modelaÇÃo dinÂmica em sistemas de distribuiÇÃo de Água
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MODELAÇÃO DINÂMICA EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE
ÁGUA
Nuno E. SIMÕES Assistente Estagiário, DEC-FCT-Universidade de Coimbra, Pólo II, Pinhal de Marrocos, 3030-290 Coimbra, Portugal, +351239717129, [email protected];
Alfeu SÁ MARQUES Professor Auxiliar, DEC-FCT-Universidade de Coimbra, Pólo II, Pinhal de Marrocos, 3030-290 Coimbra, Portugal, +351239717148, [email protected];
Rita F. CARVALHO Professora Auxiliar, DEC-FCT-Universidade de Coimbra, Pólo II, Pinhal de Marrocos, 3030-290 Coimbra, Portugal, +351239717150, [email protected].
RESUMO Num sistema de distribuição de água os consumos são variáveis ao longo do tempo, pelo que,
os caudais que circulam nas condutas apresentam variações e consequentemente, existem flutuações de pressões. Tradicionalmente o estudo dos sistemas de distribuição de água era efectuado em condições de regime permanente uniforme para a situação que se considerava mais desfavorável. Com os meios actuais torna-se possível e acessível tentar reproduzir o que se passa na realidade ao longo do tempo, deixando de se fazer uma caracterização estática para se fazer uma caracterização dinâmica. Os modelos de simulação dinâmica podem ser modelos inérciais e não inérciais.
Neste trabalho estuda-se um sistema de distribuição através de três modelos: • um modelo quase-permanente, modelo dinâmico não inercial, em que são efectuados
um conjunto de equilíbrios e integrados os caudais dos reservatórios. • um modelo inercial rígido, que não tem em consideração as características elásticas
quer do fluido quer das componentes do sistema. • um modelo inercial elástico, que tem em conta as características elásticas do sistema.
Os vários métodos são comparados em termos de precisão e esforço de cálculo.
Palavras Chave: modelação hidráulica, modelos inérciais, modelos não inérciais, modelo rígido, modelo elástico.
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1 INTRODUÇÃO Um sistema de distribuição de água é constituído por um conjunto de reservatórios, condutas e
acessórios, e tem por objectivo transportar água desde os locais em que é captada, produzida ou armazenada, até aos locais em que é consumida. Do ponto de vista económico, os sistemas de distribuição de água são obras cujo custo é relativamente alto, devendo o engenheiro tentar reduzi-lo sem pôr em causa os aspectos funcionais, isto é, garantindo que a água chegue em boas condições, tanto qualitativamente como quantitativamente, junto dos consumidores. Outro aspecto preponderante é o conhecimento, à priori, da resposta de um sistema de distribuição, face a medidas tomadas na sua gestão, sendo a sua resposta fundamental para a tomada de decisões.
Parece importante apresentar uma clarificação de termos e conceitos, entendendo-se por: § Sistema uma qualquer estrutura que responde, através de uma saída, a uma entrada.
Por exemplo uma rede de distribuição de água é um sistema que accionado por uma entrada, que podem ser as variações dos consumos ou qualquer outra acção de modificação do caudal ou da pressão, responde através da alteração dos caudais e pressões na respectiva rede.
§ Modelo é a representação do comportamento do sistema. Esses modelos podem ser físicos, analógicos e matemáticos. Um modelo físico representa o sistema por um protótipo a uma certa escala. Os modelos analógicos baseiam-se na analogia dos princípios físicos que regem diferentes fenómenos e os modelos matemáticos representam a natureza dos sistema, através de equações matemáticas.
§ Simulação é o processo de utilização do modelo. Os modelos podem dividir-se em: modelos de simulação estática, modelos de simulação
dinâmica, modelos de operação/gestão e modelos de dimensionamento. Na presente comunicação apenas serão abordados os dois primeiros.
Nos modelos estáticos a caracterização dos escoamentos é feita com base nas equações de conservação da massa, do teorema de Bernoulli e na consideração de uma lei de resistência, tendo-se assim um sistema de equações não lineares. A principal contribuição de interesse histórico na análise de redes hidráulicas deve-se a Hardy Cross, 1936, que propôs um método iterativo de procedimento manual para a solução de redes emalhadas de escoamentos em pressão. A partir da década de 60, com o desenvolvimento dos computadores, começaram a surgir vários métodos matemáticos mais adequados à resolução de sistemas de equações não lineares. Martin e Peters, 1963 desenvolveram um algoritmo que utiliza o método de Newton-Raphson para obter a solução simultânea das correcções de caudal nas malhas. Vários algoritmos, com base em diferentes formulações, foram sendo propostos por diversos autores e no início da década de 70, Wood e Charles, propuseram um novo método, baseado na formulação dos troços e na linearização das equações da conservação da energia das malhas, denominado linear.
Os modelos de simulação dinâmica têm como objectivo a obtenção das condições hidráulicas do funcionamento do sistema modelado, ao longo de um período de tempo. Com este tipo de modelos é possível criar um filme que retrata a resposta do sistema a diferentes acções. Podem ser classificados em modelos inérciais e modelos não inérciais. Os modelos inérciais têm em conta a inércia do movimento do fluido através dos elementos do sistema, utilizando um par de equações diferenciais, resultantes da aplicação das equações da continuidade e quantidade de movimento ao escoamento nas condutas. Consoante se considere ou não os efeitos elásticos quer do fluido quer dos componentes do sistema temos o modelo inércial elástico e o modelo inércial rígido respectivamente. O modelo não inércial não é um verdadeiro modelo de simulação dinâmico, mas sim um modelo em regime quase-permanente no qual são efectuados um conjunto de equilíbrios hidráulicos com condições de fronteira a variarem no tempo, sendo essas condições de fronteira os níveis dos
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reservatórios e/ou acessórios em que se especifica o seu estado. A Figura 1 mostra esquematicamente os diferentes modelos de simulação.
Simulação Dinâmica de Sistemas Hidráulicos em Pressão
Inérciais Não Inérciais
ModeloElástico
ModeloRígido
ModeloQuase-Permanente
Figura 1: Modelos de simulação dinâmica de sistemas em pressão
Neste trabalho analisa-se um pequeno sistema de distribuição fictício, com cada um destes três modelos acima referidos com vista a uma comparação em termos de precisão de resultados, de tempo de execução e esforço de cálculo.
2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DOS MODELOS
Considerando, simplificadamente, que o escoamento é estudado como sendo unidireccional e as distribuições da pressão e da velocidade são uniformes em cada instante; o fluido é homogéneo e monofásico durante o regime transitório; as características de compressibilidade do fluido são expressas pelo coeficiente de compressibilidade volumétrico; as perdas de carga são, em cada instante, as que se verificam num escoamento uniforme tangente e permanente e ainda com base no princípio da conservação da massa, princípio da conservação da energia e princípio da conservação da quantidade de movimento obtêm-se as equações básicas que regem os regimes variáveis:
Equação da dinâmica
02D
VVf+gsen
xp1
xV
VtV
=+++ α∂∂
ρ∂∂
∂∂
( 1 )
Equação da continuidade
0xV
Cxp
Vtp 2 =
∂∂
ρ+∂∂
+∂∂
( 2 )
em que V – velocidade média da água na conduta; p – pressão; f – factor de atrito; D – diâmetro da conduta. ρ - densidade; C – celeridade. Nas aplicações correntes em hidráulica estas equações simplificam-se transformando-se em:
0DA2
QQf
tQ
A1
xH
g 2 =+∂∂
+∂∂
( 3 )
4
0xQ
gAC
tH 2
=∂∂
+∂∂
( 4 )
em que Q – caudal; A – área da conduta; g – aceleração da gravidade; H – cota piezométrica. Estas são as equações do modelo inércial elástico. Considerando que a conduta é indeformável e o fluido incompressível, a equação da
continuidade reduz-se a:
0xQ
=∂∂
( 5 )
Assim, a equação da dinâmica pode-se escrever da seguinte forma:
0DA2
QQf
tQ
gA1
xH
2 =+∂∂
+∂∂
( 6 )
Como o caudal só depende da variável tempo a aceleração local coincide com a total. Por outro lado H só depende da variável espaço. Então integrando um troço rectilíneo de conduta tem-se:
dtdQ
AgL
g2
DAL
fHH 221 ++= ( 7 )
que é a equação do modelo inércial rígido. Esta equação não é mais do que a aplicação da lei de Newton (massa x aceleração = força ) à
água do interior de uma conduta em cujos extremos existem as energias H1 e H2.
{4444 34444 21321
força
221
aceleraçãomassa
2g
DAL
f+H-H A - =A1
dtdQ
AL
γρ
( 8 )
Se além de admitirmos que o sistema conduta-fluido é indeformável, considerarmos que estamos perante um escoamento em regime permanente, esta equação simplifica-se, obtendo-se:
g2
DAL
fHH 221 += ( 9 )
que é a equação de Bernoulli para regimes permanentes. O equilíbrio hidráulico em regime permanente pode ser calculado através da formulação do nós,
malhas ou troços.
3 MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUÇÃO
3.1. Método numérico de resolução do método elástico As equações ( 3 ) e ( 4 ) formam um sistema de equações diferenciais parciais do tipo
hiperbólico quase linear que só apresenta soluções analíticas no caso de a manobra ser total e instantânea. O método utilizado para a integração destas equações é o método das características (MOC).
Este método consiste em transformar o sistema formado pelas duas equações a derivadas parciais, em quatro equações a derivadas totais que podem ser integradas por um método de diferenças finitas de primeira ordem. Foi utilizado o método dos intervalos de tempo especificados (Specified Time Intervals).
5
A solução consiste em calcular Q e H em cada ponto da rede de cálculo para t=∆t, continuando depois para t=2∆t, e assim sucessivamente. Em cada ponto interior, ponto i, as duas equações de compatibilidade, deduzidas a partir de (3) e (4) podem ser resolvidas simultaneamente para as incógnitas HPi e QPi:
( ) ii+ QP iB - CP =HP : C ( 10 )
( ) ii- QP iB CM =HP : C + ( 11 )
em que HPi – cota piezométrica no ponto i no instante t+∆t; QPi – Caudal no ponto i no instante t+∆t;
( ) -1i-1i-1i-1i Q Q R - Q iB +H = CP ( 12 )
( ) 1i+1i+1i+1i+ Q Q R + Qi B -H =CM ( 13 )
em que
B(i)=gAC
;
R=2gdA2
xf∆.
Para que haja estabilidade do processo numérico é necessário, mas não suficiente, que a
condição de Courant C1
?x? t
≤ seja satisfeita.
3.2. Método numérico de resolução do método rígido Linearizando a equação ( 6 ) e escrevendo como diferenças finitas obtém-se a equação
[ ] QtAg
LHPHPQP
g2
Q
DAL
fQPtAg
L21
'K
2 ∆=−−+
∆ 43421 ( 14 )
Usando esta equação e a formulação dos troços, tem-se um sistema de equações lineares que serão resolvidas pelo método de Gauss.
3.3. Método numérico de resolução do regime quase-permanente O software H-NetCAD v2.0 é um programa comercial editado pela Imprensa da Universidade de
Coimbra, e foi usado para calcular o regime quase-permanente. Recorrendo à formulação dos nós e ao método do gradiente conjugado resolve o sistema de equações não lineares.
O programa utiliza um esquema de previsão-correcção para a simulação do regime quase-permanente. Este esquema consiste em calcular o equilíbrio no instante t+∆t partindo das condições iniciais de caudal Qt e chegando a um caudal Qt+∆t. De seguida partindo das mesmas condições iniciais o equilíbrio calcula-se com um caudal que é uma média de Qt com Qt+∆t, obtendo-se um resultado com maior precisão.
3.4. Condições de fronteira Foram modeladas as equações de fronteira adequadas e em todos os métodos de resolução, a
condição de fronteira do reservatório, é a equação diferencial da variação da velocidade da água (superfície livre) em que se considerou uma distribuição hidrostática de pressões e se desprezaram as perdas de carga e a inércia da massa de água no reservatório.
6
3.5. Perdas de carga nas condutas Para uma melhor comparação dos diferentes modelos, o cálculo da perda de carga ao longo da
conduta faz-se da mesma forma. É utilizada a fórmula racional de cálculo da perda de carga contínua (fórmula de Darcy-Weisbach):
LgD2
VfH
2
=∆ ( 15 )
Para valores do número de Reynolds inferiores a 3000 é usada para calcular o factor de atrito a fórmula de Hagen-Poiseuille (regime laminar):
eR64
f = ( 16 )
em que Re – número de Reynolds.
e para valores do número de Reynolds superiores a 3000 é usada uma fórmula que explicita o f da expressão de Colebrook-White proposta por Sousa e Sá Marques em 1999
+−−= 87,0
ee R09.5
D7,3k
logR
16.5D7,3
klog2
f1
( 17 )
em que k – rugosidade absoluta.
a qual, segundo os autores, apresenta desvios inferiores a 0,2% relativamente à primeira. Em cada instante o valor de f utilizado é calculado com base no caudal do instante anterior.
4 CASO DE ESTUDO
4.1 Definição do caso de estudo O sistema em estudo, representado na Figura 2, é constituído por um reservatório de montante, R1, de nível variável ao qual aflui um caudal aduzido e um reservatório de extremidade, R2, de nível variável e sem caudal aduzido. Existem 10 condutas em PVC. As condutas de 2 a 8 têm caudais de percurso e no nó 5 existe uma indústria.
R1
R2
9
3
5
4
6
8
7
1
6
25
3 4
7
8
9
10L=2500mD=200mm
L=500mD=160mm
L=500mD=160mm
L=1000mD=160mm
L=400mD=125mm
L=500mD=125mm
L=400mD=110mm
L=1200mD=160mm
L=500mD=110mm
L=2000mD=110mm
A=500m2
2A=200m
Figura 2: Representação esquemática do sistema de abastecimento de água do caso de estudo
Os diagramas temporais dos caudais aduzido, de percurso e da indústria estão representados
na Figura 3, apresentando-se ainda no Quadro 1 algumas características do sistema.
7
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 5 10 15 20
horas
Qin
st/Q
md
caudais da adução caudais de indústria caudais domésticos
Figura 3: Diagramas temporais diários dos caudais
Quadro 1: Alguns dados referentes ao caso de estudo Conduta Nº Caudal médio Celeridade
de percurso(l/s) (m/s)
1 0 3042 1,102 3043 1,102 304 Cota inicial do R14 0,441 302 402,2m5 0,551 305 Cota inicial do R26 2,203 304 392,35m7 2,644 3048 1,102 3029 0,881 30510 0 302
4.2 Estudo do modo como será efectuada a variação de caudal Como se sabe, o modo de variação do caudal no tempo é de grande importância na resposta do
sistema. Assim, de modo a não se efectuarem variações bruscas de caudal, as quais induzem flutuações de pressão de valores muito elevados, foram pré-analisadas essas variações com base no modelo elástico de modo a obter diagramas de consumo mais “realistas”. Experimentaram-se diferentes variações, mantendo-se constantes os caudais industriais e aduzido, mas variando o caudal doméstico de 0,2•Qmd para 2,0•Qmd de um modo instantâneo (0 s), em 30 segundos (30 s), 1 minuto (1 m), 2 minutos (2 m), 3 minutos (3 m), 4 minutos (4 m) e 5 minutos (5 m). Esta variação dá-se às 6 horas, pelo que a resposta do sistema, representada na figura 4 pelo caudal da conduta 5, apenas está representada num período de tempo onde as alterações se fazem sentir.
8
1,50E-03
2,00E-03
2,50E-03
3,00E-03
3,50E-03
4,00E-03
4,50E-03
21300 21350 21400 21450 21500 21550 21600 21650 21700 21750 21800
tempo (s)
caud
al (
m3/
s)
5m 4m 3m 2m 1m 30s 0s
Figura 4: Caudal na conduta 5 para diferentes “leis” de variação de caudal
Da análise deste gráfico, pode ver-se que, se a variação de caudal se dá durante período de tempo de um minuto, praticamente já não aparecem fenómenos de picos de pressão, pelo que, para uma melhor comparação dos métodos, todas as variações de caudal ao longo do dia se irão efectuar ao longo de um período de tempo de um minuto.
4.3 Comparação da precisão dos vários métodos Nos gráficos das Figuras 5 a 9 são apresentados as variações ao longo do tempo dos caudais
na conduta 5 (Figura 5 e 6), dos níveis dos dois reservatórios (Figura 7 e 8) e das cotas piezométricas nos nós 5 e 7 (Figura 9 e 10), quando calculados com os diferentes modelos e métodos numéricos. São também analisados os resultados do modelo rígido para diferentes incrementos do tempo ∆t (0.656 s e 300 s).
9
2,50E-03
3,00E-03
3,50E-03
4,00E-03
4,50E-03
5,00E-03
5,50E-03
6,00E-03
6,50E-03
0,0 10000,0 20000,0 30000,0 40000,0 50000,0 60000,0 70000,0 80000,0 90000,0 100000,0
tempo (s)
cau
dal
(m
3/s)
H-NetCAD elastico rigido dt=0,656 rigido dt=300s
Figura 5: Resultados da aplicação do diferentes métodos na quantificação do caudal na conduta 5. Para uma melhor visualização das diferenças obtidas na aplicação dos diferentes métodos, a
figura 6 apresenta os resultados da simulação num curto período de tempo.
1,50E-03
2,00E-03
2,50E-03
3,00E-03
3,50E-03
4,00E-03
4,50E-03
21200,0 21400,0 21600,0 21800,0 22000,0 22200,0
tempo (s)
cau
dal
(m
3/s)
H-NetCAD elastico rigido dt=0,656 rigido dt=300s Figura 6: Resultados da aplicação dos diferentes métodos na quantificação do caudal na conduta 5.
10
400,5
401
401,5
402
402,5
403
403,5
404
404,5
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000
tempo (s)
cota
da
águ
a n
o R
1 (m
)
H-NetCAD elastico rigido dt=0,656 rigido dt=300s
Figura 7: Resultados da aplicação dos diferentes métodos na quantificação do nível do reservatório R1.
391,8
392
392,2
392,4
392,6
392,8
393
393,2
393,4
393,6
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000
tempo (s)
cota
da
águ
a (m
)
H-NetCAD elástico rígido dt=0,656s rígido dt=300s
Figura 8: Resultados da aplicação dos diferentes métodos na quantificação do nível do reservatório R2
11
380
385
390
395
400
405
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000
tempo (s)
cota
da
águ
a n
o R
1 (m
)
H-NetCAD elastico rigido dt=0,656 rigido dt=300s
Figura 9: Resultados da aplicação dos diferentes métodos na quantificação da cota piezométrica no nó 5
382
384
386
388
390
392
394
396
398
400
402
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000
tempo (s)
cota
da
águ
a n
o R
1 (m
)
H-NetCAD elastico rigido dt=0,656 rigido dt=300s
Figura 10: Resultados da aplicação dos diferentes métodos na quantificação da cota piezométrica no nó 7
Como seria de esperar, constata-se uma muito boa concordância dos resultados obtidos com os diferentes modelos utilizados, particularmente nos níveis dos dois reservatórios. Já as cotas piezométricas calculadas com os diferentes modelos apresentam algumas diferenças, particularmente quando se procede à variação do caudal.
12
4.4 Comparação do tempo e esforço de cálculo dos vários métodos No Quadro 2 são apresentados os resultados em termos de tempo de cálculo e memória
utilizada pelos diferentes métodos. No método das características as variáveis dependentes foram calculadas com discretizações 2, 4 e 8 pontos de cálculo na conduta mais curta, no modelo rígido com intervalos de tempo de 300s, 10s e 0.656s. No Quadro 3 apresentam-se os resultados da utilização do H-NetCAD v2.0.
Quadro 2: Comparação do tempo e esforços de cálculo dos modelos elástico e rígido
∆t Duração memória modelo elástico com
2 pontos de cálculo na conduta mais curta
0.656 s 2,875 s 4.216k
modelo elástico com 4 pontos de cálculo na
conduta mais curta 0.328 s 8,016 s 7.344k
modelo elástico com 8 pontos de cálculo na
conduta mais curta 0.164 s 23,094 s 13.600k
modelo rígido 300 s 0.141 s 1.236 k modelo rígido 10 s 3.547 s 1.428 k modelo rígido 0.656 s 55.453 s 4.320 k
Quadro 3: tempo e esforços de cálculo do programa comercial H-NetCAD v2.0
∆t Duração memória H-NetCAD v2.0 300 s 27 s 18.352 k
Dos Quadros 2 e 3, pode observar-se que o tempo de cálculo e a memória utilizada, para discretizações com intervalos de tempo da ordem de grandeza dos que podem ser utilizados no modelo elástico, apresentam, no modelo rígido, valores muito superiores. Para intervalos de tempo mais elevados já o modelo rígido se mostra mais competitivo.
5 CONCLUSÕES Foram comparados vários modelos de simulação dinâmica para um caso de estudo
apresentado. Se a manobra de variação de caudais for rápida o único modelo capaz de traduzir as oscilações de caudais e picos de pressão é o modelo inércial elástico, mas se a manobra for suficientemente lenta para não se fazerem sentir os efeitos da compressibilidade do fluido, o modelo rígido e o modelo quase-permanente têm resultados muito semelhantes ao modelo elástico. Não tendo em conta esses fenómenos, o modelo rígido, para intervalos de tempo maiores do que o usado no modelo elástico, poderá ser uma óptima solução uma vez que, exceptuando uma pequena oscilação numérica, os resultados são muito idênticos ao modelo elástico, mas o tempo de cálculo e a memória utilizada são muito inferiores. Usando o mesmo intervalo de tempo o modelo elástico é mais rápido e a memória utilizada é idêntica.
O H-NetCAD v2.0 tem resultados muito semelhantes aos outros modelos, mas sendo um programa comercial é fortemente prejudicado em termos de rapidez de cálculo e em memória utilizada, uma vez que tem uma série de processos que os outros programas não têm.
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6 BIBLIOGRAFIA CARVALHO, R. F. “Modelos Matemáticos para simulação de escoamentos variáveis sob pressão”.Tese de Mestrado. Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra 1994 CHAUDRY, M. “Applied Hydraulic Transients”, Washington State University, 1987 JAEGER, C. “Fluid Transients in Hydroelectric Engineering Practice”, London, Blackie, 1977 LUVIZZOTO, E. “Controle Operacional de Redes de Abastecimento de Água Auxiliado por Computador” PRESS, W.; FLANNERY, B.; SAUL, T.; VETTERLING, W. “Numerical Recipes – The Art of Scientific Computing (Fortran Edition)” , Cambridge University Press, 1989 SÁ MARQUES, A.; CARDOSO, F.; SOUSA, J.; FRANCISCO, F. “H-NetCAD: - Sistemas Urbanos de Abastecimento de Água, Imprensa da Universidade de Coimbra, Coimbra (Portugal), 2000. SÁ MARQUES, A.; CARDOSO, F.; SOUSA, J.; FRANCISCO, F. “H-NetCAD: Projecto, Simulação e Avaliação de Desempenho de Sistemas de Abastecimento de Água” – IV SILUSBA - Simpósio de Hidráulica e Recursos Hídricos dos Países de Língua Oficial Portuguesa, Praia, Cabo Verde, 2003. SÁ MARQUES, A.; SOUSA, J. “Hidráulica Urbana I”, DEC-FCTUC, 2003 SOUSA, J. “Métodos Numéricos para obtenção do equilíbrio hidráulico em sistemas de distribuição de água”.Tese de Mestrado. Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra, 1996 STREETER, V. L. e WYLIE, E. B., “Fluid Transients”, McGraw-Hill, 1983 STREETER, V. L. e WYLIE, E. B., “Fluid Mechanics”, McGraw-Hill, 1979 Tese de Doutoramento, Universidade de São Paulo, 1995 TUCCI, C. “Modelos Hidrológicos” Porto Alegre: Ed. Universidade/UFRGS/Associação Brasileira de Recursos Hídricos, 1998