Download - Matrizes
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MATRIZESÉ uma tabela disposta em “m” linhas e “n”
colunas.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m n
a a a a
a a a a
a a a a
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Tipos de MatrizesMatriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual
ao de colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.
632
420
531
A
645
323
201TA
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Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.
Ex: matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem de 3ª ordem
1 0 01 0
0 1 00 1
0 0 1
A B
diagonal principal
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Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal.
Traço: 4 + 2 + 6 = 12
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
613
025
004
300
050
002
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Matriz Simétrica: TAA
1 2 0
2 7 4
0 4 3
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica: TAA
0 5 2
5 0 1
2 1 0
Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
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Operações com Matrizes:Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem.
Dadas as matrizes 2 5
3 4A
, 1 6
5 2B
e 8 4
2 6C
, calcule:
62
48
25
61
43
52
40
157
62
48
25
61
43
52
A + B C=
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Multiplicação de Matrizes
Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz.O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e número de colunas da segunda matriz.
mxpnxpmxn CBA .0 1
1 2 33 5
0 4 24 2
22541042)3(400
23521143)3(201
xxxxxx
xxxxxx
42008120
61011260
244
176=
=
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Matriz Inversa: 1A
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade.
IAA 1.Sendo
35
24A , determine
1A
det A = 12 – 10det A = 2
2
4
2
52
2
2
3
45
23
22
5
12
31A
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I – DefiniçãoÉ um número associado a uma matriz quadrada.
II – Determinante de uma matriz de 2ª ordemSeja a matriz A =
2221
1211
aa
aa , então:
21122211 .. aaaa det A =
DETERMINANTES
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Ex: 41
32
det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3)det = -8 + 3det = -5
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III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)Ex: 3 1 2
4 3 1
1 6 5
61
34
13
561
134
213
det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20det = – 42
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IV – Menor Complementar (Dij)
É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij
considerado.Ex. Sendo
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
, calcule D12
12
53
det = 3 + 10det = 13D12 = 13
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V – Cofator
Ex. Dada a matriz
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
, calcule C21
ijji
ij DC .)1(
2112
21 .)1( DC
17
21.)1( 3
21
C
]141[.)1(21 C 1521 C
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Propriedades dos Determinantes:1ª propriedade:Se os elementos de uma linha ou coluna de umamatriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero.Ex. 3 0 5
4 0 1
6 0 2
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2ª propriedade:Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero.Ex. 2 6 2
3 5 3
4 1 4
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3ª propriedade:Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior.Ex. 2 5 5 2
e 3 4 4 3
det = 15 – 8det = 7
det = 8 – 15det = -7
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4ª propriedade:Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k.Obs: Conseqüência da propriedade:
det ( ) detnk A k A , onde n é a ordem da matriz.
Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).det (2A) = 23 . det Adet (2A) = 8 . 5det (2A) = 40
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5ª propriedade:O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta.
det det tA A
6ª propriedade:O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A.
1
1det
detA
A
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7ª propriedade:O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.Ex: 3 0 0 0
5 2 0 0
6 1 4 0
7 2 3 2
det = (-3) . 2 . 4 . 2det = - 48
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8ª propriedade: Teorema de BinetSendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A.B) = det A . det B
14
32 e B=
23
20
calcule det (A.B).
Dadas as matrizes A =
det (A . B) = det A . det Bdet (A . B) = (-14) . 6det (A . B) = -84
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4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A, formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise asafirmações que seguem.
(00) Com os elementos de A é possível escrever 32542 números de 5 algarismos distintos entre si.
__ __ __ __ __ 2721667899 =
X
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(11) De todos os números de 4 algarismosdistintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 3120 são pares.
__ __ __ __
__ __ __ ____
0
2,4,6,8
9 8 7
8 8 7 4
=
=
504
1792
Total = 2296
X
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(22) De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 176 são menores do que 350.
__ __ __ < 3501
2
3
9 8
9 8
72
__ __ __72
__ _____ __0,1,2,4
4 8 32
Total = 176
X
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(33) Com os elementos ímpares de A é possívelescrever exatamente 60 números de3 algarismos distintos entre si.
1, 3, 5, 7, 9
__ __ __5 4 3 60
X
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(44)De todos os números de 3 algarismosdistintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 150 são divisíveis por 5.
Para um número ser divisível por 5, tem queterminar em 0 ou 51º caso: terminação 0
__ __ __0
9 8 72
2º caso: terminação 5
__ __ __8 8
564
Total=136
X