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7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
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las t i c i d ade
IN TRODUO
A elasticidade trata das deformaes e tenses elsticas a que os corpos
so submetidos, assim como da relao entre tenses e deformaes, e ten-
ses, deformaes. e foras aplicadas ao corpo. Define-se uma deformao
elstica como aquela que desaparece uma vez removida a fora que a causou.
A teoria da elasticidade para slidos hookianos (isto , slidos que demons-
tram proporcionalidade entre tenso e deformao) necessariamente caracte-
rizada por certa complexidade. No entanto, essencial seu conhecimento para o
tratamento de problemas mais gerais e da a estrutura deste capitulo, A elas-
ticidade recebe dois tratamentos dist intos. Primeiro.. um tratamento simpli-
ficado, perfeitamente ajustado ao
nvel
de graduao (Parte' A). As tenses
e deformaes so apresentadas, primeiro, para casos simplificados. O tra-
tamento tridimensional mantido a um rninimo. Um mtodo grfico de so-
luo de problemas (Crculo de Mohr) descrito. Munido dessas ferramentas,
o leitor estar preparado para compreender a maior parte' das derivaes
matemticas dos captulos subseqentes. Em cursos de nvel de ps-graduao,
por outro lado, recomendvel usar-se um tratamento mais profundo e ri-
goroso da teoria da elasticidade.
As tenses e deformaes existem, na maior parte dos casos, em corpos
considerados tridimensionais e o clculo tensorial e a notao indicial per-
mitem um tratamento elegante e simples desses problema, sendo evitados
algebrismos excessivos. A Parte B deste captulo apresenta a teoria da elas-
ticidade sob um ponto de vista tensorial. Uma vez apreendidos os conceitos
do tratamento tensorial da teoria da ela ticidadc para slidos hookianos, o
leitor ter ganhado uma co nce itu a o tridimensional de tenses de deforma-
es. Esta ser-lhe- de grande utilidade na olu o de problemas mais com-
plexos, como anlise I campo de tens e' em torno de discordncias, intera-
es entre discordncias e torn s solutos, mecnica das fraturas, ondas
plsticas em slidos, onda de choque, concentraes de tenses causadas
por precipitados, ani otropia dos gros e estado de tenso em materiais con-
jugados, etc. Recomenda-se ao alun de ps-graduao tambm ler o trata-
mento simplificado, j que as duas partes deste captulo so complementares
e a duplicao ele material foi mantida a um mnimo.
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Principios de Metalurgia Mecnica
I. 1< 1.SII(IJ)ADE - TRATAMENTO ELEMENTAR
I. L 1 1 \11 /01 li t deformao longitudinal
A Fi . 1.1 mostra um corpo de prova de seo cilndrica sendo tracionado
\'11111111:1mquina de ensaios. A extremidade superior est aparafusada ao
bnrnuncnt da mquina. A rotao acopluda dos dois parafusos sem-fim
IlIt .rais permite o movimento do barramento para cima ou para baixo (h
11I1,llb~mum outro. tipo de mquina de trao acionado por dispositivo servo-
-I\I~lraulIco). Ad~ltIndo~se que, em um determinado instante, a carga externa
aplicada pela maquina e F, haver uma tendncia para esticar o corpo de
prova e rornp-lo. Esta tendncia ruptura combatida por reaes internas.
A melhor maneira de visuali z-las pelo mtodo de anlise usado na Resis-
tncia dos Materiais: seciona-se o corpo de prova e substitui-se a parte remo-
'vida pelas foras ,que ~xercia. Para a parte inferior do corpo de prova, esse
procedimento esta Indicado na Fig.
1 .1 .
Essa resistncia est, no presente
caso,. homogenea~ente. distribuda na seo transversal e representada,
na Fig. 1.1, por tres setinhas. Define-se a tenso longitudinal (1 como a resis-
CLULA DE CARGA
I
F
BARRAMENTO
/
PARAFUSO
/SEM-FIM
CORPO
DE PROVA---
F BASE
I I1I1111.1 - Des enho es quemtico de m quina para ensa ios de trao
Elasticidade
3
tnc ia por unidade de rea . Aplicando-se as equaes bsicas da Resistncia
dos Materiais parte inferior do corpo de prova, tem-se
F
=
R
=
(1A
ou
Esta a tenso interna que resiste
fora aplicada evitan I ,assim, a ruptura
da amostra. a seguinte a conveno de sinais usada: as tenses trutivas so
positivas e as cornpressivas, negativas.
medida que a fora externa F aumenta o c mprimcnro til do corpo
de prova tambm aumenta. Para um aumento de fora
di,
O comprimento
e
aumenta de d e . Assim, define-se o aumento (ou decrscimo) de comprimento,
por unidade de comprimento, por
d i
t
Esse parmetro recebe o nome de deforrnuc lon ritu Iinul. A .onvcnco de
sinais usada : as deformaes trativas so positivas e :IS .ornprcssiva ,nega-
tivas. Na Fig. 1.2 esto apresentadas duas curvas t .ns: o-dcf irmuco (em tra-
o); arnbas descrevem o comportamento elstico ti, corpos. As linhas cheias
descrevem a trajetria de carregamento e as p ntilhudus, o
ti
'sc:lrregamento.
Para slidos perfeitamente elsticos, elas devem c in .idir. A .urvu da Fig. 1.2(a)
caracterstica de metais e cerrnicos, e o regime '1{lsti 'o pode ser descrito
por uma l inha reta. A curva da Fig.
1 .2 (b )
cuructcristi
'
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Princpios de Metalurgia Mecnica
o
'lll
c
Q)
I-
E
(a )
o
'lll
c
Q
I-
,
I
,/
/'
/
. . .
/
_ - ,.,,,,-= :2 :-:::;-;,;.,-; ,/
-e-, CURVA DE DESCARREGAMENTO
- _... COM ANELASTICIDADE
-
----_.--
. . . -
. . ;
Deformao
(b)
E
Figura 1.2 Curva tcnso-dcforrnao no rcgune elstico: (a) curva caracterstica de metais e
cerrnicos: e (b ) Curva caracterstica da borracha
Para metais e cermicos, seu valor muito alto. Um valor tpico para o
ferro 210 GPa. E depende s da composio e da estrutura
cristalogr fica
do material, e tratamentos trmicos ou mecnicos tm efeito muito limitado
sobre
E.
Assim, um ao recozido tem o mesmo modulo de Young que um ao
laminado (h, claro, pequenas diferenas devidas formao de textura).
E diminui com o aumento de temperatura. Em monocristais, E tem diferentes
valores para diferentes orientaes crista logr ficas . Logo, anisotrpico. Para
policristais em que os gros no apresentam textura, E isotrpico: tem o
mesmo valor em todas as direes. Os valores de E apresentados em tabelas
(ver a Tab. 1.4) no so, em geral, obtidos mediante ensaios de trao mas
por mtodos dinmicos: passa-se uma onda elstica de pequena amplitude
pelo slido e mede-se sua velocidade. H expresses matemticas que permi-
tem obter
E
a partir da velocidade.
Elasticidade
5
1.2.2. Tenso e deformao cisalhantes
Imagine-se agora que se estabelea o tipo de carregamento descrito na Fig.
1 .3(a) .
O corpo de prova colocado entre um mbolo e urnu placa com um turo
cilndrico. O mbolo comprime a amostra. Os esforos Inlerno.s que reslsten~
solicitao externa so agora de natureza
cisulhant c . Na Fig. 1 .3 (b ~
esta
indicado um pequeno cubo retirado da regio de cisulhamcnto. ~Ic c dis-
torcido de tal modo que os ngulos no so mais iguais a 90 . Definem-se a
tenso e a deformao cisalhante(ou de
ci sal humento)
por
F
T
=-
e
A
d e
'=-=tg 11::: 11 .
I t
A
toda a rea da superfcie que sofre as tenses cisuihuntcs c aproxi-
madamente igual a:
REGIO o .
CISA liAMI N1
(a )
(b )
I-- -..J
10
Figura 1.3 .: (a ) Corpo de prova submetido a soliciruco cisalhante ; e
(b )
deformao sofrida por
pequeno cubo
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Princpios de Metalurgia Mecnica
'I
0I110U-S' CI
mdia dos dois dimetros j que se fez
D
2
ligeiramente su-
1ll'IIOI 1 1 o..
IJ 1 11 ensaio mecnico comumente usado para obter grfico de T
versas .
t' (~
:lIsaio de toro. Dieter (ver Sugestes paru leitura ) apresenta um:l
nulisc detalhada desse ensaio. Observa-se para metais, ccrrnicos e certos
p()l.ime~o , que T proporcional a ;. para o regime elstico. Em analogia
ti '11I1 ao apresentada na seo anterior. define-se o modulo transversal de
.lasticidade, mdulo de rigidez, ou mdulo de cisalharnento G como
G =~.
G numericamente inferior a
E
e est a ele relacionado pelo coeficiente de
Poisson, que ser discutido na seo seguinte, cujos valores so dados na
Tub, IA. V-se que, em geral, G varia entre um tero e metade de E.
1.2.3. Coeficiente de Poisson
Um corpo, ao ser tracionado, tende tambm a sofrer contraes laterais.
Isso est mostrado para o cubo da Fig. IA, que tracionado na direo .\ .:
esto indicados no cubo a tenso a
JJ
e as deformaes resultantes. Os nd ice s
para tenses e deformaes so descritos em detalhe nas Secs. 1.3 e 1.6.3,
'l'lt 0 I r 'l'
-Jl~~
/1/ 2
/ I
/1
1
/ / I
- - r+ - - - , L - f _ _ _ _ _ _ ----f/
1 I 1
7
I I I
I I I
i o?
+ - - }
-x
L i _
/ ' )
L L
'Yj/'
E33 .1.* _
2
f - - - - - t - - - - {
1 1 , l I fl l 1 . 4
Cubo com dimenses unitrias sendo tracionado na dir eo 0,\, ,\
Elasticidade
7
respectivamente. [De modo simplificado. as tenses longitudinais (ou normais)
tm os dois ndices iguais e. para as deformaes longitudinais, aplica-se a
mesma conveno. J para as tenses (ou deformaes) cisalhantcs, o primeiro
ndice indica a direo da tenso e o segundo. a direo da perpendicular
ao plano em que est atuando.] Como esses ndices so diferentes, per-
feitamente claro que essas tenses so cisalhantcs:
tT2
t'Tu,
tT2J
Caso seja
usada essa notao (com dois ndices), usar-se- a em vez de T para as tenses
cisa lh.mtes. Na Fig. IA, a tenso
I.
.'
gerou deformaes
I:.
1:
22
e
1:.1.-
Corr~o
as dimenses iniciais do cubo
so
unitrias. os alongamentos so Iguais as
deformaes. O coeficiente de Poisson definido como a razo entre a defor- t
mao lateral e a longitudinal. Tem-se que tanto 1: e 1:
22
so negativos (de-
crscimo em dimenso) e que
1:.1.1
positivo. Para que o coeficiente de Poisson
seja positivo, introduz-se o sinal negativo. Assim:
\'=_~
1:
22
1: ., 1:.1.'
1:
11
igual a
1:
22
,
caso o material seja isotrpico. Podem-se calcular os
valores de \' para dois casos extremos: quando o volume permanece constante
e quando no h contrao lateral. Quando no
h
contrao lateral tem-se,
obviamente, v =O . Caso o volume permanea constante,
ter-se-
V
o
V (I +
1:
1
,) (I +
1:
22
) (I +
1:.1.1)'
Desprezando-se os produtos de deformaes, por serem estas admitidas
como pequenas, tem-se
V =I+ 1:
11
+ 1:
22
+ 1:,1.
-
azendo-se
V = V
o
:
1:
11
+ 1:
22
+ /:33 =
O .
1 :
22
para isotropia. Logo:
2 1 :
11
=-
/:3.1'
Substituindo-se esta igualdade na expresso para o coeficiente de Poisson:
\ = 0,5.
Para os metais, o coeficiente de Poisson flutua em torno de 0,3 (ver a
Tab. IA). Vale a pena ressaltar que os valores de \. representados na Tab. IA
se aplicam s ao regime elstico. Quando os metais so plasticamente defor-
mados, o coeficiente de Poisson aumenta para 0,5.
1.2.4. Estados de tenso mais complexos
As relaes entre tenso e deformao descritas nas Secs. 1.2.1 e 1.2.2
no se aplicam aos estados bi e tridimensionais de tenso. Os casos discutidos
so de tenso unidimensional ou uniaxial. Para o caso mais geral possvel,
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Princfpios deMetalurgia Mecnica
11 I I l' tudo de tenses mostrado na Fig. 1.7 e descrito em detalhe na
1'111 11 1\ dl'NI' rpltulo. No obstante a complexidade da anlise, possvel
hh I- uma soluo bem sirnplificada. das relaes tenso-deformao me-
ti
lU
certas hipteses simplificadoras. Pode-se obter a expresso generalizada
pnrn li Lei de Hooke pelo procedimento que se segue.
Admite-se que tenses cisalhantes s podem gerar deformaes cis i-
Ihantes. Assim, as deformaes longitudinais s so produzidas por tenses
normais. A tenso (J
Ii
gera as seguintes deformaes:
Como V
_ e
22
__
e
33
- -- para a tenso (J 11 tem-se tambm:
e
ll
e
11
Por sua
vez, a
tenso
(J
22
gera as
seguintes
deformaes:
e
22
(J
22
e
e
11
=
e
22
=
V(J
22
=y
=t:
E a tenso
(J33 :
e
33
= (J33
e e
ll
= e
22
=
_ v (J33
E
E
Por seu lado, as tenses cisalhantes s produzem:
YI2 = (J12/G
Y ,3 = (J, 3 /G
Y23
=
(J23/G
o
leitor referido Seco 1.3 para a conceituao dessas tenses. Formula-se
agora a segunda hiptese simplificadora: que a deformao em uma direo
igual soma das deformaes parciais geradas pelas tenses, caso estivessem
atuando separadamente. Assim, a deformao total e
ll
a soma das deforma-
es
e
ll
produzidas por todas as tenses.
Tem-se:
I .
e
'l
=E [(Jll - v((Jn
+
(J33)]
I
e22
=E
[(J22 - V((JII + (J33)]
I
e33
=E
[(J33 - V((J11 + (J22)]
Y12 = (J12/G
YI3 = (J13/G
Y23 = (J23/G.
Elasticidade
9
Essas equaes so idnticas s Eqs. 1.74 derivadas com o uso do clculo
tensorial. Faz-se, porm, a seguinte ressalva: no foram necessrias hipteses
simplificadoras na derivao das Eqs. 1.74, que tm vasta aplicao no Capo 6.
A aplicao das equaes acima para um estado de tenses hidrosttico
((JII =
(J22
=
(J33
= - p;
(J12
=
(J13
=
(J23
=.O)
mostra que no h distores no cubo e que e
'l
= e
22
= e
33
O estado triaxial de tenses dificil de ser tratado. Na maior parte dos
casos, porm, tenta-se resolver um problema de elasticidade tomando-se um
estado de tenses mais simplif icado. Isso muitas vezes justificado pela geo-
metria do corpo e do carregamento, O exemplo discutido na Seco 1.2.1 (ensaio
de trao) de tenso uniaxial. Ocorre quando barras so tracionadas ou
comprimidas. Em chapas (uma dimenso desprezvel em relao s outras
duas), o estado de tenses pode ser aproximado como biaxial (ou tenso plana).
Como a chapa fina, s existem tenses no plano da chapa. A soluo desse
problema feita graficamente na Seco 1.2.5. Quando uma das dimenses do
corpo muito grande em relao s outras duas dimenses, ou quando as
condies de contorno so tais que a deformao em uma direo nula,
tem-se um estado de deformao biaxial (ou deformao plana). Para corpos
que tm uma dimenso que pode ser considerada infinita, e as outras duas
finitas (caso, por exemplo, de uma barragem), a deformao na direo infi-
nita no possvel pela prpria dimenso. H tambm o estado de deformao
uniaxial que ocorre quando ondas de choque se propagam em um corpo.
Esse fenmeno descrito no Capo 13.
1.2.5. Soluo grfica para estado biaxial de tenses - Crculo de
Mohr
A Fig. L5 (a) mostra o estado biaxial de tenses. A construo desenvol-
vida por O. Mohr permite obter as tenses normais e cisalhan~es para qu~l-
quer orientao do cubo (neste caso, qua~rado) ..C?ama-se p0r:.em, a atenao
do leitor para unia mudana na convenao de SiUaIS~ara ,tensoes clsalhante~
introduzida aqui. A conveno antenormente descnta e abandonada e e
adotada a seguinte conveno: tenses cisalhantes so positivas ~uand? cau,s~m
rotao rio sentido horrio; negativas, quando causam rotaao anti-horria.
A conveno de sinais para tenses normais a mesma. A Fig.
1 .5 (b)
most~a a
construo de Mohr, O eixo das abscissas destinado s tenses normais e
o eixo das ordenadas, s tenses cisalhantes. O ponto
A
do diagrama corres-
ponde ao estado de tenses sobre a face do cubo perpendicular a
OX
I
(Fig.
1 .5a ) ; o ponto B, ao estado de tenses obre a face perpendicular a OX
2
(Fig.
1 .5a ).
De posse de
A
e
B,
constri-se
O
crculo com origem sobre o eixo das
abscissas e passando por A c B. Faz-se is o ligando-se A a B. Os estados de
tenso para todas a orientaes possveis do quadrado (dentro do mesmo
plano) correspondem a pontos diarnctralrnente opostos sobre o crculo de
Mohr. Assim, po te-se determinar o e tado de tenses para qualquer orienta-
o. As rotaes no quadrado e no crculo de Mohr so feitas no mesmo
sentido; no entanto, uma rotao de O no quadrado corresponde a uma ro-
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Princip ias deMetalurgia Mecnica
tao de 28 no crculo de Mohr. Por exemplo, a rotao de 28 no sentido
anti-horrio leva ao estado de tenses definido pelos pontos C e D no crculo
de Mohr. As tenses cisalhantes so nulas para essa orientao e as tenses
so chamadas de principais. Usa-se um s ndice para caracteriz-Ias
(O 1> O 2).
J na Fig. 1.5(a) fez-se uma rotao de s 8 no mesmo sentido. Os eixos Ox~
.e Ox; so conhecidos como eixos (ou direes) principais.
X2
~
I
0 7 . 2
Xl
\a12
- -
- - ~
--
07 . 1
--
/
,
- -
\ 8
~
\
~
~
/ ; 0
a11
~
/'
a11
\
~
,
\
\
,
~
\
a21
,
~
~
\ a12
a22
\
\
(a)
Figura 1.5 -
(a)
Estado biaxial de tenses e (b) crculo de Mohr
1.2.6. Estado de cisalhamento puro - Relao entre G e E
H um caso particular do estado biaxial de tenses em que 0 22
= -
O
ii-
que est representado na Fig. 1.6(a). Nota-se que O 1 2 =
O ,
o que implica serem
(J11
e
(J22
tenses principais. Logo,
(J2 = ~ (J1.
A construo do crculo de
Mohr, na Fig.
1.6(b),
mostra que o centro coincide com a origem dos eixos.
Alm disso, nota-se que uma rotao de 90 (sobre o crculo) produz um estado
de tenses em que as tenses normais so nulas. Essa rotao corresponde a
uma rotao sobre o corpo de 45. A tenso cisalhante a mesma, em valor
Elasticidade
11
numrico, que
(J2
= - (J
1.
Assim, um quadrado, como o mostrado na Fig. 1.6(c),
reduzido a um losango sob o efeito combinado das tenses cisalhantes. Esse
estado de tenses recebe o nome de estado de cisalhamento puro.
possvel, para este caso, obter uma relao entre G e E de carter geral.
A deformao Gil , para o caso em questo,
~~~Lf - -+- - - - - - - - - - - - . X1
(a )
(O,
r)
(0, - r)
(b)
(c)
Figura 1.6 - (a ) Estado de cisalhamento puro (b ) Crculo de Mohr para cisalhamento puro (e )
Reduo de um quadrado a um losango sob efeito das
tenses
cisalhantes
Tem-se, para as tenses ci alhantes (usando agora a conveno de sinais
normais e no a do crculo de Mohr),
Mas tem-se tambm r
=
Gy.
Assim (J J = -
Gv.
-
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Principias de Metalurgia Mecnica
Sub u i tu i ndo -s e,
e = _
Gy (I +
v).
I
E
possvel mostrar, mediante consideraes geomtricas no tringulo
negro da Fig. l.6(c~ que lei = - y.
Pede-se ao leitor que faa isso guisa de exercc io. Logo,
G = E .
2(1 + v)
Conseqentemente, G est relacionado a E pelo coeficiente de Poisson.
Essa relao terica entre G e E est em boa concordncia com resultados
experimentais. A Tab. 1.4 apresenta valores de
v .
1.3 - ELASTICIDADE - TRATAMENTO TENSORIAL
1.3.1. Conceito de tenso
Se em um corpo agem foras externas ou se uma parte exerce uma fora
sobre as partes vizinhas, diz-se que esse corpo est sob tenso. Tenso a
resistncia interna de um corpo deformao sob a influncia de foras.
A Fig. 1.7 mostra um corpo sobre o qual age uma fora externa F . Conside-
rando-se o corpo dividido em partes I e 11, pode-se dizer que age sobre o ele-
mento de rea dA da parte I a fora por unidade de rea p . Essa fora por
unidade de rea pode ser decomposta em uma tenso normal (J e uma tenso
cisalhante (J2 Diz-se ento que age sobre o elemento de rea d A um sistema
de tenses
(J 1> (J 2) '
Figura 1.7 - Corpo sob ao de fora externa
F
F
F
Elasticidade
13
Costuma-se definir o estado de tenses em um corpo especificando-se
as tenses atuando sobre as faces de um cubo de pequenas dimenses, situado
neste corpo. Existem dois tipos de fora que podem agir sobre um corpo.
Primeiro, as foras de corpo, que so proporcionais ao volume do corpo.
Exemplos so a fora gravitacional e aquelas devidas a campos eltricos ou
magnticos. O segundo tipo so as foras de superficie, que so proporcionais
rea da superfcie do elemento. A fora por unidade de rea definida como
tenso. As foras de superfcie so, portanto, especificadas por intermdio
da tenso. Ser visto primeiro o estado de tenses em um elemento de corpo
para um caso extremamente simplificado.
a)
A tenso admitida homognea no corpo. Uma tens o homo-
gnea quando as foras agindo em um elemento de rea com forma e orienta-
o constantes no dependem da posio desse elemento no corpo.
b ) Todas as partes do corpo esto em equilbrio esttico.
c) No h foras ou momentos de corpo.
a estado de tenso em um cubo elementar est esquematizado na Fig. 1.8.
As tenses so admitidas positivas para os sentidos indicados na Fig. 1.8.
Assim, as tenses normais de trao so positivas e as de compresso so
negativas. Esse estado de tenses o mesmo, qualquer que eja a posio
do cubo no corpo, desde que a notao seja mantida. A notao usada para as
tenses ser mantida em toda a obra. H dois ndices: o primeiro d a direo
da tenso e o segundo d a direo normal face.
X3
Figura 1.8 - Notao dos componentes de tensor tenso
-
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Princlpios de Metalurgia Mecnica
Em alguns tratamentos em que as direes no necessitam ser especificadas,
usar-se- simplesmente a para a tenso normal e r para as tenses cisalhantes.
Outros livros usam convenes similares. A tabela 1.1 apresenta algumas delas.
Tabela
1.1
- Convenes para
as
tenses.
Autor Tenso Normal Tenso Cisalhante
Meyers e
Chawla ...............
aIi a
22
a
33
a
12
0 3
a
23
Love [I] ...........................
X x
Y y
Zz
X ) '
X
z
Yz
Timoshenko e Goodier [2]
...
a
x
a)
a
z
LX)'
'y z
L)'Z
Dieter [3]
........................
a
x a)
a
z
x
'
'y z
Sokolnikoff [4] ..................
'11
22
'33 '12 '13 '23
McClintock e Argon [5] ......
aIi a
22
a33
a
12
a13 a23
Oll' 17
22
e 0 33 so os componentes normais de tenso e a12, 013, 0'21,'
0'2 3 ,0 '31
e
0' 3 2
so os componentes de tenso de cisalhamento. V-se que a
definio de um estado de tenso exige a especificao de nove parmetros.
Sabe-se que existem diversos tipos de quantidades fisicas. As grandezas
escalares so completamente especificadas por um parmetro. No so dire-
cionais. Exemplos: massa, densidade, volume. Vetores so grandezas dire-
cionais e necessitam de trs parmetros para que estejam definidos. As foras e
os momentos de dipolo magnticos so exemplos tpicos. Uma fora F pode,
portanto, ser especificada por seus componentes (FI F
2
,
F3 )' A anlise ve-
torial prov a base matemtica para o tratamento dessas grandezas. As gran-
dezas escalares e vetoriais so tambm conhecidas por tensores de ordem
zero e ordem 1. Tensores de ordem 2 (ou de segunda ordem) so grandezas
que necessitam de um mnimo de nove parmetros para ser especificadas.
Tenses e deformaes so tensores de segunda ordem. Outras propriedades
fisicas que tambm o so: condutividade eltrica, condutividade trmica,
suscetibilidade magntica e permeabilidade. Existem tambm tensores de
ordem mais elevada. A anlise tensorial permite que esses tensores sejam
manipulados matematicamente com um mnimo de esforo. Percebe-se ento
que, para um conhecimento mais aprofundado de tenses (e, posteriormente,
deformaes) imprescindvel o uso da anlise tensorial. A Seco1.4 apresentar
os aspectos de anlise tensorial a serem usados nas outras partes do livro.
1.4. TENSORES
Os tensores podem ser assim especificados:
a)
Um tenso r de ordem zero especificado por um componente nico,
independente do sistema de eixos.
Elasticidade
15
b)
Um tensor de primeira ordem especificado por trs componentes,
cada um associado a um eixo de referncia.
c) Um tensor de segunda ordem especificado por nove componentes,
cada um associado simultaneamente a dois eixos de referncia.
H alm desses tensores de ordem mais elevada que sero introduzidos
mais adiante. Ser adotada neste livro a notao in d ic ia l. O nmero de ndices
associados ao componente de um tensor igual asua ordem. Assim, a densi-
dade o no tem nenhum ndice, os componentes de uma fora' [F F 2, F 3 ]
possuem um ndice cada e os componentes da tenso [alI a22' a33' a12' ... ],
dois ndices cada. A maneira mais fcil de representar os componentes de um
tensor de segunda ordem sob a forma matricial. Assim, tem- e para um .
tenso r
T,
Em geral, uma propriedade Tque relaciona dois vetores jJ = [p
I'
P 1 . ' P 3 ] e
q
=
[q q2 ' q3 ] de tal modo que
e,
= Tllq l +
P2 = T
21
ql +
P 3 =
T
31
ql +
T
l2
q2 +
T
22
q2
+
T
3 2
q2
+
T
I3
q3
T
23
q3
T33q3 '
(1 .1)
(1 .2)
(1.3)
1.4.1. Notao indicial
A notao indicial ser introduzida poi simplifica enormemente as
expresses matemticas. As Eqs. 1.1, 1.2 e 1.3 tornam-se:
3
P2
7~/lJ
j -
1
3
P3
=
I
r.
)=1
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
9/42
16
Princpios de Metalurgia Mecnica
Pode-se ainda simplificar mais as expresses:
3
ti:= I T ijq j (/=1,2,3).
. i
=
1
o sinal de somatrio normalmente deixado de lado. Introduz-se a conveno
de sornatrio de Einstein: quando um ndice de letra aparece duas vezes no
mesmo termo. subentende-se que h o somatrio em relao a esse ndice
nesse termo. Resulta:
(1,)=1,2,3)
o ndice i chamado de livre e j, de preso.
1.4.2. Transformaes
importante saber como variam os componentes de um tensor
T
com o sistema de eixos de referncia. Sabe-se que um vetor fi tem cornpo-
nentes [P I'P2,pJ em relao a eixos [O x l' O x
2
, Ox
3
] e [P;,p~,p~] em relao
a
erxos
[O X'I' O x~ , O x;] .
Ser
vis to primeiramente como [P i] pode ser expresso
em termos de [PJ A Fig. 1.9 apresenta os dois sistemas de eixos cartesianos
com uma rotao relativa. A orientao do novo sistema
[O x ;]
expressa em
relao ao velho sistema
[O x
l
]
por meio dos co-senos dos ngulos. Ser aqui
usada a notao indicial tambm para os co-senos. Assim:
/,
cos X I X I = e I I
~ e
os
X
2
X
2
= 22'
Os nove ngulos que formam entre si os dois sistemas esto indicados
abaixo.
Velho sistema
XI x
2
x
3
Novo sistema
Figura 1.9 - Transformao dos componentes
de um tensor de primeira ordem
+
Pl
Elasticidade
17
Assim, por exemplo, os co-senos diretores do eixo OX'I so e I l' e 12 e e
13
O primeiro ndice indica o eixo novo e o segundo, o velho. Os nove e ij
no so independentes; , porm, digno de nota o fato que, em geral, e i} = F e } i
Esto indicados na Fig. 1.9 os componentes
[P i ]
e [P i] do vetor p. Tem-se,
para P 'l'
/
~
. / ; ' .
/,'-
P
I = PICOS X I.Y I +fi 2 COS X I X 2 +
P
3 COS X I X 3
ou
P' I
=
e.t :
+
P2
f
l2
+
P3
t
13
Tem-se o mesmo para os outros componentes:
p~
=
l
e
21
+ P2f22 + P3e 23
P; =l
e
31 + P3
e
32 + P3
e
33
Em notao indicial:
( 1.4)
Ser agora introduzida a seguinte conveno : quando se exprimem os
novos componentes em termos dos velhos , os ndices presos ficam o
mais prximo possvel em cada termo. Ento, a forma correta da Eq. 1.4 :
p i
=
i jp j .
Se estiver sendo executada a transformao inversa, usam-se os ndices presos
o mais separado possvel. Assim:
P i
=
ejJ J 'j
interessante saber que as coordenadas de um ponto se transformam
da mesma maneira. Se h um ponto com coordenadas [x., x
2
x
3
]
em um
sistema de referncias e com coordenadas [x;, x~ , x~ ] em um sistema novo,
elas so assim relacionadas:
X i
=jjxj .
Para se transformar os componentes de um tensor de segunda ordem
necessrio transformarem-se os vetores
[ p ; ]
e
[q J
a eles relacionados pelas
Eqs. 1.1, 1.2 e 1.3. Sabe-se que os componentes [T i}] relacionam
[P i]
e [q ;].
E necessrio determinar-se os componentes que relacionam lp i ] c [q i ] Para tal,
ser usada a seguinte seq
ncia
de eq
uacs
,11 .. 1 (I.I I
P P
q',
Assim, determina r-sc -o q em termos ele e', p em termos ele q e p' em ter-
mos de p. Essas trs equaes permitiro a obteno ele p em termos de q.
A Eq. 1.5 pode ser expressa como
(1.5)
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
10/42
1 1 1
Princpios de Metalurgia Mecnica
I) 11Id O ndice preso da Eq. 1.5 como ndice livre da Eq. 1.6:
p, = l~tql
(I. 6)
Para a Eq. 1.7 , tem-se:
ql =
( jl q j.
Combinando-se as Eqs.
1.5 , 1.6
e
1.7
tem-se:
p i
=
t ik1 ;. l t j {q ~ j ou
r :
=
ti .f jf T 'lq ;.
(1.7)
( 1 .8)
Sabe-se que
[T ij l
uma grandeza que relaciona dois vetores
[p ;]
e
[q ;]
segundo as Eqs. i.i, i.2 e i.3. A integridade fsica dos vetares [ p ; ] e [ f I ; ] man-
tld~ I~dependen.temente do sistema de eixos coordenados. Conseqentemente,
o significado fSICO de sua relao (ou seja, o tenso de segunda ordem) dever
tambm ser mantido. Tem-se, pois,
p ;
=
T ;~< J j.
As Eqs. 1.8 e 1.9 indicam que:
T ;j
=
eikejlT h l'
(1.10 )
A Eq.
1.10
a lei de transformao para tensores de segunda ordem. A lei
de transformao toma a seguinte forma quando se 'passa do sistema novo
ao velho.
( 1 .9)
r . ,
C
e h;t
{j
T ~ I . ( 1.11 )
Nota-se que agora os ndices presos esto o mais longe possvel.
Pode-se perceber a simplificao introduzida pela notao indicial. Se
se usasse a notao extensa, ter-se-ia:
r;
=
tile jfT I1 + ti2e jlT
21
+ ei 3e jlT y .
Expandindo-se o outro ndice pr=so :
r; =
eilejlT l1 + e
i
J j2
T
I2 + ei le j3 T I3 + e2elT21 + ei 2 ej 2 T 2 2 +
+
ei2ej3 T 2 3
+
ei3 ej l T 31
+
ei3 ej2 T 3 2
+
ei3ej3T 33 '
Haver um total de nove equaes, cada uma com nove termos, para se ex-
prrssar a transformao em notao extensa.
Ser agora vista a transformao do produto das coordenadas e dos
pontos. Sabe-se que
Ento
x;x j =,ke j(X kX
I
.
Pode-se ver que o produto das coordenadas de dois pontos se transforma
como um tensor de segunda ordem. Deve-se, porm, frisar que a significao
f ica inteiramente diversa.
losticidade 19
1.4.3. Definio de tensores
As leis de transformao dos tensores tm tal importncia que servem
para defini-Ios. Assim, um tensor de primeira ordem , por definio, uma
quantidade que, em relao a um sistema de eixos [O x;], tem trs componentes
que se transformam segundo as equaes p ; = eijJ). E um tenso r de segunda
ordem uma quantidade que, em relao a um sistema de cix s [Ox;] tem
nove componentes que se transformam segundo as equaes T;'j = {ikej l T u.
Um fato importante a lembrar que os tensores, sendo quantidades fsicas,
retm sua identidade independente do sistema de eixos a que e referem. Assim,
o tensor tenso agindo sobre um elemento de corpo o me
1110
independente
Ia orientao considerada para o cubo elementar. Os compon ntcs do tensor
que sero, afetados pela orientao considerada para o sistema de eixos.
1.4.4. Diferena entre
(e i)
e
[T iJ
Ambos tm nove componentes e podem ser repre
cntudcs
p r uma
matriz 3 x 3. Esta similaridade pode levar o estudante incauto a algu rnu
confuso. O significado de (e
i
) e [T iJ completamente diverso. s ({ i,;) so
uma srie de coeficientes relacionando dois sistemas de eixos: os
1 7 ' i i ]
510 os
componentes de um tensor e referem-se, portanto, a um s6 sistema de eixos.
[T;J
tem um significado fsico enquanto
(e
i
)
merament e
um conjunto de
nove co-senos diretores.
1.4.5. Tensores simtr icos e anti-simtricos
Diz-se que um tensor
[T iJ
simtrico qu and 1 = 7' ,
1~111
n ta o
matricial:
[
Tl T I2
T
I2
T
22
T I3 T
23
Um tensor anti-simtrico quando
t::111 no rucno mutricial :
[
O
T
I2
T
13
]
-T
1 2
O
T
2 3
.
-T
1 3
-T
2 3
O
Um tensor, sendo uma quantidade fisica , se r portanto simtrico ou
anti-sirntrico independente do si tema de ixos ' nsid 'rad . P rtunto , se
T i) =)i , ento T ;j =Tj; E, se T i} = - T ,,, cnt '/ ':, -
7';,.
1.4.6. Representao quadrtica de tcnsores
Ser agora dada a repre cntaco geomtrica de lensores. No se trata,
a rigor, de uma representao ge mtrica; Lima analogia geomtrica que
auxilia na soluo de problemas, Para tal, considera-se a equao
( l.i2)
-
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11/42
()
Princpios de Metalurgia Mecnica
(), IL'I'IllOS X,
e
xj
so coordenadas de pontos e
Sij
so coeficientes. Expan-
li 11 I110 S ' a cxpresso:
I IX~
+ S22X~ + S33X~ + S2
X
,X2 + S3X,X
3
+ S23X2X3 +
+ S2I
X
2
X
, + S3,X
3
X
I
+ S32X3X,
=
1.
Admitindo-se que
Sij
=
Sji,
llX~ + S22X~ + S33X~ + 2S 2XIX2 + 2 S13XIX3 + 2S
23
X
2
X
3
= 1.
Recomenda-se ao leitor rever brevemente alguns conceitos de Geometria
Analtica do Espao. A expresso acima a equao geral de uma superf1cie
de segundo grau referida a sua origem. Essa equao tambm conhecida
como equao quadrtica. Transformando-se a Eq.
1.12
para um novo sis-
tema de eixos:
x,
=
ekiX~
xj=erjx;
Si} e .. {fj x{ x; =
1.
Esta equao pode ser expressa como:
Skf x l, x ;
=
1.
V-se ento que os coeficientes de uma curva quadrtica referida ori-
gem se transformam como os componentes de um tenso r simtrico de segunda
ordem. Em virtude disso, costuma-se associar os dois conceitos e representar
os componentes dos tensores de segunda ordem simtricos pelos coeficientes
da equao quadrtica. Em conseqncia, um estado de tenses pode ser
representado pela curva.
1.4,7. Eixos principais
Todas as curvas quadrticas - hiperbolides e elipsides - possuem
o que se chama de eixos principais. Quando referidas a esses eixos, sua notao
se simplifica e a Eq.
l.12
assume a forma:
S xi
+
S22X~
+
S33X~
=
1.
A Fig.
1.10
representa um elipside referido a seus eixos principais que
coincidem com os eixos do elipside. Os interceptos fornecem os compri-
II~IIIII 1.10 Elipside referido aos eixos prin-
1
JlII
Elosticidade
21
mentes dos sem i-eixos e so iguais a
S,~/2, S2~/2
e
S3~/2.
Tal qual as
curvas quadrticas, que se simplificam ao ser referidas aos eixos principais,
de tal modo que os coeficientes passam de seis para trs, tambm ostensores
simtricos de segunda ordem podem beneficiar-se de uma escolha judiciosa
de eixos de referncia. Assim, um tensor simtrico
Ti}
pode ser transformado
de tal maneira que possua s trs componentes:
[
Til
T'2
T3]
[ T ; I O
~2 ~2 ~3 =
O ~
T'3
T23 T33
O O
Esses eixos principais so obtidos mediante processamento matemtico
usado em Geometria Analtica. Percebe-se que muito mais cmodo operar
com trscomponentes que com seis. Normalmente, usa-se s um ndice quando
o tensor est referido aos eixos principais. Conseqentemente, a matnz se
torna:
1.5, TENSO
O leitor novamente referido Fig.
1.1
para avaliar o conceito de tenso.
J se dispe de uma notao apropriada (Fig.
1.2 )
que permite um tratamento
matemtico correto mediante o uso da anlise tensorial. Se as tenses fossem
tensores simtricos, poderiam ser introduzi das simplificaes significativas no
tratamento matemtico. Ser agora.visto quando que isso ocorre. Analisar-
-se- primeiro o caso em que (a) as tehses so homogneas, (b) o corpo est
em
eq uil b rio
esttico e (e ) no h
for as
ou momentos de corpo. A Fig.
l.11
representa uma seo do cubo unitrio de lado
a.
A' condio de equilbrio
x
Figura 1.11 - Cubo elementar em equilbrio
esttico e em estado de tenses homogneo
3
033023
-
l 0 3 2
2 2 1
022
.
032
------
023
033
a
-
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12/42
Princpios de Metalurgia Mecnica
I' 1111\'0
unpli 'a certas condies. A soma das foras, assim como a dos mo-
111II(II~
a rindo sobre o cubo, deve ser zero.
Tornando-se os momentos em relao ao eixo
Ox I'
tem-se, em equilbrio,
a a
a
23
x
2' -
a
32
x
2'
= O
a
23
=J32'
Tem-se o mesmo para os outros componentes cisalhantes. Resulta que o
tensor
(J
ij
simtrico e que
1.5.1. Tenses no-homogneas
Ser agora visto que as tenses so simtricas mesmo quando o estado
de tenses no homogneo, no h equilbrio esttico e quando h foras
de corpo .. Para tal, toma-se um paraleleppedo elementar com lados
x I'
x
2 e
bx
3 imerso no corpo. Como o estado de tenses no corpo no homo-
gneo, as foras, agindo sobre o paraleleppedo, dependero dessa posio
no corpo. A Fig. 1.12(a) mostra uma seo perpendicular ao eixo Ox . Para
simplicidade, os eixos so tomados como ortogonais.
J
X2
012 + aa12
1
aX2
2
+
I
I
,
I
I
y
,
O
I
,
a
I
011
+
a
,
(a)
x3
0n+ a023.
aX3
- - - -
r
03
~oX21
O
--
_
a023
.~OX3
b)
aX3 2
Fi 'lira 1.12 ., Estado de tenses no-homogneas;
(a )
seo perpendicular ao eixo 0-,) e
(b )
seo
perpendicular ao eixo 0-
Elasticidade
23
As tenses agindo sobre a origem so (J j Conseqentemente, as tenses
agindo sobre as faces do paraleleppedo so alteradas. Aplicando-se a segunda
lei de Newton em relao direo Ox
I:
i.F, I
=
1110,.,
=
mx I,
em que m a massa.
c J ,
I I
0'2
e 03 Isso equivale a dizer que a Eq.
1.19 tem a forma:
0'3 - 11,2 -
1
2
u -
13
=
O .
(121)
lI> 1
2
e 13 so constantes para um dado estado de tenses e so chamados
de primeiro, segundo e terceiro invariantes da tenso, respectivamente. Tm-se:
li =
O'll
+ 0'22 + 0 33
1
2
=
-(0'110'22 +0'220'33+0'110'33) + 0'1~+0'1~+0'2~
13
=
0'110'~20'33 + 20'120'130'23 - (0'110'2~ + 0'220'1~ + 0'330'1D
Como eles so invariantes, pode-se usar a orientao para a qual as
tenses so principais:
li = 0'1 + 0'2 + 0'3
1
2
=-
(0'10'2 + 0'10'3+
0 203) (1 .2 2)
13 = 0'10'20'3'
Observe-se que I I' 1
2
e 13 descrevem um estado de. tenses to bem quanto
OI> 0'2 e 0 3
1.5.7. Representao quadrtica das tenses
Como a tenso , na ausncia de momentos de corpo, um tensor sim-
trico de segunda ordem tem representao quadrtica (ver as Secs.
1.4.6
e
1.4.7).
Conseqentemente
O' ijx jX = I.
Se estiver referido a seus eixos principais, ter-se-:
OIx~
+
O2X~
+
O3X~ =
I.
Como 0'1> (J2 e (J3 podem ser tanto positivos quanto negativos, tm-se
diferentes possibilidades. As vrias representaes grficas esto dadas na
Fig.
1.14.
Para (J
I'
(J
2'
0 3>
O
tem-se um elipside. Para O'
I'
(J
2> O
e (J
3
O
e (J2' (J3 [ 6 e~ g ] .
e
13
e
23
8
33
O O c.
I
A representao geomtrica desse tipo de orientao dada na
Fi g. 1.25.
Nota-se a ausncia de deformaes cisalhantes. O cubo elementar trans-
forma-se em um paraleleppedo. A mudana de volume do cubo chamada
de dilatao (ou contrao) e dada por:
E
L \ =l
+
s.) (l
+
e
2
) (l
+
e
2
) - 1. .-
Para pequenas extenses, desprzam-se seus produtos e tem-se
L \ ~ e
l
+ 8
2
+ c3'
I I 111 11 I. 5 1 cformaes principais
41
EI8sticidade
1.6.4. Deformaes de engenharia
O tensor [eij) freqentemente escrito sob a forma
E
x
1
-)Ix,
2 ..
1 .
2)15.
1
-)I,.:
2 .
1
2
)Ix.,
1
2)1x:
D ,.
1
2')':
8
:
Neste caso, tem-se
t
f i
,
I
)Ix\,
= 2e
l2
y~~= 28
13
)Ir: =
28
23
,
Essas deformaes so conhecidas como deformaes de engenhar ia.
1.6.5. Estados especiais de deformao
H' ai uns estados de deformao de particular interesse. O estado de
defor:a~ plana freqentemente a?m.itido .na anh~e de sistemas de ~~~~
_ Quando uma das deformaes pnnclpals e nula, diz-se que o corpo
sao.
I
em
um -
estado de deformao
P
ana:
l ~~ n
I
de
deformao
plana o cisalhamento puro, poisUm caso particu ar
I'
tem-se a equivalncia
l~ n - [ - g
n
1.6.6. Invariantes da deformao, deformaes odadricas, componentes
desviadores e hidrostticos
- d c - s [ e ) podem sofrer o mesmo
Em analogia com as ten?oes, as elormao:,
i i
r a Sec
1.5 .6),
tratamento. Assim, h invanantes da deformaao Ip I2, I3 _( ve D . ,
deformaes octadricas e
oc
,
(ver a Seco
1.5 .10 ),
deformaoes e etrvas, com-
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
22/42
Princpios de Metalurgia Mecnica
[;ij
J
I
J
2
J
3
1.6.7. A energia de deformao
Considere-se um cubo elementar que deformado por um tensor
e .
~e~ueno. _To~os os componentes de deformao sofrem alteraes co~ ~
eborma~o o corpo. O trabalho executado pelos componentes da tenso
so re as aces do cubo para realizar a deformao , por componente,
dW
=
a.de..
(1.46)
. ~odmo os componentes esto dados em notao matricial (ver a Sec 1 72)
Ivana,
e
1 a 6. Se o processo de deformao isotrmico e reversvei ; t~a~
balho e Igual ao aumento de energia livre dlj; e tem-se, por unidade de volume
dlj;
=
dW
= a.de;
Aplicando-se a lei de Hooke (ver a Seco 1.7):
dlj;
=
Cijcjd[;i
Integrando-se a Eq. 1.47 e sabendo-se que C
i
=C.
S e c o I . 7),
tem-se:
J Ji
(1.47)
(isso ser visto na
ou
I
I11~'i '~I 'r~i(l de deformao por unidade de volume ou o trabalho rever
VI l
OI~lIll1O
puru produzir uma deformao Cio -
(1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.45)
(1.48)
(1.49)
Elasticidade
43
1.7. ELASTICIDADE
I.7.1. A lei de Hooke
Um corpo slido, quando submetido a uma tenso, deforma-se. A elas-
ticidade e a plasticidade so duas reas da Mecnica que tm por objetivo
estudar o relacionamento entre deformaes e tenses. Estabelece-se uma
fronteira entre as duas reas: a elasticidade trata de deformaes integral-
mente recuperveis, isto , que desaparecem uma vez removida a tenso.
Um caso particular de comportamento elstico o que segue a lei de
Hooke. Observou-se, experimentalmente, que, para muitos corpos slidos
e para pequenas deformaes, tenses e deformaes eram proporcionais.
Chama-se a esses corpos de hookianos e so de especial importncia para os
metalurgistas, pois os metais se enquadram neste grupo.
Se um corpo est submetido a uma tenso uniaxial (caso de uma longa
barra de comprimento ( com peso na extremidade), a deformao
t'1{ _,
c
=e a tensao e
(5.
A lei de Hooke afirma:
[;=
S(5.
(1.50)
em que S a constante de proporcionalidade chamada submisso elstica.
A Eq. 1.50 pode ser posta sob a forma
(5
=
Cs,
(1.51)
em que C a rigidez elstica.
Caso o estado de tenses e deformaes seja geral (triaxial), as submisses
e rigidezes tm que ser modificadas. As Ses. 1.5 e 1.6 mostraram que as tenses
e deformaes so tensores de segunda ordem. Cada componente da deforma-
o est livremente relacionado com todos os componentes da tenso:
[;11 = SIIII(5II'+ S1112(512 + S
II13
0 13 + S1121(521 + SI 122(522 +
+ S1123(523 + S1131(531 + S1132(532
+ S1133(533
Em notao indicial:
(1.52)
ij = Sjkf Ok f
Da mesma maneira, tem-se
(5ij =Cijkf Gkf (1 .53)
H, no caso mais geral, 81 componentes da submisso e rigidez elsticas.
Como, na maioria dos casos (quando no h momentos de corpo), as
tenses e deformaes so tensores simtricos, tem-se:
C ijkf = C ijtk
e
C
ijkf
=
Cjikf
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
23/42
Princpios de Metalurgia Mecnica
gSlus ,igu.alda..des reduzem os 81 componentes para 36
c maneira similar a tensores de segund: d d fi .
quarta ordem pela lei de t c _ a or em, e me-se um tensor de
f ranslormaao
Ass im
os
81 .
rorrnam um tensor de quarta ordem se . , componentes Tijk(
T;jkf = eimejnekoefpTmnop. (1 .54 )
que::
r
agora provada essa premissa para as submisses, formando o
es-
,(I) (2) (3)
e ~ e
----+
a
----+
a.
As relaes
(I),
(2) e (3) so conhecidas:
Fazendo as
e;j = eidjfekf (I)
ekf
=
Skfmnamn
(2)
(Jmn = eo m epna~p . (3)
substituies necessrias:
Logo;
e~ - S' ,
I) - ijop(J 0P
S;jOP
=
eikejfeomepnSkfmn
(1 .55 )
Prova-se dessa maneira q S '
ao passar dos ei ue .
ijkf
e um tensor de quarta ordem. Tem-se
os eixos novos aos erxos velhos, '
Sjkf = e mie n/ oke PfS~nop.
Da mesma maneira, para a rigidez:
Cijkf = em
i
enje
ok
ept.( .. ,nop
(1.56)
1.7.2. Notao matriciaI
1
I
[ , , ,
e
l2
' J
SI
2
S6
2
Ss
e
21
e
22
e
23
= :>
I
I
[;31
e
32
e
33
2
e6
e
2
2
e4
I
1
2
es
2
S4
S3
EI8sticidade
45
Assim, de maneira
Sjkt = Smn
2
Sjk( = Smn
4 Sjkf = Smn
Usando um exemplo:
geral:
quando m e n so
I, 2
ou
3.
quando ou
m
ou
n
so 4, 5 ou 6.
quando ambas,
m
e
n,
so 4, 5 ou 6.
SII =Sllllall
+
SII12
a
l2
+
S
II13
0'13
+
SI1210'21
+
SI1220'22
+
+
S
I123
0'23
+
S
I131
0'31
+
S
I132
0'32
+
S
I133
0'33
SI
=
S1al
+
1/2
Sl60'6
+
1/2
SI
50S
+
1/2
S
J6
0'6
+
S
I2
0 2
+
+ 1/2S
14
0'4-+ 1/2 SISOs + 1/2 S
I4
0'4 + S
I3
0'3
. SI =
S
JjOj'
E, em geral,
(1.57)
Os 1/2 e 1/4 foram introduzidos para que a expresso, em notao ma-
tricial, se mantenha a mais simples possvel.
Para as rigidezes C
ijkf,
a mesma transformao pode ser feita, s que
no so introduzidos 1/2 e 1/4. Assim:
Cijkf
=
C
mn
para quaisquer m e n, e
ai
=
CijS .
A notao matricial permite exprimir as rigidezes e submisses como
matrizes 6 x 6.
S1
SI2 SI3 SI4 SIS
SI6
S21
S22 S23
S24 S2S S26
S31
S32
S33 S34 S3S
S36
S41 S42 S43
S44 S4S
S46
SSI SS2 SS3 SS4
s.;
SS6
S61 S62 S63
S64 S6S S66
O mesmo se aplica s rigidezes. Observa-se que os
Sij
no so os com-
ponentes de um tensor de quarta ordem e, portanto, no seguem a lei de trans-
formao para tensores de quarta ordem. Quando se deseja fazer a trans-
formao, necessrio retomar aos ndices tensoriais.
1.7.3. Simetria cristalina
Estudar-se- agora como se comportam os 36 componentes de C e S
para as diferentes classes cristalinas. Os componentes so 36 para o mais
geral dos casos. medida que sero introduzidas as diversas simetrias, haver
simplificao. Observa-se inicialmente que a elasticidade urna propriedade
centro-simtrica. Isso, em outras palavras, quer dizer: se os eixos de referncia
so transformaaos por uma operao de centro de simetria, ento os com-
ponentes de C e S se mantm inalterados. Isso facilmente provado a partir
da Fig. 1.26.
4
Princpios de Metalurgia Mecnica
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
24/42
Figura 1.26 - Operao de centro de simetria
I
, x
t
/
/
/
/
/
x ; ~ _ -------~_J_----_X2
I
I
I
I
I
I
I
I ,
t x J
Assim, pode-se, nesse caso, adotar a simbologia:
e e ta e ronec er
Vij
I - J
E, S;jkl
=
eimejnekoelp Smnop
S;jkl (- bim) (- b
jn
) (- b
ko
) (- s, p) Smnop
S;jkl = bimbj bko(jf p Smnop.
Logo:
Slll
=
SIII
S~
=
S1212'
etc.
Os diferentes sistemas cristalinos (ver o Capo 4 - 14 retculos de Bravais)
podem ser caracterizados exclusivamente por suas simetrias. A prova disso
transcende ao escopo deste l ivro e, portanto, no ser dada. Outros elementos
de simetria,,,que no o centro de simetria, impem condies aos componentes
de S e C, e \os eixos de simetria podem ser vistos na Fig. 1.27.
Figura 1.27 - Eixos de simetria e seus smbolos
O sete sistemas cristalinos podem ser distinguidos pelos eixos de rotao.
A n
ta o
de Hermann Maugin para os eixos de rotao acima : I, 2, 3, 4, 6.
Essas simetrias so derivadas de uma parte da Matemtica conhecida
1'01110 j
'oria dos grupos de pontos. Por essa razo a classificao s vezes
I
li
1 11 1 1 1 1 1 I
d 'grup de pontos. A Tab.
1.2
apresenta as operaes de simetria
1/
11I
dlIIIII'11I
os di ' rente sistemas de Bravais.
f
te s
ticidade
Tabela 1.2
7
Nmero mnimo de operaes de simetria nos diversos sistemas
Sistema Rotaes
Triclnico
Monoclnico
Ortorrmbico
Tetragonal
Rombodrico
Hexagonal
Cbico
Nenhuma
Uma rotao de segunda ordem
Duas rotaes de segunda ordem perpendiculares
Uma rotao de quarta ordem
Uma rotao de terceira ordem
Uma rotao de sexta ordem . .
Quatro rotaes de terceira ordem-diagonais do cubo
Existem basicamente dois mtodos para que se determinem o~ c~mp~-
nentes de S e C para os diferentes sistemas cristalinos. O que se faz e uma
transformao de eixos segundo as rotaes de simetria e estabelece-se que os
componentes no mudam.
Por inspeo direta, podem ser estudadas as rotaes
=
segunda e quarta
ordens. Assim, numa rotao de segunda ordem, que esta indicada na Fig.
1.28, tem-se:
Logo,
1
->
-1
2
->
- 2
3 -> 3
11->11; 22->22; 33->33; 12->12; 21->21;
13 --- + -13; 31 -> -31; 23 -> -23; 32 -> -32.
Em notao matricial:
1 -> 1
2- 2
3
->
3
4 -> -4
5 -+ -5
6 --- + 6
_. I
X3 =X3 I
X
/
,
,
,
,
/
. x ;
~-------Q-Y-/----~X2
X
Figura 1.28 -
R ot ao
de segunda ordem
49
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
25/42
Princpios deMeta/urgia Mecnica
1.0 0, t im-se a transformao (nas matrizes abaixo esto indicados s
11 lndic s):
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
=:>
44 45 46
55 56
66
Ii 12
13 -14 -15
16
22 23 -24 -25
26
33
-34 -35
36
44 45
-46
55 -56
66
Equacionando-se as duas matrizes acima, chega-se a
Ii 12 13
O O
16
22
23 O O 26
33
O O 36
44
45 O
55 O
66
Essa a configurao especial dos C e S para o sistema monoclnico.
Para os sistemas rombodrico e hexagonal necessrio usar-se um m-
todo analtico j que as transformaes no colocam os eixos em posio de
oposio e relaes simples no podem ser obtidas. Nesses casos, procede-se
da seguinte maneira:
a)
Executa-se a rotao de simetria, determinando-se os co-senos dire-
tores.
b)
Exprimem-se as tenses e deformaes, nos novos eixos, em termos
de tenses e deformaes nos eixos antigos.
J~.= f ikfjfJkf
Ij
c i j = fikfjfEkf
c) Usam-se agora as equaes:
(1.58)
(1.59)
(1.60)
(1.61)
1.60, ficando
Jij
=C
ijktEkf
cr;j
=
Cjkf I;~r
d) Agora, toma-se Eq. 1.58 e substituem-se os
Jkf
pela Eq.
com uma equao:
Jij
=
fi eij Cjk ,
Cu)
e)
Toma-se a Eq. 1.61 e substituem-se os E~f pelos valores da Eq.
Resulta uma equao da forma:
(1.62)
1.59.
(1.63)
1) Igualam-se agora as Eqs. 1.62 e 1.63. Havia a restrio inicial de que
a operao de simetria no alterava os componentes do tensor C ijkf,
correspondendo a C
ljkf
=
C ijkf
Tem-se
fi
fij, Cjkf,
C
kf)
=
f
.;
Cijkf,
Eu')'
I1I li/dedo
. d - xpresses da forma
Agrupam-se todos os coeficientes os Lj e tem-se e
f
C ) C
II
+ g2 (C
j
,
Cjkf) L k + ..,
=
O.
g
I ij, ijkf
I . .orno os Lj
' *
O ,
f
C ) = O , '
g2 (C
j
, Cjkf) = O ; . . .
g I ij ijkf
Podem-se assim relacionar os C ijkf . .
N
9 140-141 d as matrizes para os diferentes sistemas.
ye ,
as pp. , . . b
Por exemplo, para o sistema cbico tm-se (o mesmo se aplica as su -
m iss e s):
C
II
C
I2
C
I2
O
O
O
C
II
C
I2
O
O
O
C
II
O
O
O
C
44
O
O
(\ .64)
C
44
O
C
44
\.7.4. Relaes para materiais isotrpicos
Costuma-se tratar uma grande poro dos materjais con:o.isotrpic~s.
1S80
porque, em um metal, a orientao e
distr ibu i o
ale~tona. dos grao~
e sua forma conferem, muitas vezes, em escala macroscopica, es.sas propne
dades, Pode-se determinar a matriz elstica de um material isotropico exec~-
tando-se uma rotao arbitrria e afirmando-se que a, rigidez e submssao
elstica permanecem inalteradas. Parte-se do siste~a CUblCO(o ~n~o~r~pIC~
mais simplificado) e aplica-se uma rotao de 45 , como esta 10 ica o na
Fig. 1.29. As rotaes so dadas por
XI
x
2
x
3
X I
fi/2
j2;2
O
x' -J2/2
j2/2
O
2
X;
O
O
1
,
X3 = = X3 ,
X2
/~
,
/
/
/
/
/
/ o
/ 45
O J-.l----- X2
Figura 1.29 - Rotao de 45 em torno de Ox,
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
26/42
o
Princpios de ,.Ieta/urgia Mecnica
(l;1
= Cll;1 + C;2;2 + C;3;3 + ...
C ;j = C i,
(l;1
= Cll;1 + C
12
;2 + C
I3
;3'
Substituindo-se os
e;j:
(l;1
=CII
e
ll
Mas tem-se tambm
, I
(lll ='2(C
ll
ll
Tem-se o mesmo
Igualando-se:
I
2
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
27/42
Princfpias de Metalurgia Mecnica
Est,lo
dadas abaixo as expresses que relacionam tenso e deformao
puru
UI1I material isotrpico. O leitor poder deriv-Ias como exerccio.
I
1:1
=
SIIO I +
S120 2
+ SI
20 3
6
1
= E [0 1 - V(02
+
0 3)]
I
C2
= SI201 + SI
10 2
+
S
I2
0 3
6
2
=
E [0 2 - V(O I
+
03 )]
I
6
3 = SI201 + S120 2+ SI
10 3
ou c
3
=
E [0 3 - V(OI
+
0 2)]
(1 .74 )
I
64
= 2(SII -
S12)04
c
4
= G
0 4
I
66 = 2(SII -
S12)0 6
c
6
= G
0 6
Por sua vez, as tenses em funo das deformaes so:
01=Cllc
l
+CI2C2+CI2C3
0 2
= C
I2
C
I
+ C
ll
C
2
+ C
I2
c
3
0 3
=C
I2
c
I
+ C
12
c
2
+ C
ll
e
3
I
04 =
(C
II
-
C
12
) c
4
I
O s =2 (C
II
-C
12
)C
S
I
0 6=2
(CII-CI2)c6
0 1= (2 f . . 1 . + ,1.)c
l
+ ,1.C
2
+
,1 .e
3
0 2
=
,1 .e
l
+
(2 f. . 1 .
+ ,1.)C
2
+ ,1.C
3
0 3
= ,1.c
l
+ ,1.C
2
(2 f . .1 .
+ ,1.)c
3
(1.75)
A Tab. 1.3 apresenta as constantes elsticas para alguns metais. Os me-
tais policristalinos apresentados na Tab. 1.4, so caracterizados por isotropia
se no houver textura ou qualquer outro efeito metalrgico especial (por
exemplo, precipitao alinhada em uma direo).
1.7.5. Teoria da elasticidade
A elasticidade no se restringe a tratar das relaes entre tenses e defor-
maes. At agora no se falou em foras aplicadas ao corpo. E h tambm a
necessidade de compatibilidade entre as diversas deformaes. Assim, h trs
diferentes aspectos a considerar:
a) Equaes de equilbrio.
b)
Equaes de compatibilidade.
c) Condies de fronteira.
Na ausncia de acelerao e de momentos de corpo (equilbrio esttico,
Seco 1.5.1):
l.thl 'la
1.3 - Constantes elsticas de monocristais (unidades GPa) a tempera-
11 1 1
I umbiente (adaptada da Ref. 6)
Elc-
Estrutura
C
II
C
44
C
I2
C
33
C
66
C
73
C
I4
mento
.
Ag CFC 124,0 46,1 93,4
A e
CFC 108,2
28,5 61,3
Au CFC 186,0 42,0 157,0
Cbico-
diamante
1076,0 575,8 125,0
Ni
CFC
246,5
124,7 147,3
u CFC
168,4
75,4
121,4
W CCC 501,0
151,4
198,0
Co HDE 307,0 75,3 165,0 358,1
Zn HDE 161,0 38,3 34,2 61,0
Sn Tetrugonal 73,5 22,0
23,4
87,0
22,6 28,0
Te
Trigonal
70,0 23,1
Hg
Trigonal*
36,0
12,9 28,9
50,5
30.3
5,0
Tabela 1.4 - Mdulo volumtrico, de Young, de rigidez,
e coeficientes de Poisson para metais policristalinos puros
a 20C (adaptada da Ref. 7)
Metal
K (GPa) E (GPa) G (GPa)
v
AI 73,16 70,51 26,77 0,34
Ti 117,68
105,91
39,81 0,34
Nb 163,77 103,95 36,58 0,38
Cr
190,25 235,36
88,26 0,30
W 312,83 388,34 148,08 0,29
Mn 124,54 21,57 76,49 0,24
Fe 168,68 212,80 83,06 0,28
Co 183,38 200,06
74,82
0,31
Ni 183,38 201,04 76,98 0,31
Cu
137,29 122,58 45,50
0,34
Au 171,62 78,65 27,65 0,42
Sn 50,99
54,33 20,40
0,33
Sb
41,38 16,28 5,59 0,44
Ag
100,03
78,94
27,85 0,38
Princpios deMetalurgia Mecnica
II u Ir/o,'e
55
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
28/42
Um dos requisitos mais importantes a compatibilidade. A deformao
ti .ada elemento deve ser tal que a continuidade do corpo seja preservada.
Partindo-se da expresso geral para o tensor tenso, elas podem ser assim
determinadas:
_I
(O U
i
eu})
8_--+
J 2
OX } x,
Tm-se as diferentes expresses:
oU
1
6
eU
1
eU
2
8
11
;;- (1.7)
Y
12
=- + -
(1.79)
uX
1
eX
2
oX
1
_ oU
2
oU
3
oU
2
8
22
-;;- (1.77)
Y2 3
=-
+ -
(1.80)
uX
2
oX
2
oX
3
C
33
oU
3
(1.78)
Y
13
=3
ou
3
. (1 .81 )
oX
3
oX
3
oX
1
Combinam-se todas essas expresses em uma srie de equaes diferen-
ciais de tal maneira que a compa tibi li dade seja obedecida:
0
2
(1.76) 82
0
2
2 ->
(I. )
x
2
0
2
(1.77)
o 2 -> (1.83)
x
(1.82)
+
(1.83) -> (1.84)
Inserindo-se agora os valores das tenses (mediante o uso das Eqs. 1.75),
em funo das deformaes, para materiais isotrpicos, obtm-se para a
Eq. 1.86:
Sero
combinados os trs tipos de restries (equilbrio, compatibilidade,
111I \I.:ira) para um caso simplificado: deformao plana. Tem-se, neste caso,
8
1
1' 8
22
, 8
12
e 8
33
= Y
1
3 = Y3 3 = O .
s Eqs. 1.87 a 1.91 so identicamente nulas e resta s a 1.86. Ento,
I1 inspondo 'para tenses, resta s a Eq. 1.92.
, As condies de equilbrio so:
(1 (1 ' I. . . ,
+
a.)
=
O
(1.93)
0(1.93 )
02a 1 +02 a 2
= O
(1.95)
/1,\'1 oX
2
oX
1
ox f OX
1
OX
2
t11121+a2 2
=
0(1 .94 )
02a
22
02 a21
O
(1.96)
(1.94)
a:x;-
--+-_. =
tlX
1
oX
2
ox~ OX I0X2 .
Somando-se 1.95 e 1.96:
20
2
a1 2
=
(02
a
02
a2 2
)
OX
1
0X
2
-
o x f +
ox~ .'
Considerando agora a Eq. 1.74:
I
8
33
=/f
[a
33
- v(a
11
+a
22
) ; a
33
'1=v(a ll +a
22
)
Inserindo-se 1.98 na Eq. 1.92:
(1.97)
(1.98)
Princpios de Metalurgia Mecnica
t tnsttcidede
57
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
29/42
MIIS
\ .
O .
Ou
\7
2
(U
II
+ (
22
) = O . (1.99)
A soluo de um problema pela teoria da elasticidade consiste agora em
determinar (J 11' (J 12 e (J 2 2 por
mero
das Eqs. 1.93, 1.94 e 1.99, e aplicando as
condies de fronteira, isto , as cargas externas. Essa soluo envolve um
processarnento
matemtico bem elaborado, pois se trata de um sistema de
trs equaes diferenciais. A soluo desse problema foi feita por
Air y,
que
in trod uziu uma funo de tenso de Airy:
< 1 > =
j(x
l' X 2 e exprime as tenses em termos de deformaes)
Airy mostrou que sempre h uma funo tal que (na ausncia de gravi-
dade):
2
< t>
x~
2 < 1 >
U
22
=~
cX
Z
< 1 >
U
12
= ----.
ox
1
x
2
Essas equaes satisfazem s condies de equilbrio.
1.99:
U I I
(1.100)
Colocando-as em
\ 7
2
( V
2
< 1 =
O
V 4 < 1 >
= O .
(1.101)
Ent?o, se se encontrar uma funo < I > que satisfaa a Eq. I. 101, essa funo
perrmtira ~ue se obenham as tenses por meio das Eqs. I. 100, desde que ela
sa tisfa a
as
con di es
de fronteira essa funo < 1 > j foi determinada para
unia srie de situaes.
sumariamente apresentado o mtodo de se resolver a Eq. I. I01. Ela
chamada de equao bi-harmnica. A. soluo da forma:
< 1 > =;
+
a
1
1 /1
1
+
a
2
1 /1
2
+
Mas' os
1 /1 ;
tm que ser harmnicos:
\7 21/1 ; =
O .
A soluo uma funo de variveis complexas:
w = j(z) = u + ic,
em que
I
envolve as condies de Cauchy-Riemann*:
ler IT
Tx
2
~
SUGESTES PARA LEITURA
I ove, A. E. H. - The Mathematical Theory of Elasticity, Dover, Nova
Yo rk ,
1944.
-Timoshenko, S. e Goodier,
J.
N. - Theory of
Eastic ity.
McGraw-HilI,
Nova York, 1951.
'Dieter G. E. - Mechanical Metullurgy, McGraw-Hill, Nova York , 1963.
+So ko lniko ff , 1 . S. - Mathematical Theory of Elas tici ty, 2.
a
ed io ,
McGraw-Hill, Nova
York ,
1956.
~McClintok, F. A. e Argon, A. S. - Mechanical Behavior of Materiais ,
Addison- Wesley , Reading, M assach usetts, 1966.
Huntington , H. B. - The Elastic Constants of Crystals, Academic Press,
Nova Y ork, 1958.
7McGregor Tegart , W. J . - Elements of Mechanical Metallurgy , Mac-
Millan, Nova York, 1966.
ijWestergaard, H. M. - Theory of Elasticity and Plasticity, Dover, Nova
York, 1952.
Nye,
J.
F. - Physical Properties of Crystuls , Oxford University Press,
Londres, 1969.
Para se encontrarem as solues, consultar livros sobre equaes diferenciais.
59
/'/11 tieidade
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
30/42
2
l as t i c i dad e
2.1.
INTRODUO
Um material, ao ser solicitado mecanicamente, exibe em geral a seguinte
seqncia de respostas: deformao elstica, deformao plstica e fratura. O
Capo Iversou sobre a elasticidade e a teoria linear de elasticidade, em particular.
Este captulo tratar da plasticidade. Reveste-se o conhecimento da plastici-
dade de grande importncia porque
a) executa-se um nmero cada vez maior de projetos em que so aceitas,
por razo de economia, pequenas deformaes plsticas. Usa-se para tal a
teoria do projeto-limite
(theory of limit design).
Exemplos so os veculos espa-
ciais e os aeroplanos;
b)
importante conhecer as deformaes introduzidas na conformao
plstica dos materiais, como estampagem, laminao, extruso, usinagem,
ete.; e
c) uma teoria de plasticidade essencial melhor compreenso das de-
formaes dos materiais.
As primeiras contribuies teoria da plasticidade foram dadas por volta
de 1870 por Saint-Venant e von Mises para o estado de deformaes planas.
Aps um perodo de paralisao, novos avanos foram feitos por Hencky e
Prandtl no- ..ntimos trinta anos, tanto na teoria da plasticidade quanto nos
mtodos de soluo do estado de deformao plana. Tm sido tambm feitas
investigaes sistemticas visando determinao das leis da plasticidade para
estados complexos de tenso.
Os mtodos da plasticidade so os comumente empregados na anlise
da mecnica de corpos deformveis. A primeira etapa estabelecer as leis b-
sicas de deformao plstica com base em dados experimentais e, se possvel,
com o uso de conhecimentos da Fsica. Em uma segunda etapa, estabelece-se
um sistema de equaes que, resolvido, descreve a deformao plstica de
um corpo sob diversas condies. Um dos grandes problemas da plasticidade
reside na no-linearidade das leis principais e, conseqentemente, das equaes.
As dificuldades matemticas so, portanto, enormes e os mtodos clssicos de
soluo no so aplicveis. Logo, necessrio que se desenvolvam novos
mtodos de investigao e tcnicas de soluo.
So necessrias diversas hipteses simplificadoras para tornar o problema
uiuis tratvel:
a) Admite-se material isotrpico. _ .
b) Admite-se q.ie as deformaes sao independentes do tempo. _Logo;
I taxa de deformao no tem efeito sobre o estado final de defor~aao. H~
'asOs em que esta no se aplica e que so tratados pela vlscoplaStlCldade (a
Iluncia dos metais um exemplo). , ..
c) Admite-se que o material obedece lei de Hooke ~te o limite d:: ~scoa-
mcnto. Admitem-se tambm simplificaes na curva tensao-deformaao uma-
xial. Pode ser aceita uma das configuraes admitidas na Fig. 2.1
(b,
c,
d, e).
a
a
(e)
a
E
E
(a)
(b)
a
(d)
E
(e)
Figura 2.1 _ (a) Curva tenso-deformao real e (b-e) curvas tenso-deformao idealizadas
A configurao
(b )
conhecida como perfeitam~mte plstica. A~ defor-
maes elsticas so nulas assim como na confi,guraao(c). Quan~o. a defor,-
mao elstica admitida igual a zero, o corpo .ec~nhecldo como rgido. Esa
situao bem prxima da realidade para metais dteis ; ~estes, a ?efor~aao
elstica da ordem de 0,5 % enquanto a deformao plstica vai a 30 % ou
mais. Nos casos em que essa hiptese no pode ser formulada, ,usam-se as
fi
es
(d)
e
(e)
A configurao
(d)
chamada de elastoplasttca Ideal.
con Igurao. defo - I'
Uma equao do tipo Ludwick ' ou Hollornon+para as eformaes p asticas
seria mais representativa da realidade [Flg. ~.I
(a) ]
mas tornar~a o tratamento
matemtico do problema excessivamente complexo. GUlm~aes e Valena_no
Alves teceram comentrios sobre a natureza e as
limitaes
das equaoes
propostas 1-3. Elas so vistas no Capo 9.
Antes, porm, de se estudar a plasticidade, deve-se saber ex_atament~, para
um estado complexo de tenses, quando o corpo comea a escoar. Os metodos
para essa determinao so os critrios de escoamento.
i
O
Princpios de Meta/urgia Mecnica
P/osticidade
61
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
31/42
('lur~RIOS DE ESCOAMENTO
Um cri trio de escoamento, para que seja vlido e geral, deve poder ser
npli 'ad a qualquer estado de tenses. Se um corpo estiver submetido a uma
tcns
uniaxial (como em um ensaio de trao), o escoamento ocorrer
quando a tenso deixar de ser proporcional-deformao. Em estados com-
plexos de deformao entram os tensores, e a funo dos critrios de escoa-
mento a de prever o escoamento do corpo, conhecendo-se seu limite de
escoamento sob tenso uniaxial.
2.2.1. A critrio de tenso mxima (Rankine)
Segundo este critrio, o escoamento ocorre quando a tenso principal
mxima igual tenso de escoamento em trao ou compresso uniaxial.
Como
ento u}' (trao)
OJ
2
(2.4)
Essa tenso conhecida como tenso efetiva ou significativa (Eq.
1.29,
Seco 1.5.11.). Esse critrio foi proposto por Von Mises sem interpretao fisl~a.
Atualmente, comum aceitar que esse cri trio exprime o compone~t~ ?e dis-
toro de energia de deformao de um corpo. Baseado nesse cnteno, ~m
corpo escoa quando a energia de distoro em um estado
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
32/42
Pelas Eqs. 1.74 tem-se, para materiais isotrpicos,
I - 2v
G
I
+ G
2
+ G
3
=
E
(ai
+ a
z
+ l 3)'
Substituindo-se todos os
e ,
da expresso acima, segundo a Eq. 1.74, pelos
a j, resulta:
Basta agora aplicar-se a expresso a um estado complexo de tenses e a
um estado de tenses uniaxial (a I = a)' e a 2 = a 3 = O):
V
= a~ _ I-2v 2 _ . 2 (~)
. o 2E 6E a) ' - 'l 3E .
Fazendo-se
V = V~,
estabelece-se a condio de igualdade de energia
de deformao de dis toro:
2 ( I + V ) _ 1
(2 2 2
V
ay ~ - 2E
ai +
a2
+ (
3) - li
(C J la2 +
ala
3
+
a2(
3
) -
1 - 2v
- ~ (ai
+
a
2
+ (
3
)2
(2 .5)
Ora, as Eqs. 2.4 e 2.5 so idnticas. O critrio de von Mises excelente
pois s apresenta diferenas de tenses principais (ver a Eq. 2.4). '
2.2.5. Representao grfica e verificao experimental dos critrios
Ser dada a representao grfica dos dois critrios para um estado plano
de tenses
(a 3 ~ O).
Para o critrio de Tresca, caso
a I
e
a 2
tenham o mesmo
sinal, o escoamento ocorrer quando, .
al-O=a. ..
Por outro lado, caso eles tenham sinais opostos, tem-se
que
A Fig. 2.2 representa o hexgono do critrio de Tresca. As tenses tm
estar contidas nele para que no haja escoamento.
Para o critrio de von Mises ter-se-ia, para a., =
O ,
da Eq. 2.4:
fi
a =__ [(~_a)2 + (J2 + (J2J112
.r _
2
VI 2 2 I
2.6)
I
(2.7)
,
t
Esta a equao de uma elipse, que est representada na Fig. 2.2. Percebe-se
que o critrio de Tresca mais prudente que o de voo Mises.
Tenso
02
Elipse de
von Mises
Hexgono de
Tresca
Compresso -------,j---f--,,~--- ...enso
Compresso
Figura 2.2 - Critrios de escoamento para terrses planas
Tresca, ao estabelecer seu critrio; usou deformao plstica por extenso,
medindo as foras necessrias. H, porm, experincias que oferecem muito
maior preciso e que permitem uma verificao experimental mais precisa.
Uma dessas experincias foi realizada por Taylor e Quinney, em 1931, subm_e-
tendo um tubo de parede fina a um torque elstico e fazendo vanar a tensao
aplicada. Um elemento desse tubo est mostrado na Fig. 2.3. Pode-se deter-
minar as tenses principais como:
I ~
aI'
a
2
=2
a
~4-4--, r2,
logo
~
2
a - a
2
= 2 __ + ,2.
I.
4
t4 Princpios deMetalurgia Mecnica
J / 1 1 tlcidea
66
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33/42
Figura 2.3 - Elemento de parede de tubo
Aplicando-se o critrio de von Mises (Eq. 2.4):
(2.8)
Para o critrio de Tresca tem-se:
e
(2.9)
. A Fig. 2.4 mostra os dois critrios juntamente com dados experimentais
obtidos em cobre, alumnio e ao doce. E claro que o critrio de von Mises
mais realista.
0,6
O/Oy
0,4
Crit r io de Tresca
0,2
Dados experimentais
o
0,2
0,4
0,6
ritrios de Tresca e von Mises comparados com dados expe rimen tai s
l.3. TEORIA DA PLASTICIDADE
o
processo de deformao plstica irreversvel e a maior parte do tra-
hulho de deformao transformada em calor. As tenses no estado final de-
pendem do caminho seguido na deformao. Conseqentemente, as equaes
que descrevem a deformao plstica no podem ser relaes finitas que rela-
'ionam os componentes da tenso e deformao (como as equaes da elasti-
'idade linear); so equaes diferenciais no-integrveis.
Alguns autores dividem as teorias da plast icidade em duas classes: teorias
de escoamento e teorias de deformao. As primeiras relacionam a tenso com
1 1
variao de deformao. Elas consideram uma sucesso de incrementos infi-
nitesimais na distoro. Como as teorias de escoamento tratam da deformao
instantnea, so melhores para grandes deformaes. As teorias de deformao
relacionam a tenso com a deformao e visam a um mtodo de aproximao
para representar a histria da deformao. Elas relacionam a deformao
plstica total com a tenso final. So aplicveis nos casos em que o carrega-
mento proporcional, isto , quando se tem, aproximadamente,
2.3.1.
Teoria de Levy-von Mises escoamento
Por voltade 1870, Saint-Venant propusera que, para deformao planas,
os eixos principais dos incrementos de deformao (e no da deformao)
coincidiam com os eixos principais da tenso.
Levy , em 1870, e mais tarde von Mises , em 1913, estabeleceram uma
teoria para corpos rgidos idealmente plst icos
(E
=
CI J
e
(T,.
= constante).
As equaes podem ser postas sob a forma .
(2.10)
(2.11)
A. Eq. 2.10 diz que o desviador da tenso proporcional derivada em
relao ao tempo do desviador da deformao.
Esta equao no deve ser confundida com a lei de Newton para escoa-
mento viscoso. A semelhana apenas aparente pela natureza de
..
Uma forma
mais realista, que enfatiza o carter incremental da teoria,
(2.12)
A Eq. 2.12 generaliza resultados experimentais em carregamento complexo.
De acordo com as experincias, os incrementos dos componentes desviadores
6
Princpios de Metalurgia Mecnica
Plasticdade
-
7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade
34/42
de deformao so proporcionais aos respectivos componentes desviadores da
tenso. A Eq. 2.11 corresponde condio de constncia de volume, pois (ver
ec. \.6.3)
Como
e
(2.13)
A Eq. 2.13 requer que, se os componentes de um dos tensores tomado
em relao aos eixos principais, o outro tambm deve ser tomado. Em outras
palavras, os eixos principais do desviado r da tenso tm que ser paralelos aos
eixos principais dos incrementos de deformao. Para a determinao de X
necessrio introduzir as tenses e deformaes efetivas (ver Eqs. \.29 e 1.41).
Em um ensaio de trao uniaxial
ter-se- :
(2.14)
Como (J22
=
J33
=
O, tem-se, para (J~1 (ver Seco \.5.10),
2(J 11
(2.15)
3
Para tenso uniaxial tem-se, para a tenso efetiva,
Substituindo-se a Eq. 2.16 na Eq. 2.15:
(J~= ~
(Jef (2 .17 )
Para as deformaes (ver Eq.
\.41):
1 1 1 : . / , ; ; [ ( d e , - - d c Y +
( d e , -
d e
3
) 2
+ ( d c
2
-
d c 3 f )I 2 (2 .18)
Substituindo-se os valores correspondentes de d C 2 e d c
3
, admitindo-se
I' 0, (porque o regime de deformao plstico e o volume constante),
111111'1 \I , .:
(2.19)
Substituindo-se as Eqs. 2.17 e 2.19 na Eq. 2.14, obtm-se:
X
=~
(Jef .
3
de
ef
Substituindo-se a Eq. 2.20 na Eq. 2.13:
3 dCef ,
de., = - -- Jij
2 (Jef
A aplicao da Eq. 2.15 e similares na Eq. 2.21 resulta em:
. (2.20)
(2.21)
(2.22)
o
sistema das Eqs.
2.22
de grande importncia na anlise da deformao
plstica envolvida na conformao dos metais (processamento por deformao).
A similaridade entre as Eqs. 1.53 (forma geral da lei de Hooke para slidos
isotrpicos) e as Eqs. 2.12 podeser vista por comparao. A taxa dePoisson
substituda por 1/2,.0 valor correspondente no regime plstico. I/E subs-
titudo por
dCef/(J e
f : Esse parmetro obtido diretamente da curva tenso
efetiva
versus
deformao efetiva e corresponde ao inverso do coeficiente
angular. Assim, o correspondente exato de
l/E
para o regime plstico. H
tambm uma correspondncia entre 1 /2G (na Eq. 1.74) e 3/2 clej /(Jd (Eq. 2.22),
Ambos representam a resistncia do material di toro (ou' cisalhamento).
Na elasticidade, a relao entre G e E :
G =
E
2 (I
+ \.)
Para v = 0,5, tem-se
Princlpios de Metalurgia Meclnica
{,fllsr/cidade
69
-
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onseqentemente, h uma correspondncia total. Um modo alternativo
de obter-se os diferentes valores de dE fluef de uma relao de encruamento
tal qual a equao '
U er = K (E
eI
) .
onde K um parmetro.
Pod.e~se concluir que as equaes de Levy-von Mises so o equivalente
~a plasticidade, das equaes constitutivas da elasticidade para materiai~
ISOtropICOS.
2.3.2. Teoria de Prandtl-Reuss (escoamento)
. ~ teoria de Levy-von Mises foi mais tarde estendida para slidos elasto-
plsticos por Pran~t Io, para o estado de deformao plana, e por Reuss lI,para
o caso geral. Entao, quando as deformaes so pequenas, tem-se:
E = e,
+
Ep, (2.23)
em que.
e ;
e
Ep
so
OS
componentes elsticos e plsticos da deformao. Tem-se,
pela lei de Hooke (ver Seco 1.7.1),
(E~)i)'
=
_1_ U~ r ,
2G
I)
(2.24)
Admite-seque o componente plstico da deformao desviadora esteja
relacionado tenso desviadora por .
(2.25)
Admite-se qu.e a deformao plstica no contribui para alteraes
d~ volume. E.ssa hiptese uma boa aproximao da realidade, pois o coefi-
ciente de Poisson p~~sa d~ aproximadamente 0,3, na regio elstica, para
perto de 0,5, na regiao plstica para muitos metais. .
Diferenciando-se ambos os membros da Eq. 2.24, obtm-se
d (E~)ij =2~ dUl j '
(2.26)
Da Eq. 2.16:
(2.27)
lntr duzindo na Eq. 2.27 as Eqs. 2.25 e 2.26:
d(
') dt
I
I
8 I)= Ui j +
2G
dUl j '
(2.28)
Esta equao diferencial exprime a teoria de Reuss ' '. As deformaes
tenses no so necessariamente coaxiais nesta equao. A coaxialidade deve,
ou no, ser portanto parte do problema. Caso o problema real no exija coaxi-
lidade, a Eq. 2.28 no pode ser aplicada aos diversos componentes das tenses
deformaes principais, e sabe-se que equaes envolvendo tensores s tm
ignificado fsico se os tensores esto referidos a um mesmo sistema de eixos.
As equaes diferenciais representadas pela Eq. 2.28 so muito complexas,
mesmo nos casos de coaxialidade. A soluo s foi obtida at hoje para alguns
casos especficos. Deve-se lembrar, entretanto, que a teoria de Prandtl-Reuss
bem realista, levando em conta a persistncia das deformaes elsticas du-
rante o escoamento plstico: de fato, para pequenas deformaes plst icas, o
comportamento elstico no pode ser desprezado.
2.3.3. Teoria de Hencky (deformao)
Hencky'? props que, para pequenas deformaes, a Eq. 2.lO da teoria
de Saint-Venant-Levy-von Mises podia ser substituda pela relao entre os
componentes desviadores de tenso e deformao.
Assim
(2.29)
em que Gp varia de ponto a ponto e pode ser considerada, a ttulo de analogia
com a elasticidade, como um mdulo de cisalhamento plstico. As deformaes
elsticas' so desprezadas na Eq. 2.29. A hiptese de constncia de volume
implica que
E
=0 e
E
=
E
/
.
Conseqentemente, a Eq. 2.29 pode ser expressa
em termos das tenses e deformaes principais:
Definiu-se, por analogia com as equaes da elasticidade, um mdulo de
Hooke plstico Ep ' Tornou-se, para tal, o coeficiente de Poisson igual a 0,5.
Esta hiptese se aproxima bem da realidade. Ep em realidade varivel assim
como G
p .
A Fig. 2.5 mostra como
Ep
obtido: a razo entre a tenso e a
deformao efetivas (ver Seco 1.5.l0).
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I
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~
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. .. .
'
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