FÍSICA

Editora Exato 13

CINEMÁTICA ESCALAR-DIAGRAMAS HORÁ-

RIOS 1. INTRODUÇÃO

Dividiremos o estudo dos diagramas horários

em duas partes: Os diagramas do Movimento Uni-

forme e, logo em seguida, os do Movimento Unifor-

memente Variado. Neste capítulo, o aluno deverá

reconhecer e classificar os tipos de movimentos, bem

como deverá aprender a calcular os valores das gran-

dezas: Velocidade, deslocamento escalar e acelera-

ção.

2. MOVIMENTO UNIFORME

2.1. Diagrama S x t O diagrama do espaço em função do tempo é

uma reta inclinada. Para determinar o módulo da ve-

locidade, basta calcular a tangente do ângulo α, como

mostra a figura abaixo:

S

tO

S 0

Vtgα N

α

S

tO

S 0

Vtgα N

α

O movimento representado no gráfico anterior

é uniforme e progressivo, pois o espaço é crescente;

se o espaço fosse decrescente, teríamos um movi-

mento retrógrado.

2.2. Diagrama V x t No movimento uniforme, a velocidade escalar

é constante. Assim, o gráfico da velocidade em fun-

ção do tempo é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

v

A

t 1 t 2

v0

t

O cálculo da área neste diagrama fornece o va-

lor numérico do deslocamento linear. N

Área S=∆

3. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIA-

DO

3.1. Diagrama S x t A equação horária do espaço para o movimen-

to uniformemente variado é de 2º grau, dada por:

2

attvSS

2

00 ++=

Portanto, o gráfico S x t para este movimento é

representado por uma parábola. Sendo que:

� se a concavidade estiver voltada para cima:

a > 0

� se a concavidade estiver voltada para baixo:

a < 0

a ⇒ Aceleração escalar.

vérticeV=0

t1

S 1

S 0

t2O

S

t

No gráfico apresentado:

� a < 0, durante o movimento (parábola com

a concavidade para baixo);

� de 0 a t1 → Movimento Progressivo e Re-

tardado;

� em t1 → V = 0 (inversão de movimento);

� de t1 a t2 → Movimento Retrógrado e Ace-

lerado;

� nada podemos afirmar sobre a trajetória.

3.2. Diagrama Vx t O diagrama da velocidade em função do tempo

para o movimento uniformemente variado é dado por

uma reta inclinada. Para valores crescentes das velo-

cidades, temos que a aceleração é positiva; para valo-

res decrescentes da velocidade, a aceleração é

negativa.

Editora Exato 14

V

t

> 0 < 0

V

t

a a

α

α

No gráfico acima, o cálculo da tgα dá o valor

da aceleração. N

tg = aα

3.3. Diagrama a x t No movimento uniformemente variado, a ace-

leração escalar é constante. Assim, o gráfico é uma

reta paralela ao eixo dos tempos. O cálculo da área

do gráfico fornece o valor da velocidade. N

Área=V

a

o t1 t2 t

A

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Um móvel, cujo espaço inicial é 0 30S m= − , se

desloca a favor da trajetória, em movimento re-

tardado, com velocidade escalar inicial de

72km/h e aceleração de -4m/s2. Determinar:

a) a função da velocidade;

b) a função horária dos espaços;

c) o instante em que o móvel pára, e sua acelera-

ção nesse instante;

d) o gráfico v.t de 0s a 10s;

e) o deslocamento escalar do móvel de 0s a 10s;

f) o espaço do móvel em t=10s;

g) quantas vezes o móvel passa pelo ponto de es-

paço S=2m

Resolução:

a) Temos:

0

2

72 / 20 /

4 /

v km h m s

a m s

= =

= −

Como 0v v at= + , vem: 20 4v t= −

b) 20 0

1.

2S S v t at= + + → 230 20 2S t t= − + −

c) Quando o móvel pára, temos v=0m/s. Substitu-

indo esse valor na função da velocidade, vem:

0 20 4t= − → 5t s=

Nesse instante, a aceleração é: 24 /a m s= − .

d) t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V(m/s) 20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20

Com base na tabela obtida, temos:

20

16

12

8

4

0

-4

-8

-12

-16

-20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(m/s)

t(s)

e) Entre 0s e 10s, temos:

20

0

-20

A

A

5

1

2

v(m/s)

t(s)10

Como 1 2S A A∆ = − e 1 2A A= , então 0S∆ = .

f) Para obter o espaço do móvel em qualquer

instante, utilizamos a função horária 230 20 2S t t= − + − .

Para t=10s, temos: 230 20.10 2.10S = − + − → 30S m= − , portanto,

em 10s o móvel torna a passar pela origem da trajetó-

ria ( )0 30S m= − .

g) Para determinar o número de vezes que o

móvel passa pelo espaço 2S m= , fazendo S assumir

esse valor na função horária dos espaços. Assim: 2 22 30 20 2 10 16 0t t t t= − + − → − + =

Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos:

( )22 4 10 4.1.16 36b ac∆ = − → ∆ = − − → ∆

Então:

1

2

10 68

210 62

22

t sb

t

t s

+= =− ± ∆

= → − = =

, logo, o móvel

passa duas vezes pelo ponto de espaço S=2m.

2 A função horária dos espaços de um móvel é 29 6S t t= − + (SI). Determinar:

a) o espaço inicial (S0), a velocidade inicial (V0) e

a aceleração escalar (a);

b) a função velocidade;

Editora Exato 15

c) o instante em que o móvel pára e seu corres-

pondente espaço;

d) os gráficos S.t, v.t e a.t

Resolução:

a) Comparando 29 6S t t= − + com

20 0

12

S S v t at= + + ⋅ , temos:

0 9S m= 0 6 /v m s= −

21. 1 2 /

2a a m s= → =

b) 0v v at= + → 6 2v t= − +

c) Quando o móvel pára, temos v=0m/s. Logo:

0=-6+2t → 3t s=

Substituindo t=3s em S=9-6t+t2, obtemos o espa-

ço correspondente ao instante em que o móvel

pára: 29 6.3 3S = − + → 0S m=

d) Primeiro obtemos as tabelas abaixo, depois os

gráficos:

t(s) 0 1 2 3 4 5 6

v(m/s) -6 -4 -2 0 2 4 6

t(s) 0 1 2 3 4 5 6

v(m/s) 9 4 1 0 1 4 9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6

S(m)

t(s)

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

01 2 3 4 5 6

v(m/s)

t(s)

2

01 2 3 4 5 6

a(m/s )2

t(s)

EXERCÍCIOS

1 Os gráficos a seguir representam a posição versus

tempo de dois móveis. Determine a velocidade de

ambos.

200

120

40

0 20 40

S(m)

t(s)

a)

80

0

-80

-160

1

2 3

S(Km)

t(h)

b)

2 Os gráficos velocidade versus tempo abaixo re-

presentam a dinâmica de dois corpos diferentes.

Determine a variação do espaço para os móveis.

0

v (m/s)

t(s)

a)

5

20 40

v(m/s)

t(s)

10

b)

100

Editora Exato 16

3 Dados os gráficos abaixo, determine qual repre-

senta o móvel que andou a maior distância. Con-

sidere que o movimento se dá sempre na mesma

direção.

b)

tt1

V0

t

a)

t1

V

V0

c)

tt1

V0

V

V

tt1

V0

Ve)

tt1

V0

Vd)

4 Qual dos gráficos abaixo representa um movi-

mento uniforme?

t

a) S

t

Se)

b)

t

S

c)

t

S

t

Sd)

5 Construa o gráfico espaço (s) versus tempo (t),

velocidade (v) versus t e aceleração (a) versus t

de um móvel que parte do repouso, saindo da ori-

gem dos espaços em t=0 com uma aceleração de

5m/s². Construa o gráfico na faixa de tempo de 0

a 5 s.

GABARITO

1

a) 4m/s

b) –80km/h

2

a) 100m

b) 250m

3 D

4 D

5

t(s)0 5

5

a(m/ )s2

t(s)0 5

25

V(m/ )

t(s)0 5

62,5

S(m) s