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Matemática ITópico 04– Funções (equações e
Inequações)
Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA
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2.1.1) Conceito: Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y (ou conjuntos A e B) tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado a um e somente um valor para y.
As variáveis x e y são conhecidas também como variável dependente (y) e independente (x).
A relação entre x e y é expressa por: y=f(x).
2.1.2) Domínio de uma função: O domínio da função são todos os valores encontrados no conjunto de dados de x, ou conjunto A.
2.2.3) Contradomínio e imagem: O contradomínio é a representação de todos os elementos que temos no conjunto B, enquanto que a imagem são todos os elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem alguma correspondência com o domínio (conjunto A)
FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
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Representando através de um diagrama teremos:
FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
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Vamos observar o seguinte exemplo para fixarmos a ideia de domínio, contradomínio e imagem de uma função:
Dada a seguinte função f(x)=x+1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Então pelo diagrama de flechas teremos:
FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
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Quais dos gráficos abaixo podemos classificar como função:
FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
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Uma função pode ser definida algebricamente por meio da regra (ou lei) em termos da variável x do domínio. A regra, no entanto, não nos fornece todas as informações sem que seja definido o domínio.
Por exemplo, podemos definir o volume de uma esfera como uma função do seu raio, pela fórmula:
Outra forma algébrica de representar uma função seria:
Como poderíamos representar o gráfico dessa função, para a positivo e a negativo?
FUNÇÕESDeterminação do domínio de funções algébricas.
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Alguns conceitos importantes Continuidade de uma função:
FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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Funções Constantes crescentes e decrescentes.
FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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Funções limitadas: Uma função f é limitada inferiormente se existe algum número b que seja menor ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número b este é chamado de limite inferior de f.
Uma função f é limitada superiormente se existe algum número B que seja maior ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número B, este é chamado de limite superior de f.
Uma função f é limitada se é limitada das duas formas, superior e inferiormente.
Graficamente é fácil visualizar isso:
FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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Extremo Local e Absoluto: Um máximo local de uma função f é o valor f (c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é maior ou igual a todos os valores da imagem de f então f (c) é o valor máximo (ou máximo absoluto) de f.
Um mínimo local de uma função f é o valor f (c) que é menor ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valores
da imagem de f então f(c) é o valor mínimo (ou mínimo absoluto) de f.
Extremos locais são chamados também de extremos relativos.Vejamos o gráfico
FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
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A Função: Afim (1º Grau)
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3.1.1) Definição: Toda função do tipo f(x) = ax + b com {a, b} R e a0 é denominada função do 1º grau ou função afim.
Exemplos:a) b) c)
O domínio da função afim será todos os valores da variável x, sua imagem correspondente serão todos os resultados de y obtidos a partir do domínio x.
A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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O gráfico de uma função do 1º grauPor definição o gráfico de uma função do 1º grau de R em R é
uma reta.Suponha que tenhamos o seguintes valores de :E que são gerados o seguintes pares ordenadosO gráfico da respectiva função então será:
A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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Agora se mudarmos a função para teremos:
A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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3.2.1) Equação da reta:Imagine que nosso coeficiente angular a passe a ser denominado
por m, então: .O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa pelos
pontos () e () é dado por
A equação da reta que passa pelo ponto e tem coeficiente angular m é . Essa é a equação geral da reta.
Retas verticais não são gráficos de funções porque elas falham no teste da linha vertical. Uma reta no plano cartesiano é o gráfico de uma função do primeiro grau se, e somente se, ela é uma reta inclinada ou uma reta horizontal.
Exemplo: Encontre a lei para a função do primeiro grau f tal que e
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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Solução Algébrica: Queremos encontrar uma reta que passa pelos pontos (-1, 2) e (3, -2). O coeficiente angular é
Usando este valor m e as coordenadas de (- l, 2), a equação é dada por:
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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Convertendo para a notação de função, temos a lei procurada teremos:
Portanto, graficamente poderíamos representar a função por:
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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3.2.2) Retas paralelas e perpendiculares: conceitualmente ambas são bem simples:
Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.
As retas e são paralelas.Graficamente temos:
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1
Por exemplo, y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k’=5 e k’’=(-1/5) e k’k’’=-1.
Graficamente teríamos:
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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3.2.3) Intersecção de retas: Quando temos um intersecção de retas, verifica-se um ponto em comum entre elas, nesse caso temos retas concorrentes.
Na economia, essas retas devem ser concorrentes nos eixos positivos tanto de y como de x do plano cartesiano, esse intersecção é conhecida na economia como o ponto de equilíbrio.
Nesse caso nossas equações lineares representam preço (x) e quantidade (y).
O modelo com inclinação negativa é conhecido como demanda, e com inclinação positiva é conhecido como oferta, assim temos:
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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e Quais seriam os preços e quantidades de equilíbrio?
A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
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A Função Quadrática(2º Grau)
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4.1.1) Definição: Uma função do segundo grau (também conhecida como função quadrática) é uma função polinomial de grau 2 da forma , onde a, b e c são constantes reais e a 0.
Veremos que o gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo. Isto porque o gráfico de qualquer função do segundo grau pode ser obtido do gráfico da função por uma sequência de translações, reflexões, “esticamentos” e “encolhimentos”.
A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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Sabemos que o gráfico f(x) = x2 tem a seguinte representação gráfica:
A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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![Page 28: Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081511/558b1203d8b42a571d8b4573/html5/thumbnails/28.jpg)
O gráfico de , com a > 0, é uma parábola com concavidade para cima. Quando a < 0, o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. Independentemente do sinal de a, o eixo vertical y é a reta de simetria para o gráfico de . A reta de simetria para uma parábola é seu eixo de simetria. O ponto sobre a parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da parábola. Pelo fato de uma função do segundo grau ser sempre uma parábola com concavidade para cima ou para baixo, seu vértice é sempre o ponto mais baixo ou o ponto mais alto da parábola.
A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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A forma canônica de uma função de segundo grauExpandindo f (x) = a(x - h)2 + k e comparando os coeficientes
resultantes com a forma quadrática padrão ax2 + bx + c, onde os expoentes de x são organizados em ordem decrescente, podemos obter fórmula para h e k.
Como e na última linha desenvolvida anteriormente, temos que
e . Usando essas fórmulas, então qualquer função do segundo grau pode ser reescrita na forma
A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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O gráfico de f é uma parábola com vértice (h, k) e eixo de simetria x - h, onde e . Se , então a parábola tem concavidade para cima; se a < 0, então a parábola tem concavidade para baixo:
A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
![Page 32: Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081511/558b1203d8b42a571d8b4573/html5/thumbnails/32.jpg)
Observe que o valor de k pode ser visto como: k
Exemplo:Use a forma canónica de uma função do segundo grau para
encontrar o vértice e o eixo de simetria do gráfico de . Reescreva a equação na forma canónica
A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
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A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
A forma polinomial padrão de f é Assim, a=-3, b=6, e c=-5, e as coordenadas do vértice são:
e
, pois é a coordenada de um ponto cuja primeira coordenada é h. A equação do eixo de simetria é x=1, o vértice é (1,-2) e a forma canônica de f é
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A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
Agora vamos abrir espaço para verificar algumas aplicações das funções no Geogebra, Octave e no Calc.
- Geogebra. Clicke aqui para ir direto ao link
- Octave. Clique aqui para ir direto ao link
- Calc. Clique aqui para ir direto ao link
No Slideshare você poderá ver na sequência os três vídeos acima.
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As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:
>: maior que <: menor que ≥: maior ou igual ≤: menor ou igual ≠: diferentecom {a, b, c} As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de
Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
O gráfico da equação será então:
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Assim o conjunto solução será:S = {x | -7/3 < x < -1}
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Agora resolvendo o exemplo, a inequação é responder a pergunta: “existe x real tal que seja positiva”
A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de , podemos ter uma das respostas seguintes:
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Vamos agora resolver em R a inequação
A melhor forma de se resolver tal equação e verificar o comportamento do sinal de cada uma das equações, vamos denominar a primeira parte de f(x)= e a segunda parte de
As raízes de f serão
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Graficamente temos
O ponto de variação do sinal seria:
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Já para as raízes de g teríamos:
O gráfico seria
E a variação do sinal seria
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Representando no eixo real a variação de sinal de f e g e fg, temos:
Assim nosso conjunto solução seria:
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
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Como ficaria a solução para a seguinte inequação:
Analisando os sinais do numerador e denominador temos:
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
2( ) 2 1f x x x
2( ) 2g x x x
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Fazendo o quadro quociente, tem-se
A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
2( ) 2 1f x x x
2( ) 2g x x x
( )
( )
f x
g g