5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
1
Eletrodifusão e Potencial de Nernst
Até o momento, consideramos apenas o transporte de solutos neutros (sem carga
elétrica) através de membranas. Nesta aula, vamos estudar o transporte de um
soluto carregado (íon) por uma membrana.
Se as partículas que se difundem através da membrana tiverem carga elétrica e
estiverem sob o efeito de um campo elétrico, haverá transporte de partículas
provocado por dois mecanismos físicos diferentes:
• Difusão, devido à existência de um gradiente de concentração de partículas
entre os dois lados da membrana celular; e
• Arrasto, devido à existência de um gradiente de potencial elétrico entre os
dois lados da membrana celular.
Lembrando das aulas de eletricidade e magnetismo, um gradiente de potencial
elétrico está associado a um campo elétrico pela relação (em uma dimensão):
E = −ΔVΔx . (1)
E uma partícula de carga q movendo-se em um campo elétrico E
(unidimensional) sofre uma força F dada por:
f = qE . (2)
Esta força elétrica é a força de arrasto atuando sobre as partículas.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
2
Como há dois mecanismos de transporte de partículas carregadas através de uma
membrana celular (difusão e arrasto), podemos escrever as expressões
correspondentes aos fluxos de partículas por esses dois mecanismos.
O fluxo por difusão é descrito pela lei de Fick (equação 1 da aula sobre difusão):
φD = −DΔcΔx, (3)
onde c é a concentração de partículas (que tem valores diferentes dos dois lados
da membrana) e D é o coeficiente de difusão. Note que o sub-índice D foi usado
em φD para indicar explicitamente que este é o fluxo por difusão.
Segundo a teoria do movimento browniano, o coeficiente de difusão D pode ser
escrito como (equação 4 da aula sobre difusão):
D =l2
2τ, (4)
onde l é o livre caminho médio entre duas colisões moleculares e τ é o tempo
médio entre duas colisões.
Já o fluxo devido ao arrasto provocado pelo campo elétrico pode ser escrito como
(dedução não mostrada aqui):
φa = cv = ucf , (5)
onde:
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
3
• v = velocidade de arrasto de um mol de partículas;
• f = força elétrica por mol de partículas;
• u = mobilidade mecânica molar (u = v/f).
Note o uso do sub-índice a em φa para indicar explicitamente que este é o fluxo
por arrasto.
Vamos considerar que as partículas são íons (portanto, com carga) de valência z e
que a força f é causada por um campo elétrico com intensidade E = −ΔV Δx , onde
V é o potencial elétrico.
Então, a força elétrica sobre um mol de partículas é
f = qE, (6)
onde q é a carga de um mol de partículas.
A carga de um mol de partículas pode ser escrita em termos da constante de
Faraday F. A constante de Faraday é definida como a carga de um mol de
partículas monovalentes (z = 1).
A carga de uma partícula monovalente é a carga elétrica fundamental e:
e = 1,602 × 10−19 C.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
4
O número de partículas em um mol é o número de Avogadro:
NA = 6,022 × 1023 mol−1.
Portanto, o valor de F é:
F ≡ NA×e = 9,648 × 104 C/mol.
A carga de um mol de partículas de valência z qualquer é então,
q = zF, (7)
de maneira que a força elétrica sobre um mol de partículas pode ser escrita como:
f = qE = zFE = −zF ΔVΔx. (8)
Combinando as equações (5) e (8):
φa = −uczFΔVΔx . (13)
Esta equação é chamada de lei de Planck.
Max Planck (1858-1947) foi um físico alemão, um dos pais da física quântica.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
5
A lei de Planck descreve o fluxo de partículas carregadas sob a ação de um campo
elétrico em um meio viscoso (note que as partículas não estão se movimentando
no vácuo, mas sofrem colisões com as partículas do meio).
Ela implica que o movimento de cargas elétricas positivas (z > 0) ocorre no
sentido contrário ao do gradiente do potencial elétrico V(x). Já as partículas com
carga elétrica negativa (z < 0) se movem no sentido do gradiente do potencial
elétrico V(x).
Combinando as equações (3) e (13), obtemos a equação que descreve o fluxo de
partículas da espécie iônica n sob ação dos mecanismos de difusão e de arrasto:
φn = −DnΔcn (x, t)Δx
difusão! "## $##
−unznFcn (x, t)ΔV (x, t)Δx
arrasto! "### $#### . (14)
Note que as unidades do fluxo escrito acima são número de moles por unidade de
área por unidade de tempo. Se multiplicarmos o fluxo φn pela carga de um mol de
partículas da espécie n, teremos uma grandeza cujas unidades serão carga elétrica
por unidade de área por unidade de tempo. No SI, essa grandeza tem unidades de
C/m2.s (coulombs por metro quadrado por segundo).
A corrente elétrica I em um dado ponto do espaço é definida como a carga
elétrica que passa por esse ponto do espaço dividida pela unidade de tempo.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
6
No SI, a unidade de I é o ampère (A): 1 A ≡ 1 C/s. Portanto, as unidades de fluxo
iônico são as de corrente elétrica por unidade de área. No SI, C/m2.s = A/m2.
Estas são as unidades de densidade de corrente (denotada por J):
J = IA, (15)
onde A é a área da superfície perpendicular à direção do fluxo de corrente I.
Voltando à equação (14), multiplicando o fluxo iônico φn pela carga de um mol de
íons da espécie n (znF) teremos a densidade de corrente dos íons da espécie n:
Jn (x, t) = znFφn (x, t) . (16)
De forma explícita:
Jn (x, t) = −znF DnΔcn (x, t)Δx
+unznFcn (x, t)ΔV (x, t)Δx
#
$%
&
'( . (17)
Esta é a chamada equação de Nernst-Planck. Ela é a base teórica para a
descrição do fluxo iônico através de membranas celulares em decorrência do
efeito combinado dos gradientes de concentração e de potencial elétrico.
Walther Nernst (1864-1941) foi um físico alemão, um dos pioneiros da físico-
química mundial.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
7
O sinal negativo indica que:
a) Íons positivos (z > 0): a corrente elétrica aponta na direção oposta dos
gradientes de concentração e de potencial elétrico. Neste caso a corrente
elétrica coincide com a direção do fluxo dos íons.
b) Íons negativos (z < 0): a corrente elétrica aponta na direção do gradiente de
concentração e na direção oposta do gradiente de potencial elétrico (note que o
segundo termo entre parênteses é multiplicado por zn). Como neste caso a
direção da corrente elétrica é contrária à do fluxo de íons (pois os íons são
negativos), o movimento dos íons vai na direção oposta à do gradiente de
concentração, mas na mesma direção do gradiente de potencial.
Esta equação pode ser reescrita usando-se a chamada relação de Einstein (obtida
da teoria para o movimento browniano desenvolvida por Einstein em 1905):
uRTD = , (18)
onde D é o coeficiente de difusão, R é a constante universal dos gases (= 8,314
J/mol.K), T á a temperatura absoluta e u é a mobilidade mecânica molar (equação
11 da aula 13).
Usando a relação de Einstein a equação de Nernst-Planck fica escrita como:
Jn (x, t) = −unznF RT Δcn (x, t)Δx
+ znFcn (x, t)ΔV (x, t)Δx
#
$%
&
'( . (19)
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
8
Eletrodifusão no Equilíbrio
Uma situação importante que pode ser estudada com o auxílio da equação de
Nernst-Planck é aquela em que o fluxo dos íons da espécie n é zero, ou seja, a
situação em que há equilíbrio eletrodifusivo do fluxo dos íons da espécie n.
Fazendo Jn = 0 na equação (1) obtemos a condição,
unznF RT Δcn (x, t)Δx
+ znFcn (x, t)ΔV (x, t)Δx
"
#$
%
&'= 0 . (12)
Existem várias maneiras de satisfazer esta condição. Três delas são triviais: (1) se
un = 0, ou seja, se as partículas da n-ésima espécie iônica estiverem fixas, com
mobilidade zero; (2) se zn = 0, ou seja, se as partículas não tiverem carga, de
maneira que mesmo que haja difusão de partículas não exista eletrodifusão; e (3)
se cn = 0, que é o caso quando não há partículas da n-ésima espécie iônica.
Quando nenhuma dessas condições triviais existe, o equilíbrio só é possível
quando,
RT dcn (x, t)dx
+ znFcn (x, t)dV (x, t)dx
= 0 , (13)
onde passamos a denotar as derivadas usando a notação usual.
Separando as variáveis, obtemos
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
9
dxxdV
RTFz
dxxdc
xcnn
n
)()()(
1−= . (14)
Integrando esta equação entre x0 (o ponto de referência para o potencial) e x
obtemos:
( ))()()()(
ln 00
xVxVRTFz
xcxc n
n
n −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛. (15)
Resolvendo esta equação para cn(x), obtemos a distribuição espacial de partículas
da n-ésima espécie iônica no equilíbrio,
( ))()(
00)()(xVxV
RTFz
nn
n
excxc−−
= . (16)
Esta equação nos diz que, se não houver diferença de potencial entre os dois
pontos, x e x0, e/ou se zn = 0, a concentração da espécie iônica n é uniforme no
espaço.
Equilíbrio e o Potencial de Nernst
Vamos considerar agora que o processo de eletrodifusão ocorre através de uma
membrana.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
10
Vamos supor que a membrana separa os lados interno e externo de uma célula e
que esses dois lados contêm soluções iônicas com concentrações do íon n iguais
a, respectivamente, inc e e
nc . A densidade de corrente associada a esta espécie
iônica é Jn. O modelo está ilustrado na figura abaixo.
O potencial de membrana será definido como
)()0( dVVVm −= , (17)
isto é, como o potencial do lado de dentro menos o potencial do lado de fora da
célula.
Vamos considerar que o fluxo eletrodifusivo dos íons da espécie iônica n através
da membrana está em equilíbrio, ou seja, ele é descrito pela equação (15) acima.
Identificando x0 = 0 e x = d na equação (15), temos:
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
11
( ))()0()0()(ln dVV
RTFz
cdc n
n
n −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛. (18)
Como esta equação vale apenas para o equilíbrio, vamos chamar a diferença de
potencial entre o interior e o exterior da célula neste caso de Vmeq:
Vmeq =V (0)−V (d). (19)
Portanto, a equação (18) nos diz que, no equilíbrio, o potencial de membrana da
célula é dado por:
Vmeq ≡
RTznF
ln cn (d)cn (0)"
#$
%
&'. (20)
Vamos assumir que nas interfaces da membrana com as soluções interna e
externa temos a seguinte relação,
en
nin
nn c
dccc
k)()0(
== , (21)
onde kn é o coeficiente de partição do íon n na interface entre a membrana e a
solução. Usando esta relação, temos que )())0()(( in
ennn cccdc = , de maneira que a
equação (20) pode ser reescrita como:
Vmeq ≡
RTznF
ln cne
cni
"
#$
%
&'. . (21)
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
12
Definindo o potencial de Nernst do íon n como
En ≡RTznF
ln cne
cni
"
#$
%
&', (22)
temos que a equação (21) nos dá,
En =Vm. (23)
Portanto, quando há equilíbrio no fluxo da espécie iônica n, o potencial de
membrana deve ser igual ao potencial de Nernst do íon n.
Por isso, o potencial de Nernst do íon n é também chamado de potencial de
equilíbrio para a espécie iônica n.
O potencial de Nernst determina o valor do potencial de membrana para o qual o
fluxo líquido dos íons da espécie n através da membrana é nulo.
Para entendermos como o potencial de equilíbrio de Nernst pode ser gerado,
vamos considerar uma situação como a mostrada na figura a seguir.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
13
Imaginemos uma cuba contendo uma solução eletrolítica separada em dois
compartimentos por uma membrana permeável apenas ao íon n. Por simplicidade,
vamos assumir que o íon n tem valência positiva. Vamos supor que a
concentração deste íon é maior do lado 2 do que do lado 1.
Em t < 0, a membrana está envolvida por uma partição impermeável que não
deixa passar o íon n. Em t = 0, retira-se essa partição e a solução dos dois lados
fica em contato com a membrana. Porém, apenas os íons n podem fluir pela
membrana (existem outras espécies iônicas, que não podem passar pela
membrana, mas que fazem com que a carga líquida dos dois lados da membrana
seja nula).
Como existem mais íons do tipo n do lado 2 da membrana, inicialmente haverá
um fluxo iônico difusivo do lado 2 para o lado 1. Já que os íons passando pela
membrana têm carga positiva e, em t = 0 , as duas soluções estão neutras, este
fluxo inicial irá levar a um acúmulo de cargas positivas do lado 1 e deixará um
excesso equivalente de cargas negativas do lado 2.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
14
Como, supostamente, as soluções dos dois lados da membrana são boas
condutoras elétricas, esses excessos de carga irão rapidamente se distribuir ao
longo dos dois lados da membrana, gerando uma configuração como a mostrada
na figura para t > 0.
A separação de cargas entre os dois lados da membrana gerará um potencial
elétrico através dela, com o lado 1 estando a um potencial positivo em relação ao
lado 2.
Uma vez gerado, esse potencial elétrico irá dificultar o fluxo dos íons positivos do
lado 2 para o lado 1. Porém, ainda assim continuará a haver fluxo líquido de íons
do tipo n do lado 2 para o 1. Este fluxo só será zero quando o acúmulo da cargas
positivas do lado 1 (e o acúmulo equivalente de cargas negativas do lado 2) for tal
que o valor do potencial gerado impeça um deslocamento líquido de partículas.
Este valor particular do potencial através da membrana é o potencial de Nernst En
para o íon n.
Este exemplo nos diz que, para íons de valência positiva, como é o caso do
exemplo, o potencial de Nernst gerado é tal que o lado com menor concentração
do íon fica a um potencial mais elevado do que o lado com maior concentração do
íon.
Por outro lado, para íons de valência negativa, o lado com maior concentração do
íon deve ficar a um potencial mais elevado.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
15
Podemos verificar isto olhando para a tabela abaixo, que dá os valores das
concentrações de alguns íons e dos seus respectivos potenciais de Nernst para o
axônio gigante da lula, a 20°C. Considerando que o valor do potencial é tomado
como o valor no interior da célula menos o valor no exterior, os dados da tabela
(os sinais dos potenciais) estão consistentes com a análise feita acima.
Dentro
(mM)
Fora
(mM)
Potencial de Equilíbrio
(Nernst)
K+ 400 20 −75 mV
Na+ 50 440 +55 mV
Cl- 40-150 560 −66 a (−33) mV
Ca2+ 0,4x10-4 10 +145 mV
No processo de geração do potencial de equilíbrio para o íon n, uma quantidade
líquida de íons n foi transferida do lado 2 para o lado 1 da membrana. Podemos
estimar o número de íons por unidade de área que teve que ser transferido para
gerar um potencial de equilíbrio da ordem do medido para uma célula típica.
Note que o acúmulo de carga de um sinal de um lado da membrana e de carga do
sinal oposto do outro lado faz com que a membrana se comporte como um
capacitor.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
16
Se a capacitância por unidade de área da membrana for Cm e o potencial elétrico
de equilíbrio for En, o excesso de carga acumulada na membrana por unidade de
área da membrana é
Qm =CmEn. (24)
Um valor típico medido experimentalmente para a capacitância por unidade de
área de membranas de células é Cm ≈ 1µF/cm2.
Usando En ≈ 100 mV, a equação (24) nos dá que Qm ≈ 0,1 µC/cm2.
Com este valor, podemos estimar o número de moles do íon n por unidade de área
que se deslocou através da membrana para gerar o potencial En.
Lembrando que znF é a carga de um mol de íons da espécie n, o número de moles
do íon n por unidade de área deslocado é (supondo que o íon n tem valência
unitária, zn = 1, e usando F ≈ 105 C/mol):
Nn =Qm
znF≈1 pmol/cm2.
Este é um número de moles bem pequeno.
Um valor típico para a concentração de uma espécie iônica n em solução
biológica é cn ≈ 10−4 mol/cm3.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
17
Considere um volume cilíndrico de solução com área da base unitária (= 1 cm2) e
comprimento l. Supondo que cada seção reta desse cilindro tenha densidade de
moles do íon n por unidade de área igual a 1 pmol/cm2, o comprimento l do
cilindro deve valer:
lcn = Nn ⇒ l = Nn
cn=10−8 cm = 1 Å.
Portanto, basta que uma pequena pastilha cilíndrica de solução, com área de 1
cm2 e espessura de 1 Å, contendo íons da espécie n seja transferida de um lado
para o outro da membrana para carregá-la de modo a provocar uma diferença de
potencial de 100 mV.
O potencial de Nernst para o íon n pode ser escrito em termos do logaritmo da
razão das concentrações na base 10, de maneira que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= i
n
en
nin
en
nn c
ceFz
RTcc
FzRTV 10
10
loglog
ln . (25)
Substituindo nesta expressão os valores das constantes, R = 8,31 J.K-1.mol-1, F =
9,65 x 104 C/mol e T = 273,15 + tc, onde tc é a temperatura em graus centígrados,
temos que, a uma temperatura de 24 ºC, RT/F ≈ 26 mV e RT/(F log10e) ≈ 59 mV.
Portanto, se a razão entre as concentrações do íon n dentro e fora da célula for 10,
o potencial de equilíbrio de Nernst vale (59/zn) mV.
Já se a razão for igual a 100, o potencial de equilíbrio vale (118/zn) mV.
5910179 – Biofísica I – Turma de Biologia – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque Potencial de Nernst
18
E se a razão entre as concentrações for igual a 0,01, o potencial de equilíbrio vale
(−118/zn) mV.
Em geral, as razões entre as concentrações iônicas dentro e fora das células estão
na faixa entre 0,01 e 100. Portanto, os cálculos feitos acima explicam porque, em
geral, os valores do potencial de Nernst estão em torno de ±100 mV.