Download - Limite e Continuidade de Funções
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
A aplicação de limites pode ser feita na engenharia eletrônica, em
sistemas de controle, sistemas robóticos, controle de temperatura,
pressão, máquinas industriais. Com o uso de limites temos a possibilidade
de construir gráficos, e também se usa bastante na resistência de
materiais para calcular ductibilidade e flexibilidade.
1- Noção intuitiva de continuidade
Intuitivamente, uma função contínua em um ponto 𝑝 de seu domínio é
uma função cujo gráfico não apresenta “salto” em 𝑝.
Observe que a medida que 𝑥 se aproxima de 𝑝, quer pela direita ou pela
esquerda, os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam de 𝑓(𝑝); e quanto mais
próximo 𝑥 estiver de 𝑝, mais próximo 𝑓(𝑥) estará de 𝑓(𝑝).
Intuitivamente, dizemos que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑝, é igual
a 𝑓(𝑝) que, se escreve lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝). Assim,
𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑝 ⇔ lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝)
Exercício: Usando a ideia intuitiva de limite, calcule lim𝑥→1 2𝑥 + 1.
2- Noção intuitiva de limite
Seja a função 𝑓(𝑥) =(2𝑥+3)(𝑥−1)
𝑥−1. Temos que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1;
OBJETIVO: Analisar os valores da função 𝑓 quando x assume valores
próximos de 1, mas diferentes de 1.
𝑥 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
𝑓(𝑥) 3 4 4,5 4,8 4,98 4,998
𝑥 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
𝑓(𝑥) 7 6 5,5 5,2 5,02 5,002
Note que na 1ª tabela:
𝑥 = 0,9 → 𝑓(𝑥) = 4,8; 𝑥 − 1 = −0,1 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,2
𝑥 = 0,99 → 𝑓(𝑥) = 4,98; 𝑥 − 1 = −0,01 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,02
𝑥 = 0,999 → 𝑓(𝑥) = 4,998; 𝑥 − 1 = −0,001 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,002
Note que na 2ª tabela:
𝑥 = 1,1 → 𝑓(𝑥) = 5,2; 𝑥 − 1 = 0,1 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,2
𝑥 = 1,01 → 𝑓(𝑥) = 5,02; 𝑥 − 1 = 0,01 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,02
𝑥 = 1,001 → 𝑓(𝑥) = 5,002; 𝑥 − 1 = 0,001 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,002
Portanto,
|𝑥 − 1| = 0,1 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,2
|𝑥 − 1| = 0,01 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,02
|𝑥 − 1| = 0,001 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,002
Ou seja, podemos tornar o módulo da diferença entre 𝑓(𝑥) e 5 tão
pequeno quando desejarmos, desde que tomemos o módulo da
diferença entre 𝑥 e 1 suficientemente pequeno.
A Matemática usa símbolos para indicar essas diferenças pequenas. Os
símbolos utilizados são 휀 (épsilon) e 𝛿 (delta).
Exemplo: No exemplo anterior, determine quão próximo 𝑥 deve estar
de 1 para tornar 𝑓(𝑥) dentro de uma distância 0,02 de 5.
3- Definição formal de limite
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real 𝑝. Seja f
uma função definida para 𝑥 ∈ 𝐼 − {𝑝}. Dizemos que o limite de 𝑓(𝑥),
quando 𝑥 tende a p, é L, se para todo número positivo 휀, existir um
número positivo 𝛿 (que depende de 휀), tal que
0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀
Tal número 𝐿, que quando existe é único, será indicado por
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒑 𝒇(𝒙).
Assim,
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒑 𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔
{
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0
(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 휀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,
𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.
No caso de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1; temos que lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 5, pois
para todo número positivo 휀, existe um número positivo 𝛿 (que depende
de 휀), tal que
0 < |𝑥 − 1| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 5| < 휀
De fato, tomando 𝛿 =𝜀
2. Temos:
|𝑥 − 1| < 𝛿 (𝑥 ≠ 1) ⇒ |𝑥 − 1| <휀
2 ⇒ 2|𝑥 − 1| < 휀 ⇒ |2𝑥 − 2| < 휀 ⇒
⇒ |2𝑥 + 3 − 5| < 휀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 5| < 휀 (𝑐. 𝑞. 𝑑)
4- Definição de função contínua
Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto de seu domínio. Definimos:
𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑝 ⇔
{
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0
(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 휀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,
𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑝) − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑝) + 휀.
Exercício 1: Prove usando a definição que 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3 é contínua em
𝑝 = 2.
Exercício 2: Prove que o limite de uma constante é a própria constante.
PROPRIEDADES DOS LIMITES:
Se lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿2, então:
a) lim𝑥→𝑝[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿1 + 𝐿2
b) lim𝑥→𝑝 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿1 (k constante)
c) lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) =𝐿1𝐿2
d) lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥)=
𝐿1
𝐿2, desde que 𝐿2 ≠ 0.
Exercícios:
3. Calcule lim𝑥→−1 (−𝑥2 − 2𝑥 + 3)
4. Calcule lim𝑥→1√𝑥−1
𝑥−1
5. Calcule lim𝑥→3𝑥2−3𝑥
𝑥2+2
6. Sejam 𝑓, 𝑔 contínuas em 𝑝 e 𝑘 uma constante. Mostre que 𝑓 + 𝑔, 𝑘. 𝑓
e 𝑓. 𝑔 são contínuas em 𝑝 e que 𝑓
𝑔 também será contínua em 𝑝, se
𝑔(𝑝) ≠ 0.
Exemplo: Toda função polinomial é contínua.
Solução: Sendo 𝑓 uma função polinomial, existem 𝑛 ∈ ℕ e números
reais 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 tais que:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Como 𝑓(𝑥) é a soma de funções contínuas, logo 𝑓 é contínua.
Exemplo: 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙𝟓+𝟔𝒙+𝟏
𝒙𝟐−𝟒 é contínua em todo 𝑝 ≠ ±2.
Exercício 7: (Conservação do sinal.) Suponha que lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝐿 ,
com 𝐿 > 0. Prove que existe 𝛿 > 0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,
𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿, 𝑥 ≠ 𝑝 ⇒ 𝑓(𝑥) > 0.
5- LIMITES LATERAIS
5.1. Limite lateral à direita
Seja 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que existe 𝑏 tal
que ]𝑝, 𝑏[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos:
lim𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀
O número 𝐿, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de 𝑓, em
𝑝.
5.2. Limite lateral à esquerda
Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que existe 𝑎 tal
que ]𝑎, 𝑝[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos:
lim𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀
O número 𝐿, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de
𝑓, em 𝑝.
É uma consequência imediata das definições de limite e limites laterais
que
Se lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿 e se para algum 𝑟 > 0, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) em ]𝑝, 𝑝 +
𝑟[, então:
lim𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝
𝑔(𝑥) = 𝐿 .
Se lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿 e se para algum 𝑟 > 0, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) em
]𝑝 − 𝑟, 𝑝[, então:
lim𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝
𝑔(𝑥) = 𝐿 .
Exercício 8: Calcule:
a) lim𝑥→1𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1 onde, 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1 .
b) lim𝑥→1|𝑥−1|
𝑥−1
Exercício 9: Na Teoria Especial de Relatividade, o comprimento 𝑙 de um
bastão curto em movimento longitudinal é uma função 𝑙 = 𝑙(𝑣) do
comprimento 𝑙 do bastão. A figura abaixo, em que 𝑐 denota a velocidade
da luz, exibe algumas características qualitativas dessa função.
a) Qual é a interpretação física de 𝑙𝑜?
b) Qual é o lim𝑣→𝑐− 𝑙(𝑣)? Qual o significado físico desse limite?
6- LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA
Suponhamos que existam funções 𝑔(𝑢) e 𝑢 = 𝑓(𝑥), onde 𝑔 ou é
contínua em 𝑎 ou não está definida em 𝑎.
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝐼𝑚𝑓 ⊂ 𝐷𝑔, onde 𝑔 ou é contínua em 𝑎
ou não está definida em 𝑎, tais que:
𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑎 ( 𝑢 → 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 → 𝑝)
E que lim𝑢→𝑎 𝑔(𝑢) exista. Então
lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑓(𝑥)⏞𝑢
) = lim𝑢→𝑎 𝑔(𝑢).
Exercício 10: Calcule lim𝑥→−1 √𝑥3+1
𝑥+1
3
.
Exercício 11. Calcule lim𝑥→1(3−𝑥3)4−16
𝑥3−1.
7- TEOREMA DO CONFRONTO
Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ três funções e suponhamos que exista 𝑟 > 0 tal que
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
Para |𝑥 − 𝑝| < 𝑟. Nestas condições, se
lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim𝑥→𝑝
ℎ(𝑥)
Então
lim𝑥→𝑝
𝑔(𝑥) = 𝐿
Exercício 12: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções com o mesmo domínio 𝐴 tais que
lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 0 e |𝑔(𝑥)| ≤ 𝑀 para todo 𝑥 em 𝐴, onde 𝑀 > 0 é um número
real fixo. Prove que
lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0.
8- O LIMITE FUNDAMENTAL 𝐥𝐢𝐦𝑥→0𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
Para todo 𝑥, com 0 < |𝑥| < 𝑟, tem-se:
𝐥𝐢𝐦𝑥→0
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙= 𝟏
Demonstração:
1º caso: 𝟎 < 𝒙 < 𝒓
0 < 𝑠𝑒𝑛𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑔 𝑥
Dividindo por 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 <𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥<
1
cos 𝑥
E portanto,
cos 𝑥 <𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥< 1
2º caso: −𝒓 < 𝒙 < 𝟎
0 < −𝑥 < 𝑟
Pelo caso anterior,
cos(−𝑥) <𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)
−𝑥< 1
Como cos(−x) = cos 𝑥 e 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)
−𝑥=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥,
−𝑟 < 𝑥 < 0 ⇒ cos 𝑥 <𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥< 1
Dos dois casos, concluímos que, para todo 𝑥, com 0 < |𝑥| < 𝑟,
cos 𝑥 <𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥< 1
Como lim𝑥→0 cos 𝑥 = 1 e lim𝑥→0 1 = 1, pelo teorema do confronto,
𝐥𝐢𝐦𝑥→0
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙= 𝟏
EXERCÍCIOS:
13) Calcule 𝐥𝐢𝐦𝑥→0𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙
𝒙.
14) Calcule 𝐥𝐢𝐦𝑥→0𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙𝟐.
9- LIMITES NO INFINITO
Definição 1: Seja 𝑓 uma função e suponha que exista 𝑎 tal que
]𝑎, +∞[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {∀ 휀 > 0, ∃ 𝑀 > 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑀 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 > 𝑀 ⇒ 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.
Definição 2: Seja 𝑓 uma função e suponha que exista 𝑎 tal que
]−∞, 𝑎[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {∀ 휀 > 0, ∃ 𝑀 > 0, 𝑐𝑜𝑚 −𝑀 < 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 < −𝑀 ⇒ 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.
Exemplo: lim𝑥→+∞1
𝑥= 0, pois quanto maior for o valor de 𝑥, mais
próximo de zero estará 1
𝑥.
Exemplo: lim𝑥→−∞1
𝑥= 0, pois quanto menor for o valor de 𝑥, mais
próximo de zero estará 1
𝑥.
Exercício 15: Calcule:
a) lim𝑥→+∞5𝑥4−2𝑥+1
4𝑥4+3𝑥+2
b) lim𝑥→−∞3
√𝑥
10- LIMITES INFINITOS
10.1. Noção intuitiva
Exercício: Calcule lim𝑥→1+1
𝑥−1 .
Solução:
𝑥 2 1,5 1,1 1,01 1,001 → 1+
1
𝑥 − 1
1 2 10 100 1000 → +∞
Portanto, lim𝑥→1+1
𝑥−1= +∞
10.2. Definição formal
Definição 1: Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que
exista 𝑏 tal que ]𝑝, 𝑏[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos
lim𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ {∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑀.
Definição 2: Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que
exista 𝑎 tal que ]𝑎, 𝑝[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos
lim𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ {∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑀.
Exercício 16: Defina lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = +∞ ; lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞ ;
lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = −∞ ; lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = +∞; lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −∞ ;
lim𝑥→𝑝− 𝑓(𝑥) = −∞ ;
TEOREMA:
a) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = +∞
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {
lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞
b) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {
lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ , 𝑠𝑒 𝐿 > 0
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞ , 𝑠𝑒 𝐿 < 0
c) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞
d) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞
e) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = −∞ ⇒ {lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = −∞
f) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = −∞ ⇒ {
lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = −∞
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞
g) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = −∞ ⇒ {
lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞ , 𝑠𝑒 𝐿 > 0
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ , 𝑠𝑒 𝐿 < 0
Observação: O teorema continua válido se substituirmos
“𝑥 → +∞” por “𝑥 → 𝑝+” ou por “𝑥 → 𝑝−” ou por “𝑥 → 𝑝”.
Indeterminações:
+∞− (+∞); −∞ − (−∞); 0 .∞ ; ∞
∞; 0
0; 1∞; 00; ∞0.
Exercícios
17) Calcule lim𝑥→+∞ 𝑥2.
18) Calcule lim𝑥→−∞ 3𝑥3 + 2𝑥 + 1.
19) Calcule lim𝑥→+∞5𝑥3−6𝑥+1
6𝑥2+𝑥+3.
O próximo exercício mostra que lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = 0 e que existe 𝑟 > 0 tal
que 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝑟, então lim𝑥→𝑝+1
𝑓(𝑥)= +∞.
20) Calcule lim𝑥→2+1
𝑥−2.
21) Calcule lim𝑥→2−1
𝑥−2.
Exemplo: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 ≠ 0, e
lim𝑥→𝑝+ 𝑔(𝑥) = 0 e que existe 𝑟 > 0, tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0, para 𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝑟.
Prove que, nestas condições, ou lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= +∞ ou lim𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= −∞
ou lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) não existe.
Solução: Basta provar que lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) não pode ser finito. Se tal limite
fosse finito, teríamos:
lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) . 𝑔(𝑥) = 0 (contradição!)
22) Calcule lim𝑥→1+2𝑥+3
𝑥2−1.
23) Calcule lim𝑥→1+𝑥3−1
𝑥2−2𝑥+1.