Download - INTRODUÇÃO ao CONTROLO MeAERO - Técnico Lisboa · Capítulo 2 - Modelação Intro CONTROLO | 1º sem 2017/2018 al Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos ... • Só para sistemas

Capítulo2-Modelação

IntroCONTROLO|1ºsem2017/2018

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Cap2–ModelaçãodeSistemasFísicos

Isabel Ribeiro António Pascoal

Transparênciasdeapoioàsaulasteóricas

TodososdireitosreservadosEstasnotasnãopodemserusadasparafinsdisQntosdaquelesparaqueforam

elaboradas(lecionaçãonoInsQtutoSuperiorTécnico)semautorizaçãodosautores

INTRODUÇÃOaoCONTROLOMeAERO

1ºsemestre–2017/2018



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Cap2-2

ObjecQvos

•  DefiniroqueéummodeloediscuQroseuusopararesponderaperguntassobreocomportamentodesistemas_sicos

•  Introduzirosconceitosdeentrada,saídaedinâmica•  Darexemplosdemodelosdesistemas_sicosem

domíniosdiversos•  Linearização

Ø Referênciaso  Cap.2–dolivrodeFranklin,Powel,Naemi(referênciaprincipal)o  Cap.2-dotextodeKarlAstrom,RichardMurray,disponívelna

Web.o  Cap.1(atéseção1.4.6)–dolivrodeMªIsabelRibeiro,Análisede

SistemasLineares,2002,ISTPress(disponívelnaISTPressnoIST)



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Cap2-3

RevisãosobreIntroduçãoaoControlo

Controlo==Sensoriamento+

Computação+Atuação

Sensoriamento/Perceção

Computação

AtuaçãoSistema_sico

Ø Sistemasdecontroloporretroaçãoocorrememmuitosdomínios

Ø Obje<vosdocontrolo• Modificarocomportamentodesistemas

comasseguintesrestrições:

 Estabilidadeemcadeiafechada Robustezfaceaincertezasdemodelização Atenuaçãodeperturbações



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Cap2-4

Modelos

•  Modelo=abstraçãodarealidade_sica(sistemasbiológicos,mecânicos,térmicos,deinformação,...).Extraidarealidade_sicaascaracterísQcasrelevantesconsiderandohipótesessimplificaQvas.

•  Ummodeloforneceumaprediçãodecomoéocomportamentodosistema

•  Oprojectodecontroladoresparasistemas_sicosfaz-seaparQrdeummodelodessesistema.Osmodelosnãotêmqueserexactos.

–  Modelosquedescrevammuitodetalhadamenteumsistemapodemsercomplexos–  Desconhecem-setodososfenómenos_sicosqueregulamocomportamentodosistema–  Namodelaçãofazem-se,muitasvezes,hipótesessimplificaQvas

•  Aretroaçãogaranterobustezaincertezas(emdeterminadoslimites)nomodelo

•  Osmodelosusadosparacontrolorelacionamentradascomsaídase(eventualmente)comvariáveisinternasdosistema



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Cap2-5

Modelos

•  Omodeloquesederivadependedaperguntaaquesepretenderespondersobreosistema_sico.–  Perguntasdiferentesèmodelosdiferentes–  PerguntasiguaismashipótesessimplificaQvasdiferentesèmodelos

diferentes

•  Aomesmosistema_sicopodemcorrespondermodelosdiferentes

•  Devemserescolhidasescalasdetempoedeespaçoadaptadasàsquestõesaquesepretenderesponder



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Cap2-6

ModeloeRepresentaçãoMatemáQca

•  Deentrada-saída–relacionadirectamenteaentradacomasaída•  Equaçãodiferencial

•  Linearounãolinear•  Varianteouinvariantenotempo

•  FunçãodeTransferência•  Sóparasistemaslinearesinvariantesnotempo

•  Deestado–relacionaaentrada,asaídaevariáveisinternasdosistema

Entrada Saída

r(t) y(t) Sistema

DoModeloparaaRepresentaçãoMatemá<caUQlizaçãodasleis_sicasnatraduçãomatemáQcadashipótesessimplificaQvasdamodelação

RepresentaçãomatemáQca

RepresentaçãomatemáQca



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Cap2-7

Modelação:Exemplos

Algunsexemplosdesistemas_sicos– Sistemasmecânicos– Circuitoselétricos– Sistemaseletromecânicos– Sistemastérmicos– Sistemashidráulicos– Dinâmicadepopulações–  ......



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Cap2-8

SistemadeControlodeVelocidade(CruiseControl)

•  ObjeQvodosistemadecontrolo–  Manterconstanteavelocidadedoveículo

•  Modelodosistema_sico–  Entrada:forçaf(t)geradapelomotor–  Saída:velocidadev(t)doautomóvel

f(t)Sensordevelocidade

MotorControladorv(t)vref(t) +

_f(t)

v(t)f(t)

•  QualéomodelomatemáQcodestesistema_sicoquerelacionaf(t)comv(t)?

•  FazendohipótesessimplificaQvasobtém-seummodelo.



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Cap2-9

SistemasMecânicosdeTranslação

LeideNewton(séc.XVII)

Ø  F=somadasforçasaplicadasaocorpo(N)Ø  v=vectorvelocidadedocorpo(m/s)Ø M=massadocorpo(Kg)Ø mv=momentolinearKgm/s

F=d(mv)/dt

Aforçatotalaplicadaaumcorporígidoéigualàderivadaemordemaotempodoseumomentolinear



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Cap2-10


•  Massa

•  Mola

X

2

2

dt)t(xdm)t(f =

Massa - Armazena energia cinética

m f(t)

X

K

)t(x K)t(fs −=

Mola - Armazena energia potencial

K=constante da mola

fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0).

K )t(x K

)t(fs

ElementosBásicos



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Cap2-11


•  Atrito

ElementosBásicos

dt)t(xd )t(fd β−=

Atrito-Elementodissipadordeenergia

b=coeficientedeatritoviscoso

X

b

b

Xx(t)

dt)t(xd β

)t(fd

Aforçadeatrito,fd(t),queseopõeaomovimento,éproporcionalàvelocidade

• simplificaçãodarealidade

• éusualmenteumafunçãonãolineardavelocidade



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Cap2-12

SistemadeControlodeVelocidade(CruiseControl)

v(t)f(t) QualéomodelomatemáQcodestesistema_sicoquerelacionaf(t)comv(t)assumindoashipótesessimplificaQvas?

Hipótesessimplifica<vas:• Inérciarotacionaldasrodasédesprezável

• Oatritoqueseopõeaomovimentoéproporcionalàvelocidade(atritoviscoso)

• Oautomóvelmove-senoplanohorizontal

b

m f(t)

Força externa aplicada

f(t) dt)t(xd (t)v =

Sistema



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Cap2-13


Exemplode1ªOrdem

b

m f(t) Força externa aplicada

f(t) dt)t(xd (t)v =

Sistema

A força de atrito opõe-se ao movimento

dt)t(dvm

dt)t(xdmaplicadas forças 2

2

==∑

dt)t(dvm)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+

Força externa Força do atrito

Lei de Newton

)t(f)t(vdt)t(dvm =β+

• Representaçãodeentrada-saídao nodomíniodotempo

o entrada:f(t)o saída:v(t)

o Equaçãodiferenciallineardecoeficientesconstantesde1ªordem

o Sistemade1ªordem



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Cap2-14


Exemplode2ªOrdem

b


f(t) x(t)Sistema

A força de atrito opõe-se ao movimento

2

2

dtx(t)dmaplicadas forças =∑

2

2

d dtx(t)dm

dtdx(t)βf(t)(t)ff(t) =−=+

Força externa Força do atrito

Lei de Newton

f(t)dtdx(t)β

dtx(t)dm 2

2

=+

• Representaçãodeentrada-saídao nodomíniodotempo

o entrada:f(t)o saída:x(t)

o Equaçãodiferenciallineardecoeficientesconstantesde2ªordem

o Sistemade2ªordem



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Cap2-15


Exemplode2ªOrdem


f(t) (t)xSistema

2

2

dt)t(xdmaplicadas forças =∑

2

2

dt)t(xdm)t(Kx

dt)t(dx)t(f =−β−

b

K

dt)t(xd β−

)t(Kx−

)t(f)t(Kxdt)t(dx

dt)t(xdm 2

2

=+β+



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Cap2-16

FunçãodeTransferência


EQUAÇÃODIFERENCIAL-RepresentaçãomatemáQcadosistemanodomíniodotempo

• paraumadadaentrada• asaídapodeobter-seporresoluçãodaequaçãodiferencial

AplicandoTransformadadeLaplaceunilateraleconsiderandocondiçõesiniciaisnulas

)s(F)s(V)s(msV =β+

∫∞

τ−

−

ττ=

=

=

0

s de)(x)s(X

)]t(f[TL)s(F

)]t(v[TL)s(V

TransformadadeLaplaceunilateral

β+=ms1

)s(F)s(V FUNÇÃODETRANSFERÊNCIA-RepresentaçãomatemáQca

dosistemanodomíniodavariávelcomplexa



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Cap2-17


SLIT r(t) y(t)

FUNÇÃODETRANSFERÊNCIA

0.i.c)s(R)s(Y)s(G

=

=

G(s) R(s) Y(s)

Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =

•  Afunçãodetransferênciaéumconceitopotenteparadescreverocomportamentodesistemasdopontodevistadeentrada/saída

•  ParaSLITs,afunçãodetransferênciacaracterizacompletamenteosistemadopontodevistadeentrada-saída

QuocientedatransformadadeLaplacedosinaldesaídapelatransformadadeLaplacedosinaldeentradaconsiderandonulasascondiçõesiniciais



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Cap2-18


SLIT r(t) y(t)

0.i.c)s(R)s(Y)s(G

=

=

G(s) R(s) Y(s) r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TL TL-1

Obtençãodasoluçãodaequaçãodiferencialqueéarepresentaçãodocomportamentodeentrada-saída

)s(R).s(G)s(Y =

Se as condições iniciais forem nulas

Afunçãodetransferênciaéumconceitopotenteparadescreverocomportamentodesistemasdopontodevistadeentrada/saída

Resolução da eq.diferencial



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Cap2-19

FunçãodeTransferênciaeDiagramadeBlocos

v(t)f(t)


β+=ms1

)s(F)s(V

βms1+ V(s)F(s)

x(t)f(t)

βms1+

V(s)F(s) X(s)

s1

β)s(ms1+

X(s)F(s)

f(t)(t)xβ(t)xm =+ !!!

Ø Omesmosistema_sicoØ Modelosdiferentes



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Cap2-20

CruiseControl(emplanohorizontal)

v(t)f(t)

βms1+

V(s)F(s)

Sistema_sico

K

modelodosistema_sico

Sistemacontroladocomcontroladorproporcional

Vref(s)+

_

?=(s)V

V(s)ref controlador



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Cap2-21

SistemasMecânicosdeRotação

rotaçãoemtornodeumeixo

•  LeideNewton-Euler

Asomadosbináriosqueactuamnumcorpoéigualaoprodutodomomentodeinérciadessecorpopelasuaaceleraçãoangular.

2

2

dtθ(t)dJT(t) =

2

2

dtθ(t)d

T=somadosbináriosaplicadosaosistema(N.m)=vectoraceleraçãoangularaqueocorpoestásujeito(rad/s2)J=momentodeinércia(Kg.m2)(supostoconstante)



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Cap2-22


•  Inércia

•  MolaRotacional

ElementosBásicos

dtdJ

dtθ(t)dJT(t) 2

2 ω==

Armazena energia cinética rotacional

-Velocidadeangular

θ(t)K (t)Ts −=Mola armazena energia potencial rotacional

K = constante da mola

Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio.

é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação. θ(t)K

w



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Cap2-23


•  AtritoRotacional

ElementosBásicos

Atrito-Elementodissipadordeenergia

b-coeficientedeatritoviscoso

ObináriodeatritoTd(t),queseopõeaomovimento,éproporcionalàvelocidadeangular

• simplificaçãodarealidade

• éusualmenteumafunçãonãolineardavelocidade

ω(t) β(t)Td −=

β



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Cap2-24

Sistemasmecânicosderotação

2

1

2

1

1

2

NN

rr ==θ

θ

Avelocidadelinearéigualnopontodecontactodasduasrodas

Engrenagem(caixadedesmulQplicação)

2211 θθ rr =

Roda dentada 1 – entrada

Raio - # dentes -

1N1r

Roda dentada 2 – saída

Raio - # dentes -

2N2r

adesmulQplicaçãoangularéinversamenteproporcionalaoquocientedonúmerodedentes.



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Cap2-25

Sistemasmecânicosderotação

Engrenagem(caixadedesmulQplicação)

Roda dentada 1 – entrada

Raio - # dentes -

1N1r

Roda dentada 2 – saída

Raio - # dentes -

2N2r

1

2

2

1

1

2

NN

TT == θ

θ

Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia

2211 θθ TT =a“mulQplicação”debinárioédirectamenteproporcionalaoquocientedonúmerodedentesdasrodas.

Resumo

q2q1 T1 T2

1

2

NN

2

1

NN

Energia rotacional



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Cap2-26

Exemplo:Pêndulo

m

L

mg

θ

PênduloMassatodaconcentradanaextremidadeBraçodecomprimentoL[m]BinárioaplicadoTc(t)[N.m]

Pergunta:Comovariaoânguloθ(t)emfunçãodeTc(t)?

Momentodeinérciaemtornodopontoderotação=J=mL2

∑= aplicados binários(t)θ J !!

θsin L mg-(t)T(t)θ mL c2 =!!

2c

mL(t)Tsinθ

Lg(t)θ =+!!

mg

θmgcosθ

mgsinθ

•  Eq.Diferencialnãolinear•  NãoexisteFunçãodeTransferência•  Faz-sealinearizaçãodosistema

(t)Tc

Por definição, o momento de inércia J de uma partícula de massa m que gira em torno de um eixo, a uma distância L dele, é mL2

termodevidoàgravidade



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Cap2-27

CarrocompênduloinverQdo

M Massadocarro

m Massadopêndulo

b Coeficientedeatritonomovimentodocarro

L Comprimentoatéaocentrodemassadopêndulo

I Inérciadopêndulo

F Forçaexternaaplicadaaocarro

x Posiçãodocarro

θ

ÂngulodopêndulorelaQvamenteàverQcal(posiçãodeequilíbrioθ=0), medido no sentido contrário aos ponteiros de relógio

Pretende-se:Equaçõesdadinâmicademovimentodosistemaemtermosdexedeθ

Assume-seque:•  Opêndulosósemovenoplanodapágina•  Ocentrodegravidadedopênduloéoseucentrogeométrico

h�p://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html

L

L

0

FM

X

Y

θ

m,I



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Cap2-28


Coordenadasdocentrodemassadopêndulo(quandoocarrosedeslocoudex)

LcosθyLsinθxx

G

G

−=+=

(xG,yG)

L

θ

LsinθX

Y

x

-Lcosθmg

sinθθLy

cosθθLxx

G

G

!!

!!!

=

+=

cosθθLsinθθLy

sinθθL-cosθθLxx2

G

2G

!!!!!

!!!!!!!

+=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡cosθsinθ-

θLsinθcosθ

θL0x

yx 2

G

G !!!!!!!!!



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Cap2-29


Ø Somadasforçasnoreferencialhorizontalassociadoaocarro

xb-FxmxM G !!!!! =+Ø Somadasforçasnopêndulonadirecçãohorizontal

sinθθmLcosθθmLxmxm 2G

!!!!!!! −+=

N=forçadereação(desconhecida)aplicadapelopêndulo

FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ !!!!!!

xb! Forçadeatrito

L

L

0

FM

X

Y

θ

m,I ObalançodeforçassegundoXétalqueamassadocarro(M)mulQplicadapelaaceleraçãodocarroadicionadaàaceleraçãodopendulosegundoXmulQplicadapelamassadopêndulo(m)éigualàsomadasforçasnocarro(forçaexternaeforçadeatrito)



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Cap2-30


Balançodebinários

L*pêndulo dolar perpendicu na força aplicados binários Σ θI Σ==!!

cosθxmLmgL)sinθymL( θI GG !!!!!! −−−=

LcosθyLsinθxx

G

G

−=+=

cosθxmL- mgLsinθ θ)mL(I 2 !!!! =++

.

.

. 0

FM

X

Y

m,I

xb!Forçadeatrito

mg

θ

N



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Cap2-31


FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ !!!!!!

cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 !!!! −=++

Sistemadeequaçõesdiferenciaisnãolineares

L

L

0

FM

X

Y

θ

m,I



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Cap2-32


0

FM

X

Y

q

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡cosθsinθ-

θLsinθcosθ

θL0x

yx 2

G

G !!!!!!!!!

Vetoraceleração

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0x!!

A B

A

B



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Cap2-33

SistemasElectromecânicos

Parâmetroscaracterís<cos:

Ra-resistência–Ohm

La-indutância–Henry

ea-tensãodeentradanocircuitodaarmadura–Volt

ia-correntenocircuitodaarmadura-Ampere

vb-forçacontra-electromotriz–Volt

Tm–bináriodisponívelnoveiodomotor

Motordecorrenteconbnua



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Cap2-34

Motordecorrentecon�nua

O rotor gira num campo magnético

Força contra-eletromotriz

)(tmbm

bb ωKdt(t)dθKv ==

Equaçãodocircuitodaarmadura

aba

aaa e(t)vdtdiLiR =++

tensãodeentradanorotor

Forçacontra-electromotriztensãoaosterminaisdaresistência

quedadetensãonabobina

(s)E(s)V(s)sIL(s)IR abaaaa =++

sLR1

aa +

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s) Θm(s)

bsK



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Cap2-35


Binarioacessívelnoveiodomotor

atm IKT =t

maatm K

)s(T)s(I )s(IK)s(T ==

(proporcionalaia;Kt=Kb)

sLR1

aa +

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s)Kt

Tm(s) Θm(s)

bsK

termo em θm

(s)E(s)sΘKK

(s)s)TL(Ramb

t

maa =++

termos em Tm



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Cap2-36


(s)T(s)Ωβ(s)sΩJ mmmmm =+

EquaçãodoROTOR

(s)T(s)s)Θβs(J mmm2

m =+

)]t([TL)s( mm ω=Ω

sLR1

aa +

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s)Kt

Tm(s))sJ(s

1mm β+

Θm(s)

bsK

Porreduçõessucessivasdodiagramadeblocos,obtenhaafunçãodetransferênciadomotor.

(t)ωβ(t)T(t)ωJ mmmmm −=!

mωVelocidadeangulardoveiodomotor

(t)θβ(t)T(t)θJ mmmmm!!! −=

( ) (s)θsK(s)E)sL(R

K(s)T mbaaa

tm −

+=



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Cap2-37


SeLapuderserdesprezada(emcomparaçãocomRa)

(s)T(s)s)Θβs(J mmm2

m =+

(s)E(s)sΘKK

(s)s)TL(Ramb

t

maa =++

(s)E(s)sΘK(s)ΘK

s)βss)(JL(Rambm

t

m2

maa =+++

(s)E(s)sΘK)βs(JKR

ambmmt

a =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

)]RKK(β

J1s[s

)J/(RK(s)E(s)Θ

a

btm

m

mat

a

m

++=

a)s(sK

(s)E(s)Θ

a

m

+= FunçãodeTRANSFERÊNCIAdaforma



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Cap2-38

Controlodeposiçãodeummotordecorrentecon�nua

Sistema de controlo de posição angular do motor

a)s(sK

(s)E(s)Θ

a

m

+=

a)(sK+ s

1

Integrador (posicao angular é o integral da velocidade angular. Pólo em zero!)

Wm(s)Ea(s)

Θm(s)

Dinâmica da velocidade angular

asK+ s

1+_

K

Θm(s)

Ea(s)

R(s)

KKsasKK

R(s)(s)ΘG(s) 2

m

++==



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Cap2-39

Dinâmicadeconduçãodeumrobotmóvel

{R})t(y

)t(x

)t(θ

WY

{W} WX

vd(t)–velocidadelineardarodadireitave(t)–velocidadelineardarodaesquerdaL–distânciaentrerodas

2rodasmotorastraseiras2rodasdianteirasnãomotorizadas

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

+=

L(t)v(t)v(t)θ

(t))sin(2

(t)v(t)v(t)y

(t))cos(2

(t)v(t)v(t)x

ed

ed

ed

!

!

!

θ

θ

Pergunta:Comovariamnotempoaposição(x,y)eorientaçãoθdoveículoemfunçãodasvelocidadeslinearesdasduasrodas?

Sistemade3equaçõesdiferenciaisnãolineares

rodasmotoras



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Cap2-40

Dinâmicadeconduçãodeumrobotmóvel

{R})t(y

)t(x

)t(θ

WY

{W} WX

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

+=

L(t)v(t)v(t)θ

(t))sin(2

(t)v(t)v(t)y

(t))cos(2

(t)v(t)v(t)x

ed

ed

ed

!

!

!

θ

θ

Controlo:Quevaloresdevemterve(t)evd(t)paraqueoveículosigaumdeterminadocaminho?

rodasmotoras

Controlador

(x,y,θ)Coordenadasdocaminhoaseguir

ve

vd

Écombasenestemodelodosistema_sico(éummodelosimplificado)queseprojectaocontrolador



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Cap2-41

Linearização

v(t)f(t)

b

m f(t)

Força externa aplicada

Sistemanãolinear Aproximaçãolinear

Exemplo:carroaaltavelocidade

dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2

21 =−−

Velocidadeelevada Forçadeatrito:termolinear+termoquadráQco

221d v(t)βv(t)β(t)f −−=

Sistemanãolinear



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Cap2-42

Linearização:Exemplo

dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2

21 =−−

Condiçãodeequilíbrio

•  Oqueéumasituaçãodeequilíbrio?•  SeosistemaesQvernumasituaçãodeequilíbrioenãohouvernenhumaperturbação,elemantém-seindefinidamentenessasituação

•  Osistemaestánumasituaçãodeequilíbrioquandoumaforçaexternaigualaaforçadeatrito

dinâmicanãolinear

evctev(t) ==

Caracterizaçãodoequilíbrio

0=dtdv(t) 0vβvβf 2

e2e1e =−−

2e2e1e vβvβf += Ospares(ve,fe)quesaQsfazemestarelação

sãopontosdeequilíbriodosistema

Sistemanãolinear Aproximaçãolinearemtornodeumasituaçãodeequilíbrio



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Cap2-43

Linearização:exemplo

Estudodocomportamentodosistemaemtornodeumasituaçãodeequilíbrio (ve,fe)

δv(t)vv(t) e +=

δf(t)ff(t) e +=

2e2e1e

e δv(t))(vβδv(t))(vβδf(t))(fdtδv(t))d(vm +−+−+=+

221 v(t)βv(t)βf(t)

dtdv(t)m −−=

Incrementospequenosemtornodoequilíbrio

????2e1e βδv(t))(vβδf(t))(fdt(t)dδm −+−+=v

???linear linearVe=cte.



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Cap2-44


???=+= 2e

2 δv(t))(vv(t)Apr.sériedeTayloremtornodopontodeequilíbriodesprezandoostermosnãolineares(ordemsuperiorà1ª)

...)xx(dxfd

21)xx(

dxdf)x(f)x(f 2

0xx

2

2

0xx

0

00

+−+−+≅==

Apr.sériedeTaylor

δv(t)2vvv(t) e2e

2 +≅ Desprezandotermosdeordemsuperior

δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt(t)dδm e

2e2e1e +−+−+=v

Éválidoparaincrementospequenos

v

v2

ve



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Cap2-45


δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt(t)dδm e

2e2e1e +−+−+=v

2e2e1e vβvβf += Condiçãodeequilíbrio

δv(t)vβδv(t)βδf(t)dt(t)dδm e21 2−−=v

δf(t)v(t))vβ(βdt(t)dδm e21 =++ δ2v Eq.

diferenciallinear

Funçãodetransferência)]v2β(β[sm

1δF(s)δV(s)

e21 ++=



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Cap2-46


Funçãodetransferência)]v2β(β[sm

1δF(s)δV(s)

e21 ++=

v(t)f(t)

dv(t)df(t)

Sistemanãolinear

SistemaLinearizado δf(t)v(t))vβ(βdt(t)dδm e21 =++ δ2v

f(t)v(t)βv(t)βdtdv(t)m 2

21 =++

• Relacionaincrementosnasaídacomincrementosnaentrada• Osincrementossãoemtornodeumdeterminadopontodeequilíbrio(ve,fe)

Alocalizaçãodopólodependedavelocidadedeoperaçãove



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Cap2-47

Pêndulo:Linearização

m

L

mg

θ

2c

mL(t)Tsinθ

Lg(t)θ =+!!(t)Tc

Nãolineardevidoaotermosinq

0T 0,θ c == Pontodeequilíbriodosistema

Paraqpequenos(pequenasperturbaçõesemtornodopontodeequilíbrio)

θsinθ ≅

2c

mL(t)Tθ

Lg(t)θ =+!!Modelolinearquedescreveo

comportamentodosistema,massóparaqpequenos

...0)(θdθθsin dθθsin

0θ

0θ+−+≅

=

=

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