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JAIRO GOMES JAIRO GOMES
VETORES
DEFINIÇÃO
V
Vetor é uma representação gráfica de uma grandeza vetorial.
SOMA DE VETORES
Dados:
Temos dois métodos para efetuar a soma:
Método algébrico e Método gráfico
| V1 | = 10 | V2 | = 8
a) Vetores de mesma direção e sentido.
Método algébrico
S = 10 + 8
│ S │ = 18
S = V1 + V2
Método gráfico| V1 | = 10 | V2 | = 8
| V1 | | V2 |
| S | = 18
SOMA DE VETORES
b) Vetores de mesma direção e sentidos
opostos.
Dados:
| V1 | = 10 | V2 | = 6
Método algébrico
S = 10 + (-6)
│ S │ = 4
S = V1 + V2
Método gráfico
| V1 | = 10 | V2 | = 6
| V1 | = 10
| V2 | = 6
| S | = 4
ATENÇÃO:
O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) apresenta o
mesmo sentido do vetor de maior módulo.
c) Vetores que formam um ângulo qualquer.
SOMA DE VETORES
V2
V1
Método algébrico
S = V1 + V2
S = ( V1 )2 + ( V2 )2 + 2 V1 . V2 . cos
Se = 90o , então:
S = ( V1 )2 + ( V2 )2
Pois cos 90o = 0
Método gráfico do polígono fechado
V1 V2
S
Método gráfico do paralelogramo
V1
V1
V2
V2
S
VETOR OPOSTO
Dado o vetor V , chamaremos de
vetor oposto de V, o vetor -V que
tem a sua representação indicando a
mesma direção, mas com o sentido
oposto. Veja a representação de - V.
V - V
SUBTRAÇÃO DE VETORES
D = A - B = A + ( -B )
Considere os vetores A e B e a
operação de subtração D = A - B . O
vetor D (vetor diferença) é a diferença
entre os vetores A e B, nesta ordem.
Portanto, para subtrair A de B, deve-
se adicionar A ao oposto de B.
Vejamos:
EXEMPLO: Dados │ A │= 8 e │ B │ = 3,
o vetor D = A - B será:
D = A + ( - B )
D = 8 - 3
D = 5
A
B
D
SOMA DE VÁRIOS VETORES
BA
C D
A soma de n vetores poderá ser feita através do método do polígono fechado. Veja o exemplo abaixo:
A SOMA DESSES VETORES SERÁ:
BA
C
DS
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
Chama-se produto de um número real n pelo vetor V ao vetor:p = n . V de tal maneira que:1o ) módulo: │ p │ = │n│ . │ V │2o ) direção: a mesma de V.3o ) sentido: de V se n é positivo. contrário a V se n é negativo.Se n = 0 o produto p é igual a zero, ou seja, o vetor p é um vetor nulo.
EXEMPLO 1
V
n = 2 e p = 2 . V
p
EXEMPLO 2
n = - 2 e p = - 2 . V
V
p
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Um vetor V pode ser decomposto em dois
vetores componentes: Vx
(componente horizontal) e Vy (componente vertical),
de modo que:
V
x
y VX = cos . V
Vy = sen . V
VY
VX
E X E R C Í C
I O
1. Um avião possui velocidade de 200 m/s a 30° acima da
direção horizontal, conforme mostra a figura. Determine as
componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na
vertical (eixo y). São dados: sen 30° = 0,500; cos 30° = 0,866.
Solução:
vx = ?30º
v
vx
vY
vX = cos . v
vx = 0,866 . 200
vx = 173,2 m/s
vy = ?
vy = sen . v
vy = 0,5 . 200
vy = 100 m/s
2. Uma lancha se desloca numa direção que faz um ângulo
de 60° com a direção leste–oeste, com velocidade de 50 m/s,
conforme mostra a figura. Determine as componentes da
velocidade da lancha nas direções norte-sul (eixo y) e leste-
oeste (eixo x). São dados: sen 60° = 0,866 e cos 60° = 0,500.
Solução:N
S
LOx
y v
60º vx = ?
vX = cos . v
vx = 0,5 . 50
vx = 25 m/s
Direção leste-oeste
Direção norte-sulvy = ?
vy = sen . v
vy = 0,866 . 50
vy = 43,3 m/s
3. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a:a) 4b) um valor compreendido entre 12 e 16c) 20d) 28e) um valor maior que 28
X
4. Uma pessoa caminha em um passeio, num dia de domingo, 180 m do sul para o norte. A seguir, desloca-se 240 m de oeste para leste. Qual é o valor do deslocamento final dessa pessoa?
Solução:
S
NO L
180 m
240 m ( d )2 = 1802 + 2402
d = ?
( d )2 = 32400 + 57600
( d )2 = 90 000
( d ) = √90 000
( d ) = 300 m
5. Um jogador de golfe necessita de quatro tacadas para colocar a bola no buraco. Os quatro deslocamentos estão representados na figura. Sendo d1 = 15 m, d2 = 6,0 m, d3 = 3,0 m e d4 = 1,0 m, qual era a distância inicial da bola ao buraco?
buraco
d1
d2
d3
d4
d = ?
d = ?15 - 3
6 - 1Solução:
d2 = 122 + 52
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = √169
d = 13 m