Capítulo 1
Números
Conexões
Podemos imaginar um campo de futebol no qual desejamos
ir de uma trave à outra. Pode-se seguir este raciocínio: Na
caminhada, em determinado momento, estaremos na metade
do campo; depois, chegaremos até a metade do que falta para
chegar à outra trave; em seguida, estaremos na metade do que
ainda falta etc. Dessa forma, nunca chegaremos até a outra
trave. Segundo esse raciocínio, não é possível ir de um ponto
A para um ponto B, distinto de A.
O paradoxo surge ao se supor intuitivamente que a soma de
infinitos intervalos de espaço é infinita. No entanto, os infinitos
intervalos descritos formam uma sequência cuja soma converge
para um valor finito.
No caso do paradoxo de Aquiles, além de se estabelecer a
tartaruga como referencial, é um erro separar a dupla espaço-
tempo. Não se deve separar o espaço do tempo.
Considerando que velocidade é uma razão entre espaço e
tempo, temos:
• Tartaruga:velocidade vs
t= − 10
(subtraímos 10, pois ela
começou 10 m à frente).
• Aquiles:velocidade 10vst
= .
Para sabermos se Aquiles alcança a tartaruga, precisamos
encontrar o ponto em que s1 = s2. Isolando o espaço nas duas
equações e igualando-as, temos:
vt + 10 = 10vt s vt = 109
1 1 ,
Aquiles encontra a tartaruga, após ela andar, aproximada-
mente, 1,1 m.
Exercícios complementares
13. {1; 2; 3} = {1; 2; x} s x = 3
{1; 2} = {1; 2; y} s y = 1 ou y = 2
Podemos ter x + y = 4 ou x + y = 5.
14. A = {1; 2}, pois {1; 2} 1 A (todo conjunto é subconjunto dele
mesmo) ou A = {1; 2; 3}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou
A = {1; 2; 4}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou A = {1; 2; 3; 4},
pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4}
∴ A = {1; 2} ou A = {1; 2; 3} ou {1; 2; 4} ou A = {1; 2; 3; 4}
15. Como A = B, devemos ter x = 8, pois este é o único elemento
de B que não foi explicitado em A.
Ainda deveremos ter: x – y = 4 ou x – y = 2
Para x – y = 4, temos: 8 – y = 4 s y = 4
Assim: y2
2=
Para x – y = 2, temos: 8 – y = 2 s y = 6
Assim, y2
3= (Não convém, pois: 3 # B)
∴ x = 8 e y = 4
16. Construímos a seguinte tabela em função das informações
do enunciado. Os dados destacados(*) foram extraídos do
enunciado ou por suposição inicial.
Homens Mulheres Total
Menores 12% (*) 3% 15%
Maiores 60% 25% 85% (*)
Total 72% (*) 28% (*) 100% (*)
Menores de idade: 15%
Mulheres menores de idade: 3%
Percentual: 3
1515
20= = %
Entre os menores de idade, o percentual de mulheres é de 20%.
29. c
I. (F) O símbolo 3 não é usado para relacionar dois conjuntos.
II. (V)
III. (V)
IV. (F) A intersecção entre dois conjuntos deve ser um conjunto, e
5 não é representação de conjunto.
30. c
Distância numérica do intervalo: 84 – 32 = 52 unidades
Como o intervalo foi dividido em 16 partes iguais:
52 : 16 = 3,25 unidades
De 32 até X existem 11 unidades de 3,25. Assim, temos:
3,25 · 11 = 35,75
Daí: 32 + 35,75 = 67,75
31. d
Sendo x = 2, 777..., temos:
10 27 777
2 777
9 25
259
x
x
x
x
==
−
=
∴ =
, ...
, ...
Assim, teremos:
2 777259
53
1 666, ... , ...= = =
1
MateMáticaPrincíPios
32. a
P = {6; 7; 8; 9; 10; 11; …; 20}
A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}
B = {6; 8; 12; 16}
C = {10; 15; 20}
A – B = {10; 14; 18; 20}
(A – B) % C = {10; 20}
n[(A – B) % C] = 2
Tarefa proposta
1. 1
3
5
2
4
6
8
10
2. Cada um dos conjuntos está definido por meio de uma pro-
priedade, e seus elementos devem ser explicitados.
a) Sabemos que 0 = 02 e 1 = 12. Assim, A = {0; 1} e é um con-
junto finito.
b) Nesse caso, a diferença em relação ao item anterior é a
condição de o número ser diferente de zero. Então, B = {1}
e é um conjunto unitário.
c) Nenhum número pode ser igual ao seu sucessor. Portanto,
C = { }, ou seja, C é um conjunto vazio.
d) Existem infinitos números, logo D é um conjunto infinito.
3. a) Os números formados por 2 dígitos (algarismos) e que con-
têm 1 e 4 são: 14 e 41. Assim: A = {14; 41}
b) Em ®, 4 = 2. Logo, B = {2}.
c) Os múltiplos não negativos de 2 podem ser obtidos por meio
da multiplicação de 2 por todos os números naturais. Assim:
C = {0; 2; 4; 6; …}
d) O zero é múltiplo de qualquer número, mas não é divisível
por ele mesmo. Assim, os divisores de zero são todos os reais
não nulos.
4. Considerando que x, y e z são números entre 0 e 9, deveremos ter:
• z = 6, pois 3 + 7 + 6 = 16.
• Pelométodosimplificadodaadiçãodenúmeros,anotamosa
unidade 6 e acrescentamos 1 na coluna das dezenas. Assim,
1 + x + 8 + 7 só poderá dar 19, por causa do algarismo 9
na soma resultante. Logo, x = 3.
• Anotamos adezena9 e acrescentamos 1na colunadas
centenas. Assim, 1 + 8 + y + 5 = 22. Logo, y = 8.
∴ x + y + z = 17
5. e
Se a e b são consecutivos e positivos, então um deles é par e
o outro é ímpar. A soma de um número par com um ímpar é
ímpar e o produto é par. Assim:
a) (F) A soma é ímpar.
b) (F) O produto ab é par, portanto seu sucessor é ímpar.
c) (F) a + b é ímpar, que, somado com 2 (que é par), resulta
em número ímpar.
d) (F ) Nada podemos afirmar, pois não sabemos que é par, a ou b.
e) (V) a + b é ímpar, portanto seu sucessor é par.
6. c
Como x e y são números positivos e consecutivos, podemos
concluir que um deles é par e o outro é ímpar.
a) (F) Se x for ímpar, 2 x será par. Se y for par, 3y será par.
A soma de par com par é par.
b) (F) Ver anterior.
c) (V) O produto xy é par, portanto seu sucessor é ímpar.
d) (F) O dobro de xy é par, que, somado com um número par,
resulta em par.
e) (F) x + y é ímpar, portanto seu sucessor é par.
7. c
João percorreu 8 quilômetros, indo diretamente de Y para Z.
Pedro foi de Y para Z, mas com “escala” em X. Assim, percorreu:
5 quilômetros para ir até X e mais 6 quilômetros de X para Z.
Total:5+6=11
Pedro percorreu 3 quilômetros a mais que João.
8. Vamos identificar cada uma das embalagens como um conjunto:
• Vazia:∅ • Com1sabor:{caramelo},{morango},{uva}
• Com2 sabores: {caramelo;morango}, {caramelo; uva},
{morango; uva}
• Com3sabores:{caramelo;morango;uva}
Esses 8 conjuntos correspondem a 8 tipos diferentes de em-
balagens.
Segundo modo:
Procuramos o número de elementos do conjunto de partes de A.
Nesse caso, n[P(A)] = 23 = 8.
Concluímos que a empresa precisou fazer 8 tipos de embalagens.
9. D = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} e M = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24;
27; …}
D % M = {3; 6; 12; 24}
O número de subconjuntos de F é dado por 2n(F ).
∴ n[P(F )] = 2n(F ) = 24 = 16
10. c
Para resolvermos esse tipo de problema, devemos procurar al-
guma lei de formação, conveniente, na disposição dos números.
Uma lei de formação pode ser a seguinte:
Todososúltimosnúmerosdecadalinhasãoumquadradoperfeito
(1 = 12; 4 = 22; 9 = 32; …), e esse número é a ordem da linha
elevada ao quadrado. Assim, o último número da 12a linha será
144 = 122. Acima de 144, não existe número da linha anterior.
O número que precede 144 é 143 e acima dele está o número
121 = 112. Anterior a 143, está o 142 e, acima dele, estará 120.
2
11. Considerando que n(A) = n, temos que o número de subcon-
juntos de A é dado por 2n.
Acrescentando 2 elementos ao conjunto A, teremos que o
número de subconjuntos passará a ser 2n + 2. Assim, podemos
escrever:
2n + 2 = 2n + 384
Como 2n + 2 = 2n · 22 = 4 · 2n, temos:
4 · 2n = 2n + 384 s 3· 2n = 384 s 2n = 128 s 2n = 27
∴ n = 7
12. b
x e y são números positivos.
0 < y < 1 (pela representação geométrica)
Multiplicando por x:
0 < xy < x
Logo, xy está entre 0 e x.
13. d
Representação dos dados, utilizando o diagrama de Venn:
12
A B
6
6 16
Assim, vemos que a quantidade de predadores que não têm
preferência por A ou por B é 6.
14. a) A 5 B 5 C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
b) A % B % C = {1; 2}
c) (A – B) % C = {0}
d) A 5 (B – C) = A 5 ∅ = A = {0; 1; 2}
e) C – (A – B) = {1; 2; 3; 4; 5}
15. b
No diagrama a seguir, temos:
S E
H
180
27
6
8200
113
30
O número de alunos que gostam apenas de uma das três
áreas é:
180 + 200 + 113 = 493
16. c
Vamos traduzir em diagramas as informações da tabela, com-
pletando as intersecções e os conjuntos com a quantidade
respectiva de elementos.
Febre Dor no corpo
Náuseas
10
2
6
42
12
4
Totaldepacientesatendidosnoposto:
6 + 4 + 4 + 2 + 10 + 2 + 12 = 40
17. F – V – V – V – F
Com base nas informações do enunciado, vamos completar o
diagrama de Venn, começando pelas intersecções.
C D
F
15
5
6
412
16
3
I. (F) Companhias que publicam em exatamente dois jornais:
4 + 5 + 3 = 12
II. (V) Companhias que publicam em pelo menos dois dos jornais:
4 + 5 + 3 + 6 = 18
III. (V) Companhias que publicam em um único jornal:
15 + 12 + 16 = 43
IV. (V) Companhias que publicam em pelo menos um dos três
jornais: 43 + 18 = 61
V. (F) Companhias que publicam apenas no jornal D: 12
18. c
Nas figuras, temos:
A B
C
A 5 C
A B
C
A 5 B
3
Daí:
A B
C
19. a)
Francês Inglês
x
z
y 32
x + 32 = 45 s x = 13
x + y = 21 s y = 8
x + z = 20 s z = 7
O total de alunos da sala é:
x + y + z + 32 = 60
b) Oito alunos falam os dois idiomas.
20. d
Se o número for racional, ele será real.
Se o número for natural, ele será inteiro, racional e real.
Se o número for inteiro, ele será racional e real.
Se o número for positivo, ele será real.
Entretanto, o número pode ser real sem ser natural, sem ser
inteiro, sem ser racional e sem ser positivo.
21. c
B
A
B 1 A, ou seja, B é um subconjunto de A.
22. e
2A:
B:
A – B:
B – A:
5
3 4
3 42 5
Com essa representação geométrica dos conjuntos, concluí-
mos que:
A – B = [2; 3) 5 (4; 5] e B – A = ∅
23. e
X % Y = {M; A; R; I} s n(X % Y ) = 4
24. b
101
Cotas Bolsas
Nenhuma política: 9
Enem
72
44
953
261
41
a) (F)Totaldealunospesquisados:590
Alunos que responderam à pesquisa: 44 + 9 + 72 + 41 +
+ 101 + 53 + 261 = 581
Alunos que não opinaram: 590 – 581 = 9
b) (V) Alunos que aprovam apenas uma política: 101 + 53 +
+ 261 = 415
c) (F ) Alunos que aprovam mais de uma política: 44 + 9 + 72 +
+ 41 = 166
d) (F ) Alunos que aprovam as três políticas: 44 (dado no enunciado)
e) (F) Alunos que aprovam cotas: 101 + 9 + 72 + 44 = 226
Alunos que aprovam somente o Enem: 261
25. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27}
B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}
a) A 5 B = {3; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 18; 20; 21; 24; 27; 28}
b) A % B = {12; 24}
c) A – B = {3; 6; 9; 15; 18; 21; 27}
d) B – A = {4; 8; 16; 20; 28}
26. b
A = {0; 1; 2; 3; 4; …; 9}
A 5 B = A g B 1 A
A % B = {0; 2; 4; 6; 8}
Se B 1 A, então: A % B = B = {0; 2; 4; 6; 8}
27. d
a) (F) Basta um contraexemplo para tornar a afirmação falsa.
Veja: 2 e 8 são números irracionais. No entanto, o
produto 2 8 2 8 16 4⋅ = ⋅ = = é racional.
b) (F ) Veja o contraexemplo: 1 2+( ) é irracional e 1 2−( ) tam-
bém. No entanto, 1 2 1 2 2+( ) + −( ) = , que é racional.
c) (F) Os números π, , , , ...10 11 12 são números irracionais
entre 3 e 4.
d) (V) Demonstração:
Considere a e b dois números racionais positivos tais que
a < b. Pode-se escrever:
• Considerandoa < b, somando b aos dois membros e, depois,
dividindo-os por 2, temos:
a < b s a + b < 2b sa b+
2 < b
4
• Considerandob > a, somando a aos dois membros e, depois,
dividindo-os por 2, temos:
b > a s a + b > 2a sa b+
2 > a
Portanto, podemos concluir que a < a b+
2 < b, o que indica
que entre a e b existe, pelo menos, o número racional a b+
2.
e) (F) Basta um contraexemplo. Os números (–2) e (–5) são
inteiros negativos. No entanto, a subtração (–2) – (–5) = –2 +
+ 5 = 3, que é um número inteiro positivo.
28. e
Dados do enunciado:
• Ataquesdehackers no terceiro trimestre de 2009: 1.600
Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 77%
Totaldevítimasnoterceirotrimestrede2010:
1.600 · 1,77 = 2.832
• Vítimasdephishing no terceiro trimestre de 2009: 960
Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 150%
Totaldevítimasnoterceirotrimestrede2010:
960 · 2,50 = 2.400
• Vítimasdetrojans no terceiro trimestre de 2009: 600
Diminuição percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 36%
Totaldevítimasnoterceirotrimestrede2010:600·(1–0,36)=
= 600 · 0,64 = 384
• Vítimasdephishing e de trojans no terceiro trimestre de
2010: 60
• Vítimasdeoutrosataques:x
Fazendo a representação desses dados por diagrama, temos:
60
Phishing Trojans
x
n(phishing) + n(trojans) – n(phishing % trojans) + x = 2.832 s s 2.400 + 384 – 60 + x = 2.832 s s 2.724 + x = 2.832 s s x = 2.832 – 2.724
∴x = 108
29. b
Vamos considerar os quatro conjuntos seguintes:
α: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância A no
sangue.
β: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância B no
sangue.
γ: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância C no
sangue.
δ: é o conjunto das pessoas com a doença.
Com base no enunciado, podemos concluir que:
α 1 δ 1 β.
α δ β
Se x # β, então x # δ. Assim, se a substância B não estiver
presente no sangue da pessoa, então ela certamente não estará
com a doença.
30. b
5 1 5 1 5 1 5 1 42
2+( ) ⋅ −( ) = ( ) − = − = 3œ 0,999… = 1 3 œ
31. a) Podemos encontrar o número de elementos fazendo a
seguinte conta:
n(A) = (10 – 2) + 1 = 9
b) Da mesma forma que no item anterior, temos:
n(B) = (105 – 21) + 1 = 85
c) n(C ) = 10 – 2 = 8
d) n(D) = 10 – 2 = 8
e) n(E ) = (105 – 21) – 1 = 83
f) n(F ) = (b – a) + 1
g) n(G) = b – a
32. a) x
x2[2; + [
x2– [2; + [
]– ∞; 2[ ou {x 3 ® | x < 2}
b)
– ]– ; 1[
x
x1 ]– ; 1[
x1
[1; + ∞[ ou {x 3 ® | x > 1}
33. x3
A:
x52B:
x32A B:
x5
–1
–1A B:
A % B = {x 3 ® | 2 < x < 3} = ]2; 3]
A 5 B = {x 3 ® | –1 < x < 5} = ]–1; 5]
34. d
Pelos dados do enunciado, temos que y > 0, pois 1 < y < 2.
• Sey estiver “bem próximo” de 1, multiplicando – 4 < x < –1
por y, teremos mantidas as desigualdades – 4 < xy < –1.
• Sey estiver “bem próximo” de 2, multiplicando – 4 < x < –1
por y, teremos as desigualdades –8 < xy < –2.
Em qualquer situação, o produto xy pertencerá ao intervalo
]–8; –1[.
5
• Como – 4 < x < –1, os inversos terão relações inverti-
das, ou seja: − < < −11 1
4x. Multiplicando tudo por 2:
− < < −22 1
2x
Como ]– 8; –1[ 1 − −
8
12
; , a resposta correta é a alternativa d.
35. a
De acordo com as informações do enunciado, temos:
• Sedentários1 cardíacos
• Sesedentários=2 x, cardíacos = x
Observe o diagrama:
x
x
70
Cardíacos
Sedentários
x + x + 70 = 200 s 2 x + 70 = 200 s 2 x = 130
Portanto, 130 entrevistados eram sedentários.
36. c
Considere a figura:
A
B
C
D
I
II
III
As regiões I, II e III são definidas por:
• I=[(A – B) % C] – D
• II=B % C % D
• III=[(A – B) % D] – C
Assim, temos:
• I:(A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % C = {4; 5} s s [(A – B) % C] – D = {4}
• II:B % C % D = {3}
• III:(A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % D = {1; 2; 5} s s [(A – B) % D] – C = {1; 2}
∴ 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Capítulo 2
Primeiras oPerações
Conexões
1ϕ
=+
=+
=+
⋅ −−
= −( )−
= −−
=
= − +
1
1 52
2
1 5
2
1 5
1 5
1 5
2 1 51 5
1 52
1 522
1 2 52
1 52
22
1 52
1 1= − + = + − = + − = −ϕ
(c.q.d.)
Exercícios complementares
13. F – F – F – F – V
I. (F) a3 · b2 = a2 · b2 · a = (ab)2 · a
II. (F) a5 · b3 = a2
· a3· b3 = (ab)3 · a2
III. (F) a
aa a
9
39 3 6= =−
IV. (F) Seria verdadeiro se tivéssemos uma multiplicação de mesma
base.
V. (V) (a3 + b2) · a–2 = a ba
a b
a
b
a2 3
2
2 3
2
3
2
11+( ) ⋅ = + = +
14. a
a) 818 = (34)8 = 332
b) 167 = (24)7 = 228
c) 331
d) 2436 = (35)6 = 330
e) 810 = (23)10 = 230
A de maior valor é 332 = 818, pois possui a maior base e o
maior expoente.
15. e
• 1petabyte equivale a 220 gigabytes
• 3petabytes equivalem a 3 · 220 gigabytes
• 1DVDarmazena4gigabytes
Número de DVDs necessários para armazenar 3 petabytes pode
ser calculado por:
3
13 2
43 2
23 2
20 20
218petabytes
DVD= ⋅ = ⋅ = ⋅
Sabemos que: 2 · 218 < 3 · 218 < 4 · 218
∴ 219 < 3 · 218 < 220
16. a
3 3 3 3
63 9 3
63 3 27
15 2 15
5
15
5 155 3⋅ − ⋅ = ⋅ −( )= = =
29. Sejam n o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto.
d = q e n = d · q + r, com 0 < r < d e r = 11
Logo: d = q = 12
Assim: n = 12 · 12 + 11
∴ n = 155
6
30. b
MDC(240; 320; 400) = 80
24080
332080
440080
5= = =; ;
Portanto, o total de peças será a soma 3 + 4 + 5, ou seja, 12 peças.
31. 12 = 22 · 3
30 = 2 · 3 · 5
84 = 22 · 3 · 7
MMC(12; 30; 84) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420
Passarão 420 anos terrestres.
32. a) 200 = 23 · 52
120 = 23 · 3 · 5
b) MDC(120; 200)= 23 · 5 = 40
O organizador conseguirá formar, no máximo, 40 caixas.
Tarefa proposta
1. d
a = = =−21
2
18
33
b = (–2)3 = – 8
c = = =−31
3
19
22
d = −( ) =−( )
= −−
21
2
18
3
3
18
19
18
8> > − > −
a > c > d > b
2. 22
2 222
22 1 21= =−
3. d
I. (V) 30 + 2–3 – (–3)2 + (0,2)2 – 15
2
=
= +
− +
−
= − + = −1
12
915
15
818
63 2 2
338
II. (F) 0,01 + 94
= 0,01 + 2,25 = 2,26
(0,5 · 0,2)2 +3,25 = (0,1)2 + 3,25 = 0,01 + 3,25 = 3,26
III. (V) 34 – (–3)4 = 34 – 34 = 0
IV. (F)13
0
+ (3 : 0) (Não existe.)
4. 5 7 2 5 2 5 5 2 5
2 2 7 5
1 31 2 2
3 1
⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( )⋅( ) ⋅
− −
−⋅⋅
=52
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− − − −
− −
5 7 2 5 2 5 5 2 5
2 2 7 5
1 1 3 1 2 2 2 2
3 1 1 55
5 7 2
2 7 5
122
3 1
2 1 3= ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
−
−
5. a) n par: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = 1 + 1 + 1= 3
b) n ímpar: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = (–1) + 1 + (–1) = –1
6. 5 8 5
60 25
5 5 8 5
60 5
52 1 2 2 2
2
2n n
n
n n
n
n + − ⋅⋅
= ⋅ − ⋅
⋅ ( )= ⋅⋅ −( )
⋅= − = −5 8
60 5
360
1202n
7. e
I. (V) 2 x + 3 = 2 x · 23
II. (V) (25)x = (52)x = 52x
III. (F) Esta propriedade não é válida para a adição.
8. a) 3x + 3x – 1 + 3x – 2 = 117 s 3x + 33
39
117x x
+ = s
s s s 3 113
19
117 3139
117x x+ +
= ⋅ =
s 3x = 81 = 34 s x = 4
b) 4x + 4x + 1 = 20 s s 4x + 4x · 4 = 20 s s 5 · 4x = 20 s s 4x = 41 s x = 1
9. d
416 · 525 = (22)16 · 525 = 232 · 525 = 27 + 25 · 525 = 27 · 225 · 525 =
= 128 · (2 · 5)25 = 1,28 · 102 · 1025 = 1,28 · 1027
∴ α = 1,28 e n = 27
10. a) 121 11 112= =
b) 576 24 242= =
c) 81 3 34 44= =
d) 27 3 33 33= =
e) 0 05 =
f) − = −( ) = −125 5 53 33
g) 1 44 1 2 1 22
, , ,= ( ) =
h) 0 008 0 2 0 2333, , ,= ( ) =
i) 32 2 25 55= =
11. a) 5 7 5 7 5 72
−( ) = − = −
b) 2 7 2 7 7 22
−( ) = − = −
12. a) 4 8 2 2 2 2 432
23 2
32 3
23 3 2− = ( ) − ( ) = − =
b) 949
1
9
49
1
9
4
9
13
23
0 5
12
12
− +
= +
= + = + =, 11
13. d
13 12 125 169 144 1252 2− = − =n n s s
s s 25 5 5 53 3= =n n
∴ n = 3
14. a) 72 3 18 7 2 6 2 3 3 2 7 22 2+ − = ⋅ + ⋅ − =
= + − =6 2 9 2 7 2 8 2
7
b) − + − =12
44 2 1 33134
176.
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ =12
2 11 2 11 1134
4 112 2 2
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ =12
2 11 2 11 1134
4 11
= − + − =11 22 11 3 11 18 11
15. 20
4 2
20
4 4 2
20
4 12 2 2 2 2 1n nn
n nn
n + + +( )+=
⋅ +=
⋅ 66 4 4+ ⋅=
nn
=
⋅ +( ) = =20
4 16 4
1
4
14n
nn
n
16. a) 1
2
1 2
2 2
22
= ⋅⋅
=
b) 2 3
2
2 3 2
2 2
2 62
+ = +( )⋅
= +
c) 2
4
2 2
2 2
2 2
2
2 22
27
57
27 57
57
77
5757=
⋅= = =
d) 2
7 1
2 7 1
7 1 7 1−= +( )
−( ) ⋅ +( ) =
= +( )
( ) −= +( )
= +2 7 1
7 1
2 7 16
7 132
2
e) 6
3 2
6 3 2
3 2 3 2−= +( )
−( ) ⋅ +( ) =
= +
( ) − ( )= +18 12
3 23 2 2 3
2 2
17. c
60 000 0 00009
0 00022 3 10 3 10
2 103
4 2 5
4
. ,,⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
−
−33
3 1
43
3 10
103 10= ⋅ = ⋅
−
−
18. e
5 64 18
50 324
5 2 2 3
2 5 2 3
5 212
4
612 2
2 2 44
⋅ −−
= ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅= ⋅ −−
−=3 2
5 2 3 224
=
−= =2 2
5 2 3 2
2 2
2 21
19. 4 2 3 1 32 2
+( ) = +( ) s
s 4 2 3 1 3 1 3+ = +( ) +( ) · s
s 4 2 3 1 3 3 32
+ = + + + ( ) s
s 4 2 3 1 3 3 3+ = + + + s
4 2 3 4 2 3+ = + (c.q.d.)
20. b
360 = 23 · 32 · 5
147 = 3 · 72
Os divisores de 360 que não possuem fatores primos comuns
com 147 são aqueles cujos fatores só poderão ser 2 ou 5. São
eles: {2; 4; 8; 5; 10; 20; 40}
21. d
1015 = (2 · 5)15 = 215 · 515
• 25=52 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
• 50=2·52 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
• 64=26 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
• 75=3·52 e, portanto, não é divisor de 215 · 515, pois 215 · 515
não tem o fator 3.
• 250=2·53 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
22. b
De acordo com as figuras, temos um círculo completo a cada
6 etapas. Portanto, serão 15 círculos completos na figura de
número 15 · 6 = 90.
23. d
De acordo com as figuras, temos que as letras “completam o
ciclo” a cada quatro etapas (veja a 1ª e a 4ª figuras). Portanto,
toda figura de ordem múltipla de 4 será igual à 4a figura. Como
80 = 20 · 4, a alternativa correta é a d.
24. e
A cada quilômetro percorrido pelo carro B, a partir do
primeiro, a distância entre os dois carros aumenta em 20
metros.
500 : 20 = 25
A distância entre os dois será de 500 metros, após o carro B
andar 25 quilômetros.
25. Seja n a quantidade total de garrafas a serem divididas.
De acordo com a tabela, podemos concluir que (n – 2) é múltiplo
de 12, 20 e 30.
Como MMC(12; 20; 30) = 60, os múltiplos de 12, 20 e 30 são
múltiplos de 60, ou seja, 60k.
∴ n – 2 = 60k s n = 60k + 2
Portanto, a quantidade total de garrafas a serem divididas é
igual a 60k + 2, com k 3 ˜*.
26. c
Fatorando 2.310, temos:
2.310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11
Fatorando 1.300, temos:
1.300 = 2 · 2 · 5 · 5 · 13
O número procurado é x.
2 310
1 3002 3 5 7 11
2 2 5 5 133 7 11.
.⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅x x xx
130
Portanto, o menor valor para x é 130.
8
27. a
A primeira luz “pisca” a cada 4 segundos, e a segunda, a cada 6
segundos. Assim sendo, o tempo mínimo necessário para que
voltem a “piscar” juntas novamente será o mínimo múltiplo
comum de 4 e 6.
MMC(4; 6) = 12
28. d
A manutenção na máquina A é feita a cada 3 dias; na máquina
B, a cada 4 dias e, na máquina C, a cada 6 dias. Assim, o número
mínimo de dias entre manutenções simultâneas será o mínimo
múltiplo comum dos números 3, 4 e 6.
MMC(3; 4; 6) = 12
2 + 12 = 14 (dezembro)
29. c
As duas pessoas estarão novamente na posição mais baixa no
MMC(30; 35) = 210 segundos.
210 = 3 · 60 + 30 = 3 min 30 s
30. d
1º farol: 10 segundos fechado + 40 segundos aberto.
Portanto, levará 50 segundos para fechar outra vez.
2º farol: 10 segundos fechado + 30 segundos aberto.
Portanto, ele levará 40 segundos para fechar outra vez.
MMC(40; 50) = 200
Logo, a partir daquele instante, eles levarão 200 segundos para
fecharem juntos outra vez.
31. MMC(35; 21) = 105
A engrenagem maior dará 105 : 35 = 3 voltas.
32. a) Podemos considerar que as dimensões da sala são:
300 cm · 425 cm
300 = 22 · 3 · 52
425 = 52 · 17
Logo, MDC(300; 425) = 52 = 25.
Portanto, a dimensão máxima dos ladrilhos quadrados é de
25 cm.
b) Para calcular a quantidade de ladrilhos, podemos dividir a
área da sala pela área de cada ladrilho.
300
25127 500
625cm 425 cmcm 25 cm
⋅⋅
= . = 204 ladrilhos
33. Sendo n e m dois números não primos entre si, conclui-se que
eles têm, pelo menos, um fator primo em comum e, conside-
rando-se que 420 = 22 · 3 · 5 · 7, esse fator primo somente pode
ser o 2. Como esse é o único fator comum aos números n e m,
chega-se à conclusão de que MDC(n; m) = 2.
34. c
Como n 3 ˜, temos:
• Sen dividido por 3 deixa resto 2, significa que, tanto (n – 2)
como (n + 1) será um múltiplo de 3. Consideremos (n + 1) como
múltiplo de 3.
• Sen dividido por 4 deixa resto 3, significa que, tanto (n – 3)
como (n + 1) será um múltiplo de 4. Consideremos (n + 1) como
múltiplo de 4.
• Sen dividido por 5 deixa resto 4, significa que, tanto (n – 4)
como (n + 1) será um múltiplo de 5. Consideremos (n + 1) como
múltiplo de 5.
Desta forma, (n + 1) será múltiplo de 3, 4 e 5.
MMC(3; 4; 5) = 60
n + 1 = 60 s n = 59
35. e
Qualquer porta k, com 1 < k < 50, será tocada por todos os
estudantes cuja numeração seja um divisor positivo de k. Como
as portas estão todas inicialmente fechadas, temos:
• Aportadenúmero4serátocadapelosestudantesdeposições
1, 2 e 4, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará aberta.
• Aportadenúmero17serátocadapelosestudantesdeposições
1 e 17, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará fechada.
• Aporta denúmero 39 será tocadapelos estudantes de
posições 1, 3, 13 e 39, e somente por estes. Assim, ao final
ela ficará fechada.
36. a) Carrinho A: dá 10 voltas em 1 min 40 s. Isso significa que ele
dá 10 voltas em 100 s, ou seja, 1 volta a cada 10 segundos.
Carrinho B: dá 15 voltas em 1 min 15 s. Isso significa que ele
dá 15 voltas em 75 s, ou seja, 1 volta a cada 5 segundos.
Como o MMC(10; 5) = 10, temos que eles irão estar juntos,
novamente, no ponto de partida após 10 segundos (o car-
rinho A terá dado 1 volta e o carrinho B, 2 voltas).
b) 6 min 5 s = 365 s
Carrinho A: 365 s = (36 · 10 + 5) s
Isso significa que o carrinho A terá dado 36 voltas completas,
mais meia volta.
Carrinho B: 365 s = (73 · 5) s
Isso significa que o carrinho B terá dado 73 voltas completas
e estará no ponto de partida.
c) Pelo que foi descrito no item b, teremos as seguintes posições
para os carrinhos.
Carrinho A
Carrinho B
1,05 m
1 m
A distância entre os carrinhos será a medida do raio da
pista menor mais a medida do raio da pista maior. Logo, a
distância será de 1,05 m + 1,0 m = 2,05 m.
9
Capítulo 3
equações PoliNomiais do 1º e do 2º grau
Conexões
Dividimos a equação por 2 e isolamos o termo independente:
x x x x x2 29
213
94
94
13+ = + + = s
Construímos um quadrado de área x 2 e dois retângulos de
área 94
x :
x
x
x x
94
94
Completamos o quadrado e somamos, a ambos os membros,
a área de um quadrado de lado 94
.
x
x
x x
94
94
94
94
Então, a área final é: x x x2 94
94
8116
138116
+ + + = + . Proce-
dendo dessa forma, tem-se, agora, que a área de um quadrado
de lado x +
94
é igual a 28916
, ou seja, fatora-se o trinômio
quadrado perfeito no primeiro membro.
x +
=94
28916
2
x x
x x
+ = ∴ =
+ = − ∴ = −
94
174
2
94
174
132
Exercícios complementares
13. De acordo com as instruções do boleto, devemos ter:
M(x) = 500 + 10 + 0,4x s M(x) = 510 + 0,4x, com x > 0
14. a) Comprimento do circuito: x
25
37
x + x + 108 = x s (multiplicando por 35)
s 14x + 15x + 3.780 = 35x s s 6x = 3.780
∴ x = 630
O comprimento do circuito é de 630 km.
b) Trechoasfaltado:
25
10025
63010
10037
⋅ ⋅ + ⋅ · 630 + 36 = 126 km
O percentual pedido pode ser dado por:
126630
= 0,2 = 0,20 = 20%
O percentual da parte asfaltada é 20% do circuito.
15. x x2
12
12 223
0− + = →× x2 – 6x + 8 = 0
∆ = (–6)2 – 4 · 1 · 8 = 4 s
s ∆ = 2
x2 – 6x + 8 = 0 s x = 6 2
2±
s
s x1 = 2 e x2 = 4 ∴ S = {2; 4}
16. d
∆ > 0
[–(2m – 1)]2 – 4m(m –1) > 0 s s 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 4m > 0 s 1 > 0
∴S = ®
29. e
Observando a tabela dada, podemos concluir que as varia-
ções do número de bolas e do nível da água são grandezas
diretamente proporcionais. Ampliando a tabela dada,
teremos:
Número de bolas (x) Nível da água (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
x y cm
Logo, podemos construir a seguinte proporção:
x
y−
−=15
7 055
0 35, , s0,35x – 5,25 = 5y – 35,25 s 5y = 0,35x + 30
∴ y = 0,07x + 6
30. a) Para x = 10.000, temos y = 80.000
Para x = 2 ⋅ 10.000 = 20.000 temos y = 1,50 ⋅ 80.000 =
= 120.000
10
Substituindo esses valores em y = ax + b, temos:
a b
a b
⋅ + =⋅ + =
10 000 80 000
20 000 120 000
10 0. .
. .
.
000 80 000
20 000 120 000
2
10
1 2
a b
a b
L L
+ =+ =
−
.
. .
.. .
.
000 80 000
40 000
a b
b
+ ==
s
s a = 4
Assim, teremos: y = 4x + 40.000
b) Fazendo x = 30.000, teremos:
y = 4 ⋅ 30.000 + 40.000 s y = 120.000 + 40.000
∴ y = 160.000
A receita mensal será de R$ 160.000,00.
31. x 2 = m s m2 – m – 6 = 0 s m = –2 ou m = 3
m = –2 s x 2 = –2 ∴ ex 3 ® ou
m = 3 s x2 = 3 s x = ± ∴ = −{ }3 3 3S ;
32. x 2 – 4x = m s m2 + 4m = 0 s m = 0 ou m = – 4
m = 0 s x 2 – 4x = 0 s x(x – 4) ∴ x = 0 ou x = 4
ou
m = – 4 s x 2 – 4x = – 4 s x 2 – 4x + 4 = 0 s (x – 2)2 = 0 ∴ x = 2
S = {0; 2; 4}
Tarefa proposta
1. a
x x
x− + + = + →×23
3 14
12
12 4(x – 2) + 3(3x + 1) = 12x + 6 s
s 4x – 8 + 9x + 3 = 12x + 6 s x = 11
∴ S = {11}
2. C = 5 32
9F −( )
s9C = 5(F – 32) s 9C = 5F – 160 s
s 9C + 160 = 5F s 5F = 9C + 160
∴ F = 9 160
5C +
3. d
18x = 12(x + 5) s 18x = 12x + 60 s 6x = 60 ∴ x = 10
4. e
Número inicial de alunos: x
Despesa: d
Situação inicial: 135,00 · x = d ∴ d = 135x (I)
Situação posterior: (135,00 + 27,00) · (x – 7) = d
∴d = 162 x – 1.134 (II)
Comparando (I) e (II):
135x = 162x – 1.134
∴ x = 42 (total inicial de alunos)
d = 135 · 42 = 5.670
No entanto, como o diretor contribuiu com R$ 630,00, a despesa
a ser dividida entre 35 alunos (pois 7 deixaram a escola) foi
igual a 5.670 – 630 = 5.040.
5.040 : 35 = 144
5. TempoqueosenhoreasenhoraKohngastamhoje:t (em horas)
TempoqueosenhoreasenhoraKohngastavamnoinício:t – 0,5
Distância entre a cidade e a capital: 80(t – 0,5) ou 60t.
Daí:
80(t – 0,5) = 60t s 80t – 40 = 60t s 20t = 40 ∴t = 2 horas
Logo, a distância entre a cidade e a capital é de 60 · 2 = 120 km.
6. Considerando que o mês de março tem 31 dias, temos que os
dias depois de x de março mais os 2 x de abril devem resultar
em um múltiplo de 7 (visto que esses dois dias caem no mesmo
dia da semana).
Assim, podemos escrever:
31 – x + 2 x = 7k (múltiplo de 7, com k 3 ˜)
∴ x = 7k – 31 (com x > 0)
Dessa forma ou k = 5 s x = 4 ou k = 6 s x = 11.
Note que k não poderia ser 7 porque daria 2 x maior do que os
dias inteiros de abril.
∴ x = 4 ou x = 11
7. c
Número de pessoas do grupo: k
Valor da matrícula, por pessoa: 150
k
Valor da mensalidade, por pessoa (enunciado): 150
k + 10
Valor de cada mensalidade (enunciado): 600
3 = 200
Daí, podemos escrever:
150
10k
+
· k = 200 s 150 + 10k = 200 s
s 10k = 50 ∴k = 5
8. b
R1 = 1 · 2
R2 = 2 · 3
R3 = 3 · 4
R4 = 4 · 5
Rn – 1 = (n – 1) · n
Rn = n · (n + 1)
Rn – Rn – 1 = 100 sn · (n + 1) – (n – 1) · n = 100 s s n · (n + 1 – n + 1) = 100 sn · 2 = 100
∴ n = 50
O maior dos números retangulares é Rn = R50.
9. Chamemos de C o comprimento do Equador (comprimen-
to da corda, inicialmente) e de roraiodaTerra.Assim,
temos:
C = 2πr (I)
Aumentando 1 metro no comprimento, temos:
C + 1 = 2π(r + x) s C + 1 = 2πr + 2πx (II)
Substituindo (I) em (II):
C + 1 = C + 2πx s x = 1 : 2π ∴ x H 0,16 m = 16 cm
Sim, passaria.
11
10. c
A pessoa nasceu no século XIX. Logo, o ano de seu nascimento
pode ser indicado por: 1800 + 2x
A pessoa morreu no século XX. Logo, o ano de seu falecimento
pode ser indicado por: 1900 + x
Como a pessoa viveu 64 anos, temos que:
(1.900 + x) – (1.800 + 2x) = 64 s100 – x = 64
∴ x = 36 e 2x = 72
Assim, a pessoa nasceu em 1872 e morreu em 1936.
Como 1.900 – 1.872 = 28, concluímos que a pessoa tinha 28
anos em 1900.
11. a) S = 6 e P = 5 s x1 = 1 e x2 = 5 ∴ S = {1; 5}
b) S = 98 e P = 97 s x1 = 1 e x2 = 97 ∴ S = {1; 97}
c) S = 6 e P = – 7 s x1 = –1 e x2 = 7 ∴ S = {–1; 7}
12. e
2
1
11
12
12
x xx
−+
+= − →× −( ) 2 + (x – 1) = – (x2 – 1) s
s 2 + x – 1 = – x2 + 1 s x2 + x = 0 x
x1
2
1
0
= −=
(Não convém.)
∴ S = {0}
13. e
a · 42 – 4 · 4 – 16 = 0 s 16a = 32 s a = 2
2x 2 – 4x – 16 = 0 s x 2 – 2x – 8 = 0 s
s S = 2 e P = –8 s x
x1
2
2
4
= −=
14. b
Como, na equação, o coeficiente a > 0 e c < 0, temos que ∆ > 0.
Portanto a equação terá duas raízes reais e distintas.
15. b
Do enunciado: x x
x x
1 2
1 2
3310710
+ = −
⋅ = −
Substituindo na expressão do enunciado, temos:
5710
23310
3510
6610
1011
⋅ −
+ ⋅ −
= − − = −
0010 1= − ,
Dentre as alternativas, o número mais próximo do valor da
expressão é –10.
16. c
A quantidade de aves poderá ser dada por: n · (n + 2) + 1 =
= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 e que, portanto, é um quadrado
perfeito.
17. e
S = a + b = 3k e P = ab = k 2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 s (3k)2 = 2k 2 + 1,75 s
s 7k 2 = 1,75 s k 2 = 1 75
7,
∴ k 2 = 0,25
18. a) Considerando que uma das partes do fio é x, a outra será
48 – x.
Como o fio de medida x deverá ser o perímetro de um qua-
drado, o lado desse quadrado medirá x4
e sua área x4
2
.
Como o fio de medida 48 – x deverá ser o perímetro de
outro quadrado, o lado desse quadrado medirá 48
4− x
e
sua área 48
4
2−
x.
Considerando o 2º quadrado como sendo aquele de maior
área, teremos:
(48 – x)2 = 4x2 s (48 – x)2 = (2x)2 s48 – x = 2x ∴ x = 16
ou
48 – x = –2 x
∴ x = – 48 (Não convém).
As partes do fio devem medir 16 cm e 32 cm.
b) Os lados dos quadrados medirão: 4 cm e 8 cm. Logo, suas
áreas terão medidas iguais a 16 cm2 e 64 cm2.
19. b
Se b e c são raízes da equação x 2 + bx + c = 0, então, por soma
e produto podemos escrever:
b + c = –b (I)
b · c = c (II)
De (II) podemos concluir que: c = 0 ou b = 1
Se b = 1, então c = –2.
Logo, c = 0 ou c = –2. Daí, a soma dos possíveis valores de c é
igual a –2.
20. d
Como a área de um retângulo é calculada multiplicando-se a
base pela altura, podemos escrever:
A área da reserva legal é dada por x 2 + ax + bx e a área total
será dada por (x + a)(x + b).
Como a reserva legal é 20% da área total, temos que:
x 2 + ax + bx = 0,20 ⋅ (x + a)(x + b) s
s x 2 + ax + bx = 15
· (x + a)(x + b) s
s 5x 2 + 5ax + 5bx = x 2 + bx + ax + ab s
s 4x 2 + 4(a + b)x – ab = 0
Nesta equação, temos: ∆ = 16(a + b)2 + 16ab e, portanto:
xa b a b ab
a b a b
= − +( ) ± +( ) + =
= − +( ) ± +( ) +
4 16 168
4 16
2
2aab =
8
s − +( ) ± +( ) + = − +( ) ± +( ) +4 4
8 2
2 2a b a b ab a b a b ab
Como x > 0, teremos: x = − +( ) + +( ) +a b a b ab
2
2
12
21. e
a + b – 3 = 0 s a + b = 3
c – 5 = 0 s c = 5
∴a + b + c = 3 + 5 = 8
22. d
Sejam x e y as quantidades correspondentes, respectivamente,
a Márcio e Maurício. Assim:
x y
x y
x y
x y
+ =
=
+ =
− =
8 800
23
45
8 800
23
45
0
. .
+ =− =
+ =
15
8 800
10 12 0
2
8 82
2
L
x y
x y
L
x y
.
:
. 000
5 6 0
6
8 800
11 52 8001 2
x y
L L
x y
x x
− =
++ =
= ⇒ =
.
. 44 800.
23. Sejam n o número inicial de pessoas e x o valor que cada uma
delas receberia inicialmente.
Assim:
n · x = 1.200 (I)
(n – 9) · (x + 27) = 1.200 (II)
Desenvolvendo a equação (II), temos:
nx + 27n – 9x – 243 = 1.200
Substituindo (I) em (II), temos:
27n – 9x – 243 = 0 s x = 3(n – 9) (III)
Substituindo (III) em (I), temos:
n · 3(n – 9) = 1.200 s n2 – 9n – 400 = 0
Sendo assim, podemos ter: n = 25 ou n = –16 (Não convém.)
Portanto, no início eram 25 pessoas.
24. c
H w no de homens
M w no de mulheres
H + M = 60 s H = 60 – M (I)
M = 3(H – 12) (II)
Substituindo (I) em (II):
M = 3(48 – M) s M = 144 – 3M s 4M = 144 ∴ M = 36
25. b
( )
( )
(
x y
y z
x y z
zy
==
+ + =
=2
2 3
11
23
I
III
s III)
Substituindo (I) e (II) em (III):
223
11y yy+ + = s 6y + 3y + 2y = 33 s 11y = 33 s y = 3
Substituindo y = 3 em (I) e (II), temos: x = 6 e z = 2
∴ x + 2y + 3z = 18
26. e
Número de filhos: x
Número de filhas: y
Número de irmãos de cada filho: x – 1. Daí, x – 1 = y
Número de irmãs de cada filha: y – 1. Daí: 2(y – 1) = x
y x
x y
= −= −( )
1
2 1
( )
( )
I
II
Substituindo (I) em (II), temos:
x = 2(x – 1 – 1) s x = 2(x – 2) sx = 2x – 4 s s –x = – 4 ∴ x = 4 e y = 3
Logo, o número de filhos e filhas do casal é 7.
27. c
Para que uma soma de parcelas não negativas seja igual a zero,
é necessário que cada parcela seja nula. Daí, devemos ter:
2 0
0
3 0 3
x y z
x y
z z
+ − =− =− = =
s
Substituindo z = 3, na primeira equação, temos:
2 3 0
0
2 3 0
3 3 0 11 2
x y
x y L L
x y
x x
+ − =− =
+
+ − =− = ⇒ =
x = 1; y = 1; z = 3 ∴ x + y + z = 5
28. a) Como são dois turnos, cada jogo entre duas equipes é dife-
rente do outro. Logo, serão disputadas 4 · 3 = 12 partidas.
b) Sendo x o número de vitórias e y o número de empates, e
observando que o número total de pontos é 32, temos:
x y
x y L L
x y
y
+ =+ =
−
+ ==
12
3 2 32 3
12
41 2
Portanto, foram 4 empates.
c) Observando que cada equipe jogava exatamente 6 partidas, o
número de pontos de cada equipe e que existiram ao todo
oito vitórias e quatro empates, podemos construir a tabela:
Equipe V E D
A 4 1 1
B 3 2 1
C 1 2 3
D 0 3 3
29. a
Sejam a e b os dois números naturais.
Do enunciado: a2 – b2 = 21 s (a + b)(a – b) = 21 · 1 ou
(a + b)(a – b) = 7 · 3.
Daí, vem:
a b
a b L L
a b
a
+ =− =
+
+ ==
21
1
21
2 221 2
s a = 11 e b = 10
∴ a2 + b2 = 221
Ou:
a b
a b L L
a b
a
+ =− =
+
+ ==
7
3
7
2 101 2
s a = 5 e b = 2
∴ a2 + b2 = 29
13
30. c
Totaldealunos:250
32% dos alunos são homens: 0,32 · 250 = 80
40% dos homens estão na 1ª série: 0,40 · 80 = 32
20% dos alunos matriculados estão na 3ª série: 0,20 · 250 = 50
10 alunos que são homens estão na 3ª série.
Com essas informações, podemos concluir:
Alunos da 3ª série: f = 10 e c + f = 50. Daí, c = 40.
Alunos da 1ª série: 32 são homens. Daí, d = 32.
Alunos da 2ª série: como 80 são homens, temos que d + e +
+ f = 80. Como d = 32 e f = 10, então e = 38.
Como b = e, então b = 38.
Logo, o número de mulheres é 250 – 80 = 170, temos que a +
+ b + c = 170. Daí, concluímos que a = 92.
31. Seja x esse número.
Pelo enunciado: x – 3 = 2 x s s (x – 3)2 = 4x sx 2 – 6x + 9 = 4x s x 2 – 10x + 9 = 0
∆ = 100 – 36 = 64
x = ±10 82
∴ x = 9 ou x = 1 (Não convém.)
32. d
x 2 = m s m2 – 5m + 4 = 0 s m = 1 ou m = 4
Se m = 1 s x 2 = 1
∴ x = –1 ou x = 1
Se m = 4 s x 2 = 4
∴ x = –2 ou x = 2
Logo, a soma dos quadrados das raízes é igual a:
(–1)2 + 12 + (–2)2 + 22 = 10
33. x2 + 1 = m s m2 – 7m + 10 = 0 s m = 2 ou m = 5
Se m = 2 s x 2 + 1 = 2 s x 2 = 1
∴ x = –1 ou x = 1
Se m = 5 s x 2 + 1 = 5 s x 2 = 4
∴ x = –2 ou x = 2
S = {–2; –1; 1; 2}
34. a
4 12
x +( ) = (2x – 1)2 s 4x + 1 = 4x2 – 4x + 1 s
s x2 – 2x = 0 s x
x1
2
0
2
==
Fazendo a verificação na equação original, temos: S = {2}
35. c
2 7 1 2 1 7x x x x− + = − = + s s
2 1 7 2 2 2 1 72 2
x x x x x−( ) = +( ) − + = + s s
x – 6 = 2 2 6 2 22 2
x x x s s+( ) = ( )
s x2 – 12x + 36 = 8x
s x2 – 20x + 36 = 0 s x
x1
2
2
18
==
Fazendo a verificação na equação original, temos: S = {18}
36. x x x
x x x x
x
22
2
2 2
2 1 2
2 1 4 4
4
− +( ) = −
− + = − +
−
( )
s
s s
s 44 2 1 4 4 2 1
16 32 16 2
22
2
= + − = +( )− + =
x x x
x x x
( )
s s
s ++− + =
∴ = =
1
16 34 15 0
58
32
2
s
s x x
x xou
Fazendo a verificação na equação original, temos:
S = 32
Capítulo 4
médias, gráficos e diagramas
Conexões
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que o
universo pesquisado deve ser semelhante ao público-alvo. Por
exemplo, se a ideia for descobrir a preferência entre alguns
produtos tipicamente femininos, a pesquisa com o sexo mas-
culino pode apresentar falsos resultados. Após a definição do
perfil das pessoas pesquisadas, critérios devem ser analisados;
por exemplo: escolher alunos de todos os segmentos? de to-
das as idades? dos dois sexos, de maneira proporcional? com
desempenhos escolares distintos?
Exercícios complementares
13. d
Sejam a, b, c, d e e os cinco números distintos.
Temos:
a b c d e+ + + + =
5 16 s
s a + b + c + d + e = 80
Seja e o maior deles.
Para que e seja o maior possível, a + b + c + d deverá ser o
menor possível.
Assim:
a + b + c + d = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
∴ 10 + e = 80 s e = 70
14. c
MH
=+
=+
=21
401
50
250 40
200
40090
44 5 , km/h
15. a) 20 · 6 = 120
Gastará R$ 120,00.
b) 20 · 4 = 80
Gastará R$ 80,00.
14
c) Seja T o trabalho a ser realizado. O rendimento de André é
AT=6
, ou seja, André realiza 16
do trabalho em uma hora.
O rendimento de Fernanda é FT=4
. Os dois juntos farão o
trabalho em x horas.
Assim, podemos escrever:
Tx
T Tx
xx
= + = +
= + =
6 41 1
614
1 2 312
5 12
s s
s s
∴ x = 2,4 horas = 2 h 24 min
d) Custo individual: 20 · 2,4 = 48
Custo total: 2 · 48 = 96
Gastará R$ 96,00.
Note que 96 é a média harmônica entre 120 e 80.
16. x x x x1 2 3 10
10100
+ + + +=
s
s x1 + x2 + x3 + …+ x10 = 1.000
Então:
x x x x
1 2 3 105 5 5 5
10
+ + + + + + + +=
x x x x1 2 3 10
10 5
101 000 50
101 050 50
10
+ + + + + ⋅= + = + . . == 105
29. a) O analgésico começa a fazer efeito após 0,8 hora ou 48
minutos.
b) O tempo de ação será 6 h – 0,8 h = 5,2 h = 5 h 12 min.
30. F – V – F
Pela análise do gráfico, podemos notar que apenas a afirmativa
II é verdadeira.
31. e
a) (F) Não são iguais em nenhuma modalidade.
b) (F) 48,79 – 47,84 = 0,95 segundos
c) (F) 54,46 : 3 H 18,15 > 11,02
d) (F) 53 3 54 46
2, ,+
= 53,88 segundos
e) (V) 10 6 11 02
2, ,+
= 10,54 segundos
32. b
Da observação gráfica e da informação do enunciado, conclui-
-se que:
(0,12 · 0,25 + 0,25 · 0,06 + 0,32 · 0,25 + 0,2 · 0,075 + 0,11 · 0,5) · x =
= 78
Então:
0,195 · x = 78 s x = 400
Irão assistir à peça 400 pessoas, das quais 11% · 400 = 44 têm
50 anos ou mais e, portanto, ocuparão lugares especiais.
Tarefa proposta
1. MA
= + + = =3 12 483
633
21
MG
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =3 12 48 3 3 4 3 4 3 4 3 4 123 23 3 33
MH
=+ +
=+ +
= ⋅ =313
112
148
316 4 1
48
3 4821
487
2. 2
22 2 2 2
+ = + =xx x x s s
s 4 + 4x + x 2 = 4 · (2x) s x 2 – 4x + 4 = 0
∆ = 16 – 16 = 0
x = =42
2
∴ x = 2
3. d
A média dos 50 números é dada por:
M = ⋅ + ⋅ =30 20 20 30
5024
4. d
Seja x anotaqueoalunotirounoexame.Temos:
1 30 1 60 1 50 1 70 2
650
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + x s
s 210 2
650
+ x s 210 + 2x > 300 s 2x > 90 s x > 45
5. c
x x x x
1 2 3 4052 148
4260
+ + + + + +=
... s
s x1 + x2 + x3 + … + x40 = 2.520 – 52 – 148 s
s
... .x x x x1 2 3 40
402 320
4058
+ + + += =
6. d
Consideremos os dois números: a1 e a2 (com a1 > a2, sem perda
de generalidade).
Pelo enunciado, temos:
a a
a a1 21 22
30 60+
= ∴ + = (I)
a a1 2
+ = 18 ∴ a1 · a2 = 324 (II)
De (I), temos: (a1 + a2)2 = 602
a a a a12
1 2 222+ + = 3.600
∴ a12 + 2 · 324 + a
22 = 3.600
a a12
22+ = 2.952
Da igualdade (1 – a2)2 = a a a a
12
1 2 222− + , temos:
(a1 – a2)2 = a a
12
22+ – 2a1a2 =2.952 – 648 = 2.304
Assim, (a1 – a2)2 = 2.304 e, portanto, como consideramos a1 > a2,
a1 – a2 = 48.
15
7. a
Idade do aluno desistente: x
x x x x x
1 2 3 41
42
+ + + + +=
... 20,5
∴ x1 + x2 + x3 + … + x41 + x = 42 · 20,5 (I)
Após a desistência do aluno, teremos:
x x x x
1 2 3 41
41
+ + + +=
... 20
∴ x1 + x2 + x3 + … + x41 = 41 · 20 (II)
Substituindo (II) em (I):
x + 41 · 20 = 42 · 20,5 s x + 820 = 861 s x = 41
Logo, a idade do aluno que desistiu é 41 anos.
8. e
Idade do funcionário que pediu demissão: x
Mx x x x x
=+ + + + +
1 2 3 17
18
... s x1 + x2 + x3 + … + x17 = 18M – x
Com o novo funcionário, temos:
Mx x x x
− =+ + + + +
222
181 2 3 17
... s
s x1 + x2 + x3 + … + x17 = 18M – 36 – 22
Comparando as duas equações, temos:
18M – x = 18M – 58 ∴ x = 58
9. a) Usando as fórmulas dadas no enunciado, temos:
• x =
52
472
3
4134
+ + +=
• d =−
+ −
+ −
+5
2134
4134
72
134
2 2 2
33134
4
2
−
d =
−
+
+
= =
34
34
14
4
20164
516
2 2 2
== 54
b) Assim, o intervalo C será dado por:
C = − ⋅ + ⋅
134
25
4134
25
4;
Como:
13 2 5
452
372
413 2 5
4− < < < < < +
,
concluímos que todos os elementos do conjunto X perten-
cem ao intervalo C.
10. b
Antes da substituição, temos:
x x x x x x
1 2 3 4 5 6
6192
+ + + + += cm s
s x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1.152 cm (I)
Substituindo os jogadores x4, x5 e x6 pelos jogadores y1, y2 e y3,
temos:
x x x y y y
1 2 3 1 2 3
6190
+ + + + += cm s
s x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = 1.140 cm (II)
1.152 – 1.140 = 12 cm (equivale a 4 cm a menos por jogador
que entrou)
11. b
Sejam x o número de vagas oferecidas pela universidade e y o
número de candidatos a disputar as vagas.
Temos:
yx
= 3 6,
Aumentando em 10% o número de candidatos e em 20% o
número de vagas, teremos:
1 11 2
1 11 2
3 6 3 3,,
,,
, ,yx
= ⋅ =
12. e
Seja 3x o número de vestibulandos que fizeram a prova de
matemática.
23
3 2⋅ =x x são homens e 13
3⋅ =x x são mulheres.
Considere:
Hm a m-ésima nota masculina e MN a n-ésima nota feminina.
H H H
xH H H xm
m1 2
1 225 9 118
+ + += ⇒ + + + =
,
M M M
xM M M xn
n1 2
1 25 6 5 6
+ + += ⇒ + + + =
, ,
Daí:
H H H M M M
xm n1 2 1 2
3
+ + + + + + +=
= + = =11 8 5 6
317 4
35 8
, , ,,
x xx
xx
13. a
Com base no gráfico, existe, no país, uma predominância de
imóveis improdutivos, nas áreas rurais (não notamos isso ape-
nas na região Sul).
14. d
a) (F) Meninas com, no máximo, 16 anos: 4
Meninos com, no máximo, 16 anos: 7
b) (F) (4 + 3 + 3) + (7 + 2 + 1) = 20
c) (F) M = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 14 2 15 1 16 3 17 3 1810
16 5,
d) (V)
e) (F) Meninos com mais de 15 anos: 7
Meninas com mais de 15 anos: 7
16
15. b
A maior desvalorização do real, em relação ao dólar, ocorre
quando o dólar atinge seu maior valor (em reais).
16. 11 712 4
0 944, %, %
,
Pouco mais de 94% dos investimentos.
17. d
100 w 360°
26 w x
100x = 26 ·360° ∴ x = 93,6°
18. e
De acordo com o gráfico de um total de 50 funcionários, 6
funcionários recebem, no mínimo, R$ 1.700,00.
650
0 12 12= =, %
19. d
Como a taxa de crescimento da população economicamente
ativa é de 4%, então o número dessas pessoas em 6/2009 será:
1,04 · 23.020.000 = 23.940.800 pessoas
20. e
Pelo gráfico de setores, temos que a população da Ásia era de:
60
1006 2 3 72⋅ =, , bilhões
Pelo gráfico I, temos que a população urbana da Ásia era
aproximadamente de:
38
1003 72 1 41⋅ =, , bilhão
21. d
9 + 16 + 15,5 + 13,1 + 11,3 – 18,7 – 31,6 – 26,9 – 32,3 – 22,8 =
= – 67,4
67.400.000.000 desfavoráveis à América Latina/ Caribe, ou seja,
favoráveis aos países desenvolvidos.
22. e
Pela análise do gráfico.
23. c
Pela observação do gráfico, temos:
a) 10.000 anos correspondem, aproximadamente, a 5 mícrons
10 0005
30 00015
. .=
e 80.000 anos correspondem, aproxi-
madamente, a 15 mícrons 80 000
15.
. Essas razões não
formam uma proporção.
b) Com 10.000 anos a espessura da camada é de 5 mícrons
e, com 20.000, é menor que 10 mícrons. Portanto, em 10.000
anos a espessura não dobrou.
c) e d) Nos primeiros 60.000 anos, houve um crescimento
de, pelo menos, 15 mícrons na espessura da camada, e dos
60.000 aos 140.000 anos, o crescimento foi de 5 mícrons;
portanto, a espessura aumenta mais rapidamente quando
a pedra é mais jovem.
e) Se a espessura não tivesse aumentado mais, o gráfico, a
partir dos 100.000 anos, seria uma função constante (uma
semirreta com origem na abscissa 100.000 anos e paralela
ao eixo das idades).
24. e
Fazendo a análise gráfica de cada alternativa, concluímos:
a) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 9 h 20 min gasta
90 min até o ponto final.
b) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 9 h 30 min gasta
90 min até o ponto final.
c) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 9 h gasta mais
de 90 min até o ponto final, portanto chegará a esse destino
após as 10 h 30 min.
d) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 8 h 30 min gasta
menos de 110 min até o ponto final, portanto chegará a esse
destino antes das 10 h 20 min.
e) O ônibus cuja partida do ponto inicial é às 8 h 50 min gasta
100 min até o ponto final, portanto chegará a esse destino
às 10 h 30 min.
Observação: Note, professor, que o ônibus que parte às
8 h 30 min gasta aparentemente 105 min para chegar ao
ponto final (ponto médio entre 100 e 110), mas, sem uma
informação mais precisa, não se deve inferir esse valor. Por
isso, na resolução do item d informamos que ele gasta menos
de 110 min. A mesma observação é válida para o item c.
25. c
Como voltam no mesmo tempo de percurso, a diferença se dá,
apenas, na ida (110 min – 50 min = 60 min = 1 h/dia).
Portanto, em 20 dias são 20 horas.
26. F – V – F – V – F
I. (F) Em meados de janeiro de 2003 até meados de julho de 2003
decresceu.
II. (V) Observe o gráfico.
III. (F) Basta observar o gráfico de meados de abril a meados de
julho de 2003.
IV. (V) Basta observar o gráfico.
V. (F) Em outubro de 2003, o crescimento dos grandes empresários é
em torno de 8 pontos e o dos médios é em torno de 6 pontos.
27. a
O gráfico mostra que as regiões com maior preservação do ambien-
te natural retêm mais água da chuva, diminuindo o fluxo fluvial.
28. c
a) (F) 5 vezes
b) (F) Julho
c) (V) Setembro
d) (F) Crescente
17
29. c
a) (F) A produção diminuiu em 2007.
b) (F) Crescente a partir de 2008.
c) (V) 10 10 20 30 50 50 40 40 50 60
10+ + + + + + + + + =
= =36010
36
d) (F) Decrescida de: 1050
20100
= = 20%
30. a) 0,16 · 32.000 = 5.120 candidatos
b) Não. A nota média dessa questão foi:
3 · 0,16 + 4 · 0,12 + 5 · 0,1 + 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,32 =
= 0,48 + 0,48 + 0,5 + 0 + 0,2 + 0,64 = 2,3
31. e
Observemos cada uma das alternativas:
a) De 1940 a 1980 (ou seja, em 40 anos), a produção industrial
era aproximadamente 30% da força de trabalho brasileira, não
caracterizando, assim, a tal exclusividade que o item sugere.
b) O gráfico do setor agrícola tem uma queda mais acentuada
entre 1970 e 1980, aproximadamente.
c) Por volta de 1970, a força de trabalho agrícola representava
aproximadamente 45% da força de trabalho brasileira e a
industrial/mineração ficou próxima dos 22% da força de
trabalho brasileira.
d) Em 1980, a força de trabalho agrícola era de pouco menos
de 30%, o que não caracteriza a metade da força de trabalho
brasileira na época.
e) Entre 1960 e 1980, os setores industrial/mineração cres-
ceram de 18% para 28%, aproximadamente (ou seja, um
acréscimo de 10%); nesse mesmo período, o setor de serviços
cresceu de 32% para 42%, aproximadamente (também um
crescimento de 10%), ou seja, o crescimento percentual
desses setores foi equivalente.
32. a
Vamos elaborar uma tabela com os dados do enunciado,
acrescentando uma linha para as áreas plantadas, cujos valores
calcularemos:
Produtividade =Produção
Área plantada s
s
PrÁrea plantada ( ) =
oduçãoProdutividad
APee
Safra
2006 2007 2008 2009 2010
Produção (em mil toneladas)
30 40 50 60 80
Produtividade(em toneladas /hectare)
1,5 2,5 2,5 2,5 4,0
Área plantada (em hectare)
2,0 1,6 2,0 2,4 2,0
Observe que a produtividade foi fornecida em kg/hectare e,
para a resolução, Usamos tonelada/hectare.
De 1995 a 1996, a AP diminuiu; de 1996 a 1998, a AP aumentou;
e de 1998 a 1999, diminuiu novamente. Portanto, o gráfico que
melhor representa a área plantada é o primeiro.
33. c
Foram 8 dias atendendo 1 criança (total de 8 crianças atendidas).
Foram 5 dias atendendo 2 crianças (total de 10 crianças atendidas).
Foram 3 dias atendendo 3 crianças (total de 9 crianças atendidas).
Foram 6 dias atendendo 4 crianças (total de 24 crianças atendidas).
Foram 2 dias atendendo 5 crianças (total de 10 crianças aten-
didas).
Foram 3 dias atendendo 6 crianças (total de 18 crianças atendidas).
Portanto, em 27 dias foram atendidas 79 crianças.
34. a
Segundo o texto, ao se abrir a torneira para fazer o bochecho
e molhar a escova, há um consumo crescente de água. Ao se
fechar a torneira, o consumo total per manece constante e,
abrindo-a novamente, o consumo total volta a aumentar.
Consumo (L)
t (s)
35. e
Cf = custo médio de um funcionário
Cf = R$ 12.000,00
Nf = número médio de funcionários por cidade
Nf
= 16 100366
44.
Aumento de cidades = 370 – 366 = 4
Número de funcionários = 44 · 4 = 176
Aumento de despesas = 176 · R$ 12.000,00 = R$ 2.112.000,00
36. c
Representando por x e y, respectivamente, a população brasi-
leira em 2006 e 2009, em milhões, temos:
0 1 0 07 5 2
0 26 0 21 8 2
10 7 520, , ,
, , ,
x y
x y
x y− =− =
− =
226 21 820x y− =
3
10 7 520
4 740 1851 2
L L
x y
x x−− =
= = s
Brasileiros indigentes em 2006: 0,1 · 185 = 18,5 milhões.
18