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Capítulo 6
6.1 - Propriedades das Seções Planas
6.1.1 Introdução
Para a determinação do comportamento de um determinado corpo sólido, é importante
que se conheçam características relacionadas à geometria e ao material do elemento
analisado. A partir destas propriedades fundamentais, é possível a avaliação da
resistência do mesmo, permitindo assim a previsão de seu comportamento sob
determinada situação de serviço.
As propriedades aqui tratadas serão o centro de gravidade, o momento estático, o
momento de inércia.
6.1.2. Centro de gravidade de uma seção plana
Define-se como centro de gravidade de um corpo o ponto localizado no corpo ou fora
dele, sobre o qual podemos aplicar a resultante da força peso no corpo sem alterarmos a
sua condição de equilíbrio.
Para uma seção plana, podemos imaginar que o centro de gravidade é o ponto do corpo
pelo qual o mesmo pode ser “pendurado” e permanecerá em equilíbrio. Assim, para um
retângulo, este ponto será o encontro entre as duas diagonais, por exemplo.
Seja o corpo apresentado na figura 6.1. Observa-se que o peso é distribuído por toda a
área deste corpo na figura 6.1 (a). Porém, na figura 6.1 (b) é observa-se que o peso total
do corpo ( ) é aplicado a um único ponto: o centro de gravidade. Esta alteração
não implica em mudança do equilíbrio do corpo.
Figura 6.1. Centro de gravidade.
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a) Determinação do centro de gravidade
Seja o corpo e o referencial xOy apresentado na figura 6.2. Chamamos e as
coordenadas do centro de gravidade que desejamos encontrar.
Figura 6.2. Configuração do problema.
Vamos então calcular a coordenada . Vamos supor a área da figura 6.2 dividida em n
fatias de pequena espessura. Cada uma das fatias tem um peso pn. A soma de todos os pn
nos dará o peso resultante P, que, conforme vimos, pode ser aplicado ao centro de
gravidade, conforme apresenta a figura 6.3.
Figura 6.3. Divisão do corpo em faixas de pequena espessura.
Aplicando o Teorema de Varignon temos:
P
xPX
xPXP
xPxPxPxPXP
n
nn
n
inn
nn
1
332211 ...
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Procedimento análogo nos permite concluir que .
Sabemos, porém que P = V. Então, . Sabemos também que
para um elemento plano V = A.e, sendo A a área e e a espessura do corpo. Substituindo
e cancelando as espessuras, conclui-se que, para um corpo plano, o centro de gravidade
pode ser determinado pelas equações abaixo:
Observa-se que se um corpo plano possuir um eixo de simetria, o centro de gravidade
estará sobre ele. Caso a figura possua mais de um eixo de simetria, o centro de
gravidade estará no ponto de encontro dos mesmos, conforme mostra a figura 6.4.
C G C G
Figura 6.4. Eixos de simetria.
b) Determinação do centro de gravidade de algumas figuras planas
1– Retângulo 3 – Círculo
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2 – Triângulo retângulo 4 – Meio círculo
5 – Triângulo isósceles
6 – Quarto de círculo
c) Centro de gravidade de figuras compostas
Quando uma figura pode ser dividida em figuras cujos centros de gravidade são
conhecidos, a partir da aplicação do Teorema de Varignon, pode-se determinar o centro
de gravidade da figura com a sua decomposição e calcular o seu centro de gravidade
com as seguintes expressões:
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Onde:
Ai = área da i-ésima figura;
xi e yi = coordenadas do centro de gravidade da i-ésima figura.
d) Exemplo
Determinar a posição do centro de gravidade da figura abaixo (dimensões em mm):
Vamos dividir a figura em três retângulos, conforme mostrado na figura abaixo:
A princípio iremos determinar as áreas dos três retângulos mostrados na figura:
23
22
21
200010020
320016020
200010020
mmA
mmA
mmA
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Agora, vamos determinar as abscissas dos centros de gravidade das três partes. Como se
tratam de retângulos, sabemos que ele se encontra sempre na metade das dimensões dos
lados.
Vamos fazer o mesmo para as ordenadas. Precisamos ter em mente o referencial xOy
adotado.
Já temos todos os dados para calcular as coordenadas do Centro de Gravidade:
6.1.3. Momento estático de uma área plana
a) Conceito
Define-se momento estático de uma seção plana em relação a um eixo contido neste
plano como a soma dos produtos da multiplicação de cada elemento de área pela
distância de seu centro de gravidade.
Figura 6.5. Exemplo de momento estático.
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Seja a seção plana e o sistema cartesiano apresentados na figura 6.5. Observa-se na
figura uma área infinitesimal dA, de modo que a área total da figura é igual à soma de
todos os dA. Assim:
dAA
Definem-se os momentos estáticos da área em relação aos eixos x e y, denominados
respectivamente Qx e Qy, como:
O momento estático de uma área é também chamado momento de primeira ordem de
uma seção. Sua unidade será:
[Q] = [L] x [A] = [L]3, ou seja, m3, mm3, cm3, etc.
Observação:
Sabemos as expressões para os cálculos do centro de gravidade de uma seção:
Observa-se que e . Logo, podemos determinar o
centro de gravidade uma área se soubermos seu momento estático e sua área, conforme
segue:
b) Exemplo
Calcular o momento estático de um retângulo em relação ao eixo que passa pela sua
base. O retângulo possui lados de dimensão b e h.
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x
h
b
h / 2
C G
Cálculo da área:
Coordenada do CG:
Momento estático: 2
.2
.2bhbhhAyydAQ
Pode-se verificar que o momento estático em relação a um eixo que passa pelo CG é
nulo.
6.1.3. Momento de Inércia de uma área plana
a) Conceito
O momento de inércia de uma área plana, simbolizado por I, em relação a um
determinado eixo, é definido como a soma dos produtos entre a área e o quadrado da
distância entre o centro de gravidade desta área e o eixo em questão. Seja a figura 6.5
acima. Para a mesma disposição dos eixos, temos:
O momento de inércia de uma área é também chamado momento de segunda ordem de
uma seção. Sua unidade será:
[Q] = [L2] x [A] = [L]4, ou seja, m4, mm4, cm4, etc.
O momento de inércia de uma área é uma grandeza puramente matemática, e como tal
não tem significado físico. A sua definição advém da resolução de uma série de
problemas em que aparecem somatórios como estes. Para algumas figuras geométricas
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simples, os momentos de inércia são pré-determinados e tabelados, conforme mostrado
abaixo.
Figura Ix Iy
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b) Exemplo
Calcular o momento de inércia de um retângulo de base 20 cm e altura 40 cm, em
relação aos seus eixos baricêntricos.
Primeiramente, devemos determinar o momento de inércia em relação ao eixo x. Neste
caso, temos:
Desta forma, o momento de inércia na direção x será:
Agora, vamos calcular em relação ao eixo y. Neste caso, temos:
Isto acontece porque a altura relativa ao eixo y é igual à base em relação ao eixo x.
Assim:
Observa-se que quando se aumenta a altura da seção o momento de inércia apresenta
grande variação. Isto se dá porque ele varia cubicamente com a altura. Por isto, é
comum a utilização de vigas com a altura maior que a base, pois o momento de inércia
está diretamente relacionado com a resistência à flexão da peça.
O eixo x é então chamado eixo de maior inércia da seção, enquanto o eixo y é chamado
eixo de menor inércia.
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c) Figuras compostas
Assim como no caso do centro de gravidade, para a determinação do momento de
inércia de figuras compostas, basta dividi-la e determinar o momento de inércia de cada
parte da seção.
d) Exemplo
Determine o momento de inércia em relação aos eixos baricêntricos da seção abaixo.
Como a figura possui dois eixos de simetria, sabemos que seu CG se encontra a 10 cm
da borda esquerda e a 20 cm da base do mesmo, assim, podemos dividi-la em três
retângulos, conforme mostrado abaixo:
Vamos primeiramente determinar as áreas. Temos:
Vamos determinar o momento de inércia em relação a x. Temos, para cada um dos
retângulos:
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Observamos que o centro de gravidade do retângulo 2 coincide com o centro de
gravidade da seção toda. Porém, nos outros casos, teremos que aplicar o teorema dos
eixos paralelos. Assim:
Agora determinemos o momento de inércia em relação ao eixo y. Observamos que os
centros de gravidade dos três retângulos estão sobre o eixo y. Neste caso, portanto, não
é necessário usar o teorema dos eixos paralelos, bastando somar os momentos de
inércia.
O momento de inércia de cada retângulo em relação a y será:
O momento de inércia da seção será:
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Exercícios
1 - Determine a posição do centro de gravidade das figuras abaixo em relação aos eixos
x e y. Determine também os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo
centro de gravidade.
x
y
1 0 c m
4 0 c m
2 0 c m
t = 2 c m
Resp: xg = 10 cm, yg = 17,12 cm, Ix = 28362 cm4, Iy = 1524 cm4.
Resp: xg = 8,05 cm, yg = 8,05 cm, Ix = 13532 cm4, Iy = 13532 cm4.
2 - Determine o momento estático de uma circunferência de raio R em relação a um
eixo tangente a ela.
Resp: Q = R3.
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3 – Para as figuras abaixo, determine:- A posição do centro de gravidade (xG e yG);- A Área (A)- Os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo centro de
gravidade (IxG e IyG);
- Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y (Ix e Iy);
- Os momentos estáticos em relação aos eixos x e y (Qx e Qy).
a) xG = 10 cm, yG = 25 cm, A = 1000 cm2, IxG = 208333,33 cm4; IyG = 33333,33 cm4; Ix = 833333,33 cm4; Iy = 13333,33 cm4; Qx = 25000 cm3; Qy = 10000 cm3
b) xG = 20 cm, yG = 8 cm, A = 720 cm2, IxG = 23040 cm4; IyG = 144000 cm4; Ix = 69120 cm4; Iy = 432000 cm4; Qx = 5760 cm3; Qy = 14400 cm3
c) xG = 15 cm, yG = 6,37 cm, A = 353,43 cm2, IxG = 5558,63 cm4; IyG = 19880,39 cm4; Ix = 19899,72 cm4; Iy = 99402,14 cm4; Qx = 2251,35 cm3; Qy = 5301,45 cm3
d) a) xG = yG = 20 cm, A = 1256,64 cm2, IxG = IyG = 125663,7 cm4; Ix = Iy = 628319,7 cm4; Qx
= Qy = 25132,8 cm3
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6.2. Diagramas de momento fletor e força cortante em vigas isostáticas
O conhecimento da variação dos esforços solicitantes ao longo do comprimento de uma
viga é importante para sabermos quais as suas seções são mais solicitadas e para
determinarmos qual é o valor máximo do esforço.
Nos casos mais simples, isto pode ser feito de forma intuitiva. Imagine uma viga bi-
apoiada, com uma carga concentrada no meio do vão. O maior momento fletor
observado neste caso é exatamente na seção sob a carga, no meio do vão. Porém,
quando temos várias cargas atuando simultaneamente, esta análise torna-se mais difícil.
Por isso, as equações dos esforços vão nos dar condições de analisar a variação dos
esforços solicitantes ao longo de todo o comprimento da viga, permitindo-nos construir
diagramas que permitirão a visualização clara do que ocorre no interior da estrutura.
6.2.1. Viga biapoiada com carga concentrada
Seja uma viga biapoiada de vão L, submetida à ação de uma carga concentrada,
conforme mostrado na Figura 6.6.
P
a bL
Figura 6.6. Viga biapoiada com carga concentrada
Para a análise desta viga, devemos considerar duas seções: uma seção ‘S1’ à esquerda da
carga concentrada P e outra seção ‘S2’ à direita da carga, conforme mostra a Figura 6.7.
Figura 6.7. Seções S1 e S2
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Vamos, primeiramente, determinar as reações:
Agora podemos escrever as equações dos esforços solicitantes para a seção ‘S1’:
1 – Esforço normal (pela esquerda da seção ‘S1’): N = 0
2 – Esforço cortante (pela esquerda da seção ‘S1’):
: valor constante
3 – Momento fletor (pela esquerda da seção ‘S1’):
: equação de uma reta
Observamos que as equações obtidas são válidas somente no trecho à esquerda da carga
concentrada. Desta forma, para obter as equações para o trecho à direita da carga, é
necessária a utilização da seção ‘S2’. Vamos então determinar os esforços internos na
seção ‘S2’.
1 – Esforço normal (pela esquerda da seção ‘S2’): N = 0
2 – Esforço cortante (pela esquerda da seção ‘S2’):
: valor constante
3 – Momento fletor (pela esquerda da seção ‘S2’):
: equação de uma reta
Observamos que em ambos os trechos o esforço cortante é constante e o momento fletor
obedece a uma equação do 1º grau, ou seja, uma reta. Isto acontece sempre que a viga é
submetida apenas a cargas concentradas.
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6.2.2. Exemplo
Determine as equações e os diagramas de esforços solicitantes para a viga abaixo.
1 – Cálculo das reações de apoio
2 – Determinação dos esforços internos na seção ‘S1’
2.1 – Esforço normal (à esquerda de ‘S1’): N = 0
2.2 – Esforço cortante (à esquerda de ‘S1’):
mxkNVRV A 202,1 : valor constante no trecho
2.3 – Momento fletor (à esquerda de ‘S1’):
mxxMxRM A 202,1 : equação de uma reta
3 – Determinação dos esforços internos na seção ‘S2’
3.1 – Esforço normal (à esquerda de ‘S2’): N = 0
3.2 – Esforço cortante (à esquerda de ‘S2’)
: valor constante no trecho
3.3 – Momento fletor (à esquerda de ‘S2’)
: equação de
uma reta
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4 – Traçado dos diagramas
4.1 – Diagrama dos esforços normais
Como observamos pela análise dos dois trechos, o diagrama de esforços normais será
constante e igual a zero. Portanto, sua representação será:
4.2 – Diagrama dos esforços cortantes
Para a construção deste diagrama, é importante a construção da tabela apresentada
abaixo. Ressalta-se que temos dois trechos. No primeiro, ou seja, com x menor ou igual
a 2m, vale a primeira equação, enquanto para x maior ou igual a 2m vale a segunda.
Seção – x (m) Esforço cortante – V (kN) Equação
0 1,2V = 1,21 1,2
2 1,22 -0,8
V = -0,83 -0,84 -0,85 -0,8
Observa-se que para a seção imediatamente sob a carga concentrada o esforço cortante
terá dois valores. Isto acontece porque a carga concentrada gera uma descontinuidade
no diagrama, que terá o valor da própria carga concentrada. Assim, imediatamente à
esquerda da seção o esforço cortante é de 1,2 kN, e imediatamente à direita este valor é
de -0,8 kN. Então, o diagrama terá o seguinte aspecto:
Os valores positivos do esforço cortante são marcados acima do eixo de referência, e
vice-versa.
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4.3 – Diagrama dos momentos fletores:
Para a construção deste diagrama é importante a construção da tabela abaixo. E, como
no caso dos esforços cortantes temos dois trechos, cada um regido por uma equação.
Seção – x (m) Momento fletor – M (kNm)
Equação
0 1,2 x 0 = 0M = 1,2x1 1,2 x 1 = 1,2
2 1,2 x 2 = 2,42 -0,8 x 2 + 4 = 2,4
M = -0,8x + 43 -0,8 x 3 + 4 = 1,64 -0,8 x 4 + 4 = 0,85 -0,8 x 5 + 4 = 0
Observa-se que no ponto de aplicação da carga concentrada as duas equações dão o
mesmo resultado. Assim não há descontinuidade do gráfico como havia no caso do
esforço cortante. O aspecto do gráfico, então, será:
Os valores de momento fletor positivos são marcados na parte inferior do eixo de
referência, e vice-versa. Esta inversão é feita visando facilitar a visualização da
deformada da viga que será imposta pelo momento fletor, e também o posicionamento
das armaduras para combatê-lo.
6.2.3. Viga biapoiada com carga distribuída
Seja uma viga biapoiada de vão L submetida a uma carga distribuída q, conforme
apresentado na Figura 6.8. Calculemos os esforços solicitantes em uma seção ‘S’,
situada a uma distância ‘x’ do ponto A.
Figura 6.8. Viga biapoiada com carga distribuída
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Primeiramente, devemos determinar as reações de apoio:
Conhecidas as forças externas, podemos então determinar seus efeitos internos nas
vigas, ou seja, podemos determinar os esforços solicitantes:
1 – Determinação do Esforço Normal (considerando as forças à esquerda da seção):
0N
2 – Determinação do esforço cortante (considerando as forças à esquerda da seção):
: equação de uma reta.
3 – Determinação do momento fletor (considerando as forças à esquerda da seção):
: equação de uma parábola.
Assim, é possível determinar a variação dos esforços solicitantes ao longo de toda a
viga. E, tendo a equação, pode-se também determinar os diagramas (gráficos) de
esforços solicitantes.
6.2.4. Exemplo
Determine as equações e os diagramas de esforços solicitantes para a viga abaixo.
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1 – Cálculo das reações de apoio
2 – Determinação do Esforço Normal (considerando as forças à esquerda da seção):
0N
3 – Determinação do esforço cortante (considerando as forças à esquerda da seção):
: equação de uma reta.
4 – Determinação do momento fletor (considerando as forças à esquerda da seção):
: equação de uma
parábola.
Vamos agora construir os diagramas de esforços solicitantes. Primeiro, o diagrama de
esforço normal. Determinamos em 3 que o esforço normal é constante e igual a zero
para qualquer valor de x entre 0 e 5 m. Portanto, temos:
Vamos agora determinar o diagrama de esforços cortantes. Sabendo a equação, basta
determinarmos os valores de V para posições x, conforme mostrado na tabela abaixo:
Seção – x (m) Esforço cortante – V (kN)
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0 -2 x 0 +5 = 5
2,5 -2 x 2,5 +5 = 0
5 -2 x 5 + 5 = -5
Basta agora a marcação dos valores calculados sobre um eixo de referência, que
representa o próprio eixo da viga. Valores positivos devem ser marcados acima do eixo
de referência e vice-versa. Os pontos devem ser ligados com uma reta. Temos, portanto:
Para a determinação do diagrama de momentos fletores, adotamos procedimento
análogo. A tabela abaixo mostra os valores calculados:
Seção – x (m) Momento fletor – M (kN)
0 -02+5x0 = 0
2,5 -2,52+5x2,5 = 6,25
5 -52+5x5=0
Basta agora marcarmos os valores, utilizando um eixo de referência, como no caso
anterior. Para os momentos fletores, valores positivos devem ser marcados abaixo do
eixo de referência e vice-versa. Conforme mostra a equação, os pontos devem ser
unidos por uma parábola. Assim:
6.2.5. Considerações sobre os diagramas
1 - a partir dos exemplos podemos ver que o momento fletor máximo acontece na seção
onde o esforço cortante é zero, ou seja, onde o diagrama de esforços cortantes intercepta
o eixo de referência.
![Page 23: engenheirodofuturodotcom.files.wordpress.com€¦ · Web viewConhecidas as forças externas, podemos então determinar seus efeitos internos nas vigas, ou seja, podemos determinar](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052608/5ae5eb767f8b9a3d3b8c7e29/html5/thumbnails/23.jpg)
2 – no caso da existência unicamente de cargas concentradas, o diagrama de esforços
cortantes será sempre constante nos trechos entre elas. E o diagrama de momentos
fletores será composto por segmentos de reta, pois obedece a equações do primeiro
grau.
3 – no caso da existência unicamente de cargas distribuídas, o diagrama dos esforços
cortantes será composto por segmentos de reta, uma vez que obedecem a equações do
primeiro grau. E os diagramas dos momentos fletores serão parábolas, uma vez que suas
equações são do segundo grau.
4 – no caso de uma carga concentrada, o momento fletor máximo estará situado sob a
carga e seu valor será:
5 – no caso de uma carga distribuída, o momento fletor máximo estará situado no meio
do vão e seu valor será:
P
a bL
L
8
2qLM MAX
LPabM MAX