Professoras: Anelise Todeschini Hoffmann Jocelise Jacques de Jacques Coordenador: Fábio Gonçalves Teixeira
Porto Alegre, julho de 2008.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Arquitetura
Departamento de Expressão Gráfica
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
1
1. NOÇÕES DE UTILIZAÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE DESENHO
A utilização correta dos esquadros em geometria descritiva é de fundamental importância para a obtenção da precisão necessária na solução dos problemas.
Estes são utilizados para o traçado de linhas horizontais e verticais e serve também como apoio, permitindo o traçado de linhas em ângulos determinados (30º, 45º, 60º e outros).
Um recurso para o traçado de linhas com ângulos diferentes é a combinação dos esquadros, apoiados, como nos exemplos.
O traçado de retas paralelas ou perpendiculares a determinada direção pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o outro que permanece fixo.
30º
60º
90º
45º
75º
15º
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
2
2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE GEOMETRIA DESCRITIVA
No final do século XVIII, o Exército Francês era o único que dispunha de métodos de cálculo para determinar as melhores posições para escapar do fogo da artilharia inimiga.
Para fugir dos complicados cálculos usualmente empregados nesse e em outros problemas da engenharia militar, o matemático Gaspar Monge (1746-1818) desenvolveu uma técnica onde era possível representar as manobras militares, de tal forma que nada ficasse sob a mira do inimigo, porém ela era tão simples que não recebeu atenção dos superiores.
Assim começou a Geometria Descritiva de Monge, que hoje é estudada nos primeiros anos de todas as áreas de engenharia e se aplica não somente a desenhos e projetos técnicos, mas também nas artes e na fotografia devido a sua aplicação no estudo das perspectivas (Kawano, 2003). Portanto é de enorme importância do ponto de vista tecnológico e, segundo Caldonazo (1999), sem ela a engenharia não teria progredido tanto no séc. XX.
No método de Monge, todo objeto ou figura no espaço é representado por duas projeções em um plano só, colocando em uma folha de papel plana o que é visualizado no espaço de três dimensões (Kawano, 2003).
A Geometria Descritiva é a ciência que permite representar sobre um plano os elementos do espaço, tornando possível a resolução de problemas referentes à sua forma, grandeza e posição, graficamente (Borges,Barreto & Martins, 1991). O esquema desenvolvido por Monge, facilita a visualização de relações espaciais e se constitui em método para a resolução gráfica de problemas (Caldonazo, 1999).
Fonte: www.revistagalileu.globo.com
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
3
Para a representação de um objeto (3 dimensões) sobre um plano (2 dimensões) utilizam-se os Sistemas Projetivos, que são compostos pelos seguintes elementos:
objeto, plano de projeção, projetantes, centro de projeção, e projeção do objeto.
SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO
As projetantes são convergentes ao centro de projeção.
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OBLÍQUO
As projetantes são paralelas entre si e oblíquas ao plano de projeção.
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
4
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO ORTOGONAL
As projetantes são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção.
A Geometria Descritiva une a compreensão do espaço tridimensional e os
conceitos do Sistema de Projeções Cilíndrico Ortogonal através do método idealizado por Gaspar Monge no século XVIII.
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
5
3. SISTEMA MONGEANO
Monge imaginou dois planos que se interceptam perpendicularmente dividindo o espaço em quatro diedros, numerados de forma anti-horária (no sentido trigonométrico). Nestes planos os objetos estudados são projetados ortogonalmente e então, o sistema é planificado.
Que objeto está sendo projetado nos planos horizontal e frontal de
projeção?
Inserção de mais um plano de projeção – plano
auxiliar ou π0.
Assim, através da análise conjunta das três projeções
é possível determinar a forma, a grandeza e a
posição dos elementos do espaço.
O emprego do plano auxiliar é, muitas vezes, indispensável à solução de
problemas.
1o Diedro
4o Diedro 3o Diedro
2o Diedro
y
z
x
Linha de terra
Plano frontal de projeção
Plano horizontal de
projeção
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
6
4. PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA MONGEANO
Para que este método alcançasse o objetivo de analisar os objetos tridimensionais obtendo as facilidades da geometria plana tornou-se necessária a transposição destes conceitos para um meio bidimensional, decorrendo a planificação do Sistema Mongeano. Para tanto, faz-se girar o plano horizontal em torno da linha de terra de modo que a parte posterior do mesmo coloque-se sobre a parte inferior do plano frontal.
Assim, tem-se a épura, a qual é o sistema de representação criado por
Monge, obtida através do rebatimento do plano horizontal de projeção sobre o plano frontal de projeção. A épura apresenta diferentes projeções de um mesmo objeto, portanto, a épura é a planificação do sistema X,Y,Z.
É importante ressaltar que no Brasil a épura é a planificação do 1o Diedro, enquanto em outros países trabalham com a planificação do 3o Diedro.
X
Z
Y
Y
Z
X Y
Y
Y X
Z
YY
Z
X
Z
X
Y
Y
Y
Y
Z
X
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
7
Planificação simplificada do Sistema Mongeano Convenções (BORGES, BARRETO & MARTINS, 1991)
NOTAÇÃO PONTOS Letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... RETAS Letras latinas minúsculas a, b, c, r, s, ... PLANOS Letras gregas minúsculas α, β, λ, µ, ... PROJEÇÕES HORIZONTAIS Índices ímpares A1, r1, α1, ... PROJEÇÕES FRONTAIS Índices pares A2, r2, α2, ...
TRAÇADO LINHA TIPO EMPREGO
grossa Soluções
média Linha de terra
Linhas não visíveis
fina Linhas de chamada e auxiliares
Eixos de simetria
Importante: Deve-se arbitrar as espessuras de forma que fiquem nitidamente distintas entre si. Uma vez escolhida a espessura da linha grossa, a linha média é fixada como a metade da primeira e a fina a metade da segunda, aproximadamente.
Z
Y X
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
8
5. ESTUDO DO PONTO
Para determinarmos a posição de um ponto no espaço, é necessário projetá-lo sobre os dois planos de projeção ortogonais – plano de projeção horizontal (X,Y) e plano de projeção frontal (X,Z). O ponto é representado por suas coordenadas descritivas.
P (x, y, z)
P1 (x, y) – projeção de P no plano horizontal P2 (x, z) – projeção de P no plano frontal P0 (y, z) – projeção de P no plano auxiliar
LINHA DE TERRA – interseção do plano horizontal e frontal de projeção PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE P P1, P2, P0 PROJETANTE - é a perpendicular traçada do ponto do espaço à sua projeção ortogonal ( PP2, PP1, PP0)
P
P2
P1
P0
x
y
z Af
asta
men
to
Z
Cot
a
Abscissa
X
Y
P2
P1
P0
Y
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
9
LINHA DE PROJEÇÃO OU LINHA DE CHAMADA - é toda linha perpendicular a linha de terra, que une as projeções de um mesmo ponto, ou seja, é a projeção das projetantes.
Coordenadas descritivas do ponto: P (x, y, z)
Abscissa (X)
é a distância do ponto
(objeto) ao plano auxiliar de projeção. Ou seja, o quanto o ponto se afasta da origem do
sistema.
Afastamento (Y)
é a distância do ponto (objeto) ao plano frontal de projeção. Ou seja, o quanto o ponto se afasta do plano
frontal.
Cota (Z)
é a distância do ponto (objeto) ao plano horizontal de
projeção. Ou seja, é a altura do ponto em relação ao plano
horizontal.
Estas coordenadas descritivas dos elementos na geometria descritiva correspondem a largura, profundidade e altura de um objeto.
x
z
y
A
DC
B
-y
-z
0
1º Diedro 2º Diedro
3º Diedro 4º Diedro
x
z
y
H
F
T
P-y
-z
0
1º Diedro 2º Diedro
3º Diedro 4º Diedro
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
10
C1
C2
x
y
z
D2
D1
A1
A2
B2
B1
T1
T2
x
y
z
F2
F1
H1
H2
P2
P1
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
11
6. ESTUDO DA RETA
Uma reta é determinada pelo deslocamento de um ponto em uma determinada direção. Pode-se representá-la por dois pontos e é identificada por letras latinas minúsculas.
Uma reta no espaço pode ocupar três posições distintas em relação a um
plano de projeção, sendo que cada uma delas resulta em um tipo de projeção particular:
reta paralela ao plano de
projeção ( // ) reta perpendicular ao plano de projeção (⊥)
reta oblíqua ao plano de projeção ( ∠ )
projeção em verdadeira
grandeza (VG) a projeção é igual a reta
projeção acumulada (PA)
a projeção da reta é um ponto
projeção reduzida (PR)
projeção é menor que a reta
De acordo com o método mongeano, determina-se a posição de uma reta
no espaço através de suas projeções sobre dois planos de projeção ortogonais: plano de projeção horizontal, plano de projeção frontal.
A reta pode ocupar 7 posições distintas com relação aos planos horizontal e frontal de projeção.
Reta fronto-horizontal Reta horizontal Reta frontal Reta vertical Reta de topo Reta de perfil Reta oblíqua ou qualquer
r A B
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
12
7. POSIÇÕES DA RETA EM RELAÇÃO AOS PLANOS HORIZONTAL E FRONTAL DE PROJEÇÃO
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Paralela ao plano
horizontal e frontal de projeção: (VG)
Perpendicular ao plano auxiliar: (PA)
Possui cotas (z) e afastamentos (y) iguais.
RETA HORIZONTAL
Paralela ao plano
horizontal de projeção: (VG) Oblíqua ao plano frontal
e auxiliar de projeção: (PR) faz ângulo com estes planos de projeção.
Possui cotas (z) iguais e afastamentos (y) diferentes
RETA FRONTAL
Paralela ao plano frontal
de projeção: (VG) Oblíqua ao plano
horizontal e auxiliar de projeção:(PR) faz ângulo com estes planos de projeção.
Possui cotas (z) diferentes e afastamentos (y) iguais.
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
13
RETA DE TOPO
Paralela ao plano
horizontal e auxiliar de projeção: (VG)
Perpendicular ao plano frontal de projeção :(PA)
Possui cotas (z) iguais e afastamentos (y) diferentes.
RETA VERTICAL
Paralela ao plano frontal
e auxiliar de projeção: (VG) Perpendicular ao plano
horizontal de projeção :(PA) Possui cotas (z)
diferentes e afastamentos (y) iguais.
RETA DE PERFIL
Paralela ao plano auxiliar
de projeção: (VG) Oblíqua ao plano
horizontal e frontal de projeção:(PR) faz ângulo com estes planos de projeção.
Possui cotas (z) e afastamentos (y) diferentes.
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
14
RETA OBLÍQUA
Oblíqua ao plano horizntal, frontal e auxiliar de projeção:(PR) Projeção Reduzida
Faz ângulo com estes planos de projeção.
8. PERTINÊNCIA - PONTO E RETA
Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções coincidem com as
projeções de mesmo nome da reta.
Z
YX
a1
a2
b1
b2
c1
c2
FRONTO-HORIZONTAL FRONTAL HORIZONTAL
g2
e1
e2
d1
d2
f1
f2
g1
DE TOPO VERTICAL DE PERFIL OBLÍQUA
Z
Y X
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
f2
f1 B1
A1
A2 ≡ B2 u2
u1 ≡ C1
C2 h2 D1
D2 h1
Z
YX
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
15
9. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS
Duas retas no espaço podem estar contidas em um mesmo plano, sendo chamadas de coplanares, ou podem estar contidas em planos diferentes, sendo chamadas de não coplanares.
As retas coplanares podem ser: coincidentes, paralelas ou concorrentes. E as retas não-coplanares são chamadas reversas.
RETAS COINCIDENTES
São coplanares Possuem mesma direção São retas de mesmo nome (horizontal, frontal,...) Possuem dois ou mais pontos em comum
f2=g2
f1=g1
Z
YX
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
16
RETAS PARALELAS São coplanares Possuem mesma direção São retas de mesmo nome
(horizontal, topo,...)
Não possuem ponto em comum Mantêm distância constante
entre sí
Projeções de mesmo nome são paralelas
Duas projeções de mesmo nome
são coincidentes e as outras duas são paralelas
Duas projeções de mesmo nome são paralelas e as outras duas são
acumuladas
Obs: a verificação de paralelismo entre retas de perfil é feita por intermédio da projeção no plano auxiliar.
r2
s2
r1 s1
r0
s0
s2s0
r2r0
s1r1
r2 ≡ s2
r1
s1
r0 ≡ s0
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
17
RETAS CONCORRENTES
São coplanares Não possuem mesma direção Podem ou não serem retas de
mesmo nome
Possuem ponto em comum Poderão ser perpendiculares ou
oblíquas
As projeções de mesmo nome se
cortam, e as projeções deste
ponto de interseção
pertencem a mesma linha de
chamada.
As projeções de mesmo nome são concorrentes e as do outro plano de
projeção são coincidentes.
As projeções de um plano são
concorrentes e as do outro, são coincidentes,
sendo que uma delas é um ponto.
s2 s0
r2 r0
s1 r1
s2 s0 ≡ r0
r2
s1 ≡ r1
s2 ≡ r2 s0 ≡ r0
s1 r1
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
18
RETAS REVERSAS
Não são coplanares Fazem entre si um ângulo
qualquer Não possuem ponto em
comum (ponto de concorrência)
Não mantêm distância constante entre sí
Poderão ser ortogonais ou oblíquas (jamais serão perpendiculares)
Quando as retas formam ângulos de 90º :
RETAS ORTOGONAIS
São retas reversas que fazem entre sí um ângulo de 90o.
RETAS PERPENDICULARES
São retas concorrentes que fazem um ângulo de 90o entre sí.
s1
r1
s0 r0 s2
r2
s1
r1
s0 r0
s2
r2
s1
r1
s0 r0
s2
r2
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
19
10. ESTUDO DO PLANO
Um plano é gerado a partir do deslocamento
de uma reta em uma determinada direção e é representado por letras gregas.
Um plano pode ser definido através dos seguintes elementos:
Três pontos não-colineares
Uma reta e um ponto não pertencente a
mesma
Duas retas paralelas
Duas retas concorrentes
Um plano no espaço pode ocupar três posições distintas em relação a um
plano de projeção, sendo que cada uma delas resulta em um tipo de projeção particular:
Plano paralelo Plano perpendicular Plano oblíquo
Verdadeira Grandeza (VG) É a situação de eqüidistância
entre planos.
Projeção Acumulada (PA)
É a situação em que os planos formam um ângulo de
90º entre si.
Projeção Reduzida (PR) É a situação em que os planos formam ângulos,
diferentes de 90º, entre si.
r
β
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
20
Traço de um plano: Traço de um plano são as interseções deste plano com os planos horizontal e frontal de projeção. O traço de um plano é uma reta e é designado por uma letra do alfabeto grego que caracteriza o plano considerado e o índice do plano de projeção em que o mesmo se projeta (1- horizontal e 2- frontal).
Exemplo de traço vertical
Exemplo de traço horizontal
O plano pode ocupar 7 posições distintas com relação aos planos
horizontal e frontal de projeção. Plano horizontal Plano frontal Plano de topo Plano vertical
Plano de perfil Plano de de rampa Plano oblíqua ou qualquer
Plano horizontal (ou de nível)
• paralelo ao plano horizontal de projeção - VG • perpendicular aos planos frontal e auxiliar de projeção - PA
As retas que podem estar contidas em um plano horizontal são: - fronto – horizontal; - horizontal; - de topo.
Representação do plano horizontal: 3 pontos 1ponto + 1 reta retas paralelas retas concorrentes traço do plano
A2 B2 C2
A1 C1
B1
B2 s2
B1 s1
r2 ≡ s2
r1 s1
t2 h2
t1 h1
α2 Z
YX
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
21
Plano Frontal
• paralelo ao plano frontal de projeção - VG
• perpendicular aos planos horizontal e auxiliar de projeção - PA
As retas que podem estar contidas em um plano frontal são:
- vertical; - fronto – horizontal; - frontal.
Representação do plano frontal:
retas retas traço 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano
Plano de Topo
• perpendicular ao plano frontal de projeção - PA
• oblíquo aos planos horizontal e auxiliar de projeção - PR
As retas que podem estar contidas em um plano de topo são:
- frontal; - topo;
- oblíqua. Representação do plano de topo:
retas retas traço 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano
A2
s1 B1
B2
A1 B1 C1
C2
B2
s2
r1 ≡ s1
r2 s2 t2 h2
t1 h1
α1
Z
YX
B2 A2 C2
B1
A1
C1
B1
B2 s2r2 ≡ s2
r1 s1
t2 h2
t1 h1
α2
s1
Z
Y X
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
22
Plano Vertical
• perpendicular ao plano horizontal de projeção - PA
• oblíquo aos planos frontal e auxiliar de projeção - PR
As retas que podem estar contidas em um plano vertical são:
- vertical; - horizontal;
- oblíqua. Representação do plano vertical:
retas retas traço 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano
Plano de Perfil
• perpendicular aos planos horizontal e frontal de projeção - PA
• paralelo ao auxiliar de projeção - VG
As retas que podem estar contidas em um plano de perfil são:
- perfil; - vertical;
- topo. Representação do plano de perfil:
3 pontos 1ponto + 1 reta retas paralelas retas concorrentes traço do plano
t1 h1
B2 A2 C2
B1 A1
C1 B1
B2
s2
r1 ≡ s1
r2 s2
t2 h2
α1 s1
Z
YX
B1 A1
C1 B1
B2
s2
r1 ≡ s1
r2 s2
t2 h2
h1 t1
α2
B2 A2 C2
s1α1
Z
Y X
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
23
Plano de Rampa
• oblíquo aos planos horizontal e frontal de projeção - PR
• perpendicular ao plano auxiliar de projeção - PA
As retas que podem estar contidas em um plano de rampa são:
- perfil; - fronto - horizontal;
- oblíqua.
Representação do plano de rampa:
retas retas traço 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano
Plano Oblíquo
• oblíquo aos planos horizontal, frontal e auxiliar de projeção - PR
As retas que podem estar contidas em um plano oblíquo são:
- perfil; - horizontal; - frontal; - oblíqua.
Representação do plano oblíquo:
3 pontos 1ponto + 1 reta retas paralelas retas concorrentes
B1
A1
C1
B1
B2
s2
r2 s2
r1 s1
t2 h2
t1 h1
α2
A2 B2 C2
s1 α1
Z
YX
A2 B2 C2
B1
A1
C1 B1
B2
s2 r2 s2
r1 s1
t2 h2
t1 h1 s1
Z
YX
A2 B2 C2
B1
A1
C1 B1
B2
s2 r2 s2
r1 s1
t2 h2
t1 h1 s1
Z
YX
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
24
11. PERTINÊNCIA
PONTO E PLANO Um ponto pertence a um plano quando pertencer a uma reta contida no plano.
RETA E PLANO Uma reta pertence a um plano quando
dois pontos da reta pertencerem ao plano.
B1
C1
C2
B2
A2
A1
P2
P1
A2
A1
B1
C1
C2
B2
X
Z
YX
Z
Y
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
25
12. MÉTODOS DESCRITIVOS
Em alguns casos, a solução de problemas em geometria descritiva é possível somente com a utilização de métodos descritivos. Estes são procedimentos que tornam possível trabalhar com aqueles elementos geométricos oblíquos aos planos de projeção. Estes métodos são utilizados, por exemplo, quando houver a necessidade de obtenção da verdadeira grandeza ou projeção acumulada de retas, ângulos, de figuras planas, de distâncias.
Estes métodos descritivos correspondem à modificação da posição da figura em relação ao sistema em que a representamos, seja deslocando a figura, seja substituindo um dos planos de projeção.
Existem dois métodos descritivos e cada um deles corresponde a uma maneira de alterar a posição relativa da figura e do sistema projetivo:
Método de Mudança de Sistema de Referência - Consiste em conservar o objeto imóvel e substituir um dos planos de projeção (ou ambos, em seqüência). Método das Rotações - Consiste em conservar o sistema de projeção,
girando o objeto em torno de um eixo convenientemente escolhido.
13. MUDANÇA DE SISTEMA DE REFERÊNCIA Consiste na substituição de um dos planos de projeção (horizontal e/ ou
frontal), de um dado sistema ou mesmo substituir sucessivamente os dois planos a fim de obter posição favorável à resolução do problema.
Neste método ocorre o deslocamento do observador para posições ideais de observação sobre os novos planos de projeção, sem alterar a posição dos objetos que nele se projetam.
A interseção do plano horizontal de projeção com o novo plano frontal de projeção, ou do plano frontal de projeção com o novo plano horizontal de projeção, gera uma nova linha de terra acompanhada de um novo sistema de eixos x’, y’, z’. Caso o problema exija duas mudanças de sistema de referência, a segunda gera uma nova linha de terra acompanhada de um novo sistema de eixos x”, y”, z”.
MSR FRONTAL MSR HORIZONTAL A COTA é transportada
para o NOVO plano de projeção frontal.
O AFASTAMENTO é transportado para o NOVO plano de projeção horizontal.
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
26
14. MUDANÇA DE SISTEMA DE REFERÊNCIA DE RETAS
Para se efetuar uma mudança de sistema de referência da reta, arbitra-se sobre ela dois pontos, A e B. Escolhe-se uma nova posição para a linha de terra de acordo com o problema a ser solucionado e efetua-se a mudança de sistema, para cada ponto, transferindo para o novo plano de projeção as cotas dos pontos ou os afastamentos, conforme o caso. Obtenção da VG de uma reta oblíqua - (Exemplo a seguir de MSR frontal) O novo plano de projeção deve ser posicionado PARALELO (ou coincidente)
à reta, para que, assim, ela se projete em verdadeira grandeza (VG).
Este é o aspecto final da épura na qual se obteve a verdadeira grandeza de uma reta oblíqua através de uma mudança de sistema de referência frontal.
Mudança de Sistema de Referência frontal a nova linha de terra será paralela ou coincidente à projeção horizontal da reta.
Mudança de Sistema de Referência Horizontal a nova linha de terra será paralela ou coincidente com a projeção frontal da reta.
X
Z
Y
Z’
Y’ X’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
27
Obtenção da projeção acumulada de uma reta:
a PA de uma reta só pode ser obtida a partir da VG da reta.Posiciona-se a nova linha de
terra PERPENDICULAR a VG da reta para que, assim, ela se
projete acumulada no novo plano de projeção.
MSR Frontal:
Transporte de COTAS (z) para o novo plano de
projeção frontal.
MSR Horizontal:
Transporte de AFASTAMENTOS (y) para o novo plano de projeção horizontal.
X
Z
Y
B2
yB
(VG)
A2’’ ≡ B2’’(PA)
F
F
θ
H
A2
yB
yA
A1
A1’
B1
yA
H
zB ≡ zA
zA
zB
B1’
X’’ Z’’
Y’’
X’
Y’
Z’
zA
B2’
F
θ
H
(VG)
A2
B2
zB
B1
A1
A2'
F
zA
zB
X
Z
Y
X’
Y’
Z’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
28
15. MUDANÇA DE SISTEMA DE REFERÊNCIA - FIGURAS PLANAS
A mudança de sistema de referência de figuras planas pode ter diferentes objetivos e é freqüentemente aplicada na solução de diversos problemas em geometria descritiva. Na explicação do método considerou-se que o objetivo da mudança de sistema de referência é encontrar a verdadeira grandeza das figuras oblíquas em relação ao sistema original.
Para se obter a verdadeira grandeza de figuras planas através da mudança de sistema de referência (MSR) deve-se levar em conta as seguintes situações:
- figuras planas que possuem PA no plano de projeção horizontal ou frontal:
A obtenção da VG é direta, para isso, posiciona-se a nova linha de terra de forma que fique PARALELA a PA da figura e, após posicioná-la, transporta-se o valor dos afastamentos (MSRH) ou das cotas (MSRF) da figura plana.
- figuras planas que possuem PR no plano de projeção horizontal e frontal:
Neste caso deve-se realizar duas MSR; a primeira é para obtenção da PA da figura plana, e a partir desta, faz-se a segunda MSR, PARALELA a PA da figura, obtendo-se assim sua VG. Existem duas situações de figuras planas com PR sistema original:
Figuras que possuem uma reta em VG
Figuras que não possuem uma reta em VG
A primeira mudança de sistema deve partir da projeção da figura onde está a VG da reta. A nova linha de terra deve ser posi-cionada de forma que fique PERPENDICULAR a VG da reta da figura plana, para que se obtenha sua PA.
Na segunda mudança de sistema, a nova linha de terra deve ser posicionada de forma que fique PARALELA a PA da figura e então, transporta-se as cotas (MSRF) ou os afastamentos (MSRH) em relação à linha de terra anterior, encontrando-se a VG da figura.
Será necessário traçar uma reta em VG, que pertença à figura plana.
Depois de traçada essa reta em VG, recaímos no caso anterior, em que, a partir da projeção da figura onde está a reta em VG, se obtém a PA da figura e, através de uma segunda mudança de plano, a VG da figura plana.
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
29
Exemplo de MPP de uma figura plana com reta em VG:
MSR Frontal – é a substituição do plano frontal de projeção. Deve-se posicionar o novo plano de projeção perpendicular a uma reta em VG do plano e encontrar a PA do plano. * Para o novo plano frontal de projeção são transportadas as COTAS (z) do antigo plano frontal.
MSR Horizontal – é a substituição do plano horizontal de projeção. Deve-se posicionar o novo plano de projeção paralelo a PA do plano e encontrar a VG do plano. * Para o novo plano horizontal os AFASTAMENTOS (y) são transportados do antigo plano horizontal. OBS: afastamentos transportados são em relação à linha de terra do sistema de referência anterior.
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
30
MSR – Planos com PA MSR – Planos com reta em VG
MSR – Planos sem reta em VG
A1
h2
h1
(PA)
(VG)
A2
B2
B1
A1
C1
C2 C1’
A2’B2’
C2’
X Y
Z
X’
Y’Z’
X’’
Y’’
Z’’
B1’
A1’
(PA)
(VG)
B1
C1
B2’
C2’
A2
B2 C2
A2’
X Y
Z
X’
Y’
Z’
h2
h1
(PA)
(VG)
B2
B1 B2’
H1’
B1’
X Y
Z
X’’ Y’’
Z’’ h2’
X’
Y’ Z’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
31
16. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS E PLANOS PARALELISMO: Para que exista paralelismo entre retas e planos ou entre planos é necessário que exista eqüidistância entre os mesmos. PARALELISMO ENTRE RETA E PLANO: Para que uma reta (r) não pertencente ao plano (α) seja paralela a ele, é necessário que ela seja paralela a uma reta (s) do mesmo.
a reta AB é // a h a reta AC é // a h PARALELISMO ENTRE PLANOS: Para que dois planos (α e β) sejam paralelos é necessário que um deles contenha duas retas concorrentes (r e s) paralelas ao outro (m e n). r // m e s // n
α
α1
α2 ≡ s2
α0 r2
r1
r0
r
s0
s
s1
α
s2
β
r2
r1
s r
s1
n2 m2
m1
m
n1
n
h2
h1
A2
B2
B1
A1 C1
C2
h2
h1
A2
B2
B1
A1
C1
C2
X Y
Z
X Y
Z
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
32
a reta AB é // a reta DF e a reta AC é // a reta DE PERPENDICULARISMO: Para que exista perpendicularismo entre retas e planos ou entre planos têm-se ângulos adjacentes congruentes formando 90o.
PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Uma reta é perpendicular a um plano quando é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano.
Obs: só existe uma posição de reta perpendicular a um determinado plano:
Plano Reta perpendicular Horizontal Vertical
Frontal Topo Vertical Horizontal Topo Frontal Perfil Fronto-horizontal
Rampa Perfil Oblíquo Oblíqua
αr2
r1
r0
r s0 s2
s1
r2
r1
E1
F2
E2
F1
D2
D1
A2
B2
B1
A1 C1
C2
X Y
Z
C1
h1
h2
A2
B2
B1
A1
C2
X Y
Z
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
33
a reta h é ⊥ ao plano ABC a reta t é ⊥ ao plano ABC a reta r é ⊥ ao plano ABC PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS : Dois planos (β e α) são perpendiculares quando cada um deles possui uma reta perpendicular ao outro.
r ∈ β m e n ∈ a α
m e n são concorrentes r é ⊥ a m e n
O plano formado pelas retas f e r é perpendicular ao plano α , pois basta que uma reta seja perpendicular ao plano para que os planos que a contenham sejam perpendiculares ao outro.
r2
B1
r1
P1
P2
α1
α2
f2
f1
α
r2
n1
β r
n2
m1
m2
r1
h2
h1
r2
B2
B1
r1
C1
C2
A1
A2
f2
f1
X Y
Z
X Y
Z
t2
t1
A2
B2
B1
A1 C1
C2
A1’ ≡ C1’
B1’
t1’
X Y
Z
X’
Y’ Z’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
34
17. DISTÂNCIA
É sempre determinada pela perpendicular comum entre os elementos. Deve ser representada sempre em VG.
Entre dois pontos: segmento de reta
que une os dois pontos
Entre ponto e reta: medida sobre a perpendicular traçada do ponto à reta
Entre dois planos: somente quando os planos forem paralelos. A distância é medida sobre a perpendicular traçada entre os planos.
β2
β1
γ2
γ1 d1
d2 (VG)
X Y
Z
d2’ (VG)
d2
d1
A2
B2
B1
A1
X’
Z’
Y’
B2’
A2’
X Y
Z
f2’
A2
f2
f1
A1
d2’ (VG)
d1
d2
X Y
Z
X’
Y’ Z’
A2’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
35
Entre retas: é a menor distância existente entre as retas.
Retas concorrentes: a distância é nula pois existe um ponto de
interseção próprio.
Retas paralelas: a distância é
constante, medida sobre a perpendicular comum a elas.
Retas reversas: a distância entre as retas é igual à distância entre os planos paralelos que passam pelas retas.
I2
r2 f2
f1 r1
I1
r1
X Y
Z
d2
v2 t2
v1
t1
d1(VG)
X Y
Z
d1’(VG)
d2
d1
r1’
r2
s2
s1
X Y
Z
X’
Y’ Z’
s1’
r2’
r2
s2
r1
s1
s2’
d2’(VG)
d1
d2
X Y
Z
X’
Y’ Z’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
36
Entre ponto e plano: a distância é medida sobre a perpendicular traçada do ponto ao plano.
P1
P2
α2
α1
d1(VG)
d2
X Y
Z
r2
A2
r1
A1
d1
d2
P1’ B2
C1
C2
B1
d1’(VG)
P1
P2
X Y
Z
X’
Y’ Z’
B1’
A1’
C1’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
37
Entre reta e plano: somente quando a reta e o plano forem paralelos. A distância é medida sobre a perpendicular traçada da reta ao plano.
t2
t1
D1
D2
E1
E2
F2
F2
d2 (VG)
d1
X Y
Z
h2
h1 A1
B1
B2
B2’
A2
C1
C2
r2
r1 C2’
r2’ d2’ (VG) d1
d2
π1π2
X Y
Z
X’
Y’ Z’
h2’≡A2’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
38
18. ROTAÇÃO
É um método descritivo onde os planos de projeção são fixos e o objeto do
espaço é que sofre o deslocamento. Este deslocamento é efetuado através de uma rotação em torno de uma reta (eixo) de modo que o objeto ocupe uma posição particular desejada. Elementos para a rotação: • Plano de movimento: perpendicular ao eixo passando por A • Centro do movimento: interseção do eixo com o plano de movimento • Raio do movimento: distância (em VG) do ponto A ao centro
Para rotacionar uma figura em torno de um eixo, todos os pontos da mesma descrevem arcos de circunferência (A A’) de ângulos centrais iguais (θ), em planos perpendiculares ao eixo (β).
ROTAÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UM EIXO • Eixo perpendicular ao plano horizontal de projeção (eixo reta vertical)
A’ e
β
A
θ
e2
e1
A1
A’2 A2 A’’2 A’’’2
A’1
A’’1
A’’’1
X Y
Z
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
39
• Eixo perpendicular ao plano frontal de projeção (eixo reta de topo)
• Eixos paralelos ao plano horizontal ou frontal de projeção
A2’ e2
e1
A2
A1’’’ A1’’ A1 A1’’
A2’’
A2’’’
A2’ e2
e1
A2
A’’2
A2’’’
A1’
A1’’
A1
A1’’’
A2’’ A2’’’
A2’iv
A1iv
A2iv
X Y
Z
X Y
Z
X’
Y’Z’
A2’’’ A2’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
40
ROTAÇÃO DE UMA RETA EM RELAÇÃO A UM EIXO
Quando o eixo passa por um dos pontos extremos da reta (Ex.: Encontrar a VG da reta AB).
Quando o eixo passa por um ponto qualquer da reta:
(Ex.: Tornar a reta AB vertical.)
Quando o eixo está afastado da reta: (Ex.: Tornar a reta AB uma reta de topo.)
e2 B2 A2’≡B2’
e1
A2
A1 A1’
B1
B1’
d1’
d1
d2 ≡ d2’
X Y
Z
+
e 1A 1
e2
B 1
B 2
B’ 2
A1’ ≡ B1’
A 2
A2’ X Y
Z
+
e1
A1
e2 ≡A2
B1
B2
B1’
B2’
X Y
Z
+
e2
A2
e1 ≡A1
B1
B2
B1’
B2’ B2’’
B1’’
X Y
Z
+
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
41
Rebatimento é o nome utilizado para a rotação de figuras planas quando se deseja obter sua verdadeira grandeza, e consiste em girar um plano (projeção acumulada) em torno de um eixo nele contido até que ocupe uma posição especial em relação aos planos de projeção. REBATIMENTO DE PLANOS COM PROJEÇÃO ACUMULADA REBATIMENTO DE PLANOS COM PROJEÇÕES REDUZIDAS
e1
e2 ≡ A2
A1
B2
C2
C2’ C2’’ B2’ B2’’
B1’’
C1’’ C1’ C1
B1 B1’
X Y
Z
+
B2
e1
A1
C2 A2
B1’
C1
B1
X Y
Z
X’
Y’ Z’
e2≡A2’≡C2’
B2’
B2’’
A2
A1
B2
C1’≡f1’
C2’
C1’’ B2’
C2
C1
e2
A1’≡e1’
f1
f2
X Y
Z
B1’ B1’’
X’
Y’Z’
+
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
42
ROTAÇÃO DE UM PLANO EM RELAÇÃO A UM EIXO
Ex.1: Determinar as projeções de um quadrado, pertencente ao plano ABC, utilizando dupla rotação e alçamento.
f1
f2
A1’ A1’’
e2 C2 C2’
e1
X Y
Z
B1’’ C1’’ A1
C2’’
B2’’
A2’ A2’’
A2
B2’
B2
C1 C1’ B1’ B1
Determinar as projeções de um quadrado pertencente a ABC
1ª etapa: ROTAÇÃO Acumular o plano ABC
Escolher uma reta em VG (B2C2) para acumular
Escolher eixo (e) (Reta de topo que
passa por C)
Girar ponto B2 em relação a e2 até que
C2B2 fique perpendicular ao
plano horizontal de projeção
Girar A2 o mesmo ângulo que B2
Determinar A2’ e A1’ B1’
Encontrar a PA do plano ABC
2ª etapa: REBATIMENTO Encontrar a VG do plano ABC
Representar o quadrado na VG
do plano
Girar ponto C1’ e B1’ em relação a f1 até que a PA do plano fique
paralela à linha de terra
Determinar B1’’ e C1’’
Encontrar os pontos C2’’ e B2’’ - determinando a VG
do plano ABC
3ª etapa: ALÇAMENTO DO QUADRADO
Escolher eixo (f) (reta vertical que
passa por A)
Fazer o caminho inverso, levando
os pontos por pertinência.
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
43
Ex. 2: Encontrar a distância de Q ao triângulo ABC.
Encontrar a distância de Q ao triângulo ABC
Acumular o plano ABC
Escolher uma reta em VG (A1C1 ou A2B2) no ex A2B2
Escolher eixo (Reta de topo que
passa por A)
Girar ponto B2 em relação a e2 (B’2)
(Até que A2B’2 fique perpendicular a π1)
Encontrar B’1
Girar ponto C2 em relação a e2 (C’2) (mesmo ângulo que B2)
Encontrar C’1
A1 B’1 C’1 Plano
Acumulado
Girar ponto Q2 em relação a e2 (Q’2)
(mesmo ângulo que B2) Encontrar Q’1
Distância de Q ao triângulo ABC em VG: segmento de reta perpendicular ao plano acumulado ABC até Q’1 (d1)
Para d1 estar em VG d2 deve ser paralela a L.T.
(X2 Q’2)
Onde d1 corta o plano acumulado
(X1)
e1 C1’ ≡ C1
e2 ≡A2
B1
B2
B1’ ≡ A1
B2’
C2
C2’ Q2’
Q2
X2
X1
Q1’ Q1
d1 (VG)
d2
X Y
Z
+
+
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
44
19. INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
A interseção entre reta e plano é um ponto (I), que pertence simultaneamente ao plano e à reta. Este ponto estabelece duas zonas de visibilidade para reta, a partir dele um lado da reta é visível, ou seja, está a frente do plano, e o outro lado é invisível, pois o plano esconde a reta. Na zona não visível dentro dos limites da figura plana, a representação da reta deve ser tracejada. Para identificar o ponto de interseção em épura, existem duas situações:
PLANOS QUE POSSUEM PROJEÇÃO ACUMULADA
Neste caso a solução é dita imediata e é encontrada diretamente na projeção acumulada (PA) do plano. E a outra projeção do ponto de interseção é encontrada através de uma linha de chamada ao outro plano de projeção, levando em consideração que a projeção do ponto de interseção sempre estará sobre a projeção da reta.
Na verificação da visibilidade, basta analisar qual objeto tem maior cota (se a PA estiver no plano frontal de projeção) ou maior afastamento (se a PA estiver no plano horizontal de projeção), para que este seja visível.
A2
r2
r1 A1
B2≡D2 r2
B2
C1
C2
B1
I2
α2
I1
α1
r1
I2
I1
I2
I1 ≡ r1
B1
D1
A2
A1
r2
X Y
Z
+
+
+
+
+
+
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
45
PLANOS QUE POSSUEM PROJEÇÕES REDUZIDAS Neste caso a solução é dita genérica e pode ser encontrada através de métodos descritivos – mudança de sistema de referência ou rotação - ou do método dos planos auxiliares. Solução através de métodos descritivos: Para a solução através de métodos descritivos é necessário obter a PA da figura plana, para tanto, pode ser utilizado qualquer método descritivo, porém o mais indicado nos casos de interseção é a mudança do sistema de referência. Depois proceder como na solução anterior.
A2
r2
r1
A1
r1’
I1’
B2
C1
C2
B1
I2
I1
X Y
Z
X’
Y’ Z’
A1’
C1’
B1’
X Y
Z
X’
Y’ Z’
r1 I1 A2’≡C2’
r2
A2
A1
r2’
B2
C1
C2
B1
I2
I2’
B2’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
46
Solução através do método dos planos auxiliares:
Neste caso utiliza-se um plano auxiliar (ω) que projeta-se coincidente a uma das projeções da reta r, e é , por conveniência, um plano com projeção acumulada. Da interseção de α e ω tem-se a reta i, que pertence aos dois planos. A interseção da reta i com a reta r é a procurada interseção do plano α com a reta r.
r2 ≡ ω2
α2
α1
r1
I1
I2
X Y
Z
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
47
20. INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
A interseção entre planos é uma reta (i), que pertence simultaneamente aos dois planos. Esta reta determina duas zonas de visibilidade nos planos (visível e invisível) o que ira depender do elemento com maior afastamento ou maior cota. Nas representações em épura , considera-se as figuras planas que representam os planos, para fins de visibilidade, portanto os limites não visíveis das figuras aparecem tracejados e a visibilidade pode ser ressaltada através de hachura.
Solução através de métodos descritivos:
Para identificar a reta de interseção em épura, existem quatro situações: Os planos têm PA no mesmo plano de projeção
Se os dois planos apresentam projeção acumulada no mesmo plano de projeção, a reta interseção aparece como um ponto. A outra projeção da reta interseção é encontrada através de uma linha de chamada. A visibilidade dependerá da maior cota ou afastamento que um plano apresenta em relação ao outro.
Os planos têm PA em planos de projeção diferentes
Se os dois planos apresentam projeção acumulada em planos de projeção diferentes, a reta interseção coincide com a projeção acumulada de cada plano. Não havendo parte de nenhum plano invisível.
β1
i2
α2 β2
i1 α1
X Y
Z
α2
β2 ≡ i2
α1≡ i1 β1
X Y
Z
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
48
Somente um dos planos tem PA
Se um dos planos apresenta projeção acumulada, uma das projeções da reta interseção coincide com a projeção acumulada deste plano, e a outra projeção é encontrada por pertinência. A análise da visibilidade do plano com projeções reduzidas dependerá da parte do plano que apresentar maior cota ou maior afastamento, sendo sempre visível.
Os planos têm PR
Se os dois planos apresentam projeções reduzidas, torna-se necessário encontrar a projeção acumulada de um dos planos, o que pode ser feito utilizando-se qualquer método descritivo (MSR ou rotação), porém o mais indicado nestes casos é o de mudança de sistema de referência. A análise da visibilidade dependerá da parte do plano que apresentar maior cota ou maior afastamento, sendo sempre visível.
β1
α2
i1
α1
β2 ≡ i2
X Y
Z
β2’
α2’
i2
α1
β2
α2
β1
i1
i2’
X Y
Z
X’
Y’Z’
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
49
Solução através do método dos planos auxiliares: Neste caso utilizam-se dois planos auxiliares cortando os planos dados, com projeção acumulada e, de preferência, paralelos entre si, determinando dois pontos da reta de interseção.
φπ2 ≡ r2 ≡ s2
ϕπ2 ≡ m2 ≡ n2 β2
α2
α1
β1
n1
m1
r1s1
i2
i1
X Y
Z
Departamento de Expressão Gráfica Faculdade de Arquitetura
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
50
21 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BORGES, G., BARRETO, D., MARTINS, E. Noções de Geometria Descritiva - teoria e exercícios. Ed. Sagra Luzzato, 2001. CALDONAZO, L. Educação artística desenho e geometria. In: www.colegiocatanduvas.com.br DI PIETRO, Geometría Descritiva, Alsin, 1989. KAWANO, C. O revolucionário projetista do exército de Napoleão. In: www.revistagalileu.globo.com MACHADO,A. Geometría Descritiva. Mc Graw Hill, 1983. MONTENEGRO, G. A. Geometria descritiva. V. 1 Ed. Edgard Blücher Ltda., 1991. PRINCIPE JR., A. R. Noções de geometria Descritiva. V. 2, 1970. WELLMAN, B. L. Geometria descriptiva. V. 2, Editorial Reverté, SA. Espanha, 1987.