O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional Universidade Estadual de Ponta Grossa
ENI DE PAULA
ALGEOMETRIZANDO: A GEOMETRIA
NA RESOLUÇÃO DE P ROBLEMAS ALGÉBRICOS
PONTA GROSSA 2010
ENI DE PAULA
ALGEOMETRIZANDO: A GEOMETRIA
NA RESOLUÇÃO DE P ROBLEMAS ALGÉBRICOS
Produção Didático-Pedagógica – Unidade Didática desenvolvida como avaliação parcial no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG. Área: Matemática – Modalidade de Ensino: Educação de Jovens e Adultos – Fase II do Ensino Fundamental. Professor Orientador: Prof. Josnei Francisco Peruzzo
PONTA GROSSA
2010
SUMÁRIO
1. IDENTIFICAÇÃO 4
2. A INTERFACE DA ÁLGEBRA COM A GEOMETRIA 5
3. OFICINA DO ALGEOPLAN 6
3.1. Construção do Algeoplan 6
3.2. Codificação do Algeoplan 6
3.3. Montagem do Algeoplan 7
3.4. ATIVIDADE: Oficina do Algeoplan 10
4. SISTEMATIZANDO OS PRODUTOS NOTÁVEIS 12
4.1. ATIVIDADE: Produtos Notáveis 16
5. FATORAÇÃO 18
5.1. A fatoração no Algeoplan 18
5.2. Sistematizando o cálculo da Fatoração 20
5.3. ATIVIDADE: Fatoração 21
6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 23
6.1. A Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau no Algeoplan 24
6.2. Sistematização da Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau 28
6.3. ATIVIDADE: Representação Geométrica da Equação do 2º Grau 30
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 33
4
1. IDENTIFICAÇÃO
ÁREA: Matemática
PROFESSOR PDE - TITULADA: Eni de Paula
FORMAÇÃO: Mestrado em Filosofia
PROFESSOR ORIENTADOR IES: Josnei Francisco Peruzzo
NRE: Ponta Grossa
IES: Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: PROEDUSE – Centro de
Sócio Educação de Ponta Grossa – APED/Especial do CEEBJA – “Prof.
Paschoal Salles Rosa” – Ensino Fundamental e Médio de Ponta Grossa.
PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: Alunos do
PROEDUSE do Centro Sócio Educação de Ponta Grossa da Fase II do Ensino
Fundamental, na modalidade de Educação de Jovens e Adultos. Alunos estes,
que tenham aproveitamento de estudos por terem cursado a 7ª série do Ensino
Fundamental Regular, ou aqueles que estiverem no Bloco 5, ou seja, 5º registro
de nota da Fase II do Ensino Fundamental na modalidade de Educação de Jovens
e Adultos.
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2 . A INTERFACE DA ÁLGEBRA COM A GEOMETRIA
Visitando os teóricos matemáticos, percebemos que a álgebra
geométrica grega poderia ser utilizada como uma importante ferramenta, pois
propicia uma interessante interface entre a Álgebra e a Geometria.
A utilização de figuras planas como materiais manipuláveis para
representar concretamente o cálculo de área, perímetro, dimensões na resolução
de situações-problema que envolva as operações com polinômios, especialmente
os produtos notáveis, fatoração e a resolução geométrica da equação do 2º grau,
vem corroborar com o processo ensino-aprendizagem.
Acreditamos que
No momento que o aluno faz a leitura do problema e traduz para o desenho ou montagem, ele está desenvolvendo as regras e as fórmulas sem precisar delas, resolvendo apenas pelo cálculo geométrico, [...] pois é, neste momento, que o aluno percebe o significado de cada regra ou fórmula, tendo assim um aprendizado por inteiro da álgebra. [...] Através da álgebra geométrica podemos integrar os conteúdos de 7ª e 8ª séries do 1º grau, dando aos aluno condição de resolver um problema que envolva produtos notáveis, por exemplo, que por sua vez, vai resultar em um equação do2º grau, que será resolvida pelo cálculo geométrico [...]. (PAULA, 1998, p. 190 e 191)
Ao sistematizarmos a álgebra geométrica grega como ferramenta
na resolução de problemas, sentimos a necessidade de estruturar de uma forma
diferenciada a idéia subtrativa nos diversos cálculos algébricos, para deixar a sua
representação geométrica mais clara e significativa para o aluno.
Autora
6
3. OFICINA DO ALGEOPLAN
A denominação Algeoplan é o resultado da adição das iniciais das
palavras: álgebra + geometria + plana. A sua montagem acontece como se
fossem um quebra cabeça. Ela deve ser registrada, esse registro “desenho” nós
chamaremos de representação geométrica.
3.1. Construção do Algeoplan
Com auxílio de lápis e régua, desenhe em uma placa de EVA as
figuras propostas abaixo e recorte:
• 5 quadrados com 10 cm de lado = quadradão;
• 100 quadrados com 1 cm de lado = quadradinho;
• 20 retângulos com 10 cm de comprimento e 1 cm de largura = tira.
Guarde as peças de seu algeoplan em um pacote.
3.2. Codificação do Algeoplan
Na codificação do algeoplan utilizaremos como código o valor da
área ou superfície de cada figura plana que o compõem.
Quadradão – quadrado com medida x de lado, com área ou superfície igual a x².
Tira – retângulo com medida x de comprimento e 1 de largura, com área ou
superfície igual a x.
Quadradinho –quadrado com medida 1 de lado, com área ou superfície igual a 1.
7
3.3. Montagem do Algeoplan
Na montagem do algeoplan desenvolve-se o cálculo geométrico.
Essa montagem se dá com a aplicação da ideia aditiva, a ideia subtrativa, a ideia
aditiva e a ideia subtrativa simultaneamente dependendo da situação-problema.
Nessa montagem do algeoplan a primeira camada sempre será positiva, a
segunda negativa, a terceira positiva e assim por diante, deixando bem claro,
quais são os termos positivos e os termos negativos. Em toda situação-problema
deve acontecer o registro dessa montagem, ou seja, a sua representação
geométrica. A solução da situação-problema proposta se dá pelo cálculo
geométrico, ou seja, a soma algébrica das áreas das figuras utilizadas, compondo
assim a sua expressão algébrica.
Ideia aditiva – as peças que representam os termos positivos
devem ser posicionadas uma do lado da outra. O registro da representação
geométrica é o desenho, que deve expressar a mesma disposição da montagem. A
quantidade de peças utilizadas é igual ao coeficiente de cada termo da operação.
Ideia subtrativa – primeiramente posicionam-se as peças que
representam os termos positivos, uma do lado da outra. Em seguida, posicionam-
se as peças que representam os termos negativos, as quais devem sobrepor às
peças que representam os termos positivos, para representar a diminuição da área
ocupada. Observe na montagem do algeoplan que a primeira camada é positiva, a
segunda negativa, a terceira positiva.
8
Como por exemplo: Aplicando a Ideia Aditiva:
Um terreno tem de comprimento x + 3 e de largura x + 2.
a) Com auxílio do algeoplan, represente geometricamente esse terreno.
b) Faça a representação geométrica da montagem do algeoplan.
c) Utilize o cálculo geométrico para determinar a área desse terreno?
Solução
a) Montagem do algeoplan.
b) Representação Geométrica do Algeoplan.
c) Área do terreno.
O cálculo geométrico da área total se dá pela soma algébrica dos termos
semelhantes e a organização da expressão algébrica de forma decrescente.
Logo, a área desse terreno é de x² + 5x + 6.
x
1
x² x
x
x
1
x
1
x 1
x 1 1 1
1 1 1
1
x + 3
x + 2
+3x
+2x
x²
+6
9
Como por exemplo: Aplicando a Ideia Subtrativa:
Um terreno tem de comprimento x – 3 e de largura x – 2.
a) Com auxílio do algeoplan, represente geometricamente esse terreno.
b) Faça a representação geométrica da montagem do algeoplan.
c) Utilize o cálculo geométrico para determinar a área desse terreno?
Solução
a) Montagem do algeoplan.
b) Representação Geométrica do Algeoplan.
Para fazer o esboço (desenho) da montagem do Algeoplan. Desenhe o quadradão
maior para poder deixar uma borda ao desenhar as tiras negativas horizontais ou
verticais no seu interior
c) Área desse terreno.
O cálculo geométrico da área total se dá pela soma algébrica dos termos
semelhantes e a organização da expressão algébrica de forma decrescente.
Logo, a área desse terreno é de x² - 5x + 6.
x²
x
x - 3
-3x
-2x +6
x - 3
x - 2
x²
+6 -2x
-3x
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3.4. ATIVIDADE: Oficina do Algeoplan
1) Um terreno tem de comprimento x – 3 e de largura x + 2.
a) Com auxílio do algeoplan, represente geometricamente esse terreno.
b) Faça a representação geométrica da montagem do algeoplan.
c) Utilize o cálculo geométrico para determinar a área desse terreno?
d) Qual idéia foi utilizada na sua resolução? Argumente.
2) Resolva as operações utilizando a representação geométrica e o cálculo
geométrico.
A) (x + 2)² =
B) (a + b)² =
C) (x – 2)² =
D) (a – b)² =
E) (x + 2) (x – 2) =
F) (a + b) (a – b) =
3) Discutindo as operações realizadas no exercício 2.
Antes de responder, observe as representações geométricas/cálculos geométricos.
a) Cite as figuras geométricas foram utilizadas nas representações geométricas
com suas áreas respectivamente.
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b) Complete a tabela abaixo com a classificação das expressões algébricas.
Ex.1 Expressão Algébrica Classificação algébrica
A
B
C
D
E
F
c) O que representa o número 2 sobrescrito fora dos parênteses nas questões A,
B, C e D?
d) Qual operação que está representada entre os parênteses das questões E e F?
e) O que significa elevado ao quadrado?
f) Qual figura geométrica representa a potência 2?
h) Quais figuras geométricas representam a expressão algébrica das questões do
exercício 2?
i) Em quais questões do exercício 2, a figura do quadrado representa o seu
cálculo geométrico?
12
4. SISTEMATIZANDO OS PRODUTOS NOTÁVEIS
Na multiplicação de binômio por binômio podemos obter como
produto um binômio ou um trinômio. Quando a figura plana que representa a
expressão algébrica de uma área for um quadrado, dizemos que estamos
trabalhando com um quadrado perfeito, neste caso esta expressão algébrica se
classifica como um trinômio, isto é, um Trinômio do Quadrado Perfeito.
Existem alguns cálculos que apresentam certa regularidade, os
Produtos Notáveis. Dentre eles:
• o quadrado da soma;
• o quadrado da diferença;
• o produto da soma pela diferença.
Quadrado da Soma – É a multiplicação de um binômio do tipo
(a + b) por ele mesmo e a figura plana que representa a sua área total na
representação geométrica é um quadrado.
Faça a representação geométrica de (a + b)² =
Vamos discutir essa representação geométrica.
a) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do
primeiro termo?
b) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
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c) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do
segundo termo?
d) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
e) Qual foi o próximo procedimento?
f) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
Acabamos de desenvolver o conceito do Quadrado da Soma, para
sistematizarmos esse conceito basta escrevermos os procedimentos de sua
montagem, transformando-os na seguinte regra:
“O Quadrado da Soma é igual ao quadrado do primeiro termo
mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do
segundo termo”.
Vamos testar os seus conhecimentos?
Resolva as operações algébricas, aplicando a regra do quadrado da soma:
1) (x + 3)² =
2) (a + 2)² =
3) (2x + 4)² =
Quadrado da Diferença – É a multiplicação de um binômio do
tipo (a - b) por ele mesmo e a figura plana que representa a sua área total na
representação geométrica é um quadrado.
Faça a representação geométrica de (a - b)² =
14
Vamos discutir essa representação geométrica.
a) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do
primeiro termo?
b) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
c) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do
segundo termo?
d) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
e) Qual foi o próximo procedimento?
f) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
Acabamos de desenvolver o conceito do Quadrado da Diferença,
para sistematizarmos esse conceito basta escrevermos os procedimentos de sua
montagem, transformando-os na seguinte regra:
“O Quadrado da Diferença é igual ao quadrado do primeiro
termo menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado
do segundo termo”.
Vamos testar os seus conhecimentos?
Resolva as operações algébricas, aplicando a regra do quadrado da soma:
4) (x - 3)² =
5) (a - 2)² =
6) (2x - 4)² =
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Produto da Soma pela Diferença - É a multiplicação de um
binômio do tipo (a + b) por outro do tipo (a - b) e a figura plana que representa a
sua área total na representação geométrica é um retângulo.
Faça a representação geométrica de (a + b) (a - b) =
Vamos discutir essa representação geométrica.
a) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do
primeiro termo?
b) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
c) Qual foi o procedimento na montagem da representação geométrica do
segundo termo?
d) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
e) Qual foi o próximo procedimento?
f) Qual figura geométrica representa esse procedimento?
Acabamos de desenvolver o conceito do Produto da Soma pela
Diferença, para sistematizarmos esse conceito basta escrevermos os
procedimentos de sua montagem, transformando-os na seguinte regra:
“O Produto da Soma pela Diferença é igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.
Vamos testar os seus conhecimentos?
Resolva as operações algébricas, aplicando a regra do quadrado da soma:
7) (x + 3) ( x - 3) =
8) (a + 2) (a - 2) =
9) (2x + 4) (2x - 4) =
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4.1. ATIVIDADE: Produtos Notáveis
1) Para montarmos um laboratório de informática necessitamos de uma sala
quadrada.
a) Com auxílio do algeoplan, faça sua representação geométrica.
b) Qual deve ser a medida dos lados dessa sala?
2) Gostaria de aumentar em 3m a medida do lado de um jardim de forma
quadrada.
a) Com auxílio do algeoplan, faça sua representação geométrica.
b) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?
c) Aplique a propriedade distributiva nas dimensões desse jardim?
d) Esta situação problema pode ser classificada como produtos notáveis?
( ) Não ( ) Sim Qual?
e) Aplique a sua regra nas dimensões desse jardim?
f) Compare e justifique as soluções das questões 'b', 'c', 'e'.
3) Em um barracão de exposição existe um espaço central vazio, de forma
quadrada. Gostaria de aproveitá-lo, montando uma sala de exposição de
artesanato. Preciso deixar um corredor de 2 m de largura em cada lado para a
circulação dos visitantes.
a) Com auxílio do algeoplan, faça sua representação geométrica.
b) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida do lado dessa
sala?
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d) Aplique a propriedade distributiva nas dimensões dessa sala?
e) Esta situação problema pode ser classificada como produtos notáveis?
( ) Não ( ) Sim Qual?
f) Aplique a sua regra nas dimensões desse jardim?
g) Compare e justifique as soluções das questões 'b', 'd', 'f'.
4) Uma costureira tem um pedaço de tecido quadrangular para fazer uma toalha
de mesa retangular, desta forma, ela corta uma tira de um lado do tecido e costura
no outro.
a) Com auxílio do algeoplan, faça sua representação geométrica.
b) Quais são as expressões algébricas que representam as medidas de suas
dimensões?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?
d) Aplique a propriedade distributiva nas dimensões dessa toalha?
e) Esta situação problema pode ser classificada como produtos notáveis?
( ) Não ( ) Sim Qual?
f) Aplique a sua regra nas dimensões dessa toalha?
g) Compare e justifique as soluções das questões 'c', 'd', 'f'.
5) Uma sala de espera tem área igual a (x² - 4).
a) Com auxílio do algeoplan, faça sua representação geométrica.
b) Qual é a figura plana que representa a sua área?
c) Qual expressão algébrica que representa a medida de seu lado?
d) Qual é a área dessa sala se x for igual a 10 m?
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5. FATORAÇÃO
Fatoração = divisão. Operação inversa da multiplicação.
Na multiplicação, temos as medidas das dimensões da figura plana
que são os fatores, ao efetuarmos o seu produto, obteremos uma expressão
algébrica que representa a sua área.
Na fatoração a expressão algébrica representa a área da figura plana
e precisamos determinar as medidas das dimensões dessa figura.
5.1 A fatoração no Algeoplan
Agora temos uma expressão algébrica que representa a área da
figura a ser montada no algeoplan.
Para utilizar o algeoplan na fatoração:
1º) Separe as peças referente a expressão algébrica citada na
situação-problema.
2 º) Monte com estas peças uma figura plana, que pode ser um
quadrado ou um retângulo.
� O segundo termo da expressão algébrica é a soma algébrica das áreas
referentes as tiras horizontais (linhas) e as tiras verticais (colunas).
� O terceiro termo da sentença algébrica é o resultado do preenchimento
com quadradinhos das tiras horizontais (linhas) e das tiras verticais
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(colunas), isto é, o produto das linhas pelas colunas, sejam elas positivas
ou negativas. Precisamos trabalhar com esses dois termos juntos.
3º) Verifique as sentenças algébricas que representam suas
dimensões.
Vamos visualizar este processo.
Como por exemplo:
Uma horta com área x² - x - 6. Quanto mede as suas dimensões?
Trabalhando com o algeoplan.
Separe as peças que representam os termos desse trinômio;
� pegue um quadradão que tem área de x².
Discussão do segundo termo do trinômio (-x).
� Esse termo representa a soma algébrica das tiras horizontais (linhas) e
das tiras verticais (colunas) utilizadas, ele é negativo, isto é, indica que
temos dois valores algébricos com sinais diferentes, sendo que o maior
é negativo;
Discussão do terceiro termo do trinômio é (-6),
� Esse termo representa a quantidade de quadradinhos necessária para o
preenchimento das tiras horizontais (linhas) e o das tiras verticais
(colunas), isto é, o produto das linhas pelas colunas.
� Preencha as linhas e colunas com quadradinhos. Quantos
quadradinhos serão necessários para completar as linhas e colunas?
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� O contorno representa a área dessa horta.
Verifique a medidas de suas dimensões?
A solução é representada pelas medidas das dimensões desse
retângulo.
Solução: O seu comprimento mede (x+2) e a sua largura tem como medida (x-3).
5.2. Sistematizando o cálculo da Fatoração
Pense em dois números que multiplicados dá (-8) e somados dá (+2). Quais são
esses números?
Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
Interpretando o enunciado: Pense em dois números ...
� Esses dois números são valores desconhecidos, então, para representá-los
vamos utilizar o quadradão de lado x.
� A soma algébrica dos números é representada pelas tiras, neste caso,
precisamos duas quantias onde a sua soma algébrica seja (+2), de forma
que o maior seja positivo.
x² +x
-x
-x
-x
+x
-1 -1
-1 -1
-1 -1
x + 2
x - 3
21
� E o produto dos números é representado pela quantidade necessária de
quadradinhos para completar essa figura, isto é, para um produto igual a
(-8), um deles deve ser negativo.
Testando os valores encontrados:
� Então:
+=−++−=−+
)2()2()4(
)8()2).(4(
Solução: Esses números são (-2); (+4). Ou simplesmente S = { -2; +4}.
5.3. ATIVIDADE: Fatoração
1) Um cartaz com área igual x² + 4x + 4.
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura plana representa a sua área?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de suas
dimensões?
2) Uma quadra de esportes tem uma área de x² - 7x + 12.
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura plana representa a sua área?
x + 4
x - 2
x² +x
-x
-x
+x
-1 -1
-1 -1
+x +x
-1
-1 -1
-1
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c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de suas
dimensões?
3) Uma placa de publicidade tem uma área de x² - 3x - 10.
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura plana representa a sua área?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de suas
dimensões?
4) Uma sala tem área igual: x² – 4.
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual é a forma da sala e a expressão que representa as suas dimensões?
c) Qual será a área da sala se x for 10 m?
5) Dividindo a área de um retângulo por sua largura, vamos obter o seu
comprimento.
Se o polinômio (2x² + 7x - 15) indica a sua área e (x – 5) a sua largura.
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica?
b) Qual é o polinômio que representa a medida de seu comprimento?
6) Pense em dois números que multiplicados dá (-15) e somados dá (-8). Quais
são esses números?
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Quais são esses números?
23
6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Quando utilizamos o termo montão para representar certa quantia
ou certa quantidade, normalmente na álgebra representamos por uma letra. A
letra mais utilizada é o x, isso não quer dizer, que não possamos utilizar outra
letra qualquer ou mesmo outro símbolo.
Estas letras ou símbolos dependendo do contexto elas são
chamadas de variáveis ou incógnitas.
Variáveis ou Incógnitas
Vamos utilizar uma pergunta bastante costumeira e que para
algumas pessoas se torna desagradável.
� Quantos anos você tem?
Muitas pessoas não gostam de responder esta pergunta.
Pessoa 1 – Se você é uma dessas pessoas, sugiro que responda por
a estimativa, veja a idade da pessoa que lhe fez a pergunta e acrescente x.
� Suponha que a pessoa tenha uns 17 anos, então diga:
“Eu tenho 17 anos mais x”.
Com certeza se sua idade for visivelmente maior do que esta vai
ser uma risada só, em seguida, pergunte a pessoa: Será que eu nunca tive 17
anos? E acrescente: o x fica por sua conta.
24
Neste caso, temos uma sentença algébrica e o valor desconhecido
é uma variável, pois, x pode assumir mais do que um valor.
Pessoa 2 – Se você é uma pessoa que não se incomoda em revelar a
sua idade, e gosta de fazer o seu interlocutor pensar, lhe sugiro que responda
utilizando a estimativa da idade da pessoa que lhe fez a pergunta acrescentando x
igualando a sua idade real.
� Suponha que a pessoa tenha uns 17 anos, então diga:
“Eu tenho 17 anos mais x igual a cinquenta”
Neste caso, temos uma equação algébrica e o valor desconhecido
é uma incógnita, pois, x só pode assumir um valor, aquele que satisfaça a
equação algébrica.
Como já vimos às sentenças algébricas são classificadas, quanto a
sua quantidade de termos e o grau. Logo, uma sentença algébrica de 2º grau
dependendo do contexto será uma expressão algébrica de 2º grau ou uma
equação algébrica do 2º grau.
6.1. Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau no Algeoplan
Toda a equação do 2º grau do tipo ( ax² + bx + c = 0), tem duas
soluções para x, ou seja, duas raízes, uma positiva e outra negativa. Agora,
vamos trabalhar apenas com a raiz positiva.
Para calcularmos esse valor precisamos fatorar = decompor
separadamente os membros dessa equação do 2º grau.
25
02 =++ cbxax
1º membro 2º membro
Fatorar o 1º membro – com o auxílio do algeoplan, faça a
representação geométrica da expressão algébrica que representa a área da figura
proposta, determinado assim, as sentenças algébricas que representam as suas
dimensões.
Fatorar o 2º membro – significa encontrar os pares de fatores que
tenha como produto o valor da área da figura proposta.
Em seguida, igualar as sentenças algébricas que representa suas
dimensões com cada um dos pares dos fatores que representam o valor da sua
área. Determinando assim, os valores de x ou a raiz positiva dessa equação do 2º
grau.
A solução da situação-problema será dada pela substituição do
valor de x nas expressões algébricas que representam as suas dimensões.
Observação importante: Quando no enunciado da situação-
problema não citar o valor da área, nos igualamos à equação do 2º grau a zero.
Como por exemplo:
Um canteiro de girassóis é representado pela expressão x² + x – 6.
Considerando que sua área é igual a 14 m².
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse
canteiro?
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b) Iguale essa expressão algébrica com a área dada.
c) Essa igualdade transforma a expressão algébrica em:
d) Qual é o grau dessa equação algébrica?
e) Então, ela se chama:
f) Faça a representação geométrica do 1º membro.
Vamos resolver juntos?
Faça a montagem do seu algeoplan, ao ler o texto.
O coeficiente de x² é (+1), então, precisamos de 1 quadradão para
representá-lo.
O coeficiente de x é (+1) e o termo independente é (-6).
Então, precisamos encontrar dois números que somados de (+1) e
multiplicados (-6).
Logo, esses números devem ter sinais diferentes e o maior ser
positivo.
Com auxílio do algeoplan, podemos montar a figura por tentativas,
isto é, precisamos ter uma soma algébrica (+1), ou seja, uma tira positiva.
Relembrando, na soma algébrica uma tira negativa anula uma tira
positiva. E os quadradinhos servem para completar as linhas e colunas da figura.
Desta forma, vamos colocando tiras positivas e tiras negativas até
precisarmos completar as linhas e colunas com 6 quadradinhos, os quais
representam o termo independente (-6), isto significa, a multiplicação entre a
quantia de tiras horizontais (linhas) pela quantia de tiras verticais (colunas).
27
Analisando a representação geométrica do 1º membro. Utilizamos:
� um quadradão que representa x²
� os 3 tiras positivas e 2 tiras negativas, sendo:
� +3x -2x = +x
� (+3).(-2) = (-6)
Completamos assim, representação geométrica do 1º membro.
g) Quais são as sentenças algébricas que representam as suas
dimensões?
h) Qual é o valor que representa a área desse canteiro?
i) Quais são os pares de fatores que tem como produto a área desse
canteiro?
Você deve estar pensando: “Até aqui eu sei tudo.”
Então, preste atenção! Vamos dar continuidade ao
desenvolvimento do conhecimento algébrico.
j) Calcule as dimensões desse canteiro.
Para calcular as dimensões desse canteiro, precisamos descobrir o
valor para x, ou seja, a raiz positiva dessa equação do 2º grau.
x
-1
x²
-x
x + 3
x - 2
x x
-1 -1
-x -1 -1 -1
28
Então, iguale as sentenças algébricas que representam as dimensões
do canteiro com cada um dos pares dos fatores que tem como produto a sua área.
A solução da situação-problema será dada pela substituição do
valor de x nas expressões algébricas que representam as suas dimensões.
6.2. Sistematização da Resolução Geométrica da Equação do 2º Grau
Vamos retomar a situação-problema para sistematizar o processo.
Um canteiro de girassóis é representado pela expressão x² + x – 6.
Considerando que sua área é igual a 14 m².
j) Calcule as dimensões desse canteiro.
� Fatorar separadamente o 1º e o 2º membro da Equação do 2º
grau.
1º membro
Sentença algébrica que representa a área do
canteiro.
2º membro
Área do canteiro
x² + x – 6 = 14
Com auxílio do algeoplan faça a representação
geométrica para determinar as sentenças
algébricas que representam suas dimensões.
Encontre os pares de
fatores como produto
igual a área.
Comprimento (x + 3)
Largura (x – 2)
(14, 1)
(1,14)
(2,7)
(7,2)
� Igualar as sentenças algébricas que representa as dimensões do
canteiro com cada um dos pares dos fatores obtidos.
29
(14,1) (1,14)
Comprimento Largura Comprimento Largura
x + 3 = 14
Subtraindo 3 em
ambos os membros,
temos:
x + 3 – 3 = 14 – 3
x = 11
x – 2 = 1
Adicionando 2 em
ambos os membros,
temos:
x – 2 + 2 = 1 + 2
x = 3
x + 3 = 1
Subtraindo 3 em
ambos os membros,
temos:
x + 3 – 3 = 1 – 3
x = (-2)
x – 2 = 14
Adicionando 2 em
ambos os membros,
temos:
x – 2 + 2 = 14 + 2
x = 16
Solução: Falsa Solução: Falsa
(2,7) (7,2)
Comprimento Largura Comprimento Largura
x + 3 = 2
Subtraindo 3 em
ambos os membros,
temos:
x + 3 – 3 = 2 – 3
x = (-1)
x – 2 = 7
Adicionando 2 em
ambos os membros,
temos:
x – 2 + 2 = 7 + 2
x = 9
x + 3 = 7
Subtraindo 3 em
ambos os membros,
temos:
x + 3 – 3 = 7 – 3
x – 2 = 2
Adicionando 2 em
ambos os membros,
temos:
x – 2 + 2 = 2 + 2
Solução: Falsa Solução: Verdadeira
De posse do valor de x, ou seja, a raiz positiva da Equação do 2º
Grau pode calcular as dimensões do canteiro de girassóis. Substitua o valor de x
nas sentenças algébricas que representam as dimensões do canteiro.
Comprimento (x +3) para x = 4 Largura (x – 2) para x = 4
C = x +3
Substituindo na equação o valor de x
C = 4 + 3
L = x – 2
Substituindo na equação o valor de x
L = 4 – 2
x = 4 x = 4
L = 2m C = 7m
30
Analisando a validação dos valores encontrados para as dimensões.
Geometria Álgebra
Calcule a área da figura. Substitua o valor de x na equação do 2º Grau.
A = C . L
A = 7 . 2
x² + x - 6 = 14
4² + 4 - 6 = 14
16 + 4 - 6 = 14
A solução da situação-problema será dada pela substituição do
valor de x nas expressões algébricas que representam as suas dimensões.
Solução: As dimensões desse canteiro são de 7m de comprimento e 2 m de
largura.
6.3. ATIVIDADE: Representação Geométrica da Equação do 2º Grau
1) Uma casa tem a área representada pela expressão algébrica (x² + 8x + 16).
Sendo que sua área é de 64 m².
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura geométrica que representa a sua área?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de seu lado?
d) Quais são os pares de fatores que tem como produto a sua área.
e) Calcule x para esta equação do 2º grau.
f) Qual é a medida do lado dessa casa?
A = 14 m² 14 = 14
31
2) Uma sala tem a área representada pela expressão algébrica (x² - 5x + 6). Sendo
que sua área é de 30 m².
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura geométrica que representa a sua área?
c) Quais são as expressões que representam as medidas de suas
dimensões?
d) Quais são os pares de fatores que tem como produto a sua área.
e) Calcule x para esta equação do 2º grau.
f) Quanto vale as suas dimensões?
3) Um terreno tem a área representada pela expressão algébrica (x² - 9). Sendo
que sua área é de 81 m².
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura geométrica que representa a sua área?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de seu lado?
d) Quais são os pares de fatores que tem como produto a sua área.
e) Calcule x para esta equação do 2º grau.
f) Qual é a medida do lado desse terreno?
4) Um jardim tem a área representada pela expressão algébrica (x² + 4x - 21).
Sendo que sua área é de 60 m².
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura geométrica que representa a sua área?
32
c) Quais são as expressões que representam as medidas de suas
dimensões?
d) Quais são os pares de fatores que tem como produto a sua área.
e) Calcule x para esta equação do 2º grau.
f) Quanto vale as suas dimensões?
5) Uma faixa de publicidade tem a área representada pela expressão (x² + 5x).
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura geométrica que representa a sua área?
c) Quais são as expressões que representam as medidas de suas
dimensões?
d) Calcule x para esta equação do 2º grau.
e) Quais são as medidas de suas dimensões?
6) Uma tampa de uma caixa tem como medidas de suas dimensões (x - 3) de
comprimento e (x + 2) de largura. Sabendo que sua área é de 24 cm².
a) Com auxílio do algeoplan, faça a sua representação geométrica.
b) Qual figura geométrica que representa a sua área?
c) Qual é a expressão algébrica que representa a sua área?
d) Calcule x para esta equação do 2º grau.
e) Quais são as medidas de suas dimensões?
33
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BAUMGART J. K., Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula - História da Álgebra. São Paulo: Atual, 1992. BOYER, C. B., História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974. DANTE, L. R., Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2002. DEMO, P. Pesquisa e construção do conhecimento. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1996. IFRAH, G., Os números: A história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1989. HOWARD, E., Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
LORENZATO, S., Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados, 2006. PAULA, E., Álgebra Geometrizada. VI Encontro Nacional de Educação Matemática. São Leopoldo: SBEM, 1998. POLYA, G., A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. SEED - Secretaria de Estado da Educação do Paraná. DCEs-Matemática Diretrizes Curriculares da rede pública de Educação Básica do Estado do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes/pdf/t_matematica.pdf - Acesso em 29/09/2009. SEED - Secretaria de Estado da Educação do Paraná. DCEs-EJA Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos do Estado do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/diretrizes/pdf/t_eja.pdf - Acesso em 29/09/2009.
34
SITE – Texto sobre Bhaskara. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html - Acessado em 21/08/2009. SITE – Texto sobre Resolução de Problemas Matemáticos em: www.ime.usp.br/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf-Similares - Acessado em 08/02/2010.