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QUESTES DE GEOMETRIA ESPACIAL DOS
LTIMOS 5 ANOS DA EsPCEx 2009/13
Questo 01
Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta
de 12 gomos exatamente iguais. A superfcie total de cada gomo mede:
(A) 3
24
3cm
(B)
3
24
9cm
(C)
2
24
3cm
(D) 2
24
9cm
(E) 3 24 cm
Questo 02
Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razo entre a
aresta da base e a aresta lateral 3
3. Aumentando-se a aresta da base em 2
cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficar aumentado de
108 3cm . O volume do prisma original
(A) 318 cm (B) 336 cm (C) 318 3 cm
(D) 336 3 cm (E) 340 cm
Questo 03
Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio de base R e altura h,
est completamente cheio com gua e leo. Sabe-se que a superfcie de
contato entre os lquidos est inicialmente na metade da altura do cone. O
recipiente dispe de uma torneira que permite escoar os lquidos de seu
interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente
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at o instante em que toda gua e nenhum leo escoar, a altura do nvel do
leo, medida a partir do vrtice ser
(A) 3
7
2h (B)
37
3h (C)
312
2h
(D) 3
23
2h (E)
323
3h
Questo 04
O slido geomtrico abaixo formado pela justaposio de um bloco retangular
e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura esto indicados os
vrtices, tanto do bloco quanto do prisma.
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as
retas LB e GE ; as retas AG e HI e as retas AD e GK . As posies relativas
desses pares de retas so, respectivamente,
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(A) concorrentes; reversas; reversas
(B) reversas; reversas; paralelas
(C) concorrentes; reversas; paralelas
(D) reversas; concorrentes; reversas
(E) concorrentes; concorrentes; reversas
Questo 05
Considere as seguintes afirmaes:
I. Se uma reta r perpendicular a um plano , ento todas as retas de
so perpendiculares ou ortogonais a r;
II. Se a medida da projeo ortogonal de um segmento AB sobre um plano
a metade da medida do segmento AB, ento a reta AB faz com
um ngulo de 60
III. Dados dois planos paralelos e , se um terceiro plano intercepta
e , as intersees entre esses planos sero retas reversas.
IV. Se e so dois planos secantes, todas as retas de tambm
interceptam .
Esto corretas as afirmaes
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(A) apenas I e II (B) apenas II e III
(C) I, II e III (D) I, II e IV
(E) II, III e IV
Questo 06
Considere as seguintes afirmaes:
I. Se dois planos e so paralelos distintos, ento as retas 1r e
2r so sempre paralelas.
II. Se e so planos no paralelos distintos, existem as retas 1r e
2r tal que
1r e
2r so paralelas.
III. Se uma reta r perpendicular a um plano no ponto P, ento qualquer
reta de que passa por P perpendicular a r.
Dentre as afirmaes acima, (so) verdadeira(s)
(A) Somente II (B) I e II (C) I e III
(D) II e III (E) I, II e III
Questo 07
Considere um plano e os pontos A, B, C e D tais que
O segmento AB tem 6 cm de comprimento e est contido em
O segmento BC tem 24 cm de comprimento, est contido em e
perpendicular a AB
O segmento AD tem 8 cm de comprimento e perpendicular a .
Nessas condies, a medida do segmento CD
(A) 26 cm (B) 28 cm (C) 30 cm
(D) 32 cm (E) 34 cm
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Questo 08
A figura espacial representada abaixo, construda com hastes de plstico,
formada por dois cubos em que, cada vrtice do cubo maior unido a um
vrtice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse
tipo tm a mesma medida.
Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm,
a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos
(A) 6 2 cm (B) 3 2 cm (C) 2 3 cm
(D) 4 3 cm (E) 6 3 cm
Questo 09
Na figura abaixo, est representado um cubo em que os pontos T e R so
pontos mdios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede
2 cm. Assim, o volume do slido geomtrico definido pelos pontos PQRST, em 3
cm , :
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(A) 2
3 (B)
4
3 (C)
5
3 (D)
16
3 (E)
32
3
Questo 10
A figura abaixo representa dois tanques cilndricos, 1T e
2T , ambos com altura
h, e cujos raios das bases medem R e 2R , respectivamente. Esses tanques
so usados para armazenar combustvel e a quantidade de combustvel
existente em cada um deles tal que seu nvel corresponde a 2
3 da altura.
O tanque 1T contm gasolina pura e o tanque
2T contm uma mistura etanol-
gasolina, com 25% de etanol.
Deseja-se transferir gasolina pura do tanque 1T para
2T at que o teor de
etanol na mistura em 2
T caia para 20%.
Nessas condies, ao final da operao, a diferena entre a altura dos nveis de
1T e
2T ser
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(A) 1
2h (B)
1
3h (C)
1
4h
(D) 1
5h (E)
1
6h
Questo 11
A figura abaixo representa a planificao de um tronco de cone reto com a
indicao das medidas dos raios das circunferncias das bases e da geratriz.
A medida da altura desse tronco de cone
(A) 13 cm (B) 12 cm (C) 11 cm
(D) 10 cm (E) 9 cm
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Questo 12
Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases
triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas
(A) 1
3 (B)
2
3 (C)
1
6 (D)
1
4 (E)
1
2
Questo 13
Na figura abaixo, est representado um slido geomtrico de 9 faces, obtido a
partir de um cubo e uma pirmide. Sabendo que todas as arestas desse slido
tm medida l , ento as medidas da altura (distncia do ponto V face ABCD) e
da superfcie total desse slido so, respectivamente,
(A) 2 2
2l
e 2 3 4l (B) 2 2
2l
e 2 3 5l
(C) 3 2
2l
e 23
54
l
(D) 2
2l
e 2 3 5l
(E) 3
2l
e 23
44
l
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Questo 14
Considere duas retas r e s no espao e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de
modo que os pontos A e B pertencem reta r e os pontos C e D pertencem
reta s.
Dentre as afirmaes abaixo
I. Se as retas AC e BD so concorrentes, ento r e s so necessariamente
concorrentes.
II. Os tringulos ABC e ABD sero sempre coplanares.
III. Se AC e BD forem concorrentes, ento as retas r e s so coplanares.
Pode-se concluir que
(A) somente a I verdadeira
(B) somente a II verdadeira
(C) somente a III verdadeira
(D) as afirmaes II e III so verdadeiras
(E) as afirmaes I e III so verdadeiras
Questo 15
Um reservatrio em forma de tronco de pirmide regular de base quadrada e
dimenses indicadas na figura dever ter suas paredes laterais externas
cobertas por uma tinta impermevel, cujo rendimento de 11 m por galo.
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O nmero mnimo de gales que devem ser adquiridos para tal operao :
(A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 10 (E) 11
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GABARITO
1. A
2. B
3. A
4. E
5. A
6. D
7. A
8. C
9. B
10. A
11. B
12. A
13. B
14. C
15. B