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GISELE POLYANA RODRIGUES PEREIRA
O ENSINO DAS CNICAS ATRAVS DE ESTUDOS
CONTEXTUALIZADOS AT SUA CONCEPO NA
GEOMETRIA ANALTICA: PARBOLA
LAVRAS - MG
2013
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GISELE POLYANA RODRIGUES PEREIRA
O ENSINO DAS CNICAS ATRAVS DE ESTUDOS
CONTEXTUALIZADOS AT SUA CONCEPO NA GEOMETRIA
ANALTICA: PARBOLA
Trabalho de Concluso de Curso apresen-tado Universidade Federal de Lavras,como parte das exigncias do Programa dePs-Graduao Profissional em Matem-tica, rea de concentrao em Matemtica,para a obteno do ttulo de Mestre.
Orientador
Dr. Agnaldo Jos Ferrari
LAVRAS - MG
2013
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Ficha Catalogrfica Elaborada pela Diviso de Processos Tcnicos da
Biblioteca da UFLA
Pereira, Gisele Polyana Rodrigues.
O ensino das cnicas atravs de estudos contextualizados at sua
concepo na geometria analtica : parbola / Gisele Polyana Rodrigues Pereira. Lavras : UFLA, 2013.
1 p. : il.
Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Lavras, 2013.Orientador: Agnaldo Jos Ferrari.
Mestrado Profissional em Matemtica.
Bibliografia.
1. Parablico. 2. Coordenada polar. 3. Rotao de eixo. 4.
Ensino Mdio. 5. Material didtico. 6. Formao de professores. I. Universidade Federal de Lavras. II. Ttulo.
CDD 373.133
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GISELE POLYANA RODRIGUES PEREIRA
O ENSINO DAS CNICAS ATRAVS DE ESTUDOS
CONTEXTUALIZADOS AT SUA CONCEPO NA GEOMETRIA
ANALTICA: PARBOLA
Trabalho de Concluso de Curso apresen-tado Universidade Federal de Lavras,como parte das exigncias do Programa dePs-Graduao Profissional em Matem-tica, rea de concentrao em Matemtica,para a obteno do ttulo de Mestre.
APROVADO em 13 de maro de 2013.
Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa UFLA
Dra. Grasiele Cristiane Jorge UNICAMP
Dr. Agnaldo Jos FerrariOrientador
LAVRAS - MG
2013
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As pessoas mais importantes de minhavida, minha famlia.
DEDICO
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AGRADECIMENTOS
A Deus, por me ter mostrado que a f e a persistncia so peas fundamen-
tais na construo de um sonho e que vencer nossas dificuldades nos faz crescer
espiritualmente e nos permite ir alm do que poderamos imaginar quando estva-
mos no incio da caminhada;
A quem mais amo, meu marido Cleibe, que sempre me apoiou e incentivou
nesta caminhada;
Ao meu filho Pedro Henrique e a minha sobrinha e afilhada Julia que so
a alegria do meu viver;
Aos meus pais; Sebastio e Lenir, minhas irms; Eveline e Jaqueline e
meu cunhado Alex, pelo carinho e empenho;
Maria, pela dedicao e todos da minha famlia que sempre estiveram
ao meu lado;
Universidade Federal de Lavras (UFLA) e ao Departamento de Cincias
Exatas (DEX), pela oportunidade concedida para a realizao do mestrado;
Aos professores do Departamento de Cincias Exatas da UFLA, pelos en-
sinamentos transmitidos;
Ao professor Agnaldo Jos Ferrari pela pacincia, amizade e dedicao,
pois os conhecimentos e experincias por ele repassados foram de grande impor-
tncia no cumprimento desta etapa e para o meu crescimento profissional;
s professoras Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa e Dra.
Grasiele Cristiane Jorge, pela disposio em servir;
A amiga Adriana, pela amizade e por suas contribuies sempre que pre-
cisei;
A todos os meus colegas do mestrado, em especial, Neder, Rodnei, Eli-
sngela, Amanda e Lucia, pelo companheirismo;
coordenadora do Plo Educao e Integrao Marlene Naves Car-
doso, Liliane Pereira e Freitas e diretora da Escola Estadual Carmelita Carvalho
Garcia, Maria Aparecida Pinheiro Cardoso, pela compreenso nos momentos de
dificuldade.
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RESUMO
As cnicas so utilizadas atualmente em astronomia, engenharia, arquite-tura, fsica e em vrias outras reas. Porm, o estudo das cnicas fica restringidoao Ensino Mdio, e na maioria dos casos, nem no Ensino Mdio trabalhado. Emmuitos livros didticos encontrados nas escolas, o ensino das cnicas se restringea memorizao de frmulas sem o entendimento das propriedades e conceitos portrs delas. Apolnio foi o primeiro a se aprofundar no estudo das cnicas. Keplerestabeleceu que as rbitas dos planetas fossem elpticas, e desde ento o uso daelipse ganhou importncia na astronomia. Ela tambm utilizada para construode alguns tipos de refletores e nas cmaras de sussurros, que utilizam suas propri-edades de reflexo nos focos. No mtodo de navegao LORAN (long-range navi-gation) e na descrio da trajetria de uma partcula-alfa sujeita ao campo eltricogerado por um ncleo atmico, utilizado o conceito de hiprbole. Na fabricaode antenas parablicas, faris de automveis, refletores, entre outros, utilizado oconceito de parbola. Sugerimos que para o ensino de cnicas deve-se dar enfasea visualizao, utilizando material concreto e da partir para as definies. Paraisso foram apresentadas algumas atividades interessantes para se trabalhar na salade aula. No Captulo 5 foi apresentado uma parte sobre transformaes de coor-denadas mais voltada para cursos de graduao. Deseja-se com isso levar o alunodo Ensino Mdio a se interessar e entender as cnicas.
Palavras-chave: Parablico. Coordenada polar. Rotao de eixo.
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ABSTRACT
Conics are currently used in astronomy, engineering, architecture, physicsand many other areas. However, the study of conics is restricted to high schooland, in most cases, not even then. Conics are taught, in many textbooks, only bymemorizing formulas, without understanding the properties and concepts behindthem. Apollonius was the first to deepen in the study of conics. Kepler esta-blished that the planets orbits were elliptical and, since then, ellipses have gainedimportance in astronomy. It is also used in the construction of reflectors and whis-pering chambers, which use its properties of reflection in the focus. The hyperbolemethod is used in the LORAN navigation method (long-range navigation) and inthe description of an alpha-particle subject to an electrical field generated by anatomic nucleus. The parabola is used in the fabrication of satellite dishes, headlights, reflectors, among others. The parabolas are models of various types of mo-vements and are vastly used in physics. We suggest that conics must be taught ina manner of easer visualization using concrete material and, after this, teach thedefinitions. In order to do this, we bring some interesting activities to work with inthe classroom. We also bring, in chapter 5, a portion on coordinate transformationsfocusing on graduate courses. With this we aim at leading the high school studentto be interested in and understand conics.
Key-words: Parabolic. Polar coordinate. Axis rotation.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Seco cnica (Parbola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 2 Grfico da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 3 Lanamento oblquo de uma bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 4 Parbola por meio da sua definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 5 Distncias da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 6 Medida da diretriz ao vrtice e foco ao vrtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 7 Parbola com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 8 Parbola com concavidade para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 9 Parbola com concavidade para a direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 10 Parbola com concavidade para a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 11 Parbola com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 12 Parbola com concavidade para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 13 Parbola com concavidade para a direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 14 Parbola com concavidade para a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 15 Construo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 16 Construo da parbola para o lado direito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 17 Construo da parbola para o lado esquerdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 18 Esboo rudimentar da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 19 Corte na madeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 20 Mesa de bilhar parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 21 Molde com medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 22 Haste de madeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 23 Disco de madeira com hastes fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 24 Colagem do papel carto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Figura 25 Refletor pronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 26 Posio dos refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 27 Posies dos refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Figura 28 Corte no cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 29 Corte no cone de massinha de modelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 30 Caracterstica da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
-
Figura 31 Construo da Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 32 Construo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 33 Esboo da Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 34 Esboo da parbola com concavidade para a direita . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 35 Esboo da parbola com concavidade para a esquerda . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 36 Esboo da parbola com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 37 Esboo da parbola com concavidade para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 38 Esboo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 39 Incidncia dos raios solares sobre os receptores parablicos . . . . . . . . 56
Figura 40 Captadores de energia solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 41 Representao da funo quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 42 Curva parablica na gua que jorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 43 Objeto lanado de forma oblqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 44 Antenas parablicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 45 Faris de carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 46 Igreja de So Francisco (Belo Horizonte- Minas Gerais - Brasil) . . . . 60
Figura 47 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 48 Pontos em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 49 Alguns pontos marcados em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 50 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 51 Elipse em coordenada cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
Figura 52 Parbola em coordenada cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 53 Hiprbole em coordenada cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 54 Equao polar das cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 55 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
Figura 56 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 57 Esboo rudimentar da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 58 Translao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 59 Rotao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 60 Eixos com rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 61 Rotao de eixos na parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
-
Figura 62 Novo sistema de eixos v1 e v2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 63 Esboo da elipse com rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
ANEXO
Figura 1 Ponte pnsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 2 Grfico da funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 3 Trajetria de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Figura 4 Parbola de vrtice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 5 Superfcie de uma antena parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 6 Esboo da parbola com concavidade voltada para cima . . . . . . . . . . 100
Figura 7 Esboo de uma parbola e uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 8 Pontos P1 e P2 na parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 9 Esboo da parbola com regies marcadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
Figura 10 Esboo da parbola com vrtice V e foco F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Figura 11 Esboo da parbola com concavidade voltada para cima . . . . . . . . . . 104
Figura 12 Esboo da parbola com concavidade voltada para esquerda . . . . . . . 104
Figura 13 Esboo da parbola com concavidade voltada para baixo . . . . . . . . . . 105
Figura 14 Esboo da parbola com concavidade voltada para direita . . . . . . . . . 105
Figura 15 Carrinho movendo sobre um arco de parbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
Figura 16 Esboo da parbola y =x2 +3x e reta y = 2kx . . . . . . . . . . . . . . . . . .108Figura 17 Esboo da parbola com duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Figura 18 Trajetria do pulo do grilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 19 Regio hachurada limitada pela reta r e pela parbola . . . . . . . . . . . . . 112
Figura 20 Grficos de funes quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 21 Grficos de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Figura 22 Grficos de funes quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
-
SUMRIO
1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 FUNDAMENTAO HISTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 PARBOLA, DEFINIES E ABORDAGEM USUAL . . . . . . . . . . . 21
4 PROPOSTAS DE ABORDAGENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 A Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Deduo da frmula da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
4.3 Aplicaes da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.1 Cnicas em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.2 Cnicas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 TRANSFORMAES DE COORDENADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1 Translao de eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Rotao dos eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 A equao geral do 2o grau em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Rotao de eixos usando a lgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ANEXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
-
12
1 INTRODUO
Os professores da atualidade tm um grande desafio, que o de ensinar a
matemtica em um mundo dominado pela alta tecnologia. Portanto, devem modi-
ficar suas aes e tcnicas para que possam ensinar matemtica de forma que ela
fique mais interessante para os alunos.
As cnicas so curvas especiais em que se podem destacar a elipse, a pa-
rbola e a hiprbole. Elas foram estudadas a fundo no sculo III pelo matemtico
grego Apolnio. Atualmente elas so aplicadas na geometria, astronomia, por
meio dos movimentos elpticos dos planetas, na fsica, na ptica, por meio de
telescpios espaciais, na engenharia, na arquitetura e nas novas tecnologias, por
meio de antenas parablicas ou hiperblicas.
No ensino bsico, as cnicas s aparecem no terceiro ano do Ensino M-
dio, sendo quase sempre trabalhadas somente com centro na origem, esquecendo-
se assim das cnicas com centros em outros pontos e que as cnicas tambm po-
dem estar rotacionadas. As elipses e as hiprboles so trabalhadas por meio dos
parmetros a, b e c e as parbolas do parmetro p. No ensino superior elas voltam
a ser estudadas em clculo, para a construo de superfcies no espao, em geo-
metria analtica, com enfoque nas equaes analticas e lgebra linear, onde feita
uma ligao delas com vetores e matrizes.
Objetiva-se com este estudo despertar o gosto pela matemtica, tornando-
a real e mais simples para os alunos, utilizando materiais concretos e de interesse
dos mesmos. Quer-se com isso explorar as cnicas e suas aplicaes partindo de
materiais concretos e chegando s suas equaes. Para tanto, foi elaborado um
material didtico que pode oferecer alternativas para professores de matemtica da
educao bsica, podendo se estender at a graduao.
Este trabalho est dividido em trs partes. As elipses so tratadas por
Adriana de Sousa Sabino Melo, as hiprboles por Neder do Carmo Pereira Habib,
e eu trato neste texto as parbolas. Os trs trabalhos tm algumas partes comuns,
que sero citadas abaixo.
O segundo captulo traz um histrico das cnicas comum aos trs traba-
lhos.
-
13
O terceiro captulo traz como as cnicas so comumente trabalhadas no
Ensino Mdio. Essa parte individual e cada trabalho traz somente a cnica espe-
cfica.
O quarto captulo comea com propostas de abordagens e atividades con-
textualizadas para o ensino de cada cnica, que individual para cada trabalho. No
fim do captulo mostrou-se um pouco sobre coordenadas polares, parte esta que
comum aos trs trabalhos.
O quinto captulo, comum aos trs trabalhos, vem com a parte de trans-
formaes de coordenadas usando a geometria analtica e a lgebra linear. Este
captulo destinado aos cursos de graduao, j que os alunos do Ensino Mdio
no tm pr-requisitos para esse captulo. Em anexo segue um banco de questes
como material para professores na elaborao de suas aulas.
-
14
2 FUNDAMENTAO HISTRICA
Neste captulo ser feito um relato da histria das cnicas por meio dos
sculos mostrando o desenvolvimento do estudo das mesmas.
Egpcios e babilnios, h mais de 3000 anos, utilizavam a geometria nas
regies inundveis dos vales do Nilo, Tigre e Eufrates, na demarcao das terras
a fim de organizar o plantio e facilitar a cobrana de impostos. Durante o perodo
Helnico (400 a.C. - 476 d.C), Alexandre Magno construiu Alexandria em 331
a.C., que em pouco tempo transformou-se no centro mais suntuoso e cosmopolita
do mundo. Depois da morte de Alexandre, o imprio se dividiu em trs imprios.
Ptolomeu ficou com o governo do Egito, escolheu Alexandria como sua capital e
l construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber, cabendo
a Euclides o Departamento de Matemtica. Apolnio, que foi um dos maiores
estudiosos das cnicas, nasceu em Perga e estudou em Alexandria onde ficou por
um bom tempo (RODRIGUES FILHO, 2007).
Para Youssef (2005), Menaecmus, astrnomo e gemetra grego foi o pri-
meiro a utilizar duas curvas: a parbola e a hiprbole. No sculo IV a.C., ele
solucionou o problema da duplicao do cubo que consistia em encontrar um
cubo cujo seu volume fosse igual a dois, utilizando-se dessas duas curvas. Conse-
quentemente, a elipse surgiu mais tarde quando se seccionou uma superfcie cnica
perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o nome seces cnicas.
Segundo Lopes (2011), para alguns historiadores a origem do estudo das
cnicas no muito clara, mas tudo leva a crer que elas originaram-se no problema
da duplicao do cubo.
Hipcrates de Chios (470 - 410 a.C.) mostrouque esse problema (a duplicao do cubo) sereduzia em encontrar curvas com proprieda-des expressas na proporo contnua entre doissegmentos. Esse processo consistia em deter-minar mdias proporcionais entre duas gran-dezas dadas, ou seja, dados os segmentos a e b,encontrar dois outros x e y tais que a
x= x
y= y
b.
-
15
Hipcrates afirmou que para b = 2a, a propor-o contnua traduzia a soluo do problemada duplicao do cubo, pois isolando e elimi-nando y, conclui-se que x3 = 2a3. Isto equi-vale, na notao atual, resolver simultanea-mente quaisquer duas das trs equaes x2 =ay; y2 = 2ax e xy = 2a2 que representam par-bolas nos dois primeiros casos e hiprbole noterceiro.Mas a descoberta dessas curvas se deu por Me-naechmus (380 - 320 a.C.) por volta de 360 ou350 a.C.. Ele construiu as curvas com essaspropriedades algbricas e consequentementemostrou que o ponto de interseo delas da-ria as mdias proporcionais desejadas. A des-coberta da elipse parece ter sido feita tambmpor ele como um simples subproduto dessa suapesquisa(LOPES, 2011, p. 33-34).
Para Venturi (1949), foi Apolnio quem introduziu os nomes elipse e hi-
prbole. J a parbola, provavelmente, foi nomeada por Arquimedes.
As seces cnicas eram conhecidas haviacerca de um sculo e meio quando Apolnioescreveu seu clebre tratado sobre essas cur-vas. [...] O tratado sobre Cnicas de Apol-nio derrotou todos os Rivais no campo das sec-es cnicas, inclusive As cnicas de Euclides(BOYER, 2010, p. 99).
De acordo com Boyer (2010), Apolnio foi o primeiro a mostrar que as
trs seces no eram obtidas necessariamente de trs cones diferentes, mas pode-
riam ser encontradas variando o ngulo de inclinao do plano da seco. Esse fato
foi relevante para identificar e relacionar os trs tipos de curvas. Apolnio tambm
provou que o cone pode ser oblquo ou escaleno, no precisando ser reto e que as
propriedades das curvas no se modificam de acordo com o cone de origem.
Ainda para Boyer (2010), Apolnio poderia ter partido de qualquer cone
e ter obtido as mesmas curvas, ou seja, qualquer seo plana de qualquer cone
poderia servir de curva base em sua definio.
-
16
Menaecmus afirmava que cada seco cnica era encontrada em um for-
mato diferente de cone. Assim, as cnicas eram tratadas de forma separada. So-
mente com Apolnio houve a unificao das mesmas (BORDALLO, 2011).
De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como
reto ou de revoluo (retngulo) quando o ngulo formado entre as geratrizes que
pertencem a um dado plano que passa pelo vrtice do cone e pelo centro da circun-
ferncia da base reto; obtusngulo, quando este ngulo obtuso e acutngulo,
quando agudo. Arquimedes deu nomes de Orthotome para parbola, que sur-
gia do cone retngulo, Oxythome para a elipse, que surgia do cone acutngulo e
Amblythome para a hiprbole que surgia do cone obtusngulo.
Segundo Youssef (2005), Apolnio de Perga (262 - 190 a.C.) escreveu
um importante documento sobre as cnicas. Neste documento, acrescentou aos
estudos de Menaecmus vrias proposies, mas de forma puramente geomtrica.
Pode-se destacar uma proposio sobre a posio do plano secante em relao ao
eixo de rotao ou geratriz de uma superfcie cnica de revoluo.
Para Boyer (2010), o cone de duas folhas surgiu quando Apolnio fez uma
reta de comprimento indefinido que passava por um ponto fixo mover-se sobre uma
circunferncia de um crculo que no coplanar ao ponto de origem, passando por
todos os pontos dessa circunferncia, a reta mvel dar origem superfcie de um
cone duplo. Com isso surge o segundo ramo da hiprbole.
Apolnio foi o autor que mais contribuiu para o estudo das cnicas. Ele
escreveu oito livros, dos quais os quatro primeiros apresentam resultados de outros
matemticos anteriores e os quatro ltimos apresentam resultados desenvolvidos
por ele mesmo. Apolnio o primeiro a unificar as seces cnicas e afirmar que
elas poderiam ser obtidas a partir de um nico cone. Ele tambm duplicou o cone
e da a hiprbole passa a ter duas folhas (QUARANTA, 2008).
Segundo Bordallo (2011), Pappus fez um comentrio sobre todos os ma-
temticos gregos de seu tempo em sua obra Coleo Matemtica. Ele contribuiu
para o estudo das cnicas com seus resultados sobre foco, diretriz e excentricidade.
E de acordo com a variao da excentricidade ele define cada curva.
Boyer (2010, p. 101) afirma as cnicas eram conhecidas como lugares
slidos, pois as cnicas no eram definidas como sees planas, mas sees de
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17
figuras tridimensionais. Apolnio usava o cone para obter as cnicas, mas o dis-
pensou logo que possvel. A partir do cone ele desenvolveu uma propriedade plana
fundamental (symptome) para a seco e a partir da iniciou um estudo somente no
plano, baseado nessa propriedade.
Seja ABC uma seco triangular de um conecircular oblquo (Fig.9.3) e seja P qualquerponto sobre uma seco HPK cortando todosos elementos do cone. Prolongue HK at en-contrar BC em G e por P passa-se um planohorizontal que corta o cone no crculo DPEe o plano HPK na reta PM. Trace-se DME,um dimetro do crculo perpendicular a PM.Ento a semelhana dos tringulos MEK eKCG tem-se ME
MK= CG
KG. Agora, da proprie-
dade do crculo tem-se PM2 = DM.ME; logoPM2 = (HM.BG
HG)(MK.CG
KG). Se PM = y, HM = x
e HK = 2a, a propriedade na sentena pre-cedente equivale equao y2 = kx.(2a x),que reconhecemosmo a equao de uma elipsecom H como vrtice e HK como eixo maior.De modo semelhante, Apolnio obteve paraa hiprbole o equivalente da equao y2 =kx(x+2a). Essas formas so facilmente redu-tveis s formas de nome acima, bastando to-mar k = b
2
a2 e l =2b2a
. Depois de Apolnio terobtido de um estudo esteriomtrico do cone arelao bsica entre o que chamaramos hojeas coordenadas planas um ponto da curva - da-das pelas trs equaes y2 = lx b2x2
a2, y2 = 1x
e y2 = lx+ b2x2
a2obteve outras propriedades a
partir das equaes no plano, sem mais refe-rncia ao cone. Em particular, Apolnio co-nhecia as propriedades da hiprbole referida sassntotas como eixos, dadas para a hiprboleequiltera, pela equao xy = c2.
-
18
No podia saber, claro, que um dia essa re-lao, equivalente lei de Boyle, seria funda-mental no estudo dos gases, ou que seu estudoda elipse seria essencial para a moderna astro-nomia (BOYER, 2010, p. 101-102).
Figura 9.3 Cortes no cone
Ainda para Boyer (2010), Apolnio provou que quando um ramo de uma
hiprbole intersecta os dois ramos de outra hiprbole, o outro ramo da primeira
hiprbole no intersectar nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, tambm
se uma hiprbole encontra uma segunda hiprbole com sua concavidade em sen-
tido oposto em um nico ponto, o outro ramo da primeira no encontrar o outro
ramo da segunda.
De acordo com Venturi (1949, p. 20), Kepler foi fortemente influenciado
pelo livro As Cnicas de Apolnio. Em 1609 ele mostra uma fundamental lei
da Astronomia: os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, com o
Sol ocupando um dos focos. Kepler tambm introduziu a palavra foco, que vem
do latim focus que significa fogo, lareira. O livro As Cnicas tambm traz outra
aplicao em que Galileu (1632) desprezando a resistncia do ar diz que a trajetria
de um projtil uma parbola.
Para Quaranta (2008), Kepler (1571 - 1630) tambm apresenta as cnicas
de forma unificada usando a hiprbole para medies do fenmeno de reflexo.
Ele tambm mostra pela primeira vez a parbola como limite de uma elipse ou
hiprbole. Na construo da parbola ele utiliza a mesma distncia dos pontos at
o foco e at a diretriz. Ele tambm afirma que a parbola tem o segundo foco no
infinito, que at ento no era utilizado na geometria.
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19
Apolnio em As Cnicas no trata de aspectos que atualmente nos pa-
recem to fundamentais. Por exemplo, ela trata dos focos das cnicas apenas indi-
retamente e nem tinha nomes para os mesmos (BOYER, 2010).
Segundo Youssef (2005), Apolnio tambm investigou o movimento dos
planetas e baseado nos egpcios, acreditava que os planetas giravam em torno do
sol em rbitas circulares. Somente em 1609, Kepler conclui que os planetas giram
em rbitas elpticas. Apolnio nunca poderia imaginar que as cnicas estudadas
por ele seriam utilizadas 1800 anos depois para descrever as rbitas planetrias e
nem que belos projetos arquitetnicos teriam esses formatos.
Afirma Boyer (2010, p. 104) que Apolnio diz que o assunto um da-
queles que parecem dignos de estudos por si mesmos. Ele sequer imaginava que
futuramente seus estudos seriam importantes na dinmica terrestre e mecnica ce-
leste, e que eles possibilitariam a viagem de ida e volta lua.
No pensamento de Boyer (2010), os estudos de Apolnio eram to seme-
lhantes aos atuais que muitas vezes ele antecipa a Geometria Analtica de Descar-
tes. Seus mtodos no so diferentes do uso de sistemas de coordenadas. Nos es-
tudos gregos as equaes so determinadas pelas curvas, mas as curvas no eram
determinadas por equaes. Para os gregos, as equaes no eram suficientes,
eram necessrias construes.
Para Bordallo (2011), Fermat e Descartes, no sculo XVII criam separada-
mente a Geometria analtica, que mais utilizada atualmente. Com a chegada da
Geometria analtica surge uma nova opo, na qual alguns optaram por ela, outros
no, e ainda alguns utilizaram as duas concepes em conjunto. O estudo sinttico
das cnicas, sem a utilizao da Geometria analtica contribuiu para a Geometria
projetiva. A contribuio de Fermat s cnicas encontrada principalmente no
seu tratado Ad locos Planos et Solidos Isagoge, onde Fermat utilizou mudanas
de coordenadas para descobrir que tipo de lugar correspondia a uma equao de
primeira ou segunda ordem. Ele tambm mostrou que equao do segundo grau
corresponde a uma cnica, um par de retas ou uma reta contada duas vezes.
Segundo Quaranta (2008), Descartes inicia uma nova forma de classifica-
o das curvas por meio de equaes. Conhecendo as propriedades geomtricas
de uma curva, ele representava todos os pontos da mesma por meio de equaes.
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20
A caracterizao bifocal, que permite as construes das cnicas, comea a ganhar
fora a partir do sculo XVI, com Kepler, Descartes e Van Schooten, que utilizam
construes mecnicas dessas curvas. Tambm por meio de retas, da geometria
projetiva e por meio de equaes analticas surgem outras caracterizaes. Para o
ensino das cnicas os mtodos mais utilizados so a caracterizao analtica e o
uso dos focos, alm da usual obtida por meio do cone.
De acordo com Venturi (1949), o marco zero da geometria analtica o
tratado de Fermat. Foi Fermat quem descobriu as equaes da reta, da circun-
ferncia e as equaes mais simples da elipse, da parbola e da hiprbole. Para
simplificar as equaes do 2o grau ele utilizava a rotao dos eixos. Ele tambm
descobriu que se a equao envolve trs incgnitas, ela no pode ser de um ponto
ou uma curva, mas sim de uma superfcie.
Segundo Bordallo (2011), Philippe de La Hire, no sculo XVII, tornou
a fragmentar as cnicas, dando o primeiro passo na direo ao tratamento pura-
mente focal que presente no ensino das cnicas atualmente, em seu livro Nou-
velle mthode en gometrie pour lessection setles superfcies coniques de 1673.
Ele comea o seu trabalho tratando cada curva separadamente, introduzindo as
propriedades caractersticas e sua definio focal. Dandelin, no sculo XIX, ten-
tou unificar as cnicas novamente, mostrando que as sees do cone que geram
cada cnica coincidem com a definio focal.
O estudo das curvas feito pelos gregos fica em posio desfavorvel em
relao flexibilidade e extenso do tratamento moderno. Os antigos no tinham
noo da utilizao dessas curvas no mundo que os cercava. Os inventores mo-
dernos da geometria analtica tinham sua disposio a lgebra da Renascena,
enquanto que Apolnio manejava a lgebra geomtrica trabalhando com o instru-
mento mais rigoroso e menos manejvel (BOYER, 2010).
As cnicas estudadas desde a antiguidade esto presentes, no mundo atual,
em vrios ramos do dia-a-dia. Apesar das vrias caracterizaes discutidas pelos
autores, mal sabiam seus inventores da importncia que elas teriam futuramente.
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21
3 PARBOLA, DEFINIES E ABORDAGEM USUAL
Neste captulo apresentaremos uma anlise de como as parbolas so abor-
dadas nos livros didticos de ensino mdio, na maioria dos casos de forma bem
resumida e apenas manipulando frmulas.
Carneiro(2007) diz que a parbola deve ser apresentada para os alunos do
Ensino Mdio primeiramente no primeiro ano no estudo das funes quadrticas
como abordadas no eixo temtico II: Funes Elementares e Modelagem, tema 5:
Funes, tpico 10: Funo quadrtica, habilidades 10.1 a 10.5: 10.1. Identificar
uma funo quadrtica a partir de sua representao algbrica ou grfica. 10.2. Re-
presentar graficamente funes quadrticas. 10.3. Identificar os intervalos em que
uma funo quadrtica positiva ou negativa. 10.4. Resolver situaes-problema
que envolvam as razes de uma funo quadrtica. 10.5 Resolver problemas de
mximos e mnimos que envolvam uma funo quadrtica.
Carneiro(2007) relata ainda que a parbola tambm deve ser trabalhada
com maior aprofundamento no terceiro ano do Ensino Mdio com o eixo tem-
tico IX: Geometria e Medidas, temas 22: Construes Geomtricas, Tpico 46:
Lugares geomtricos, habilidade: 46.2. Reconhecer a parbola como um lugar
geomtrico, e tambm no tema 23: Geometria Analtica, Tpico 48: Elipse, hipr-
bole e parbola, nas habilidades 48.3 e 48.4: 48.3. Equao cartesiana da parbola.
48.4. Relacionar as propriedades da parbola com instrumentos ticos e antenas.
Para Quaranta et al. (2007), o ensino das cnicas ficou restrito ao Ensino
Mdio, apesar de ter uma importncia histrica. Sendo abordado de forma anal-
tica e trabalhado somente com manipulao e memorizao de frmulas, levando
os alunos e at os professores a no quererem trabalhar com as cnicas. Assim,
no fcil transmitir esses conhecimentos e sua importncia.
Em uma pesquisa a vrios livros didticos verificou-se que alguns trazem
um pequeno resumo histrico e tratam as cnicas de forma analtica resumindo-se
a manipulao de frmulas.
Youssef(2005) diz que se pode obter a parbola seccionando uma superf-
cie cnica de revoluo por um plano paralelo geratriz, como mostra a Figura
1.
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22
Figura 1 Seco cnica (Parbola)
Em seu livro didtico,Smole et al. (2010) mostram que ao estudar a fun-
o quadrtica os alunos vero que seu grfico uma parbola, como mostra o
exemplo:
Figura 2 Grfico da parbola
Tambm o lanamento oblquo de uma bola, de um projtil ou de uma
pedra pode descrever uma parbola.
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23
Figura 3 Lanamento oblquo de uma bola
Considere o plano , a reta r e o ponto F / r como na Figura 4. Aoconjunto de todos os pontos de com mesma distncia em relao d e F, de-
nominamos parbola.
Figura 4 Parbola por meio da sua definio
dPd = dPF
dQd = dQF
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24
dV d = dV F
dRd = dRF
Segundo Youssef(2005), pode-se tambm definir parbola como um lugar
geomtrico dos pontos de que so equidistantes de um ponto F e de uma reta r
desse plano. Veja na Figura 6 a parbola e alguns de seus pontos:
Figura 5 Distncias da parbola
De acordo com a Figura 6 os elementos de uma parbola so:
a) F o foco da parbola;
b) A reta r a diretriz da parbola;
c) A reta e, perpendicular a r, passando pelo foco, o eixo da parbola, tambm
chamado de eixo de simetria;
d) A distncia p entre o foco e a diretriz o parmetro da parbola;
e) O ponto V o vrtice da parbola e est no ponto mdio entre o foco e o ponto
M, em que o eixo cruza a diretriz da parbola. Como V um ponto da parbola,
tem-se, pela definio:
V F =V M = p2
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25
ou, ainda,
FM = p
Chama-se excentricidade de uma parbola ao nmero real positivo que
definido como o quociente entre a distncia da diretriz ao ponto da parbola e a
distncia do ponto da parbola ao foco.
Como, na parbola estas distncias so sempre iguais tem-se que a excen-
tricidade sempre igual a 1.
Figura 6 Medida da diretriz ao vrtice e foco ao vrtice
Alguns poucos livros trazem o desenvolvimento da frmula da parbola,
e muitas vezes o professor no a repassa para os alunos. Nesse captulo as infor-
maes esto como na maioria dos livros didticos, sem demonstraes e maiores
explicaes. Essas informaes estaro no captulo 4 onde sero demonstradas as
frmulas.
A equao reduzida da parbola depende da posio em que ela se en-
contra em relao aos eixos do sistema cartesiano, assim pode-se estabelecer a
propriedade comum dos pontos P(x,y) que a ela pertencem.
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26
No que se segue apresentamos alguns casos especiais:
1) Para posies em que a diretriz r paralela ao eixo das abscissas, com vrtice
V (x0,y0) e parmetro p, tem-se duas equaes reduzidas:
i) Quando a parbola tm concavidade voltada para cima, tem-se:
(x x0)2 = 2p(y y0)
Figura 7 Parbola com concavidade para cima
ii) Quando a parbola tm concavidade voltada para baixo, tem-se:
(x x0)2 =2p(y y0)
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27
Figura 8 Parbola com concavidade para baixo
2) Para posies em que a diretriz r paralela ao eixo das ordenadas, com vrtice
V (x0,y0) e parmetro p, tem-se tambm duas equaes reduzidas:
i) Quando a parbola tem concavidade voltada para a direita, tem-se:
(y y0)2 = 2p(x x0)
Figura 9 Parbola com concavidade para a direita
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28
ii) Quando a parbola tem concavidade voltada para a esquerda, tem-se:
(y y0)2 =2p(x x0)
Figura 10 Parbola com concavidade para a esquerda
Existem alguns casos em que o vrtice V da parbola coincide com a ori-
gem O(0,0) dos eixos cartesianos, ou seja, x0 = 0 e y0 = 0. Neste caso, as equaes
reduzidas so:
x2 = 2py
Figura 11 Parbola com concavidade para cima
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29
x2 =2py
Figura 12 Parbola com concavidade para baixo
y2 = 2px
Figura 13 Parbola com concavidade para a direita
-
30
y2 =2px
Figura 14 Parbola com concavidade para a esquerda
Aps a apresentao do contedo, todos os livros didticos que analisamos
trazem uma lista de exerccios explorando as equaes e os elementos fundamen-
tais da parbola.
Alguns livros trazem atividades concretas e interessantes utilizando par-
bolas que poderiam ser usadas como motivao das aulas de matemtica.
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31
4 PROPOSTAS DE ABORDAGENS
Neste captulo apresenta-se uma proposta para o ensino das parbolas uti-
lizando materiais concretos e demonstrando as frmulas. Traz-se tambm, no fim
do captulo, uma parte sobre coordenadas polares que pode ser importante no es-
tudo das parbolas.
4.1 Parbola
De acordo com Carneiro(2007), a matemtica uma ferramenta funda-
mental na resoluo de problemas do cotidiano. Nela desenvolvem-se estruturas
abstratas fundamentadas em modelos concretos; raciocnios formais ajudam a con-
cluir sobre a possibilidade ou no da ocorrncia de certos padres e suas proprie-
dades no modelo original.
Para Felix et al. (2008, p.3), os educadores sempre devem se questionar:
Como e em que medida nossa prtica pedaggica est contribuindo para a forma-
o do indivduo?. s vezes deixa-se de perceber que uma pequena mudana de
abordagem pode ajudar a melhorar o aprendizado dos alunos. Os professores s
vezes expem os contedos de Matemtica de forma rgida, mostrando apenas axi-
omas, definies, postulados e proposies o que prejudica a absoro de alguns
conceitos.
Segundo Carneiro (2007), a matemtica possui uma forte ligao com as
outras disciplinas: o conhecimento matemtico no s para os matemticos, ele
tem abrangncia em outras reas de conhecimento. O pensamento matemtico no
deve ser aprendido apenas por aqueles que vo se dedicar a Matemtica, mas sim,
por todos os alunos.
Sugere-se que haja uma interdisciplinaridade com as aulas de artes para
construo de materiais concretos, para facilitar o entendimento e motivar os alu-
nos.
CARNEIRO (2007) diz que, seus tpicos so norteadores, um roteiro,
sendo que cada escola pode escolher o caminho a seguir para adequar s suas
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32
necessidades, fazendo uma distribuio do tempo adaptando-o ao seu projeto pe-
daggico.
Como motivao para o ensino da parbola, Mendes (2012) sugere a cons-
truo de uma mesa de bilhar montando uma das tabelas no formato do arco de
uma parbola e, no foco desse arco, coloca-se a caapa. Quando o jogador tacar a
bola na direo da parbola, em sentido paralelo s duas laterais retas, a bola cai
direto na caapa.
Proposta 1: Construo da mesa de bilhar parablica
Objetivos: Confeco de uma mesa de bilhar com um dos lados em
formato parablico para uma abordagem prtica da propriedade de reflexo.
Pblico alvo: Alunos do Ensino Mdio.
Materiais necessrios para o molde: Cartolina ou Kraft, dois percevejos,
pedao de barbante.
Materiais necessrios para a mesa: A mesa de bilhar com um dos
lados em formato parablico pode ser confeccionada com materiais distintos
escolha do grupo de alunos, como por exemplo, papelo, madeira, MDF, isopor,
e nos mais diferentes tamanhos, podendo uma bola de gude, por exemplo, fazer o
papel de bola de bilhar. Pano de algodo ou feltro para cobrir a mesa. Para a borda
da mesa pode-se usar o emborrachado conhecido por EVA ou madeirite.
Recomendaes metodolgicas: Pode ser indicado como trabalho em
grupo. Discusso com os alunos sobre como confeccionar a mesa. Caso a mesa
for feita de madeira, ou MDF recomenda-se que o professor j leve o molde cor-
tado e furado para no precisar levar materiais perigosos para os alunos.
Dificuldades previstas: Desenho e corte preciso da mesa.
Construo:
1) Molde da parbola
Para construir a mesa de sinuca deve-se construir a parbola como nos ensina
Barroso (2010). Primeiramente traa-se uma reta r e marca-se um ponto F (F / r).
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Em seguida, corta-se um pedao de barbante de comprimento AB, idntico a altura
do esquadro (Figura 16). Utilizando dois percevejos, se fixa uma das pontas do
barbante no ponto F e a outra no ponto A do esquadro (Figura 15). Apoiando
um lpis no esquadro e esticando o barbante, faz se o traado de uma metade da
parbola, puxando o esquadro para a direita (Figura 16). Para fazer a outra parte
da parbola, repetir os passos acima com o esquadro invertido (Figura 17).
Figura 15 Construo da parbola
Figura 16 Construo da parbola para o lado direito
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Figura 17 Construo da parbola para o lado esquerdo
Afirma Souza (2008) que para entender porque esta maneira de construir
a parbola funciona deve-se verificar que, considerando a ponta do lpis como o
ponto P, a distncia PB sempre ser igual a PF , vendo que:
AP+PF = AB,
em que AB o comprimento do barbante. Mas,
AP+PB = AB,
em que AB o cateto do tringulo ABC. Ento,
PF = PB
Logo, P pertence parbola.
Anton et al. (2000) trazem uma outra maneira de esboar a parbola, de
acordo com a Figura 18. Ela pode ser esboada a partir de sua equao padro,
seguindo quatro passos bsicos:
Passo 1: Verifique se o eixo de simetria est em cima do eixo x ou do eixo y. Se
a equao tiver um termo y2 o eixo de simetria est sobre o eixo x, se a equao
tiver um termo x2 o eixo de simetria est sobre o eixo y.
Passo 2: Encontre a abertura da parbola. Se o eixo de simetria estiver em cima
do eixo x, a parbola abre-se para a direita se os coeficientes de x forem positivos,
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35
para a esquerda. Se os coeficientes forem negativos, se o eixo de simetria estiver
sobre o eixo y, a parbola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos
e para baixo se forem negativos.
Passo 3: Agora encontre o valor de p e faa uma caixa medindo p unidades a
partir da origem sobre o eixo de simetria na direo da abertura da parbola e p
unidades, para cada lado do eixo de simetria.
Passo 4: Tendo a caixa como guia faa a parbola de modo que seu vrtice esteja
na origem e que algum ponto da parbola esteja nos cantos da caixa como mostra
a figura abaixo:
Figura 18 Esboo rudimentar da parbola
2) Construo da mesa de bilhar
Aproveita-se o desenho da parbola feito acima para a construo da mesa de
sinuca parablica. Com uma parbola desenhada num papel, de um tamanho ade-
quado, pega-se um pedao de MDF (ou isopor, papelo) e transfere-se o desenho
da parbola para ele. Corta-se o MDF (isopor, papelo) com a serra e fura-se o
focos com a furadeira (Figura 19). Cobre-se o MDF com um tecido de algodo
verde. Com madeirite (ou EVA), faz-se uma parede em volta da base da mesa. Para
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test-la coloca-se uma bola na mesa e com um taco joga-se a bola na direo da
parbola em trajetria paralela as duas laterais retas, ento a bola cair no buraco
(Figura 20).
Figura 19 Corte na madeira
Figura 20 Mesa de bilhar parablica
De acordo com os modelos matemticos, a bola seguir em sentido 100%
retilneo se e somente se o taco e a mesa estiverem em planos paralelos, ou seja,
se o taco ficar perfeitamente horizontal mesa. Se a bola seguir girando em sen-
tido horrio ou anti-horrio, viajar em trajetria quase retilnea se o taco estava
paralelo mesa no momento da tacada. O atrito provocado pelo giro da bola no
equador, no alterar sua trajetria (MENDES, 2012).
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37
Proposta 2: Construo dos refletores parablicos
Objetivos: Mostrar a propriedade refletora das parbolas.
Pblico alvo: Alunos do terceiro ano do ensino mdio.
Pr-requisitos: Trabalhar com escala.
Materiais necessrios: Rgua graduada, lpis, cola, tesoura, papel-carto,
disco de madeira (ou papelo) de aproximadamente 70 cm de dimetro e 1,5 cm
de espessura, placas de madeira (ou papelo) de 1,5 cm de espessura, serra de
madeira (ou tesoura), pregos, martelo e arame.
Recomendaes metodolgicas: Se for utilizar madeira lev-la j cor-
tada. Se for utilizar papelo pode ser utilizado cola e no pregos e martelo.
Dificuldades previstas: Alguns alunos podem no ter habilidade sufici-
ente para trabalhar com os materiais necessrios.
Construo:
1) Construo das hastes
Organize os alunos em grupos de no mximo 4 componentes. Faa um molde
em forma de parbola de acordo com as medidas da Figura 21. Retire 2 cm da
extremidade mais estreita do molde, isso ajuda para que as hastes no se sobrepo-
nham. Depois, coloque o molde em cima das placas de madeira e corte 8 hastes
iguais(Figura 22).
2) Montagem do refletor
Marque oito setores iguais no disco de madeira e no centro do disco faa uma cir-
cunferncia de 4 cm de dimetro (figura 23). Fixe as hastes sobre as marcas do
disco de madeira (figura 23), veja que as hastes so colocadas a partir da circunfe-
rncia do centro do disco. No centro do disco, fixe um pedao de arame medindo
70 cm. Ponha o papel carto em cima da estrutura montada e marque com um lpis
onde se deve recortar. Assim que recortar cole o papel carto sobre cada haste da
estrutura (figura 24). Mea no arame 53cm a partir do papel carto e dobre o que
sobrar formando uma argola. O arame ficar na vertical em relao ao disco de
madeira, o arame ser o foco da superfcie parablica (figura 25). Prenda a estru-
-
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tura em uma base de 1m de altura, logo estar pronto o refletor. Construa mais um
refletor seguindo novamente os passos acima.
Figura 21 Molde com medidas
Figura 22 Haste de madeira
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Figura 23 Disco de madeira com hastes fixas
Figura 24 Colagem do papel carto
Figura 25 Refletor pronto
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40
Coloque os refletores um de frente para o outro de modo que seus eixos
de simetria fiquem alinhados (figura 26) ou usando um ou dois obstculos para
refletir o som (figura 27). Para se comunicar usando os refletores as pessoas devem
ao falar colocar a boca bem perto do foco e, ao ouvir, o ouvido tambm deve estar
perto do foco.
Figura 26 Posio dos refletores
Figura 27 Posies dos refletores
Dante (2010) ressalta que considerando um cone circular reto pode-se
seccion-lo por um plano paralelo geratriz. Esta seco cnica conhecida como
parbola. Isto motiva nossa prxima atividade.
Proposta 3: Parbola obtida a partir do cone de papel
Objetivos: Desenvolver a viso espacial do aluno e ampliar o raciocnio
lgico dando mais significado ao contedo.
Pblico alvo: Alunos do ensino mdio.
-
41
Materiais necessrios: Planificao do cone, tesoura, cola e rgua.
Recomendaes metodolgicas: Devemos trabalhar em grupo, entre-
gando para cada uma planificao do cone, ressaltando as caractersticas da elipse,
hiprbole e parbola. Utilizando o cone, mostre as curvas por meio dos cortes fei-
tos no mesmo. Durante o trabalho faa algumas perguntas relacionando as cnicas
com contedos estudados anteriormente. Deixe tambm que os alunos dem suas
opinies, interferindo se necessrio e tirando as dvidas que forem surgindo.
Dificuldades previstas: Alguns alunos podem no ter muita habilidade
para montar o cone.
Construo:
Com a planificao em mos, os alunos devero montar o cone. Depois
devero achat-lo e fazer um risco com a rgua paralela a geratriz do cone e cortar
o cone no risco. Ao voltar o cone a sua forma normal eles vero a parbola no
corte como mostra a Figura 28.
Figura 28 Corte no cone
Ressalta Carneiro(2007) que as propostas curriculares matemticas con-
tidas no CBC (Currculo Bsico Comum) sugerem que as atividades melhorem a
criatividade dos alunos tanto do ensino fundamental como mdio, e tambm que o
professor use o espao em sala de aula para os alunos sanarem suas dvidas e faze-
rem observaes e relatos escritos ou orais sobre as matrias. Em todos os nveis
de ensino o professor deve levar os alunos a justificar os processos e concluso
dos problemas, mesmo que no tenha instrumentos formais para isso. No ensino
-
42
fundamental as justificativas so muitas vezes intuitivas, j no Ensino Mdio, deve
se focar mais nas justificativas formais, levando o aluno a uma linguagem mais
rigorosa, no esquecendo as metodologias aplicadas no ensino fundamental.
Segundo Quaranta et al.(2007), para se aprender matemtica, especial-
mente geometria o aluno deve passar por todas as etapas de explorao concreta,
experimentao, resoluo de problemas, elaborao de conjecturas, justificativas
informais e provas. Cita tambm que de acordo com Guimares, Belfort e Belle-
main(2002), estas etapas no somuito bem assimiladas pelos alunos, embora seja
super natural vista por quem j as superou.
Alm da planificao do cone pode-se trabalhar tambm com cones de
massinha de modelar e cort-los em ngulos diferentes de modo que o aluno visu-
alize as trs cnicas.
Proposta 4: Parbola obtida a partir do cone feito com massa de modelar
Objetivos: Desenvolver a viso espacial do aluno e ampliar o raciocnio
lgico dando mais significado ao contedo.
Pblico alvo: Alunos do ensino fundamental.
Materiais necessrios: Massinha de modelar e lmina.
Recomendaes metodolgicas: O professor deve cortar o cone para evi-
tar ferimentos nos alunos. Faa perguntas relacionadas ao contedo e deixe que os
alunos dem suas opinies.
Dificuldades previstas: Alguns alunos podem no ter habilidade para
moldar o cone.
Construo:
O professor deve pegar o cone e cort-lo de modo que o corte seja paralelo
a geratriz do cone. No corte aparecer a parbola (figura 29).
Pode-se, no Ensino Fundamental, ao apresentar as planificaes das figu-
ras espaciais, levar o aluno a fazer cortes no cone para que desde ento conhea a
parbola. Isso levar o aluno a comear a ter uma viso sobre a parbola.
-
43
Figura 29 Corte no cone de massinha de modelar
Souza (2008) apresenta outra forma de construir a parbola utilizando r-
gua e compasso.
Proposta 5: Construo da parbola usando rgua e compasso.
Objetivo: Fazer um esboo da parbola.
Pblico alvo: Alunos do ensino mdio.
Pr-requisitos: Conceito de reta perpendicular.
Materiais necessrios: Folha de papel, rgua, compasso e lpis.
Recomendaes metodolgicas: Trabalhar em grupos.
Dificuldades previstas: Alguns alunos no tero habilidade suficiente
para trabalhar com compasso e rgua.
Construo:
Considerem a Figura 30, se F o foco e d a diretriz, logo P um ponto
da parbola de foco F e diretriz d, e PF = PG.
Para termos vrios pontos de uma parbola, usaremos rgua e compasso.
Marque o foco F e trace a diretriz d. Agora trace por F uma reta r perpendicular
a d, o ponto de interseo das retas d e r o ponto D. O parmetro o segmento
DF , marque o ponto mdio de DF este ponto ser o ponto V , vrtice da parbola.
Em cada ponto A da semirreta V F , trace uma reta s, perpendicular a r, faa com
compasso uma circunferncia de centro F e raio AD, esta circunferncia corta a
reta s nos pontos P e P, estes pontos pertencem parbola, pois, por construo:
-
44
Figura 30 Caracterstica da parbola
PF = PF = AD.
Figura 31 Construo da parbola
Percorrendo todos os pontos A da reta pode-se traar a parbola (Figuras
32 e 33).
Ribeiro (2010) diz que existe uma equao especifica para a parbola de-
pendendo da localizao relativa entre a diretriz e os eixos x e y e a posio do
-
45
Figura 32 Construo da parbola
Figura 33 Esboo da Parbola
foco em relao diretriz.
-
46
4.2 Deduo da frmula da parbola
muito importante para a aprendizagem dos alunos a demonstrao da
frmula da parbola e no somente apresent-la de forma pronta. Lehmann(1966)
traz a seguinte definio para lugar geomtrico:
Definio 1: O conjunto dos pontos, cujas coordenadas satisfaam uma
equao do tipo f (x,y) = 0, se chama grfico da equao ou lugar geomtrico.
Qualquer ponto cujas coordenadas satisfaam a equao f (x,y) = 0 per-
tence ao grfico da equao.
Lehmann (1966) ressalta ainda que o importante que se as coordena-
das de um ponto satisfazem uma equao, esse ponto pertence ao grfico dessa
equao e reciprocamente, se um ponto est sobre o grfico de uma equao suas
coordenadas satisfazem a equao. Isto , evidentemente, o enunciado de uma
condio necessria e suficiente. Como as coordenadas dos pontos de um lugar
geomtrico esto restringidas por sua equao tais pontos esto localizados, em
geral, em posio tais que, tomadas em conjunto, formem um trao definido cha-
mado curva, grfico ou lugar geomtrico.
De acordo com CBC (CARNEIRO,2007), demonstrar fatos geomtricos
um instrumento formativo muito importante no Ensino Mdio. Portanto, a habi-
lidade de argumentar usando a linguagem matemtica na demonstrao dos fatos
s se adquire praticando com bastante pacincia e que pode ser conquistada por
todos os alunos.
Lehmann(1966) afirma que a equao da parbola deduzida a partir de
sua definio como o lugar geomtrico de um ponto que se move de acordo com
uma lei especfica.
Pela definio,parbola o lugar geomtrico dos pontos que equidistam
de um ponto fixo chamado de foco, e de uma reta tambm fixa chamada diretriz
(ponto no pertencente reta).
Pode-se representar uma parbola pelas coordenadas do vrtice V (x0,y0),
as coordenadas do foco F(x0 +p2 ,y0), a reta focal l : y y0 = 0 ou seja l : y = y0 e
-
47
a diretriz paralela ao eixo y e o foco e, direita de r, ento, a reta r paralela ao
eixo y, a equao de r dada por r : x = x0 p2 .Considere-se um ponto P(x,y) qualquer pertencente parbola. Logo seu
esboo ser:
Figura 34 Esboo da parbola com concavidade para a direita
Ento,tem-se
d(P,r) = d(P,F)
.
Como
d(P,r) =
x x0 +
p
2
-
48
e
d(P,F) =
[
x (x0 +p
2)]2
+(y y0)2,
tem-se
(x x0)+
p
2
2=
(
[
x (x0 +p
2)]2
+(y y0)2)2
(x xo)2 + p(x xo)+p2
4= (x xo)2 p(x xo)+
p2
4+(y yo)2
Logo a equao da parbola ser:
(y yo)2 = 2p(x x0)
possvel obter as outras trs equaes da parbola de forma anloga. So
elas:
(a) diretriz paralela ao eixo y e foco esquerda da diretriz.
Os elementos sero:
Vrtice: V = (x0,y0),
Foco: F = (x0 p2 ,y0),Reta focal: l : y = y0,
Diretriz: r : x = x0 +p2
Logo, a equao ser: (y y0)2 =2p(x x0)
-
49
Figura 35 Esboo da parbola com concavidade para a esquerda
(b) diretriz paralela ao eixo x e foco acima da diretriz.
Os elementos sero:
Vrtice: V = (x0,y0),
Foco: F = (x0,y0 +p2 ),
Reta focal: l : x = x0,
Diretriz: r : y = y0 p2Logo, a equao ser: (x x0)2 = 2p(y y0)
-
50
Figura 36 Esboo da parbola com concavidade para a cima
(c) diretriz paralela ao eixo x e foco abaixo da diretriz.
Vrtice: V = (x0,y0),
Foco: F = (x0,y0),
Reta focal: l : x = x0 p2 ,Diretriz: r : y = y0 +
p2
Logo, a equao ser: (x x0)2 =2p(y y0)
Figura 37 Esboo da parbola com concavidade para a baixo
-
51
Com relao s sees cnicas tem-se:
Teorema: (Propriedade foco-diretriz das C-nicas) Suponha que um ponto P move-se noplano determinado por um ponto fixo (cha-mado de foco) e uma reta fixada (chamada dediretriz), sendo que o foco no est situado nadiretriz. Se um ponto move-se de tal maneiraque a distncia ao foco, dividida pela distn-cia diretriz uma constante e (chamada deExcentricidade), ento a curva descrita peloponto uma seo cnica. Alm disso, a c-nica uma parbola se e = 1, uma elipse se0 < e < 1 e uma hiprbole se e > 1 (ANTONet al., 2000, p. 165).
Kindle(1976) diz que as sees cnicas so divididas em trs classes, de
acordo com sua excentricidade e as cnicas mudam seu formato e suas proprieda-
des, quando e < 1, uma elipse, quando e = 1 uma parbola e se e > 1 uma
hiprbole.
importante ressaltar para os alunos que a excentricidade da parbola
sempre igual a um, pois a distncia da reta diretriz ao ponto da parbola e a
distncia do ponto da parbola ao foco sempre igual, logo o quociente 1.
Deve-se tambm mostrar aos alunos que nem sempre as parbolas esto
na forma padro (paralelas aos eixos x ou y). Como os alunos do Ensino Mdio
no tm pr-requisitos para trabalhar com a rotao dos eixos, podendo trabalhar
com equaes de retas, distncia entre pontos, distncia entre reta e ponto e outros
conceitos j vistos anteriormente. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 1: Determine a equao da parbola P que tem vrtice V = (6,3) ediretriz l : 3x5y+1 = 0 e faa um esboo.
Primeiramente calcula-se a distncia do vrtice V a reta diretriz l.
d(V,l) =
3.65.(3)+1
32 +(5)2
=
18+15+19+25
=
3434
Logo,
-
52
d(V,l) =
34
Agora, encontra-se a equao da reta r perpendicular a diretriz que passa
pelo vrtice. Esta equao tem a forma y = mx+n.
Sabe-se que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendi-
culares 1. Ento, a equao da diretriz y =35
x+15
. Assim, tem-se35.m =1,
logo, m =35
. Como a reta r passa pelo vrtice, tem-se 3 =53.6+n, ou seja,
3 =10+n. Assim, n = 7 e portanto a equao da reta r r : y =53
x+7.
Como o foco pertence a essa reta, tem-se que as coordenadas do foco so
F(x,x+7).
Pela definio da parbola tem-se que
d(V,F) = d(V,l)
(x6)2 +(
53
x+7 (3))2
=
34
Elevando ao quadrado, tem-se:
(x6)2 +(
53
x+7 (3))2
= 34
donde obtm-se:
x2 12x+27 = 0
Resolvendo esta equao, obtm-se: x1 = 9 e x2 = 3
-
53
O foco no pode ter abscissa x = 3, pois esta abscissa que pertence a r se
encontra na diretriz. Logo o foco tem abscissa x = 9. Ento, o foco F = (9,8).Considerando P(x,y) um ponto qualquer da parbola, tem-se:
d(P,l) = d(P,F)
3.x5.y+134
=
(9 x)2 +(8 y)2
Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade obtm-se:
(3x5y+1)234
= (9 x)2 +(8 y)2
=9x2 15xy+3x+25y2 15xy5y+1+3x5y
34
= 8118x+ x2 +64+16y+ y2
Resolvendo, obtm-se:
25x2 30xy9y2 +618x554y4929 = 0
Logo, a equao da parbola ser:
25x2 +30xy+9y2 618x+554y+4929 = 0,
cujo esboo apresentado na Figura 38.
-
54
Figura 38 Esboo da parbola
A partir das construes e definies mostradas anteriormente, deve-se
aplicar questes atraentes para que os nossos alunos aprendam e adsorvam as
ideias, assim montamos um Banco de Questes (ANEXO A).
4.3 Aplicaes da parbola
Deve-se sempre mostrar para os alunos as possveis aplicaes da par-
bola.
Segundo Wagner (1997), as antenas que captam sinais do espao e os espe-
lhos dos telescpicos astronmicos devem ser parablicos para capturar os sinais
recebidos que so muito fracos como as ondas de rdio ou luz por exemplo. A rea
decaptura deve ser grande e concentr-los num nico foco para que sejam amplia-
dos. Ento, a superfcie receptora (antena ou espelho) deve receber todos os sinais
e direcion-los para um nico ponto aps a reflexo.
-
55
Na fsica, quando uma luz refletida de umponto P sobre uma superfcie, o ngulo entre oraio incidente e a reta tangente em P igual aongulo entre o raio de partida e a reta tangenteem P. Por consequncia, se uma superfcierefletora tem sees transversais parablicascom um foco e eixo em comum, ento se tema partir do teorema 3.4.4 que todo raio de luzentrando em paralelo ao eixo ser refletidopelo foco (Figura 3.4.31 a); inversamente seuma fonte de luz estiver localizada no foco,ento os raios refletidos sero paralelos aoeixo (Figura 3.4.31 b). Este princpio usadoem certos telescpios para refletir os raios deluz aproximadamente paralelos, de estrelas eplanetas de um espelho parablico para umalente no foco; e os refletores parablicos deuma lanterna e os faris de um carro utilizameste principio para formar um feixe paralelode raios de luz a partir de uma lmpadalocalizada no foco. O mesmo principio ptico aplicado aos sinais de radares e ondassonoras, o qual explica a forma de muitasantenas(ANTON, 2000, p. 165).
Figura 3.4.31Fonte: (ANTON, 2000, p. 160).
-
56
Teorema 3.4.4 (propriedade de reflexo daparbola) A reta tangente em um ponto Psobre a parbola faz ngulos iguais com a retaque passa por P paralela ao eixo de simetria ecom a reta que passa por P e o foco. (ANTON,2000, p. 165).
Figura 3.4.30(a)Fonte: (ANTON, 2000, p. 160).
Para Ribeiro (2010),a utilizao domstica da energia solar est aumen-
tando porque renovvel e no agride o meio ambiente. Clulas fotovoltaicas e os
fornos solares so exemplos de sua utilizao. Nelas existem cerca de 10000 espe-
lhos de forma parablica, convergindo, assim, os raios do Sol para o chamado foco
do espelho. Essa formao tem capacidade para atingir temperaturas superiores a
3000oC.
Figura 39 Incidncia dos raios solares sobre os receptores parablicos
-
57
Figura 40 Captadores de energia solar
A parbola muito estudada no tema funes, pois ela a representao
de uma funo quadrtica.
Figura 41 Representao da funo quadrtica
-
58
Pode-se perceber as parbolas em vrios lugares do cotidiano:
1) Nos bebedouros pblicos, a gua que jorra descreve uma curva parab-
lica.
Figura 42 Curva parablica na gua que jorra
2) Qualquer objeto lanado de forma oblqua em uma regio com algum
campo gravitacional, como por exemplo, a nossa superfcie terrestre.
Figura 43 Objeto lanado de forma oblqua
-
59
3) Aplicaes na engenharia de telecomunicaes nas antenas parablicas;
Figura 44 Antenas parablicas
4) Engenharia automobilstica no formato dos faris dos carros;
Figura 45 Faris de carro
-
60
5) Engenharia arquitetnica muito utilizada por alguns arquitetos e enge-
nheiros, como Oscar Niemeyer, no projeto da "Igrejinha"da Pampulha (figura 50).
Figura 46 Igreja de So Francisco (Belo Horizonte - Minas Gerais - Brasil)
4.4 Coordenadas polares
Em geral, os alunos do Ensino Mdio utilizam somente o sistema de coor-
denadas cartesianas. Deve-se introduzir outros sistemas de coordenadas no Ensino
Mdio, entre eles o sistema de coordenadas polares. Para alguns, pode parecer
desnecessrio considerar outro sistema diferente do sistema cartesiano. Mas em
muitos casos o uso dessas coordenadas representa muitas vantagens sobre as coor-
denadas cartesianas.
Segundo Kindle (1976), para determinar a posio de um ponto P ao invs
de usar como referncia dois eixos ortogonais, s vezes mais fcil localiz-lo em
funo da distncia dele a um ponto fixo O e do ngulo que a direo OP forma
com uma reta fixa que passa por O as coordenadas desse sistema denominam-se
coordenadas polares.
Para Lehmann (1966), trace o segmento OP e designe sua longitude por
r (Figura 47). Considerando um segmento AO, onde A um ponto qualquer do
plano, chamemos ao ngulo AOP. Evidentemente a posio do ponto P com
relao ao eixo polar e ao plo determinada quando se conhecem r e . Em
particular r se chama vetor raio e ngulo polar, ngulo vetorial ou argumento de
P. As coordenadas polares de P se escrevem (r,).
-
61
Figura 47 Coordenadas polares
Chama-se r de coordenada radial de P e de coordenada angular (ou n-
gulo polar) de P (ANTON et al., 2000).
De acordo com Jnior (1973) chamaremos de o menor ngulo positivo
medido no sentido anti-horrio em graus ou em radianos de AO para OB, e de r a
distncia orientada positivamente, OP. Mas s vezes preciso que r e tenham
valores positivos ou negativos. Se negativo e r positivo, traamos o ngulo =
AB, medidos a partir de OA, no sentido horrio e marcamos P sobre OB de modo
que OP = r. Se r negativo construmos = AB, prolongando OB at o plo B e
marcamos P sobre OB a uma distncia r de O. Um par de coordenadas polaresdetermina somente um ponto, mas um ponto pode ser determinado de vrias ma-
neiras. Outra forma de representar (r,+2n) onde est dado em radianos e n
um nmero inteiro ou (r,+n) onde n um nmero inteiro mpar qualquer.
Figura 48 Pontos em coordenadas polares
-
62
Lehmann (1966) traz um exemplo de pontos em coordenadas polares est
representado na figura 52, onde esto traados os pontos P1(4, 6 ), P2(6,2), P3(7,75o)e P4(5, 74 ).O ngulo polar 2 (em P2) significa 2 radianos que equivale a 114
o35,5
(aproximadamente).
Figura 49 Alguns pontos marcados em coordenadas polares
Fonte: (LEHMANN, 1966).
O plo tem infinitas representaes no sistema polar (0,), pois so todos
os valores de tais que r = f () = 0, que do as direes das tangentes no plo.
Considerando o plo como a origem do sistema cartesiano, e o eixo polar
como a parte positiva do eixo x tem-se as seguintes relaes:
-
63
Figura 50 Coordenadas polares
cos =x
r x = rcos (1)
sen =y
r y = rsen (2)
Pelo Teorema de Pitgoras tem-se que:
r2 = x2 + y2
E da provm que r =
x2 + y2 ento:
sen = yx2 + y2
e
cos = xx2 + y2
Dividindo (2) por (1) tem-se que:
-
64
y
x=
rsen
rcos
tg =y
x
= arctg(y
x
)
Para traar o grfico de curvas em coordenadas polares deve-se, de acordo
com Lehmann (1966), seguir os seguintes passos:
a) Determinao das interseces com o eixo polar e com o eixo de 90o;
b) Determinao da simetria da curva com respeito ao eixo polar, ao eixo
a 90o e ao plo;
c) Determinao da extenso do lugar geomtrico;
d) Clculo das coordenadas de um nmero suficiente de pontos para obter
um grfico adequado, e
e) Traar o grfico.
Para determinar as interseces com o eixo polar basta fazer = 0o e para
fazer a interseco com o eixo de 90o, basta fazer = 90o.
Para fazer a simetria explica Kindle (1976) nos casos em que a substitui-
o de por - no altera a equao, curva simtrica em relao ao eixo polar.
Quando substitumos por , e a equao continua a mesma, a curva sim-trica em relao reta = . E a curva simtrica em relao ao plo quando
substitumos r por r ou por + e a equao no se modifica.Sobre a determinao da extenso do lugar geomtrico Ayres Jnior (1973)
diz que a equao polar r = f () representa curva fechada quando r um nmero
real e finito para qualquer , mas quando existem valores para os quais uma das
variveis torna a outra infinita a curva no fechada.
Segundo Anton et al. (2000), deve-se escolher valores conhecidos para ,
calcular os valores correspondentes de r, ento, marcar os pontos (r,) no sistema
-
65
de coordenadas polares e ento traar o grfico.
4.4.1 Cnicas em coordenadas cartesianas.
(1) A elipse
A elipse o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja soma de suas
distncias a dois pontos fixos F1 e F2 constante o maior que a distncia entre eles.
PF1 +PF2 = 2a
Figura 51 Elipse em coordenada cartesiana
Os elementos de uma elipse so:
Focos: so os pontos F1 e F2.
Distncia focal: a distncia entre os focos (2c = F1F2).
Eixo maior: o segmento A1A2 = 2a, que passa pelos focos (2a > 2c).
Centro: o ponto O, ponto mdio de A1A2.
Eixo menor: o segmento B1B2 = 2b, perpendicular a A1A2 passando por O.
-
66
Excentricidade (e): a razo e =c
a, sendo 0 < e < 1.
Se a excentricidade e for prxima de 1, o formato da elipse ser mais achatado, se
e for prximo de 0, o seu formato ser prximo ao de uma circunferncia.
Em uma elipse: a2 = b2 + c2.
As equaes de uma elipse so dadas por:
i) Focos no eixo das abscissas e centro (0,0)
x2
a2+
y2
b2= 1
ii) Focos no eixo das ordenadas e centro (0,0)
x2
b2+
y2
a2= 1
(2) A parbola
A parbola o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja distncia a
uma reta r dada igual distncia a um ponto fixo F no pertencente a r.
PF = PH
Os elementos de uma parbola so:
Focos: o ponto F .
Diretriz: a reta r.
Eixo de simetria: reta perpendicular a r, que passa por F .
Vrtice: a interseco da parbola com o eixo de simetria.
Parmetro da parbola: a distncia de p entre o foco e a diretriz.
As equaes de uma parbola so dadas por:
-
67
Figura 52 Parbola em coordenada cartesiana
i) Eixo de simetria sobre o eixo x (F(c,0))
y2 = 4cx ou y2 = 2px
ii) Eixo de simetria sobre o eixo x (F(c,0))
y2 =4cx ou y2 =2px
iii) Eixo de simetria sobre o eixo y (F(0,c))
x2 = 4cy ou x2 = 2py
iv) Eixo de simetria sobre o eixo y (F(0,c))
x2 =4cy ou x2 =2py
(3) A hiprbole
A hiprbole o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja diferena,
em mdulo, de suas distncias aos focos F1 e F2 constante e menor que a distncia
entre eles.
|PF1 PF2|= 2a
Os elementos de uma hiprbole so:
-
68
Figura 53 Hiprbole em coordenada cartesiana
Focos: so os pontos F1 e F2.
Distncia focal: a distncia entre os focos (2c = F1F2).
Vrtices: So os pontos A1 e A2, interseces de F1F2 com a hiprbole.
Eixo real: o segmento A1A2 = 2a.
Centro: o ponto O, ponto mdio de A1A2.
Eixo imaginrio: o segmento B1B2 = 2b.
Excentricidade (e): a razo e =c
a, sendo e > 1.
Se e est prximo de 1, os ramos da hiprbole sero mais fechado. Se e for um
nmero tendendo ao infinito, os ramos da hiprbole sero mais abertos.
Em uma hiprbole: c2 = a2 +b2.
As equaes de uma hiprbole so dadas por:
i) Focos no eixo das abscissas
x2
a2 y
2
b2= 1
ii) Focos no eixo das ordenadas
x2
b2 y
2
a2= 1
-
69
As assntotas de uma hiprbole so as retas y = ba
x, das quais a hiprbole fica
cada vez mais prxima, sem toc-las.
4.4.2 Cnicas em coordenadas polares.
Anton et al. (2000) deduz as equaes polares para as cnicas. Suponha-
mos que a diretriz esteja a direita do foco (Figura 54).
Sabendo quePF
PD= e, temos que
PF = ePD,
e como PF = r e PD = d rcos, segue que
r
d rcos = e
.
Assim,
d
r rcos
r=
1e
d
r=
1e+ cos
ed = r+ ercos
ed = r(1+ ecos)
r =ed
1+ ecos
.
-
70
Figura 54 Equao polar das cnicas
Assim, para os demais casos temos o seguinte resultado:
Teorema: Se uma seo cnica com excentricidade e est posicionada em um
sistema de coordenadas polares, de modo que seu foco est no plo e a diretriz
correspondente est a d unidades do plo, ento a equao da cnica tem uma das
quatro formas possveis, dependendo da sua orientao:
r =ed
1+ ecos(diretriz direita do polo)
r =ed
1 ecos (diretriz esquerda do polo)
r =ed
1+ esen(diretriz acima do polo)
r =ed
1 esen (diretriz abaixo do polo)
-
71
Ainda para Anton et al. (2000) na elipse precisa-se determinar a distncia
do foco aos vrtices. Sendo r0 a distncia do foco at o vrtice mais prximo e r1a distncia at o vrtice mais afastado, temos que: r0 = ac, r1 = a+c, somandoas duas temos: a = 12(r1 + r0) e subtraindo temos: c =
12(r1 r0). Agora multipli-
cando r0.r1 = a2 c2 = b2, logo b =
r0r1. Da mesma maneira que na elipse, na
hiprbole tem-se que: r0 = ca, r1 = a+c, somando as duas temos: a= 12(r1r0)e subtraindo tem-se: c= 12(r1+r0). Agora multiplicando r0.r1 = c
2a2 = b2, logob =
r0r1.
Figura 55 Elipse
Figura 56 Hiprbole
-
72
Exemplo:
a) Esboce o grfico de r =2
1 cos em coordenadas polares. (ANTON,2000, p. 167).
Soluo: A equao do tipo r =ed
1 ecos , ento d = 2 e e = 1. Assim,o grfico uma parbola com o foco no plo e a diretriz 2 unidades a esquerda do
plo. Ento, a parbola abre-se a direita ao longo do eixo polar e p = 1. Ento o
esboo :
Figura 57 Esboo rudimentar da parbola
-
73
5 TRANSFORMAES DE COORDENADAS
Este captulo apresenta um estudo voltado para a graduao, onde aborda-
mos as rotaes e translaes de eixos coordenados. No fim do captulo mostramos
a rotao de eixos utilizando a lgebra linear.
Quando se trabalha com cnicas, muitas vezes a escolha certa dos eixos
conduz a uma forma mais simples da equao. possvel simplificar essa equao
de duas maneiras, pela translao de eixos e/ou pela rotao de eixos.
Para Lehmann (1966) uma transformao uma operao pela qual uma
relao, expresso ou figura se transforma em outra seguindo uma lei dada. Ana-
liticamente, a lei se expressa por uma ou mais equaes chamadas equaes de
transformaes.
5.1 Translao de eixos coordenados
De acordo com Kindle (1976) sendo OX e OY os eixos originais e OX
e OY os eixos transladados, respectivamente paralelos aos primeiros. Conside-
rando (h,k) a nova origem do novo sistema e seja P um ponto qualquer do plano,
com (x,y) as coordenadas dos eixos originais e (x,y) as coordenadas nos novos
eixos.
Figura 58 Translao de eixos
-
74
Determinando-se x e y em funo de x, y, h e k, temos:
x = MP = MM+MP = h+ x
e,
y = NP = NN+NP = k+ y
Logo, as frmulas para transformao so: x = x+ h e y = y+ k, isto ,
x = xh e y = y k.
5.2 Rotao dos eixos coordenados
A rotao dos eixos coordenados consiste em manter a origem fixa e girar
os eixos em um determinado ngulo.
Lehmann (1966) traz o seguinte resultado,
Teorema 1: Se os eixos coordenados giram um ngulo em torno de sua origem
como centro de rotao, e as coordenadas de um ponto qualquer P antes e depois da
rotao so (x,y) e (x,y) respectivamente, as equaes de transformao do sis-
tema original ao novo sistema de coordenadas esto dadas por: x= xcosysen,y = xsen+ ycos.
Demonstrao: Sejam X e Y os eixos originais e X e Y os novos eixos. A partir
do ponto P traa-se a ordenada AP correspondente ao sistema X ,Y , a ordenada AP
correspondente ao sistema X ,Y , e a reta OP. Seja o ngulo POA = = r. Por
trigonometria tem-se:
-
75
Figura 59 Rotao de eixos
x = OA = rcos(+) (1)
y = AP = rsen(+) (2)
x = OA = rcos,y = AP = rsen (3)
De (1) tem-se:
x = OA = rcos(+) = rcoscos rsensen
.
Se nesta ltima equao substituir-se os valores dados por (3), obtemos a
primeira equao de transformao
x = xcos ysen
Analogamente, de (2)
-
76
y = rsen(+) = rsencos+ rcossen
De (3), tem-se a segunda equao de transformao:
y = xsen+ ycos
Para as aplicaes ser necessrio girar os eixos coordenados somente por
um ngulo suficientemente grande para fazer coincidir um dos eixos coordenados
com uma reta dada fixa qualquer, ou para fazer que seja paralelo a ela em um plano
coordenado. Assim podemos restringir, em geral, os valores do ngulo de rotao
ao intervalo dado por 0o 2
(LEHMANN, 1966).
J Ayres Jnior (1973) apresenta outra maneira de encontrar as equaes
de rotao, mantendo a origem fixa, e os eixos coordenados girando em sentido
anti-horrio um ngulo , e se um ponto P tem coordenadas (x,y) no sistema OXY
e (x,y) no novo sistema tem-se:
Figura 60 Eixos com rotao
-
77
x = OM = ON MN = ON RQ
= OQcosQPsen
= xcos ysen
y = MP = MR+RP = NQ+RP
= OQsen+QPcos
= xsen ycos
De acordo com Camargo et al.(2005) sendo P(x,y) um ponto do plano
. Quando rotaciona-se radianos no sentido anti-horrio, obtm-se um ponto
P(u,v) tal que{
x = ucos vseny = usen+ vcos
,
onde P = P. Resolvendo esse sistema temos{
u = xcos+ ysen
v =xsen+ ycos,
que so as expresses das novas coordenadas em relao s antigas. Pode-se es-
crever matricialmente por[
x
y
]
= M.
[
u
v
]
ou
[
u
v
]
= M1.
[
x
y
]
,
onde M a matriz mudana de base M =
[
cos sensen cos
]
que ortogonal, ou
-
78
seja, M1 = Mt .
Exemplo: (LEHMANN, 1966, p. 141-142) Por uma rotao dos eixos
coordenados, transformar a equao 9x2 24xy+ 16y2 40x 30y = 0 em outrade modo que desaparea o termo xy. Traar seu lugar geomtrico em ambos os
sistemas de eixos coordenados.
Soluo: Se na equao substituirmos os valores de x e y dados pelas equa-
es de transformaes do Teorema 1, obtem-se
9(xcosysen)224(xcosysen)(xsen+ycos)+16(xsen+ycos)240(xcos ysen)30(xsen+ ycos) = 0
Na qual, depois de desenvolv-la e colocar os termos comuns em evidn-
cia tem-se:
(9cos2 24cossen + 16sen2)x2 + (14sencos + 24sen2 24cos2)xy +(9sen2+24sencos+16cos2)y2(40cos+30sen)x+(40sen30cos)y=0 (3)
Como na equao transformada devem desaparecer os termos xy, iguala-
se o coeficiente de xy em (3) a zero e obtm-se:
14sencos+24sen224cos2 = 0
Agora, como sen(2) = 2sencos e cos(2) = cos2 sen2 pode-se es-crever
7sen(2)24cos(2) = 0,
de onde tem-se:
tg(2) =247
-
79
.
Pelo Teorema 1, o ngulo est no primeiro quadrante, de maneira que 2
estar no primeiro ou no segundo quadrante, em que o cosseno e a tangente tem o
mesmo sinal. De maneira semelhante, sen e cos sero positivos.
Portanto, temos que:
tg(2) =2tg
1 tg2 =247
logo,
24tg2+14tg24 = 0
Dividindo ambos os membros por 2:
12tg2+7tg12 = 0
Tomando tg = x, temos
12x2 +7x12 = 0
Resolvendo esta equao polinomial do segundo grau, obtemos
tg = x =725
24
Como tg positiva, temos:
tg =34=
sen
cos
Assim,
sen =34
cos
-
80
Sabendo-se que sen(2) = 2sencos, substituindo o valor encontrado
acima tem-se sen(2)= 2.34
cos2=32
cos2. Da, como tg(2)=247
e que tg(2)=
sen(2)cos(2)
, segue que:
sen(2)cos(2)
=247
.
Assim,32
cos2
cos(2)=
247
212
cos2 = 24cos(2) cos(2) = 72
cos2.18 cos(2) =
716
cos2 cos2sen2= 716
cos2 cos2(1cos2)= 716
cos2 32cos2
16 = 7cos2 25cos2 = 16 cos2 = 1625
Tem-se que:
tg(2) =247
sen(2)cos(2)
=247
32
sen(2)
cos(2)=
247
32
1625
cos(2)=
247
2425
cos(2)=
247
24cos(2) = 7.2425
cos(2) = 725
Para efetuar a simplificao da equao (3), necessita-se dos valores de
sen e cos, que podem ser obtidas pelas seguintes frmulas:
sen =
1 cos(2)2
=
1 725
2=
35
cos =
1+ cos(2)2
=
1+725
2=
45
Se substituir estes valores de seno e cosseno na equao (3), tem-se:
(
144288+14425
)
x2+
(
168+21638425
)
xy+
(
81+288+25625
)
y2(32+18)x+(2424)y = 0.
-
81
A qual se reduz na equao transformada y2 2x = 0, que o lugar geo-mtrico de uma parbola, conforme figura abaixo:
Figura 61 Rotao de eixos na parbola
5.3 A equao geral do 2o grau em R2
De acordo com Anton et al. (2000), a equao da forma
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0
recebe o nome de equao polinomial de segundo grau em x e y. O termo Bxy
chamado termo misto. Se a equao no tiver o termo misto, ou seja, B = 0,
ento a equao do tipo Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+F = 0 e, neste caso, o grfico
ser possivelmente uma seco cnica degenerada que est na posio padro ou
transladada. Agora, se a equao tiver o termo misto, ou seja, B 6= 0, o grfico serpossivelmente uma cnica rotacionada de sua orientao-padro.
Lehmann (1966) afirma que para transformar a equao polinomial do se-
gundo grau que apresenta o coeficiente B diferente de zero, por rotao de eixos,
-
82
tem-se as seguintes equaes de transformao por rotao:
x = xcos ysen
, e
y = xsen+ ycos
,
dadas no Teorema 1. Substituindo na equao polinomial geral do segundo grau
tem-se:
A(xcos ysen)2 +B(xcos ysen)(xsen+ ycos) +C(xsen+ycos)2 +D(xcos ysen)+E(xsen+ ycos)+F = 0.
Se desenvolver-se e colocar-se os termos comuns em evidncia, obtem-se
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+E y+F = 0 (2)
em que
A = Acos2+Bsencos+Csen2,
B = 2(CA)sencos+B(cos2 sen2,C = Asen2Bsencos+Ccos2,D = Dcos+Esen,
E = EcosDsen,F = F.
Se na equao (2) desejamos eliminar o termo xy, o coeficiente de B deve
anular-se. Portanto, devemos ter
2(CA)sencos+B(cos2 sen2) = 0
.
Por meio das frmulas trigonomtricas do ngulo duplo, esta ltima equao pode
ser escrita da forma:
(CA)sen2+Bcos2 = 0 (4)
-
83
Se A 6= C, pela Equao (4) temos tg2 = BAC . Se A = C, ento pela Equao
(4) temos: Bcos2 = 0. Como B 6= 0, por hiptese, segue que
cos2 = 0 (5)
O ngulo de rotao restringido ao intervalo 0o 2
, de maneira que o
intervalo de variao para 2 0o 2 . Portanto, da equao (5), temos que =
4.
Lehmann (1966) ainda traz a seguinte definio.
Definio 1: Se um dos coeficientes A ou C igual a zero, a equao (4) re-
presenta uma parbola ou um dos casos degenerados. Se A e C tm o mesmo
sinal, a equao (4) representa uma elipse ou um dos casos degenerados. Se A e
C tm sinais contrrios, a equao (4) representa uma hiprbole ou um dos casos
degenerados.
Segundo Ayres Jnior (1973), a equao (2), j transformada chamada
de forma semi-reduzida da equao do 2o grau.
Lehmann (1966) traz o seguinte resultado:
Teorema 2: A equao geral de segundo grau r