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GEOMETRIA DE ESPAÇOS CURVOS
• distribuição de matéria afeta a geometria do espaço-tempo
possibilidadedo espaço não ser “euclidiano”
Geometria euclidianaGeometria euclidiana
soma dos ângulos = 180o
C=2R
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ESPAÇOS UNIFORMES
Espaço euclidiano uniforme = homogêneo + isotrópico (espaço plano)
geometria congruente formas espaciais invariantes a rotações e translações
Princípio cosmológico
Existem somente 2 tipos de espaços não-euclidianos que são uniformes:
•espaço esférico (geometria de Riemann)•espaço hiperbólico (geometria de Lobachevski)
espaços de comprimento intrínseco R
Se R >> região geometria local euclidiana
++=s
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Se R for muito grande em comparação com regiões conhecidas em escalas cósmicas dificuldade em distinguir entre os três tipos de espaços
nossa experiência é com fenômenos em pequena escala
Universo localmente euclidiano
Postulados:
1. Em um espaço plano somente uma paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto.
2. Em um espaço esférico paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto
3. Em um espaço hiperbólico várias paralelas a uma dada linha reta que passam num dado ponto
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Espaço esférico: Soma dos ângulos > 180o
C > 2r
Espaço hiperbólico:
Soma dos ângulos < 180o
C < 2r
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Exemplo : Terra
arco de círculo máximo
(geodésica)
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Quantidade que se quer determinar: curvatura do espaço K
relacionada com a escala intrínseca R do espaço
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CURVATURA DE UMA CURVA PLANA
Definição: curvatura média entreM e M’
MM'
w(M,M')K
= ângulo formado pelas duas tangentes à curva nos pontos M e M’
'MM
= distância entre os dois pontos medida sob a curva
w
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Curvatura no ponto M:
MM'
wK(M)
MM
lim
'
w = -
2/32 )'1(
'')(
Y
YxK
dx
dyy '
y
y+y
x x+x
s
y=f(x)
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2/32 )'1(
'')(
Y
YxK
Aplicação de
• reta: y=ax+b K (x) = 0
• círculo: x2+y2 = R2 K (x) = 1 / R
• parábola: y=ax2 K (x)=2a/(1+4a2x2)3/2
origem K (0)=2a (dependente do sistema de coordenadas)
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CURVATURA DE UMA SUPERFÍCIE
• Superfície representada por uma função Z = f (x,y)
DEFINIÇÃO: Ҝ=k1K2
• Escolhendo a orientação de x e y tal que F(x,y) ~ parabolóide: z = F(x,y) ~ ax2+bx2
x yP
onde k1=2a e k2=2b
Na vizinhança de P:F(x,y) ~ 1/2k1x2+1/2k2y2
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Aplicação:
ESFERA
x2+y2+(z - R)2 = R2
X
Y
Z
R
P
z ~ (x2+y2)/2R
K1= 1/R = K2
Ҝ= 1/R2
Neste caso a curvatura independe das coordenadas esfera de raio Ré uma superfície de curvatura constante e positiva
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HIPERBOLÓIDE
P
z = ax2 + by2
com a e b > 0
Ҝ= -4ab
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ATENÇÃO!!! Somente a região central representa um espaço hiperbólico uniforme
Ҝ= -1/R2
fora da região central o espaço não é isotrópico nem homogêneo
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Medidas intrínsecas de curvatura de uma superfície
Triângulos desenhados sobre a superfície
Teorema de gauss: Kdssobre a área do triângulo
• K=0 ++ = • K > 0 ++ > • K < 0 ++ <
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Hilbert: não se pode construir num espaço plano uma superfície bidimensional que represente exatamente a geometria de um espaço UNIFORME hiperbólico
Ҝ constante e < 0