Departamento de Matematica da Universidade de Aveiro

ANALISE MATEMATICA I 2011/12

exame de epoca especial Duracao: 2h30

• Este teste consta de duas partes e termina com a palavra FIM, a que se seguea cotacao e um formulario. A soma das cotacoes das questoes da primeiraparte e de 15 valores, mas o maximo que um aluno podera ter com a resolucaode questoes dessa parte sao 12 valores. Para conseguir ter mais do que 12valores, o aluno devera responder tambem as questoes da segunda parte, aqual esta cotada para 8 valores. Em suma, designando por c1 a cotacao queo aluno obtiver na primeira parte e por c2 a cotacao que obtiver na segundaparte, a sua cotacao final sera obtida atraves da expressao min{c1, 12}+ c2.

• Todos os raciocınios devem ser convenientemente justificados.

1a parte

1. Faca o estudo completo (domınio de definicao, zeros, assıntotas, 1.a derivada, ex-tremos, intervalos de monotonia, contradomınio, 2.a derivada, pontos de inflexao,sentido da concavidade) e esboce o grafico da funcao dada pela expressao

f (x) = 3 +1

x− 2.

2. Calcule

(a)

∫tan2 x dx

(b)

∫1

x2 + 2x− 3dx

3. Determine a natureza (convergencia simples, absoluta ou divergencia) das seguin-tes series:

(a)∞∑n=0

sin(π2 + nπ)

n!

(b)

∞∑n=1

(−1)n1 + 2n

n2 + 4

(2a parte no verso)

1

2a parte

4. Determine a natureza de

(a)

∫ π/2

0

1

sinxdx

(b)

∞∑n=2

1

n(lnn)

5. Mostre que se (un)n∈N converge entao tambem a correspondente sucessao dosmodulos converge e limn→∞ |un| = | limn→∞ un|.(Sugestao: use a desigualdade | |a| − |b| | ≤ |a− b|, valida para quaisquer numerosreais a e b.).

6. A partir da definicao

xa := ea lnx, ∀x ∈ R+, a ∈ R,

e das regras de derivacao das funcoes exponencial ex e logarıtmica lnx , mostreque e valida a regra

(xa)′ = a xa−1, ∀x ∈ R+, a ∈ R.

FIM

Cotacao:

1. 5; 2.(a) 2,5; (b) 2,5; 3.(a) 2,5; (b) 2,5; 4.(a) 2; (b) 2; 5. 2; 6. 2.

Formulario:

sin2 x+ cos2 x = 1, tan2 x+ 1 = sec2 x, 1 + cot2 x = cosec2 x

∫secx dx = ln

∣∣∣ tan(x

2+π

4

)∣∣∣+ C

∫cosecx dx = ln

∣∣∣ tanx

2

∣∣∣+ C

Tipo de funcao Substituicao

R(sinx, cosx), com R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) t = tanx

R(sinx, cosx), com R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) t = cosx, dx = −1√1−t2 dt

R(sinx, cosx), com R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx) t = sinx, dx = 1√1−t2 dt

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