝑖
𝑋 = 𝐿 ∙ 1 −𝜃2
10+𝜃4
216−𝜃6
9360+⋯
𝑌 = 𝐿 ∙𝜃
3−𝜃3
42+𝜃5
1320−
𝜃7
75600+⋯
LOCAÇÃO CURVAS HORIZONTAIS
COM TRANSIÇÃO
Para facilitar a locação constrói-se uma tabela como
a mostrada abaixo:
Rc Ls Cs Js (Graus) Js (GMS) is (Graus) is (GMS)
500,000 120,000 119,923 4,58394184 4º,35' 02,2'' 2,2915517 2º,17' 29,6''
Inteira Fracionada
217 19,000 - - - - - - -
218 10,000 11,000 0,00100833 11,000 0,004 0,019257748 0º,01' 09,3'' 11,000
219 0,000 21,000 0,00367500 21,000 0,026 0,070187322 0º,04' 12,7'' 21,000
219 10,000 31,000 0,00800833 31,000 0,083 0,152947817 0º,09' 10,6'' 31,000
220 0,000 41,000 0,01400833 40,999 0,191 0,267539015 0º,16' 03,1'' 41,000
220 10,000 51,000 0,02167500 50,998 0,368 0,413960361 0º,24' 50,3'' 50,999
221 0,000 61,000 0,03100833 60,994 0,630 0,592210723 0º,35' 32,0'' 60,997
221 10,000 71,000 0,04200833 70,987 0,994 0,802288082 0º,48' 08,2'' 70,994
222 0,000 81,000 0,05467500 80,976 1,476 1,044189154 1º,02' 39,1'' 80,989
222 10,000 91,000 0,06900833 90,957 2,093 1,317908945 1º,19' 04,5'' 90,981
223 0,000 101,000 0,08500833 100,927 2,860 1,623440235 1º,37' 24,4'' 100,968
223 10,000 111,000 0,10267500 110,883 3,796 1,960773003 1º,57' 38,8'' 110,948
223 19,000 120,000 0,12000000 119,827 4,795 2,291551697 2º,17' 29,6'' 119,923
Estaca
Curva Horizontal com Transição
𝑳 (Graus) 𝒄 (GMS) =𝑳
∙ 𝒄 ∙ 𝑳𝒔
LOCAÇÃO CURVAS HORIZONTAIS
COM TRANSIÇÃO
Para locar pelas coordenadas basta medir X ao
longo da tangente e Y na perpendicular, determinando-se o
ponto.
Para locar pelas deflexões visamos cada ponto com
a deflexão calculada na tabela, estacionando-se o teodolito
no ponto TS (ou ST) e zerando-o no ponto PI. Se for o
primeiro ponto a ser locado, a corda deve ser a fração que
falta para atingir a próxima estaca inteira, ou a estaca + 10
m ou ainda a estaca + 5 m conforme o raio do trecho
circular. A segunda espiral é locada no sentido inverso a
partir do ST em direção ao CS.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICA
São curvas que possuem transições com os comprimentos
de entrada e de saída diferentes. Com exceção de 𝑇𝑇1 e
𝑇𝑇2, os demais elementos são calculados de forma análoga
às espirais simétricas.
CURVAS HORIZONTAIS COM
TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICA
Conhecida a posição das tangentes (deflexão AC), a
posição do PI, o raio da curva circular (Rc) e escolhido os
valores 𝐿𝑠1 e 𝐿𝑠2 dos comprimentos de transições, podemos
calcular os elementos 𝜃𝑠, 𝑋𝑠, 𝑌𝑠, 𝑄 e 𝑝 para cada uma das
transições:
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TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICA
𝜃𝑆1 =𝐿𝑆12∙𝑅𝑐
𝑄1 = 𝑋𝑆1 − 𝑅𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑆1
𝑝1 = 𝑌𝑆1 − 𝑅𝑐 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑆1
𝑋𝑆1 = 𝐿𝑆1 ∙ 1 −𝜃𝑆1
2
10+𝜃𝑆1
4
216−⋯
𝑌𝑆1 = 𝐿𝑆1 ∙𝜃𝑆13−𝜃𝑆1
3
42+𝜃𝑆1
5
1320−⋯
𝜃𝑆2 =𝐿𝑆22∙𝑅𝑐
𝑄2 = 𝑋𝑆2 − 𝑅𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑆2 𝑝2 = 𝑌𝑆2 − 𝑅𝑐 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑆2
𝑋𝑆2 = 𝐿𝑆2 ∙ 1 −𝜃𝑆2
2
10+𝜃𝑆2
4
216−⋯
𝑌𝑆2 = 𝐿𝑆2 ∙𝜃𝑆23−𝜃𝑆2
3
42+𝜃𝑆2
5
1320−⋯
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TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICA
Sendo 𝐿𝑆1 ≠ 𝐿𝑆2 consequentemente, 𝑝1 ≠ 𝑝2 ,
isto é, a circular terá afastamentos diferentes em relação
às tangentes.
Chamando de ∆𝑝 a diferença entre os
afastamentos: ∆𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1 têm-se as tangentes totais:
𝑇𝑇1 = 𝑄1 + 𝑅𝑐 + 𝑝1 ∙ 𝑡𝑔𝐴𝐶
2+
∆𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝐴𝐶
𝑇𝑇2 = 𝑄2 + 𝑅𝑐 + 𝑝2 ∙ 𝑡𝑔𝐴𝐶
2−
∆𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝐴𝐶
𝐷𝑐 = 𝑅𝑐 ∙ 𝐴𝐶 − 𝜃𝑆1 − 𝜃𝑆2
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