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ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 540 RESOLUO DE PRTICOS PLANOS ATRAVS DA ANLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS Marcio Leandro Michelim Acadmico Engenharia Civil Universidade Estadual de Maring e-mail: [email protected] Ismael Wilson Cadamuro Jr Prof. M.Sc. da Universidade Estadual de Maring Doutorando em Engenharia de Estruturas USP e-mail: [email protected] RESUMO OpresentetrabalhoapresentaumestudosobreaaplicaodaAnliseMatricialdeEstruturasnaresoluode prticos planos. Traz consideraes, formulrios eroteiro de clculo. Este estudo, ainda, est inserido no mbito de uma Iniciao Cientfica (PIC), em desenvolvimento.
1. INTRODUOOmtododaAnliseMatricialdeEstruturasdespontacomouminstrumentomatemtico adequadoparaumtratamentosistemtico,rigorosoesobretudo,geraldeanlisedeestruturas, poisalmdepermitirageneralizaodesejada,tambmseadaptaaoempregoem computadores.Pretende-seapresentaroclculodeestruturasreticuladas,emparticular prticosplanos,desenvolvendoaformulaomatricialdoMtododosDeslocamentos, aplicada aos prticos planos. 2. PREMISSAS BSICAS SegundoCADAMUROJR(2002)aestruturapodeserdefinidacomoumconjuntode elementos, ou barras, unidos entre si (Figura 1). Figura 1 ComoindicadonaFigura2,osnsdaestruturasoospontosdeligaoentreoselementos, assim como os pontos de apoio e os de extremidade livre dos elementos. Figura 2 ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 541 3. SISTEMA DE COORDENADAS ParaidentificareordenarforasedeslocamentosCADAMUROJR(2002)sugereaadoode direes (ou coordenadas) devidamente numeradas, podendo ser locais ou globais. 3.1 Coordenadas Locais Soassociadassextremidadesdoelementoedevempermitirqueseassocieelasasforase deslocamentos relevantes das extremidades dos elementos, como se observa na Figura 3. Figura 3 Em relao s coordenada locais, tem-se: {P} vetor dos esforos nas extremidades dos elementos {e}vetordosdeslocamentosdasextremidadesdoselementossegundosuascoordenadas locais [re] matriz de rigidez do elemento segundo suas coordenadas locais. 3.2 Coordenadas Globais Soassociadasaosnsdaestruturaedevempermitiraassociaodeforasedeslocamentos relevantesdosns.ComoseobservanaFigura04,cadanpossuiseusistemade coordenadas,sendo3coordenadasparacadan,deacordocomNumrodeGrausde Liberdade (Ngl) da estrutura. Figura 4 Em relao s coordenadas globais, tem-se: {F} vetor das foras nodais {U} vetor dos deslocamentos nodais [rg] matriz de rigidez do elemento segundo suas coordenadas globais [R] matriz de regidez da estrutura ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 542 4. NUMERAES Emum problema de prtico plano deve-se: a)arbitrar: -a numerao dos ns: (Figura 5 traz um exemplo) 234 Figura 5 -a numerao dos elementos: (Figura 6) 213132ou Figura 6 -a incidncia dos elementos: (Figura 7) N inicial = j N final = k J=1K=2K=4J=3J=2 K=3 Figura 7 b)Calcular: -Anumeraodascoordenadasglobais,fazendoas3primeirascoordenadasglobaisparao n 01, as prximas 3 para o n 02 e assim sucessivamente, como visto na Figura 8. ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 543 21354 6897101211 Figura 8 -Ascoordenadasglobaisdoselementos(Figura9):oninicial(j)deumelemento qualquerterascoordenadasglobais(3j-2),(3j-1)e(3j),eoseunfinal(k)as coordenadas globais (3k-2), (3k-1) e (3k). 213546897101211546101112123 Figura 9 -As coordenadas locais dos elementos: (Figura 10) 213546546a = 90a = 90321123564a = 135 Figura 10 5.MATRIZDERIGIDEZDOELEMENTOSEGUNDOSUASCOORDENADAS LOCAIS [re] MOREIRA(1977)informaqueomaissimplesdossistemaselsticoscompostoporuma mola linear de constante K, Figura 11 3N-23N3N-1N N 5312a +46KJ ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 544 AAA(a)(b)(c)BBr1 = 11f11B K11R1=1 Figura 11 Aplicando-seaforaF=1aosistema(Figura11),surgeodeslocamentou.Poroutrolado,se forpossvelestruturaodeslocamentou=1,amanutenodaconfiguraodeformadaexigir que se aplique a fora F=r. Tem-se ento que: - coeficiente de rigidez K a ao mecnica associada configurao deformada r=1. CADAMUROJR(2002)tambmdefinerigidezcomosendoarelaoentreumaforaeum deslocamentocorrespondente,oucomoaforanecessriaparaprovocarumdeslocamento unitrio em sua direo e sentido, como mostrado na Figura 12. f Figura 12 SegundoCADAMUROJR(2002)aMatrizdeRigidezarelaoentreumvetordeforase umvetordedeslocamentos(Figura13).Seessesvetoresforemreferenciadosscoordenadas locaisdoelemento,comonaFigura14,ondeseverificaascoordenadaslocaisparaum elemento de prtico plano, temos a Matriz de Rigidez [re] que definidaa seguir. u 1f 1f 2f 3u 2u 3 Figura13 5312a +46 KJ Figura 14 ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 545 [ ]11111111111111]1
lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAre4 602 606 1206 1200 0 0 02 604 606 1206 1200 0 0 02 22 3 2 32 22 3 2 3 6.MATRIZDERIGIDEZDOELEMENTOSEGUNDOSUASCOORDENADAS GLOBAIS [rg] AAnaliseMatricialdeEstruturasrequeroconhecimentodasmatrizesderigidezdos elementos segundo suas coordenadas globais [rg]. Sendo conhecidas a [re], calcula-se a [rg] com: onde:[e]=matrizdeincidnciacinemtica,oumatrizderotaodosistemadecoordenadaslocais parao sistema de coordenadas globais. Para prtico plano: onde: =nguloapartirdonj(inicial),entreahorizontaleoeixodoelemento,considerando positivo se o sentido for anti-horrio Assim, tem-se [rg]6x6, com 4 quadrantes 7. MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA [R] AMatrizdeRigidezdaEstrutura[R]const itudapelasomaadequadadasmatrizes[rg]de todososelementos.Aordemdessamatrizdeacordocomosnmerosdegrausdeliberdade decadan,ouseja,deacordocomosdeslocamentosdetranslaovertical,translao horizontal e giro.Logo, [ ]11111111]1
1 0 00 cos sen0 sen cos1 0 00 cos sen0 sen cos e[ ] [ ] [ ]6 6 6 6 6 6 6 6. . ] [x xTx xe re e rg (02) (03) (01) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 546 [rg]6x6=Q1 Q2Q3 Q4j1j2j3k1k2k3j1 j2 j3 k1 k2 k3 onde: m = nmero de elementos [rg*]ngl x ngl=Q3Q4Q1 Q21 2 ... j1 j2 j3 ...k1 k2 k312.j1j2j3k1k2k3... ... ... ... ... ngl..............ngl0 0 0 00 00 00 0 0 00 0 0 000 00 8. VETORES DE FORAS NODAIS {F} OVetordeForasNodais{F}ligadoscoordenadasglobaisecompostode2parcelas,a seguir: {F}= Ngl . 1onde, {FNs}aparceladevidoscargasconcentradas(forasoumomentos)aplicadas diretamente nos ns da Estrutura. { } { } { }BARRAS NSF F F + { };'eeeNSMzFyFxF[ ] [ ] [ ] [ ]NglxNgl m NglxNgl NglxNgl NglxNglrg rg rg R * * *2 1+ + + K(04) (05) (06) (07) (08) (09) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 547 {FBarras}aparceladevidaascargasaplicadasnoselementos.formadapelacontribuio das cargas de todas as barras. AscargasatuantesnasbarrasgeramoVetordeEngastamentoPerfeitonasCoordenadas Locais {Poe} e o Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas Globais {Pog}. 8.1 Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas Globais {Pog} ParaabarraplanadaFigura13sujeitaaumcarregamentoP,uniformementedistribudoao longo de toda a barra de comprimentol, temos Ovetor{FBarras}formadopelacontribuiodosvetores{Pog}doselementosquepossuem cargas {Pog}=j1j2j3k2k1k3Q1Q2 { };'12 /2 /012 /2 /022PlPlPlPlPoe{ } [ ] { } Poe e PogT { } { } { } { }Ngl m Ngl Ngl Ngl BarrasPog Pog Pog F * * *2 1+ + + K(10) (11) (12) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 548 Q2k2k3Q1 j2{Pog*}=k1j3j100000000..................ngl1 9. VETOR DOS DESLOCAMENTOS NODAIS {U} Depoisdemontadaamatriz[R]eovetor{F}possvelcalcularovetordosdeslocamentos nodais {U} utilizando da seguinte equao: Deve-seantes,porm,aplicarascondiesdecontornoquesoascoordenadasglobaiscom deslocamentos impedidos por vnculos. Assim, se a coordenada global i estiver impedida por vnculo, deve-se: Zerar o termo i de {F} Zerar toda a linha i de {R} Zerar toda a coluna i de {R} Fazer R(i,i)=1 Feitoissoparatodasascoordenadascomvnculospode-secalcularoVetordos Deslocamentos Nodais {U}: onde: {U} = vetor dos deslocamentos nodais = (ngl x 1), segundo as coordenadas globais 10.VETORDOSDESLOCAMENTOSNAEXTREMIDADESDOSELEMENTOS SEGUNDO SUAS COORDENADAS LOCAIS {de} Depoisdecalculado{U},monta-seagoraoVetordosDeslocamentosdasExtremidadesdos Elementos {dg},de acordo com suas Coordenadas Globais. {g} 6 x 1 Com {g} calcula-se o Vetor {e} atravs de: { } [ ]{ } U R F { } [ ] { } F R U1 { } [ ] { }1 6 6 6 1 6 x x xg e e (14) (15) (16) (17) (13) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 549 11. VETOR DOS ESFOROS NAS EXTREMIDADES DO ELEMENTO {Pe} Tendoosdeslocamentosnodaiscalcula-seosesforosinternossolicitantes(M,N,V)dos elementos,utilizando-sedascoordenadaslocais.Essesesforosinternossolicitantesiro compor o Vetor {Pe} atravs da seguinte equao: Comosresultadosobtidos,pode-setraarosdiagramasdeM,NeVdaestrutura,lembrando-se que os resultados saem com a conveno adotada para as coordenadas locais. 12. VETOR DE REAES DE APOIO {Fr} Transforma-se {Pe} para coordenadas globais {Pg} fazendo: Calcula-se as reaes de apoio do elemento {Fr} fazendo: {Fr*} = {Pg1*} + {Pg2*} + {Pg3*}+... ondeonmerodeelementosdovetor{Pge*}definidodeacordocomonmerode coordenadasglobaisdaestrutura,acrescentando-se0(zeros)atonmerodecoordenadas globais definido. {Fr} = {Fr*}- (FNS} Para o clculo de {Fr} precisa-se dos vetores {Pg} (um {Pg} para cada elemento). Tendo {Pg} monta-se o vetor {Pg*} (um {Pg*} para cada elemento). { } { } [ ][ ] e re Poe Pe + { } [ ]{ } Pe e PgT ;'MkQkNkMjQjNjPe} {onde: N = Esforo NormalQ = Esforo Cortante M = Momento Fletor { };'NNNrRMzRFyRFxF{ } [ ]{ } Pe e PgT (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 550 Q2k2k3Q1 j2{Pg}=k1j3j1 .0Q2000.ngl.....k2k3k1Q1{Pg*}=0000j2.....j3..j1....1 13. ROTEIRO DE CLCULO 1-Arbitrar a numerao do ns; 2-Arbitrar a numerao dos elementos; 3-Arbitrar a incidncia dos elementos; 4-Calcula a numerao das coordenadas globais; 5-Calcular as coordenadas globais dos ns j e k de cada elemento 6-Calcular as coordenadas locais de cada elemento 7-Calcular [re] de cada elemento; 8-Calcular [e] de cada elemento; 9-Calcular [rg] de cada elemento; 10- Montar [R] 11- Montar {FNs} 12- Calcular {Poe} de cada elemento; 13- Calcular {Pog} de cada elemento; 14- Montar {FBarras} 15- Calcular {F} 16- Aplicar as condies de contorno sobre [R] e {F} 17- Calcular {U} (25) (25) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 551 18- Montar {g}de cada elemento 19- Calcular {e} de cada elemento 20- Calcular {Pe} de cada elemento 21- Calcular {Pg} de cada elemento 22- Calcular {Fr} 23- Analisar resultados {U} deslocamentos nodais segundo as coordenadas globais {Fr} reaes de apoio segundo as coordenadas globais {Pe} esforos internos segundo as coordenadas locais de cada elemento 14. CONCLUSO Apresentou-seumestudosobreaaplicaodaAnliseMatricialdeEstruturasnaresoluode PrticosPlanos.Todasasetapasdetalanliseforamexplicitadas.Conclue-se,portanto,que hsubsdiossuficientesparaqueseprocedaaprximaetapadaIniciaoCientficadoautor, queaautomatizaodoprocedimentoexpostoatravsdalinguagemcomputacional FORTRAN POWERSTATION 4. 15. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ARAGOFILHO,LuizA.C.Muniz(2002).NotasdeAulasdeAnliseMatricialdeEstruturas.UFMG Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte. CADAMUROJR,IsmaelWilson(2002).NotasdeAulasdaDisciplinaMecnicadasEstruturas.UEM Universidade Estadual de Maring. Maring. FREITASNETO,JosdeAlmeida;VIEIRA,InaldoAyres(1974).AnliseMatricialdeEstruturas.Editorada UFPR. Curitiba. GERE; WEAVER (1966). Analysis of Framed Structures . Van Nostrand. MOREIRA,DomincioFalco(1977).Anlisematricialdasestruturas.RiodeJaneiro,LivrosTcnicose Cientficos. ANTUNES,JooCarlos;ANTUNES,HelenaM.C.(1994).IntroduoAnliseMatricialdeEstruturas. Univerdidade de So Paulo, Escola de Engenharia de So Carlos, So Carlos.