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Departamento de Matematica da Universidade de Aveiro
ANALISE MATEMATICA I 2011/12
exame de epoca especial Duracao: 2h30
• Este teste consta de duas partes e termina com a palavra FIM, a que se seguea cotacao e um formulario. A soma das cotacoes das questoes da primeiraparte e de 15 valores, mas o maximo que um aluno podera ter com a resolucaode questoes dessa parte sao 12 valores. Para conseguir ter mais do que 12valores, o aluno devera responder tambem as questoes da segunda parte, aqual esta cotada para 8 valores. Em suma, designando por c1 a cotacao queo aluno obtiver na primeira parte e por c2 a cotacao que obtiver na segundaparte, a sua cotacao final sera obtida atraves da expressao min{c1, 12}+ c2.
• Todos os raciocınios devem ser convenientemente justificados.
1a parte
1. Faca o estudo completo (domınio de definicao, zeros, assıntotas, 1.a derivada, ex-tremos, intervalos de monotonia, contradomınio, 2.a derivada, pontos de inflexao,sentido da concavidade) e esboce o grafico da funcao dada pela expressao
f (x) = 3 +1
x− 2.
2. Calcule
(a)
∫tan2 x dx
(b)
∫1
x2 + 2x− 3dx
3. Determine a natureza (convergencia simples, absoluta ou divergencia) das seguin-tes series:
(a)∞∑n=0
sin(π2 + nπ)
n!
(b)
∞∑n=1
(−1)n1 + 2n
n2 + 4
(2a parte no verso)
1
2a parte
4. Determine a natureza de
(a)
∫ π/2
0
1
sinxdx
(b)
∞∑n=2
1
n(lnn)
5. Mostre que se (un)n∈N converge entao tambem a correspondente sucessao dosmodulos converge e limn→∞ |un| = | limn→∞ un|.(Sugestao: use a desigualdade | |a| − |b| | ≤ |a− b|, valida para quaisquer numerosreais a e b.).
6. A partir da definicao
xa := ea lnx, ∀x ∈ R+, a ∈ R,
e das regras de derivacao das funcoes exponencial ex e logarıtmica lnx , mostreque e valida a regra
(xa)′ = a xa−1, ∀x ∈ R+, a ∈ R.
FIM
Cotacao:
1. 5; 2.(a) 2,5; (b) 2,5; 3.(a) 2,5; (b) 2,5; 4.(a) 2; (b) 2; 5. 2; 6. 2.
Formulario:
sin2 x+ cos2 x = 1, tan2 x+ 1 = sec2 x, 1 + cot2 x = cosec2 x
∫secx dx = ln
∣∣∣ tan(x
2+π
4
)∣∣∣+ C
∫cosecx dx = ln
∣∣∣ tanx
2
∣∣∣+ C
Tipo de funcao Substituicao
R(sinx, cosx), com R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) t = tanx
R(sinx, cosx), com R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx) t = cosx, dx = −1√1−t2 dt
R(sinx, cosx), com R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx) t = sinx, dx = 1√1−t2 dt
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