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Geometria Espacial Descritiva
Determinao de um Plano
1o) Trs pontos no colineares determinam um Plano.
P M
NPostulado.
2o) Uma reta r e um ponto , determinam um plano. P r
P r Ateno
Unicidade
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Geometria Espacial
Determinao de um Plano
r
3o) Duas retas r e s, determinam um Plano. r s {P};
P rs
s
4o) Duas retas r e s, determinam um plano. r // s;
r s
M
N
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Geometria Espacial
Teorema
Por uma reta passam infinitos planos.
1) r s
P
M
r
2) s {K}
K
1
2
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Geometria Espacial
r
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Geometria Espacial
Posies Relativas
Reta e Plano Possibilidades.
r
s
tP A B
t A e B
Reta Contida no Plano
r secante a r {P}
Reta secante ao Plano
s // r
Reta paralela ao Plano
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Geometria Espacial
Julgue Verdadeiro (V) ou Falso (F)
(a) Se r paralela a um plano , ento r paralela
a todas retas contidas em . (F)
(b) Se r paralela a um plano , ento r paralela
a infinitas retas contidas em . (V)
(c) Dado um plano , e P um ponto no
pertencente a esse plano, ento existe uma nica
reta que paralela a e que passa por P. (F)
(d) Duas retas paralelas a um mesmo plano so
paralelas entre si. (F) (e) Se um ponto A no pertence a uma reta r,
ento existem infinitos planos que passam por A
e so paralelos a r. (V)
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Geometria Espacial
Posies Relativas
(Plano e Plano) Possibilidades.
// ou Planos Paralelos
P Dado um plano e um ponto P
existe um nico plano // ,
tal que P
P
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Geometria Espacial
Postulado
Sejam e planos dist int os e P um ponto.
PSe r
P
P
r
e so secantes r
Planos Secantes
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Geometria Espacial
Perpendicularismo
ngulos entre retas reversas.
r
ss ' ab
Definimos a e b como ngulos
formados pelas retas, reversas, r e s.
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Geometria Espacial
Perpendicularismo
rt P
s
y
o
r , t er t
APB 90
B
A
r perpendicular a t r ortogonal a s
t , s et ortogonal a s
t || y s
y '
y ''
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Geometria Espacial
Perpendicularismo
s
r
Ps '
s ''
ii i
r {P}r r s tal que
s e s r {P}
Reta e Plano
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Geometria Espacial
Teorema Se uma reta r perpendicular a um plano, por um ponto A pertencente ao plano, ento a reta r forma um
ngulo reto com todas as retas contidas no plano.
A
iy
r
ss '
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Consideremos
01) as retas r e s so ortogonais.
02) o segmento AB representa a distncia entre as duas
retas reversas.
AB a nica reta perpendicular a r e s ao mesmo tempo.
A medida do segmento AB , por definio, a distncia entre
as retas reversas r e s.
Geometria Espacial
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Geometria Espacial 02. Com base nos conhecimentos sobre
geometria espacial, pode-se afirmar:
(01) Se uma reta r e um plano so paralelos, ento toda reta perpendicular reta r tambm perpendicular ao plano . (02) Se um ponto P no pertence a uma reta s, ento existe
um nico plano passando por P, paralelo reta s.
(04) Se uma reta r est contida em um plano , e a reta s reversa a r, ento a reta s intercepta o plano . (08) Se e so dois planos perpendiculares, e r uma perpendicular a , que no est contida em , ento r paralela a . (16) Se dois planos so perpendiculares, ento toda reta de
um deles perpendicular ao outro.
(32) Trs planos distintos interceptam-se segundo uma reta ou
um ponto.
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Geometria Espacial
(01) Se uma reta r e um plano so paralelos, ento toda reta perpendicular reta r tambm perpendicular ao plano .
r
A
t
Estratgia: Procure um contra exemplo.
// | rt //
t | r t
Sentena Falsa
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Geometria Espacial
(02) Se um ponto P no pertence a uma reta s, ento existe
um nico plano passando por P, paralelo reta s.
s
P
s '
Sentena Falsa
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s '
Geometria Espacial
(04) Se uma reta r est contida em um plano , e a reta s reversa a r, ento a reta s intercepta o plano .
r
s '
Sentena Falsa
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t e t
ts
Geometria Espacial
(08) Se e so dois planos perpendiculares, e r uma perpendicular a , que no est contida em , ento r paralela a .
r
Sentena Verdadeira
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Geometria Espacial
(16) Se dois planos so perpendiculares, ento toda reta de
um deles perpendicular ao outro.
r, r ' (ou ), tal que r || r '.
ts
r
r '
Sentena Falsa
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Geometria Espacial
(32) Trs planos distintos interceptam-se segundo uma reta
ou um ponto.
r
Sentena Falsa
P
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Geometria Espacial
Diedros.
Def. Unio de dois semiplanos de mesma
origem no contidos no mesmo plano.
e Faces do diedro.
r
r : aresta do diedro.
representao : r
r
r
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Geometria Espacial
Seces de um Diedros.
r
AB
P
A interseo de um diedro com
um plano secante aresta gera
um ngulo plano.
BPA a seco do Diedro
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Geometria Espacial Seces de um Diedros.
r
AB
P
A seco reta (normal) aquela
cujo plano secante perpendicular
a aresta, neste caso:
M
oAPM BPM 90
A medida de um diedro corresponde ao ngulo plano
formado por sua seco reta. med r med APB
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Geometria Espacial
r
AB
P
Classificao
med APB
o
o
o
90 diedro agudo
90 diedro reto
90 diedro obtuso
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Geometria Espacial
r
r
r
Diedros opostos
pela aresta o plano bisetor
do diedro r
A
B
C
V
O
O'
oVB V'B 90 OB O'B
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Os planos delimitados pelas retas so as faces do triedro
Geometria Espacial
Triedros.
A
rst
Consideremos a construo
De um ponto A traamos trs
semi-retas no coplanares.
O espao interno delimitado pela
construo denominado triedro. M
N
O
t, r e s so as arestas do triedro
A o vrtice do triedro.
OM, ON e MN so os gulos das faces
OMN uma seco do triedro.
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Geometria Espacial
Definio
Triedro tri retngulo.
Possui ngulos das faces
retngulos.
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1B 2B
3BnB
Geometria Espacial
Geometria Mtrica Espacial
Prisma Sejam e planos paralelos
que distam de um comprimento h.
h
1A 2A
3AnA
Tomemos em cada plano polgonos
convexos congruentes.
Tracemos retas secantes aos planos
ligando os vrtices correspondentes.
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Geometria Espacial
1B 2B
3BnB
h
1A 2A
3AnA
Elementos
Altura (h)
i i 1 1 nArestas da base(B B e B B )*
i iArestas laterais A B ( h)
Face lateral (paralelogramo)
Base (polgono convexo)
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Geometria Espacial
Natureza. Funo da Base
Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal
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Geometria Espacial
Prisma Reto.
Quando as faces laterais forem Retngulos
A
B
D
C
A D
CBh AB
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Geometria Espacial
Prisma Regular.
Quando so prismas retos e os polgonos da base
so regulares.
baseSh
A
A
B C
D
EFF
BC D
E
Aptema
da Base
Volume, reas.
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Geometria Espacial
Paraleleppedo
Reto retngulo Cubo
Diagonal, volume, ngulos, reas.
Untitled