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Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 22
12 de julho de 2013
Parte 22 Cálculo Aplicado I 1
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Como fazer um bom esboço do gráficode uma função?
Parte 22 Cálculo Aplicado I 2
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Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!
Parte 22 Cálculo Aplicado I 3
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Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!
Parte 22 Cálculo Aplicado I 4
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Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!
Parte 22 Cálculo Aplicado I 5
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Usando cálculo para fazer esboços degráficos de funções
Parte 22 Cálculo Aplicado I 6
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Roteiro
(1) Domínio da função.
(2) Interseção do gráfico da função com os eixos coordenados.
(3) Simetrias: função par, função ímpar, função periódica.
(4) Assíntotas horizontais e verticais.
(5) Pontos onde a função não é derivável.
(6) Intervalos de crescimento e decrescimento.
(7) Máximos e mínimos locais.
(8) Concavidade e pontos de inflexão.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 7
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Exemplo
y = f (x) =2 x2
x2 − 1
Parte 22 Cálculo Aplicado I 8
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(1) Domínio da função
Parte 22 Cálculo Aplicado I 9
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(1) Domínio da função
O domínio de f é D = {x ∈ R | x2 − 1 6= 0} = R− {−1,1}.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 10
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(1) Domínio da função
O domínio de f é D = {x ∈ R | x2 − 1 6= 0} = R− {−1,1}.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 11
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(1) Domínio da função
O domínio de f é D = {x ∈ R | x2 − 1 6= 0} = R− {−1,1}.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 12
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(1) Domínio da função
O domínio de f é D = {x ∈ R | x2 − 1 6= 0} = R− {−1,1}.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 13
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 14
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 15
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 16
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 17
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 18
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 19
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 20
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 21
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 22
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 23
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 24
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 25
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(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ 2 x2
x2 − 1= 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 26
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 27
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 28
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 29
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 30
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 31
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 32
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 33
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 34
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(3) Simetrias
Como f (−x) = 2 (−x)2
(−x)2 − 1=
2 x2
x2 − 1= f (x),∀x ∈ D, concluímos que a função f é par. Logo, o seu
gráfico é simétrico com relação ao eixo y . A função f não é ímpar, pois f (−2) = 8/3 6= −8/3 = −f (2).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 35
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 36
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 37
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 38
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 39
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 40
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 41
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 42
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 43
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 44
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 45
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Como
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
2 x2
x2 − 1= lim
x→+∞
2 x2
x2x2 − 1
x2
= limx→+∞
2
1− 1x2
= 2+,
concluímos que a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f . Por simetria, limx→−∞ f (x) =2+.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 46
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 47
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 48
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 49
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 50
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 51
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 52
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 53
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 54
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 55
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(4) Assíntotas
Como o denominador da função é zero quando x = −1 ou x = 1, as candidatas à assíntota verticalsão as retas x = −1 e x = 1. Agora, como
limx→1+
2 x2
x2 − 1= +∞, lim
x→1−2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1+2 x2
x2 − 1= −∞, lim
x→−1−2 x2
x2 − 1= +∞,
concluímos que, de fato, as retas x = −1 e x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 56
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(5) Pontos onde a função não é derivável
A função f é derivável como subtração, multiplicação e divisão de funções deriváveis. Logo, o gráficode f não possui “bicos” e nem pontos onde a reta tangente é vertical.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 57
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(5) Pontos onde a função não é derivável
A função f é derivável como subtração, multiplicação e divisão de funções deriváveis. Logo, o gráficode f não possui “bicos” e nem pontos onde a reta tangente é vertical.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 58
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(5) Pontos onde a função não é derivável
A função f é derivável como subtração, multiplicação e divisão de funções deriváveis. Logo, o gráficode f não possui “bicos” e nem pontos onde a reta tangente é vertical.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 59
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(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 60
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(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 61
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 62
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 63
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 64
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 65
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 66
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 67
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 68
-
(6) Crescimento e decrescimento
Temos que f ′(x) =(4 x )(x2 − 1)− (2 x2)(2 x)
(x2 − 1)2=
−4 x(x2 − 1)2
. O estudo do sinal da derivada nos dá
Sinal da
derivada
{1 +10 .
Assim, f é crescente em (−∞,−1), f é crescente em (−1,0), f é decrescente em (0,1) e f é decres-cente em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 69
-
(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada
{1 +10
Vimos no item anterior que o único ponto crítico de f é p = 0. Como, em p = 0, o sinal da derivadamuda de + para −, concluímos pelo teste da derivada primeira que p = 0 é ponto de máximo local de fem D.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 70
-
(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada
{1 +10
Vimos no item anterior que o único ponto crítico de f é p = 0. Como, em p = 0, o sinal da derivadamuda de + para −, concluímos pelo teste da derivada primeira que p = 0 é ponto de máximo local de fem D.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 71
-
(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada
{1 +10
Vimos no item anterior que o único ponto crítico de f é p = 0. Como, em p = 0, o sinal da derivadamuda de + para −, concluímos pelo teste da derivada primeira que p = 0 é ponto de máximo local de fem D.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 72
-
(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada
{1 +10
Vimos no item anterior que o único ponto crítico de f é p = 0. Como, em p = 0, o sinal da derivadamuda de + para −, concluímos pelo teste da derivada primeira que p = 0 é ponto de máximo local de fem D.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 73
-
(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada
{1 +10
Vimos no item anterior que o único ponto crítico de f é p = 0. Como, em p = 0, o sinal da derivadamuda de + para −, concluímos pelo teste da derivada primeira que p = 0 é ponto de máximo local de fem D.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 74
-
(6) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada
{1 +10
Vimos no item anterior que o único ponto crítico de f é p = 0. Como, em p = 0, o sinal da derivadamuda de + para −, concluímos pelo teste da derivada primeira que p = 0 é ponto de máximo local de fem D.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 75
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 76
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 77
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 78
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 79
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 80
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 81
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 82
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 83
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 84
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 85
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 86
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Temos que f ′′(x) =(−4)((x2 − 1)2)− (−4 x)(2 (x2 − 1)2 x)
(x2 − 1)4=
12 x2 + 4(x2 − 1)3
. Como 12 x2 + 4 > 0 para
todo x ∈ R, segue-se que o sinal da derivada segunda é o sinal de x2 − 1. Assim,
f ′′(x) > 0⇔ x < −1 ou x > 1 e f ′′(x) < 0⇔ −1 < x < 1.
Consequentemente, f é côncava para cima em (−∞,−1), f é côncava para baixo em (−1,1) e f écôncava para cima em (1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 87
-
Pronto!
Parte 22 Cálculo Aplicado I 88
-
Exercício
Seguindo o roteiro, faça um esboço do gráfico de y = f (x) = x ex .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 89
-
(1) Domínio da função
Parte 22 Cálculo Aplicado I 90
-
(1) Domínio da função
O domínio de f é D = R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 91
-
(1) Domínio da função
O domínio de f é D = R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 92
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 93
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 94
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 95
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 96
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 97
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 98
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 99
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 100
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 101
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 102
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 103
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 104
-
(2) Interseção com os eixos coordenados
A interseção do gráfico com o eixo y é obtida fazendo-se x = 0. Como f (0) = 0, segue-se que o gráficode f intercepta o eixo y no ponto (0,0). A interseção do gráfico com o eixo x é obtida fazendo-sef (x) = 0. Mas
f (x) = 0 ⇒ x ex = 0 ⇒ x = 0.
Logo, o gráfico de f intercepta o eixo x também no ponto (0,0).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 105
-
(3) Simetrias
A função f não é par, pois f (−1) = −e−1 6= e1 = f (1). A função f não é ímpar, pois f (−1) = −e−1 6=−e1 = −f (1).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 106
-
(3) Simetrias
A função f não é par, pois f (−1) = −e−1 6= e1 = f (1). A função f não é ímpar, pois f (−1) = −e−1 6=−e1 = −f (1).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 107
-
(3) Simetrias
A função f não é par, pois f (−1) = −e−1 6= e1 = f (1). A função f não é ímpar, pois f (−1) = −e−1 6=−e1 = −f (1).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 108
-
(3) Simetrias
A função f não é par, pois f (−1) = −e−1 6= e1 = f (1). A função f não é ímpar, pois f (−1) = −e−1 6=−e1 = −f (1).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 109
-
(3) Simetrias
A função f não é par, pois f (−1) = −e−1 6= e1 = f (1). A função f não é ímpar, pois f (−1) = −e−1 6=−e1 = −f (1).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 110
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 111
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 112
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 113
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 114
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 115
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 116
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 117
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 118
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 119
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(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 120
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 121
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 122
-
(4) Assíntotas
Vamos determinar primeiro as assíntotas horizontais. Observe que
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
(x ex) = limx→−∞
xe−x
(∗)= lim
x→−∞
1−e−x
= 0−,
onde, em (∗), usamos a regra de L’Hôpital. Concluímos assim que a reta y = 0 é uma assíntota hori-zontal do gráfico de f . Observe também que, limx→+∞(x ex) =+∞. A função f não possui assíntotasverticais, pois f é contínua em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 123
-
(5) Pontos onde a função não é derivável
A função f é derivável como subtração, multiplicação e divisão de funções deriváveis. Logo, o gráficode f não possui “bicos” e nem pontos onde a reta tangente é vertical.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 124
-
(5) Pontos onde a função não é derivável
A função f é derivável como subtração, multiplicação e divisão de funções deriváveis. Logo, o gráficode f não possui “bicos” e nem pontos onde a reta tangente é vertical.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 125
-
(5) Pontos onde a função não é derivável
A função f é derivável como subtração, multiplicação e divisão de funções deriváveis. Logo, o gráficode f não possui “bicos” e nem pontos onde a reta tangente é vertical.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 126
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(6) Crescimento e decrescimento
Na aula passada vimos que f ′(x) = (x + 1)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada de f :
Sinal da
derivada{1 .
Como f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1), vemos que f é decrescente em (−∞,−1). Como f ′(x) > 0 parax ∈ (−1,+∞), vemos que f é crescente em (−1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 127
-
(6) Crescimento e decrescimento
Na aula passada vimos que f ′(x) = (x + 1)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada de f :
Sinal da
derivada{1 .
Como f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1), vemos que f é decrescente em (−∞,−1). Como f ′(x) > 0 parax ∈ (−1,+∞), vemos que f é crescente em (−1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 128
-
(6) Crescimento e decrescimento
Na aula passada vimos que f ′(x) = (x + 1)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada de f :
Sinal da
derivada{1 .
Como f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1), vemos que f é decrescente em (−∞,−1). Como f ′(x) > 0 parax ∈ (−1,+∞), vemos que f é crescente em (−1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 129
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(6) Crescimento e decrescimento
Na aula passada vimos que f ′(x) = (x + 1)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada de f :
Sinal da
derivada{1 .
Como f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1), vemos que f é decrescente em (−∞,−1). Como f ′(x) > 0 parax ∈ (−1,+∞), vemos que f é crescente em (−1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 130
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(6) Crescimento e decrescimento
Na aula passada vimos que f ′(x) = (x + 1)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada de f :
Sinal da
derivada{1 .
Como f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1), vemos que f é decrescente em (−∞,−1). Como f ′(x) > 0 parax ∈ (−1,+∞), vemos que f é crescente em (−1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 131
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(5) Crescimento e decrescimento
Na aula passada vimos que f ′(x) = (x + 1)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada de f :
Sinal da
derivada{1 .
Como f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1), vemos que f é decrescente em (−∞,−1). Como f ′(x) > 0 parax ∈ (−1,+∞), vemos que f é crescente em (−1,+∞).
Parte 22 Cálculo Aplicado I 132
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(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada{1 .
Na última aula vimos que p = −1 é o único ponto crítico de f e que, pelo teste da derivada primeira,p = −1 é ponto de mínimo local de f em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 133
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(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada{1 .
Na última aula vimos que p = −1 é o único ponto crítico de f e que, pelo teste da derivada primeira,p = −1 é ponto de mínimo local de f em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 134
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(7) Máximos e mínimos locais
Sinal da
derivada{1 .
Na última aula vimos que p = −1 é o único ponto crítico de f e que, pelo teste da derivada primeira,p = −1 é ponto de mínimo local de f em R.
Parte 22 Cálculo Aplicado I 135
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(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 136
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(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 137
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 138
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 139
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(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 140
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 141
-
(8) Concavidade e pontos de inflexão
Na aula passada vimos que f ′′(x) = (x +2)ex e já fizemos o estudo do sinal da derivada segunda de f :
Sinal da
derivada
segunda {2 .
Assim, f é côncava para baixo no intervalo (−∞,−2) e f é côncava para cima no intervalo (−2,+∞).Consequentemente, p = −2 é o único ponto de inflexão de f .
Parte 22 Cálculo Aplicado I 142
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Pronto!
Parte 22 Cálculo Aplicado I 143
Como fazer um bom esboço do gráfico de uma função?Usando cálculo para fazer esboços de gráficos de funções