MAT-140 Funções, Limite e Continuidade

Walter T. Huaraca Vargas

1 de Agosto de 2016

Relações e Funções

Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b

é chamada de segunda componente.

Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d

Exemplo

Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Relações e Funções

Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b

é chamada de segunda componente.Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dq

são iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d

Exemplo

Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Relações e Funções

Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b

é chamada de segunda componente.Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dq

são iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d

Exemplo

Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Relações e Funções

Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b

é chamada de segunda componente.Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dq

são iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d

Exemplo

Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Exemplo

Se A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 23u, calcular Aˆ B e B ˆ A

Representação Geometrica:

Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B

(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:

R Ă Aˆ B

Exemplo

Se A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 23u, calcular Aˆ B e B ˆ A

Representação Geometrica:

Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B

(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:

R Ă Aˆ B

Funções

Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A

um único elemento do conjunto B . Formalmente:

Definição

Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os

conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f

então b “ c Gra�camente temos:

Observação

1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

Funções

Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A

um único elemento do conjunto B . Formalmente:

Definição

Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os

conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f

então b “ c Gra�camente temos:

Observação

1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

Funções

Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A

um único elemento do conjunto B . Formalmente:

Definição

Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os

conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f

então b “ c Gra�camente temos:

Observação

1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

Funções

Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A

um único elemento do conjunto B . Formalmente:

Definição

Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os

conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f

então b “ c Gra�camente temos:

Observação

1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

Domínio e Imagem

Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:

Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A

2 A imagem da função f é o conjunto:

I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B

Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu grá�co?

1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu

2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “?2` x ´ x2 ‹

3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s

Domínio e Imagem

Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:

Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A

2 A imagem da função f é o conjunto:

I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B

Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu grá�co?

1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu

2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “?2` x ´ x2 ‹

3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s

Domínio e Imagem

Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:

Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A

2 A imagem da função f é o conjunto:

I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B

Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu grá�co?

1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu

2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “?2` x ´ x2 ‹

3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s

Funções Especiais

função Constante

Seja c P R �xo a função de�nida por

f pxq “ c

É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com grá�co ‹

função Identidade

A função de�nida porI pxq “ x

É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com grá�co ‹

Funções Especiais

função Constante

Seja c P R �xo a função de�nida por

f pxq “ c

É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com grá�co ‹

função Identidade

A função de�nida porI pxq “ x

É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com grá�co ‹

Funções Especiais

função Linear

Se a ‰ 0, funçãof pxq “ ax ` b

É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com grá�co ‹

função Quadratica

A funçãof pxq “ ax2 ` bx ` c

Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgrá�co ‹

1a Aula

Funções Especiais

função Linear

Se a ‰ 0, funçãof pxq “ ax ` b

É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com grá�co ‹

função Quadratica

A funçãof pxq “ ax2 ` bx ` c

Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgrá�co ‹

1a Aula

Funções Especiais

função Valor Absoluto

A função

f pxq “ |x | “

"

x se x ě 0´x se x ă 0

É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgrá�co ‹

função Raiz n-ésima

A funçãof pxq “ n

?x

É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com grá�co ‹

Funções Especiais

função Valor Absoluto

A função

f pxq “ |x | “

"

x se x ě 0´x se x ă 0

É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgrá�co ‹

função Raiz n-ésima

A funçãof pxq “ n

?x

É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com grá�co ‹

Funções Especiais

função Polinomial

Se an ‰ 0, função

f pxq “ anxn ` an´1x

n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹

função Racional

A função

f pxq “anx

n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0

Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹

Funções Especiais

função Polinomial

Se an ‰ 0, função

f pxq “ anxn ` an´1x

n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹

função Racional

A função

f pxq “anx

n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0

Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹

Funções Especiais

função Sinal

Se an ‰ 0, função

f pxq “

$

’

’

&

’

’

%

´1 se x ă 00 se x “ 0

1 se x ą 0

É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com grá�co ‹

Função Máximo Inteiro

A Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com grá�co ‹

Funções Especiais

função Sinal

Se an ‰ 0, função

f pxq “

$

’

’

&

’

’

%

´1 se x ă 00 se x “ 0

1 se x ą 0

É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com grá�co ‹

Função Máximo Inteiro

A Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com grá�co ‹

Funções Exponencial

Definição

A função exponencial de base a é a função real de�nida por: ‹

f pxq “ ax

Com a um número real �xo a ą 0 e a ‰ 1 Com Dompf q “ R e

Impf q “ p0;`8q

paxqy “ axy

ax ¨ ay “ ax`y

pa ¨ bqx “ ax ¨ ay

paxqy “ axy

ax ¨ ay “ ax`y

pa ¨ bqx “ ax ¨ ay

Função Par e Função Impar

Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:

Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq

Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq

Exemplo

‹ f pxq “ x4

‹ f pxq “ x1`x2

Função Par e Função Impar

Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:

Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq

Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq

Exemplo

‹ f pxq “ x4

‹ f pxq “ x1`x2

Função Par e Função Impar

Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:

Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq

Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq

Exemplo

‹ f pxq “ x4

‹ f pxq “ x1`x2

Função Periódica

Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:

1 px ` tq P Dompf q

2 f px ` tq “ f pxq

Exemplos

Veri�car se a função é períodica, em caso a�rmativos achar o período. ‹

f pxq “ x ´ vxw

Função Periódica

Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:

1 px ` tq P Dompf q

2 f px ` tq “ f pxq

Exemplos

Veri�car se a função é períodica, em caso a�rmativos achar o período. ‹

f pxq “ x ´ vxw

Função Crescente e Função decrescente

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ą f px2q.

Exemplo:

Achar os intervalos de crescimento e decrescimento da função:

f pxq “ |x2 ´ 4|

2a Aula

Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva

Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:

Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.

Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .

Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.

Exemplos:

f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?

gpxq “ x1`x2

é injetiva?

Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva

Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:

Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.

Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .

Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.

Exemplos:

f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?

gpxq “ x1`x2

é injetiva?

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgq

pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq

Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgq

pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq

Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgq

pfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgq

pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq

Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgq

pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq

Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgq

pfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgq

pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq

Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgq

pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq

Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgq

pfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q

|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q

pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q

|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q

pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q

|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q

pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq

respetivamente. De�namos a função:

Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q

|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q

pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

Composição de funções

Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq

Exemplo:

Considere as funções f pxq “ x`52

e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e

pg ˝ f qpxq.

Composição de funções

Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq

Exemplo:

Considere as funções f pxq “ x`52

e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e

pg ˝ f qpxq.

Propriedades da Composição

Se f , g , h são funções reais de variável real, então:

1 pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq f ˝ Id “ Id ˝ f “ f

2 pf ` gq ˝ h “ f ˝ g ` f ˝ h pf ´ gq ˝ h “ f ˝ g ´ f ˝ h

3 pf ¨ gq ˝ h “ pf ˝ hq ¨ pg ˝ hq fg ˝ h “

f ˝hg˝h

Função Inversa

Seja f : AÑ B uma função, então

f não é injetiva

f é injetiva, neste caso podemos de�nir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Gra�camente.

Propriedades

1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q

2 Os grá�cos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x

3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.

Exemplo

‹ Se f pxq “ 3x´12

, achar f ´1.

Função Inversa

Seja f : AÑ B uma função, então

f não é injetiva

f é injetiva, neste caso podemos de�nir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Gra�camente.

Propriedades

1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q

2 Os grá�cos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x

3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.

Exemplo

‹ Se f pxq “ 3x´12

, achar f ´1.

Função Inversa

Seja f : AÑ B uma função, então

f não é injetiva

f é injetiva, neste caso podemos de�nir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Gra�camente.

Propriedades

1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q

2 Os grá�cos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x

3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.

Exemplo

‹ Se f pxq “ 3x´12

, achar f ´1.

Função Logaritmo de base a

Dado um número real a ą 0 e a ‰ 1, a função logaritmo de base a é afunção inversa da função exponencial de base a f pxq “ ax e esta de�ninapor:

y “ f ´1pxq “ logapxq ô x “ ay

Com Dompf ´1q “ p0;`8q, Impf ´1q “ R e grá�co.Se A,B P R`. Para a ą 0, a ‰ 1, temos:

logap1q “ 0

logapaxq “ x , @x P R

alogapxq “ x , @x ą 0

logapAr q “ rlogapAq, @r P R

logapABq “ logapAq ` logapBq

logapAB q “ logapAq ´ logapBq

logapxq “logcpxlog

cpaq

, x ą 0, c ą 0 ec ‰ 1

3a Aula

Limites

1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b

2 Gra�co

Definição

Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio

r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:

Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq

Exemplos

Considere os exemplos:

f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u

gpxq “

"

x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2

Limites

1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b

2 Gra�co

Definição

Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio

r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:

Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq

Exemplos

Considere os exemplos:

f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u

gpxq “

"

x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2

Limites

1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b

2 Gra�co

Definição

Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio

r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:

Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq

Exemplos

Considere os exemplos:

f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u

gpxq “

"

x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2

Limites

1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b

2 Gra�co

Definição

Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio

r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:

Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq

Exemplos

Considere os exemplos:

f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u

gpxq “

"

x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2

Definição

Seja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamente

pertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos de

Dompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende ao

número a, e escreveremos limxÑa

f pxq “ L, quando:

@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε

Problema

Quão perto do número a deve �car x de modo que f pxq �que a umadistança pre�xada de L

Se limxÑ1

p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve �car x de 1 tal que

|f pxq ´ 3| ă 0.01

Definição

Seja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamente

pertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos de

Dompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende ao

número a, e escreveremos limxÑa

f pxq “ L, quando:

@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε

Problema

Quão perto do número a deve �car x de modo que f pxq �que a umadistança pre�xada de L

Se limxÑ1

p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve �car x de 1 tal que

|f pxq ´ 3| ă 0.01

Comprovar o Limite Por Definição

1 Inicialmente devemos descompor |f pxq ´ L| em dois fatores, um dosquais deve ser |x ´ a|:

|f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| (1)

2 A seguir, escolher um valor inicial δ “ δ1, para acotar |gpxq| tal que:

Se 0 ă |x ´ a| ă δ1 ñ |gpxq| ă MpM ą 0q (2)

3 Finalmente, de p1q e p2q e tomando δ “ mintδ1;εM u, temos:

0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| ăε

M¨M “ ε

Exemplos

Se f pxq “ 3x2 ` 2x ` 1, prove que limxÑ1

f pxq “ 6

Se f pxq “ k k constante, prove que limxÑa

f pxq “ k para qualquer

a P R. Se f pxq “ 1x , prove que lim

xÑ0f pxq não existe.

Se f pxq “ 12`?x, comprove que lim

xÑ4f pxq “

14

Se f pxq “ 5´3x5x`7 , comprove que lim

xÑ´1f pxq “ 4

4a Aula

Propriedades dos Limites

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.

2 (Unicidade do Limite) Se limxÑa

f pxq “ L1 e limxÑa

f pxq “ L2, então

L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim

xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M

Então L ď M.

Propriedades dos Limites

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L2

3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa

f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M

Então L ď M.

Propriedades dos Limites

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim

xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.

4 Se limxÑa

f pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M

Então L ď M.

Propriedades dos Limites

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim

xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.

5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M

Então L ď M.

Propriedades dos Limites

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim

xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M

Então L ď M.

Propriedades dos Limites

(Teorema do Confronto) Seja f , g , h funçães tais que:§ f pxq ď gpxq ď hpxq para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.§ lim

xÑa

f pxq “ limxÑa

hpxq “ L

Então limxÑa

gpxq “ L.

Sejam f e g funçães tais que:§ lim

xÑa

f pxq “ 0

§ Existe M ą 0 tal que |gpxq| ă M para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.

Então limxÑa

f pxqgpxq “ 0

1o Limite Fundamental

Teorema‹

limxÑ0

senpxq

x“ 1

Propriedades Operacionais do Limite

Se f e g são funçães tais que limxÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M, e c P R,então:

limxÑa

c “ c

limxÑa

rcf pxqs “ c limxÑa

f pxq “ cL

limxÑa

rf pxq ˘ gpxqs “ limxÑa

f pxq ˘ limxÑa

gpxq “ L˘M

limxÑa

rf pxq ¨ gpxqs “ limxÑa

f pxq ¨ limxÑa

gpxq “ L ¨M

limxÑa

f pxq

gpxq“

limxÑa

f pxq

limxÑa

gpxq“

L

MSe M ‰ 0

limxÑa

rf pxqsk “ r limxÑa

f pxqsk “ Lk , (L ă 0 ou L ě 0)

Exemplos:

Calcular os seguintes limites:

1 limxÑ´1

3

c

3x2 ´ 2x ` 3x5 ` 2

2 limxÑ1

6x ´ 6x2 ´ 3x ` 2

3 limxÑ3

?x ` 6´ 3

?4´ x ´ 1

4 limxÑ1

5?x2 ´ 3

?x

1´ 4?x

Limites Laterais

5a Aula

Limites No Infinito

Definição

Seja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando

x tende a `8 e escreveremos limxÑ`8

f pxq “ L se:

@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε

Definição

Seja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando

x tende a ´8 e escreveremos limxÑ´8

gpxq “ L se:

@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε

Limites No Infinito

Definição

Seja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando

x tende a `8 e escreveremos limxÑ`8

f pxq “ L se:

@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε

Definição

Seja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando

x tende a ´8 e escreveremos limxÑ´8

gpxq “ L se:

@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε

Exemplos

Se n P N, provar que:

1 ‹ limxÑ`8

1xn“ 0

2 ‹ limxÑ´8

1xn“ 0

Proposição

Sejam f : pa;`8q Ñ R e g : pb;`8q Ñ R, se limxÑ`8

f pxq “ L e

limxÑ`8

gpxq “ M, então:

1 limxÑ`8

rcf pxqs “ c limxÑ`8

f pxq “ cL, com c P R.

2 limxÑ`8

pf ˘ gqpxq “ limxÑ`8

f pxq ˘ limxÑ`8

gpxq “ L˘M

3 limxÑ`8

pf ¨ gqpxq “ limxÑ`8

f pxq ¨ limxÑ`8

gpxq “ L ¨M

4 limxÑ`8

pf

gqpxq “

limxÑ`8

f pxq

limxÑ`8

gpxq“

L

M, se M ‰ 0.

Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição

anterior.

2 Quando se calcula o limite no in�nito de uma função racional,dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.

Exemplos

Calcular os seguites limites:

1 limxÑ`8

3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3

2 limxÑ´8

9´ 7x ` 12x4

4` 5x6

3 limxÑ`8

9x ` 47´ 5x

Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição

anterior.2 Quando se calcula o limite no in�nito de uma função racional,

dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.

Exemplos

Calcular os seguites limites:

1 limxÑ`8

3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3

2 limxÑ´8

9´ 7x ` 12x4

4` 5x6

3 limxÑ`8

9x ` 47´ 5x

Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição

anterior.2 Quando se calcula o limite no in�nito de uma função racional,

dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.

Exemplos

Calcular os seguites limites:

1 limxÑ`8

3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3

2 limxÑ´8

9´ 7x ` 12x4

4` 5x6

3 limxÑ`8

9x ` 47´ 5x

Limites Infinitos

Definição

Seja f uma função de�nida no intervalo I que contem o ponto a (a pode

ou não estar no dominio de f ).

1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende para

a, e denotaremos por limxÑa

f pxq “ `8 se:

@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K

2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende para

a, e denotaremos por limxÑa

f pxq “ ´8 se:

@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M

Limites Infinitos

Definição

Seja f uma função de�nida no intervalo I que contem o ponto a (a pode

ou não estar no dominio de f ).

1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende para

a, e denotaremos por limxÑa

f pxq “ `8 se:

@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K

2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende para

a, e denotaremos por limxÑa

f pxq “ ´8 se:

@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M

Exemplos

Se n P Z e é par, então:

1 limxÑ0

1xn“ `8

2 limxÑ1

2x2 ´ 5x ´ 3x ´ 1

?

Assintotas

Definição

Consideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto que

move-se sobre esta curva. Diremos que:

1 o ponto A tende ao in�nito se a distancia entre A e a origem de

coordenadas tende ao in�nito.

2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L e

o ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando A

tende ao in�nito, isto é, limAÑ8

dpA; Lq “ 0.

Assintotas

Definição

Consideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto que

move-se sobre esta curva. Diremos que:

1 o ponto A tende ao in�nito se a distancia entre A e a origem de

coordenadas tende ao in�nito.

2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L e

o ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando A

tende ao in�nito, isto é, limAÑ8

dpA; Lq “ 0.

Proposição

1 A reta x “ a é uma assintota vertical (reta vertical) do gra�co dey “ f pxq se temos uma das seguintes condições:

1 limxÑa

f pxq “ ˘8

2 limxÑa

`f pxq “ ˘8

3 limxÑa

´f pxq “ ˘8

2 A reta y “ b é uma assintota horizontal (reta horizontal) do gra�code y “ f pxq se temos uma das seguintes condições:

1 limxÑ`8

f pxq “ b

2 limxÑ´8

f pxq “ b

6a Aula

Continuidade

Definição

Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a

se:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.

C2 : limxÑa

f pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:

Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq existe, então a é

chamada de discintinuidade removível.

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq não existe ou não

é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.

Continuidade

Definição

Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a

se:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.

C2 : limxÑa

f pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:

Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq existe, então a é

chamada de discintinuidade removível.

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq não existe ou não

é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.

Continuidade

Definição

Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a

se:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.

C2 : limxÑa

f pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:

Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq existe, então a é

chamada de discintinuidade removível.

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq não existe ou não

é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.

Continuidade

Definição

Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a

se:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.

C2 : limxÑa

f pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:

Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq existe, então a é

chamada de discintinuidade removível.

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq não existe ou não

é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.

Exemplos:1 Dada la função

f pxq “

$

&

%

Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x

3w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0

x´3x2´x´6

se x ě 0

§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, rede�na a

função de forma que a evitar a discontinuidade.

2 Dada la função

hpxq “

$

’

&

’

%

?x`3´

?3x`1?

x´1se x ą 1

ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2

se x ă ´2

Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.

Exemplos:1 Dada la função

f pxq “

$

&

%

Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x

3w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0

x´3x2´x´6

se x ě 0

§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, rede�na a

função de forma que a evitar a discontinuidade.

2 Dada la função

hpxq “

$

’

&

’

%

?x`3´

?3x`1?

x´1se x ą 1

ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2

se x ă ´2

Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.

Propriedades

Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4

fg é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.

5 |f | é continua em a.

Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.

Propriedades

Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4

fg é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.

5 |f | é continua em a.

Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.

propriedades

1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.

2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:

§ limxÑa

f pxq “ b

§ g é contínua em b

EntãolimxÑa

gpf pxqq “ gp limxÑa

f pxqq “ gpbq

Exemplo

1 Achar o limite limxÑ2

a

3x2 ` 4

2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8

1xn“ 0

propriedades

1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.

2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:

§ limxÑa

f pxq “ b

§ g é contínua em b

EntãolimxÑa

gpf pxqq “ gp limxÑa

f pxqq “ gpbq

Exemplo

1 Achar o limite limxÑ2

a

3x2 ` 4

2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8

1xn“ 0

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Derivada de uma função num ponto

Definição

Seja f : RÑ R uma função de�nida no ponto a P Dompf q, diremos que f

é derivável no ponto a se existe o seguinte limite:

f1

paq “ limhÑ0

f pa ` hq ´ f paq

h

Se a função f é derivável em a, f1

paq é chamada de derivada de f em a.

Observação

1 Existem outras notação para a derivada de f em a: Dx f paq,df pxqdx |x“a

e f ¨pxq.2 Uma forma equivalente ao limite anterior é:

f1

paq “ limxÑa

f pxq ´ f paq

x ´ a

Exemplo

Achar a derivada da função f pxq “?x em a “ 4

Definição

Seja f : RÑ R uma função tal que

f1

pxq “ limhÑ0

f px ` hq ´ f pxq

h

exista, é chamada função derivada de f ou simplesmente derivada de f .

Obviamente Dompf1

q “ tx P Dompf q; f1

pxq exista u.

Exemplos

Prove que:1 Se f pxq “ k , k constante; então f

1

pxq “ 0 para todo x P R.2 Se f pxq “ ax ` b com a, b P R e a ‰ 0, então f

1

pxq “ a para todox P R.

3 Se f pxq “ xn com n P N, então f1

pxq “ nxn´1.4 Se f pxq “ a|x |, então f não é derivável no 0.

Interpretação Geométrica

7a Aula

Derivadas laterais

Definição

Seja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.

1 A derivada pela esquerda de f em a é de�nida e denotada por

f1

pa´q “ limhÑ0´

f pa ` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa´

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

2 A derivada pela direita de f em a é de�nida e denotada por

f1

pa`q “ limhÑ0`

f pa ` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa`

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

Derivadas laterais

Definição

Seja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.

1 A derivada pela esquerda de f em a é de�nida e denotada por

f1

pa´q “ limhÑ0´

f pa ` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa´

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

2 A derivada pela direita de f em a é de�nida e denotada por

f1

pa`q “ limhÑ0`

f pa ` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa`

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

Proposição

A função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,

existem e são iguais f1

pa`q e f1

pa´q.

Proposição

Se uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua em

a.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

Exemplo

A função de�nida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

Proposição

A função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,

existem e são iguais f1

pa`q e f1

pa´q.

Proposição

Se uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua em

a.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

Exemplo

A função de�nida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

Proposição

A função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,

existem e são iguais f1

pa`q e f1

pa´q.

Proposição

Se uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua em

a.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

Exemplo

A função de�nida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

Reta Tangente e Reta Normal

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:

Definição (Reta Tangente)

A reta de�nida por:

LT : y ´ f paq “ f1

paqpx ´ aq

é chamada de reta tangente ao grá�co de f no ponto Ppa; f paqq.

Definição (Reta Normal)

A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente ao

grá�co de f no ponto P é chamada de reta normal ao grá�co de f no

ponto Ppa; f paqq.

Reta Tangente e Reta Normal

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:

Definição (Reta Tangente)

A reta de�nida por:

LT : y ´ f paq “ f1

paqpx ´ aq

é chamada de reta tangente ao grá�co de f no ponto Ppa; f paqq.

Definição (Reta Normal)

A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente ao

grá�co de f no ponto P é chamada de reta normal ao grá�co de f no

ponto Ppa; f paqq.

observação

1 Se f1

paq ‰ 0 a equação da reta normal é:

LN : y ´ f paq “1

f1paqpx ´ aq

2 Se f1

paq “ 0 a equação da reta normal é:

LN : px ´ aq “ 0

Exemplos

1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao grá�co de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das

tangentes horizotais ao grá�co de f .

observação

1 Se f1

paq ‰ 0 a equação da reta normal é:

LN : y ´ f paq “1

f1paqpx ´ aq

2 Se f1

paq “ 0 a equação da reta normal é:

LN : px ´ aq “ 0

Exemplos

1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao grá�co de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das

tangentes horizotais ao grá�co de f .

Regras Básicas

Teorema

Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções

Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

Teorema

Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções

Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

Teorema

Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções

Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

Teorema

Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções

Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Exemplos

1 Se f pxq “ 5x5 ` x4 ´ 2x3 ` 1, calcular f1

pxq e f1

p1q.2 Dada f pxq “ x´n, x ‰ 0 e n P N, calcular f 1pxq.3 Se f pxq “ x`3

2´x , x ‰ 2 calcular f1

pxq.

4 Provar que psenpxqq1

“ cospxq

5 Provar que pcospxqq1

“ ´senpxq

8a Aula