EQUAÇÕES DO 2º GRAUAceite para publicação em 15 de Março de

2010

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introdução

equações do 1º grau

equações do 2º grau

resumo

extras

créditos

agradecimentos

fim

introdução

equação

solução de uma equação

membros e termos

pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo

princípios de equivalência

equações e funções

grau de uma equação

equaçãouma equação é uma igualdade entre duas expressões onde aparece pelo menos uma letra designada por incógnita ou variável.

Exemplo:

3 4 2 1x x

3 4 7

25 2 1x y

é equação

não são equações

membros e termoso sinal de igual separa a equação em dois membros ecada monómio que neles figura chama-se termo

Exemplo: 3 4 2 1x x

1º membro 2º membro

3 2;x x

4 1;

termos com incógnita

termos independentes

solução de uma equaçãoum número diz-se solução de uma equação se ao se substituir esse número pela incógnita se obtiver uma proposição verdadeira

Exemplo: 3 4 2 1x x é solução de porque

3 4 2 1 15 4 10 1 11 15 15

O conjunto de todas as soluções de uma equação designa-se por conjunto-solução e representa-se por c.s. Neste exemplo

Equações equivalentes são equações com o mesmo conjunto-solução.Utiliza-se o sinal de equivalente

5. .c s

5

princípios de equivalênciaResolver uma equação significa determinar o seu conjunto-solução.Para resolver equações existem duas regras básicas conhecidas por princípios de equivalência.

princípio da adição

princípio da multiplicação

princípio da adiçãoao adicionar a ambos os membros de uma equação o mesmo número obtém-se uma equação equivalente à inicial

Exemplo: 3 7

3 7

1

3 3

0

x

x

x

10. .c s

princípio da multiplicaçãoao multiplicar ambos os membros de uma equação pelo mesmo número diferente de zero obtém-se uma equação equivalente à inicial

Exemplo: 3 12

3 121

34

1

3

x

x

x

4. .c s

grau de uma equaçãoo grau de uma equação é igual ao maior grau dos seus termos

Exemplo:

3 1 4x equação do 1º grau

2 6 5 0x x equação do 2º grau

3 2 0x x equação do 3º grau

equações e funçõesas soluções de uma equação coincidem com os zeros da função correspondente

1º grau

2º grau

afim

quadrática

Clica nas palavras da tabela para mais informações

equações do 1º grauuma equação do 1º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:

0,a b a 0ax b e

solução de uma equação do 1º grau

soluções e zeros

função afim

Voltar à tabela

a solução da equação

solução de uma equação do 1º grau

0,a b a 0ax b b

a

2 8 0

8

24

x

x

x

4. .c s

Exemplo:

é com

e

função afimfunção cujo gráfico é uma recta e cuja expressão analítica é do tipo:

,m by mx b

gráfico da função afim

declive

ordenada na origem

casos particulares

Voltar à tabela

gráfico da função afimO gráfico da função afim é uma recta de equação:

,m by mx b

Qual será a influência dos parâmetros m e b

no gráfico da função afim?

Clica na figura e tenta descobrir!

declivem é responsável pela inclinação da

recta

ordenada na origemb ordenada do ponto de intersecção do

gráfico da função com o eixo dos yy

o gráfico da função passa no ponto

0,b

casos particulares da função afimas funções linear e constante são casos particulares da função afim

soluções e zerosdeterminar os zeros da função afim corresponde a determinar as soluções da equação do 1º grau

Exemplo:

2 6y x função afim

2 6 0

2 6

3

x

x

x

determinar zeros:

graficamente:

3. .c s

y mx b 0mx b

zero

equações do 2º grau

equações do 2º grau incompletas

uma equação do 2º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:

0, ,a b c a

equações do 2º grau completas

2 0ax bx c e

as equações do 2º grau dividem-se em dois tipos:

quando e/ou0b 0c

quando 0, ,a b c Voltar à tabela

equações do 2º grau incompletas

equações do tipo com

equações do tipo com

existem três tipos de equações do segundo grau incompletas:

2 0ax 0a

equações do tipo com 2 0ax bx 0,a b

2 0ax c 0,a c

equações do tipo têm apenas uma solução nula:

2 0ax

0. .c s

Exemplo: 2

2 2

2

2

5 3 3

5 3 3

4 0

0

0

x x x x

x x x x

x

x

x

0. .c s

equações do tipo têm duas soluções:

2 0ax bx

0. . ,b

c sa

Exemplo:

2

2

3 5

3 5 0

3 5 0

0 3 5 0

50

3

x x

x x

x x

x x

x x

50

3. . ,c s

Voltar à lei do anulamento do produto

equações do tipo

se têm duas soluções simétricas

2 0ax c

Exemplo 1

0c

a . . ;

c cc s

a a

se são impossíveis0c

a

2

2

2

2 32 0

2 32

16

16

4 4

x

x

x

x

x x

4 4. . ,c s

2

2

2

2 8 0

2 8

4

x

x

x

equação impossível

. .c s

Exemplo 2

equações do 2º grau completasuma equação do 2º grau completa é uma equação do tipo

0, ,a b c 2 0ax bx c com

fórmula resolvente

binómio discriminante

função quadrática

parábola

soluções e zeros

conclusões

para determinar as soluções de qualquer equação do 2º grau

22 4

02

b b acax bxc x

a

fórmula resolvente

fórmula resolvente 2

2 40

2

b b acax bx c x

a

Exemplo:2

2

5 6 0

5 5 4 1 6

2 1

5 1

25 1 5 1

2 22 3

x x

x

x

x x

x x

1

5

6

a

b

c

2 3. . ,c s

binómio discriminante

2 4b ac

é a expressão que figura debaixo do radical na fórmula resolvente

Qual será a relação entre o binómio discriminante e o número de soluções

de uma equação do 2º grau?

Clica na figura e tenta descobrir!

função quadráticafunção cujo gráfico é uma parábola e cuja expressão analítica é do tipo:

, ,a b c2y ax bx c

Qual será a influência do parâmetro a no gráfico da função quadrática?

Clica na figura e tenta descobrir!

Voltar à tabela

parábolauma parábola é uma curva de equação com

0a 2y ax bx c

Qual será a influência dos parâmetros h e k no gráfico

da função quadrática?

Clica na figura e tenta descobrir!

ou , usando os casos notáveis, 2y a x h k , , , ,a b c h k

com e

soluções e zerosdeterminar os zeros da função quadrática corresponde a determinar as soluções da equação do 2º grau

Outra forma de escrever a expressão analítica da função quadrática é

2y ax bx c 2 0ax bx c

1 2y a x z x z

1 2, ,a z z 0a

O que significam z1 e z2?

Clica na figura e tenta descobrir!

conclusões

resumo

extrasnesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos

casos notáveis da multiplicação de polinómios

lei do anulamento do produto

factorização de polinómios

casos notáveis da multiplicação de polinómios

quadrado da soma

diferença de quadrados

quadrado da diferença

Voltar à parábola

quadrado da soma

2 2 22a b a ab b

Exemplo 1

2 23 6 9x x x

Exemplo 2

2 2 22 4 4x y x xy y

quadrado da diferença

2 2 22a b a ab b

Exemplo 1

2 25 10 25x x x

Exemplo 2

2 23 2 9 12 4x x x

diferença de quadrados

2 2a b a b a b

Exemplo 1

27 7 49x x x

Exemplo 2

23 3 9

2 5 2 5 4 25

x x x

factorização de polinómios

Exemplo 1 – colocando factores comuns em evidência

22 5 2 5x x x x

Exemplo 2 – usando os casos notáveis

22 14 49 7 7 7x x x x x

existem dois processos para factorizar polinómios:

lei do anulamento do produto

Exemplo

1 2 0

0 1 0 2 0

0 1 2

x x x

x x x

x x x

o produto de dois ou mais factores é nulo se pelo menos um dos factores for nulo

0 0 0 0a b c a b c

Este método é utilizado para a resolução de equações do 2º grau incompletas do tipo

2 0ax bx

CréditosEste trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.

Este trabalho foi publicado sob licença

Creative Commons da Casa das Ciências

Agradecimentos

À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra

À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das

Ciências

Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões

Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático

Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores

Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles

FIM

Erika Bizarro 2010