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Momento de inércia e
produto de inércia
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1
Universidade de Brasília
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Eng. Civil e Ambiental
Prof. Sylvia R. C. Brant Pereira de Jesus
Eng. Civil, MSc.
Momentos de inércia
Objetivos da unidade:
Determinar o momento de inércia de áreas simples
e compostas
Determinar o raio de giração de uma área
Definir o produto de inércia de uma área
Determinar o momento de inércia de uma área em
relação a eixos inclinados utilizando relações
matemáticas e círculo de Mohr
Momento de inércia
Tensão na viga varia linearmente com sua
distância de um eixo que passa pelo centroide
C da área da seção transversal da viga
Sabe-se que:
dF dA kzdA
FF A
A
kz
Momento de inércia
dF dA kzdA
2dM dFz kz dA
2M k z dA
Momento de inércia da
área em relação ao eixo y
Cálculo do momento da
força em relação ao eixo y
Momento de inércia
Significado físico:
◦ Resistência dos corpos à
alteração de sua velocidade
angular por ação dos
momentos das forças
aplicadas
◦ Resistência ao giro que uma
área oferece quando
solicitada
◦ Inércia de rotação de um
corpo
Momento de inércia
2
yI x dA 2
xI y dA
2
o x yJ r dA I I Momento de inércia:
segundo momento
de área
r
2 2 2r x y
Momento de inércia
Os eixos passam pelo centroide dessas figuras...
E se não passassem?
Teorema dos eixos paralelos
Com base nesse teorema,
calcula-se o momento de
inércia em torno de um
eixo qualquer por meio
do momento de inércia
em torno de um eixo
paralelo que passe pelo
centroide mais o produto
da área pelo quadrado da
distância perpendicular
entre os dois eixos.
Teorema dos eixos paralelos
2
'x yI y d dA
2 2' 2 'x y yI y dA d y dA d dA 2
'x x yI I Ad
Essa integral é o momento de 1ª ordem em relação a
x’. Como x’ passa pelo centroide, o valor desse
momento de 1ª ordem é igual a zero.
Teorema dos eixos paralelos
2
'x x yI I Ad
2
'y y xI I Ad
2
o CJ J Ad
Composição
de áreas é
possível!
Teorema dos eixos paralelos
E se não se sabe o momento de inércia em
relação ao centroide?
2 2
2 1 2 1I I A d d
2
2 2cxI I Ad
2
1 1cxI I Ad
2
1 1cxI I Ad
2 2
2 1 1 2I I Ad Ad
Solução de exercícios
Raio de giração
Distância ao eixo que todo a massa do
corpo poderia ser concentrada sem variar
o momento de inércia
y
y
Ir
A
x
x
Ir
A
o
o
Jr
A
2
xdI y dA 2
x xI k A
Produto de inércia
xyI xydA
Produto de inércia
Eixo de simetria
◦ O produto de um lado da figura cancela o do
outro lado
Simetria: valores iguais, sinais opostos
O produto de
inércia de uma área
é zero em relação a
quaisquer eixos
caso pelo menos um
deles seja um eixo
de simetria da área.
-x x
Produto de inércia
Produto de inércia
Produto de inércia
Teorema dos eixos paralelos
' 'xy x yI x d y d dA
' ' ' 'xy y x x yI x y dA d x dA d y dA d d dA
' 'xy x y x yI I Ad d
0 0
Solução de exercícios
Momentos de inércia em
relação a eixos inclinados
cos sinu x y
cos sinv y x
22 cos sinudI v dA y x dA
22 cos sinvdI u dA x y dA
cos sin cos sinuvdI uvdA x y y x dA
Momentos de inércia em
relação a eixos inclinados
2 2cos sin 2 sin cosu x y xyI I I I
2 2sin cos 2 sin cosv x y xyI I I I
2 2sin cos sin cos cos sinuv x y xyI I I I
sin 2 2sin cos 2 2cos2 cos sin
Momentos de inércia em
relação a eixos inclinados
cos 2 sin 22 2
x y x y
u xy
I I I II I
cos 2 sin 22 2
x y x y
v xy
I I I II I
sin 2 cos 22
x y
uv xy
I II I
Momentos de inércia em
relação a eixos inclinados
Atenção!
O u v x yJ I I I I
cos 2 sin 22 2
x y x y
u xy
I I I II I
cos 2 sin 22 2
x y x y
v xy
I I I II I
Momentos de inércia principais
cos 2 sin 22 2
x y x y
u xy
I I I II I
0udI
d 2 sin 2 2 cos 2 0
2
x y
xy
I II
tan 2
2
xy
p
x y
I
I I
Momentos de inércia principais
tan 2
2
xy
p
x y
I
I I
2
2
2 2
x y x y
máx xy
mín
I I I II I
Círculo de Mohr para
momentos de inércia
Manipulando as expressões...
cos 2 sin 22 2
x y x y
u xy
I I I II I
sin 2 cos 2
2
x y
uv xy
I II I
2 2
cos 2 sin 22 2
x y x y
u xy
I I I II I
2
2sin 2 cos 2
2
x y
uv xy
I II I
Círculo de Mohr para
momentos de inércia
2 2 2
2cos 2 sin 2 sin 2 cos 2
2 2 2
x y x y x y
u uv xy xy
I I I I I II I I I
2 222
2 22
cos 2 2 cos 2 sin 2 sin 22 2 2
sin 2 2 sin 2 cos 2 cos 22 2
x y x y x y
u uv xy xy
x y x y
xy xy
I I I I I II I I I
I I I II I
2 2
22
2 2
x y x y
u uv xy
I I I II I I
2 2 2x a y b R
2 2
22
2 2
x y x y
u uv xy
I I I II I I
Círculo de Mohr para
momentos de inércia
Solução de exercícios