LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

A aplicação de limites pode ser feita na engenharia eletrônica, em

sistemas de controle, sistemas robóticos, controle de temperatura,

pressão, máquinas industriais. Com o uso de limites temos a possibilidade

de construir gráficos, e também se usa bastante na resistência de

materiais para calcular ductibilidade e flexibilidade.

1- Noção intuitiva de continuidade

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto 𝑝 de seu domínio é

uma função cujo gráfico não apresenta “salto” em 𝑝.

Observe que a medida que 𝑥 se aproxima de 𝑝, quer pela direita ou pela

esquerda, os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam de 𝑓(𝑝); e quanto mais

próximo 𝑥 estiver de 𝑝, mais próximo 𝑓(𝑥) estará de 𝑓(𝑝).

Intuitivamente, dizemos que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑝, é igual

a 𝑓(𝑝) que, se escreve lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝). Assim,

𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑝 ⇔ lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝)

Exercício: Usando a ideia intuitiva de limite, calcule lim𝑥→1 2𝑥 + 1.

2- Noção intuitiva de limite

Seja a função 𝑓(𝑥) =(2𝑥+3)(𝑥−1)

𝑥−1. Temos que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1;

OBJETIVO: Analisar os valores da função 𝑓 quando x assume valores

próximos de 1, mas diferentes de 1.

𝑥 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

𝑓(𝑥) 3 4 4,5 4,8 4,98 4,998

𝑥 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001

𝑓(𝑥) 7 6 5,5 5,2 5,02 5,002

Note que na 1ª tabela:

𝑥 = 0,9 → 𝑓(𝑥) = 4,8; 𝑥 − 1 = −0,1 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,2

𝑥 = 0,99 → 𝑓(𝑥) = 4,98; 𝑥 − 1 = −0,01 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,02

𝑥 = 0,999 → 𝑓(𝑥) = 4,998; 𝑥 − 1 = −0,001 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,002

Note que na 2ª tabela:

𝑥 = 1,1 → 𝑓(𝑥) = 5,2; 𝑥 − 1 = 0,1 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,2

𝑥 = 1,01 → 𝑓(𝑥) = 5,02; 𝑥 − 1 = 0,01 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,02

𝑥 = 1,001 → 𝑓(𝑥) = 5,002; 𝑥 − 1 = 0,001 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,002

Portanto,

|𝑥 − 1| = 0,1 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,2

|𝑥 − 1| = 0,01 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,02

|𝑥 − 1| = 0,001 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,002

Ou seja, podemos tornar o módulo da diferença entre 𝑓(𝑥) e 5 tão

pequeno quando desejarmos, desde que tomemos o módulo da

diferença entre 𝑥 e 1 suficientemente pequeno.

A Matemática usa símbolos para indicar essas diferenças pequenas. Os

símbolos utilizados são 휀 (épsilon) e 𝛿 (delta).

Exemplo: No exemplo anterior, determine quão próximo 𝑥 deve estar

de 1 para tornar 𝑓(𝑥) dentro de uma distância 0,02 de 5.

3- Definição formal de limite

Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real 𝑝. Seja f

uma função definida para 𝑥 ∈ 𝐼 − {𝑝}. Dizemos que o limite de 𝑓(𝑥),

quando 𝑥 tende a p, é L, se para todo número positivo 휀, existir um

número positivo 𝛿 (que depende de 휀), tal que

0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

Tal número 𝐿, que quando existe é único, será indicado por

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒑 𝒇(𝒙).

Assim,

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒑 𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔

{

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0

(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 휀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,

𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.

No caso de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1; temos que lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 5, pois

para todo número positivo 휀, existe um número positivo 𝛿 (que depende

de 휀), tal que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 5| < 휀

De fato, tomando 𝛿 =𝜀

2. Temos:

|𝑥 − 1| < 𝛿 (𝑥 ≠ 1) ⇒ |𝑥 − 1| <휀

2 ⇒ 2|𝑥 − 1| < 휀 ⇒ |2𝑥 − 2| < 휀 ⇒

⇒ |2𝑥 + 3 − 5| < 휀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 5| < 휀 (𝑐. 𝑞. 𝑑)

4- Definição de função contínua

Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto de seu domínio. Definimos:

𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑝 ⇔

{

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0

(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 휀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,

𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑝) − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑝) + 휀.

Exercício 1: Prove usando a definição que 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3 é contínua em

𝑝 = 2.

Exercício 2: Prove que o limite de uma constante é a própria constante.

PROPRIEDADES DOS LIMITES:

Se lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿2, então:

a) lim𝑥→𝑝[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿1 + 𝐿2

b) lim𝑥→𝑝 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿1 (k constante)

c) lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) =𝐿1𝐿2

d) lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥)=

𝐿1

𝐿2, desde que 𝐿2 ≠ 0.

Exercícios:

3. Calcule lim𝑥→−1 (−𝑥2 − 2𝑥 + 3)

4. Calcule lim𝑥→1√𝑥−1

𝑥−1

5. Calcule lim𝑥→3𝑥2−3𝑥

𝑥2+2

6. Sejam 𝑓, 𝑔 contínuas em 𝑝 e 𝑘 uma constante. Mostre que 𝑓 + 𝑔, 𝑘. 𝑓

e 𝑓. 𝑔 são contínuas em 𝑝 e que 𝑓

𝑔 também será contínua em 𝑝, se

𝑔(𝑝) ≠ 0.

Exemplo: Toda função polinomial é contínua.

Solução: Sendo 𝑓 uma função polinomial, existem 𝑛 ∈ ℕ e números

reais 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 tais que:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Como 𝑓(𝑥) é a soma de funções contínuas, logo 𝑓 é contínua.

Exemplo: 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙𝟓+𝟔𝒙+𝟏

𝒙𝟐−𝟒 é contínua em todo 𝑝 ≠ ±2.

Exercício 7: (Conservação do sinal.) Suponha que lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝐿 ,

com 𝐿 > 0. Prove que existe 𝛿 > 0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,

𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿, 𝑥 ≠ 𝑝 ⇒ 𝑓(𝑥) > 0.

5- LIMITES LATERAIS

5.1. Limite lateral à direita

Seja 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que existe 𝑏 tal

que ]𝑝, 𝑏[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos:

lim𝑥→𝑝+

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

O número 𝐿, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de 𝑓, em

𝑝.

5.2. Limite lateral à esquerda

Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que existe 𝑎 tal

que ]𝑎, 𝑝[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos:

lim𝑥→𝑝−

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

O número 𝐿, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de

𝑓, em 𝑝.

É uma consequência imediata das definições de limite e limites laterais

que

Se lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿 e se para algum 𝑟 > 0, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) em ]𝑝, 𝑝 +

𝑟[, então:

lim𝑥→𝑝+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝

𝑔(𝑥) = 𝐿 .

Se lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) = 𝐿 e se para algum 𝑟 > 0, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) em

]𝑝 − 𝑟, 𝑝[, então:

lim𝑥→𝑝−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝

𝑔(𝑥) = 𝐿 .

Exercício 8: Calcule:

a) lim𝑥→1𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑥−1 onde, 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1 .

b) lim𝑥→1|𝑥−1|

𝑥−1

Exercício 9: Na Teoria Especial de Relatividade, o comprimento 𝑙 de um

bastão curto em movimento longitudinal é uma função 𝑙 = 𝑙(𝑣) do

comprimento 𝑙 do bastão. A figura abaixo, em que 𝑐 denota a velocidade

da luz, exibe algumas características qualitativas dessa função.

a) Qual é a interpretação física de 𝑙𝑜?

b) Qual é o lim𝑣→𝑐− 𝑙(𝑣)? Qual o significado físico desse limite?

6- LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA

Suponhamos que existam funções 𝑔(𝑢) e 𝑢 = 𝑓(𝑥), onde 𝑔 ou é

contínua em 𝑎 ou não está definida em 𝑎.

Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝐼𝑚𝑓 ⊂ 𝐷𝑔, onde 𝑔 ou é contínua em 𝑎

ou não está definida em 𝑎, tais que:

𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑎 ( 𝑢 → 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 → 𝑝)

E que lim𝑢→𝑎 𝑔(𝑢) exista. Então

lim𝑥→𝑝 𝑔(𝑓(𝑥)⏞𝑢

) = lim𝑢→𝑎 𝑔(𝑢).

Exercício 10: Calcule lim𝑥→−1 √𝑥3+1

𝑥+1

3

.

Exercício 11. Calcule lim𝑥→1(3−𝑥3)4−16

𝑥3−1.

7- TEOREMA DO CONFRONTO

Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ três funções e suponhamos que exista 𝑟 > 0 tal que

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)

Para |𝑥 − 𝑝| < 𝑟. Nestas condições, se

lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim𝑥→𝑝

ℎ(𝑥)

Então

lim𝑥→𝑝

𝑔(𝑥) = 𝐿

Exercício 12: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções com o mesmo domínio 𝐴 tais que

lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 0 e |𝑔(𝑥)| ≤ 𝑀 para todo 𝑥 em 𝐴, onde 𝑀 > 0 é um número

real fixo. Prove que

lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0.

8- O LIMITE FUNDAMENTAL 𝐥𝐢𝐦𝑥→0𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒙

Para todo 𝑥, com 0 < |𝑥| < 𝑟, tem-se:

𝐥𝐢𝐦𝑥→0

𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒙= 𝟏

Demonstração:

1º caso: 𝟎 < 𝒙 < 𝒓

0 < 𝑠𝑒𝑛𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑔 𝑥

Dividindo por 𝑠𝑒𝑛 𝑥

1 <𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥<

1

cos 𝑥

E portanto,

cos 𝑥 <𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥< 1

2º caso: −𝒓 < 𝒙 < 𝟎

0 < −𝑥 < 𝑟

Pelo caso anterior,

cos(−𝑥) <𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)

−𝑥< 1

Como cos(−x) = cos 𝑥 e 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)

−𝑥=

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥,

−𝑟 < 𝑥 < 0 ⇒ cos 𝑥 <𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥< 1

Dos dois casos, concluímos que, para todo 𝑥, com 0 < |𝑥| < 𝑟,

cos 𝑥 <𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥< 1

Como lim𝑥→0 cos 𝑥 = 1 e lim𝑥→0 1 = 1, pelo teorema do confronto,

𝐥𝐢𝐦𝑥→0

𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒙= 𝟏

EXERCÍCIOS:

13) Calcule 𝐥𝐢𝐦𝑥→0𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙

𝒙.

14) Calcule 𝐥𝐢𝐦𝑥→0𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒙𝟐.

9- LIMITES NO INFINITO

Definição 1: Seja 𝑓 uma função e suponha que exista 𝑎 tal que

]𝑎, +∞[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {∀ 휀 > 0, ∃ 𝑀 > 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑀 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑥 > 𝑀 ⇒ 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.

Definição 2: Seja 𝑓 uma função e suponha que exista 𝑎 tal que

]−∞, 𝑎[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ {∀ 휀 > 0, ∃ 𝑀 > 0, 𝑐𝑜𝑚 −𝑀 < 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑥 < −𝑀 ⇒ 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.

Exemplo: lim𝑥→+∞1

𝑥= 0, pois quanto maior for o valor de 𝑥, mais

próximo de zero estará 1

𝑥.

Exemplo: lim𝑥→−∞1

𝑥= 0, pois quanto menor for o valor de 𝑥, mais

próximo de zero estará 1

𝑥.

Exercício 15: Calcule:

a) lim𝑥→+∞5𝑥4−2𝑥+1

4𝑥4+3𝑥+2

b) lim𝑥→−∞3

√𝑥

10- LIMITES INFINITOS

10.1. Noção intuitiva

Exercício: Calcule lim𝑥→1+1

𝑥−1 .

Solução:

𝑥 2 1,5 1,1 1,01 1,001 → 1+

1

𝑥 − 1

1 2 10 100 1000 → +∞

Portanto, lim𝑥→1+1

𝑥−1= +∞

10.2. Definição formal

Definição 1: Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que

exista 𝑏 tal que ]𝑝, 𝑏[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos

lim𝑥→𝑝+

𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ {∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑀.

Definição 2: Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que

exista 𝑎 tal que ]𝑎, 𝑝[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos

lim𝑥→𝑝−

𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ {∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑀.

Exercício 16: Defina lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = +∞ ; lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞ ;

lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = −∞ ; lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = +∞; lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −∞ ;

lim𝑥→𝑝− 𝑓(𝑥) = −∞ ;

TEOREMA:

a) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {

lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞

b) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {

lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ , 𝑠𝑒 𝐿 > 0

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞ , 𝑠𝑒 𝐿 < 0

c) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞

d) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ ⇒ {lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞

e) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = −∞ ⇒ {lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = −∞

f) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = −∞ ⇒ {

lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = −∞

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞

g) {lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,

lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = −∞ ⇒ {

lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞ , 𝑠𝑒 𝐿 > 0

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ , 𝑠𝑒 𝐿 < 0

Observação: O teorema continua válido se substituirmos

“𝑥 → +∞” por “𝑥 → 𝑝+” ou por “𝑥 → 𝑝−” ou por “𝑥 → 𝑝”.

Indeterminações:

+∞− (+∞); −∞ − (−∞); 0 .∞ ; ∞

∞; 0

0; 1∞; 00; ∞0.

Exercícios

17) Calcule lim𝑥→+∞ 𝑥2.

18) Calcule lim𝑥→−∞ 3𝑥3 + 2𝑥 + 1.

19) Calcule lim𝑥→+∞5𝑥3−6𝑥+1

6𝑥2+𝑥+3.

O próximo exercício mostra que lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = 0 e que existe 𝑟 > 0 tal

que 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝑟, então lim𝑥→𝑝+1

𝑓(𝑥)= +∞.

20) Calcule lim𝑥→2+1

𝑥−2.

21) Calcule lim𝑥→2−1

𝑥−2.

Exemplo: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 ≠ 0, e

lim𝑥→𝑝+ 𝑔(𝑥) = 0 e que existe 𝑟 > 0, tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0, para 𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝑟.

Prove que, nestas condições, ou lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= +∞ ou lim𝑥→𝑝+

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= −∞

ou lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) não existe.

Solução: Basta provar que lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) não pode ser finito. Se tal limite

fosse finito, teríamos:

lim𝑥→𝑝+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑝+𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) . 𝑔(𝑥) = 0 (contradição!)

22) Calcule lim𝑥→1+2𝑥+3

𝑥2−1.

23) Calcule lim𝑥→1+𝑥3−1

𝑥2−2𝑥+1.