CAPÍTULO V
OSCILAÇÕES E ONDAS
5.1. INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta alguns conceitos fundamentais de dois fenómenos físicos que são
muito correntes no nosso quotidiano: as oscilações e as ondas.
As oscilações ocorrem quando um sistema físico é afastado ligeiramente da sua
posição de equilíbrio estável. Como exemplos de osciladores podemos referir o movimento
para cima e para baixo de um barco âncorado no alto-mar, o pêndulo de um relógio antigo de
parede, uma massa suspensa na extremidade de uma mola1, um circuito eléctrico constituido
por uma bobina e um condensador2 e o movimento das partículas carregadas de um plasma3
em torno da suas posições de equilíbrio. Como veremos na secção seguinte, as oscilações são
caracterizadas por um movimento sinusoidal, mais ou menos amortecido, de uma grandeza
característica do oscilador (por exemplo, o ângulo do pêndulo com a direcção vertical ou o
deslocamento em relação à posição de equilíbrio da massa do sistema massa-mola ou a
corrente eléctrica que percorre um circuito LC (Figura 5.1))
As ondas correspondem a oscilações no tempo que são geradas num dado ponto
(emissor) e que se propagam no espaço, de modo a transmitirem informação sob a forma de
energia e momento, sem contudo transportarem matéria. Este facto significa que se um
observador analisar uma onda num ponto do espaço vê uma oscilação no tempo; se esta 1 Vulgarmente designado por sistema massa-mola. 2 O chamado circuito LC. 3 Um plasma é um meio ionizado, quase neutro, com comportamento colectivo.
1
análise for realizada num instante de tempo4, o observador vê uma oscilação no espaço. Como
exemplo de ondas, podemos referir as ondas sonoras, as ondas electromagnéticas e o
movimento da água de um grande lago originado pelo lançamento de uma pedra para o seu
interior.
Figura 5.1 – Representação esquemática de um pêndulo (à esquerda), de um sistema massa-mola (ao centro) e
de um circuito LC (à direita)
Problema 5.1 – Um pequeno pedaço de madeira está a flutuar na água calma de um grande lago. Diga, justificando, o que acontece ao pedaço de madeira quando uma pedra cai na vertical no lago.
5.2. OSCILAÇÕES
5.2.1. Oscilador harmónico simples
Um oscilador harmónico simples é um sistema físico cujo comportamento dinâmico é regido
por uma equação diferencial5 de 2a ordem6 do tipo
0)(202
)(2=+ ts
dt
tsd ω (5.1)
em que s(t) é uma grandeza característica do sistema e ω0 é a frequência ângular de
oscilação.
Esta equação diferencial admite uma solução do tipo
s(t) = SM cos (ω0
t + α) (5.2)
em que SM e α são duas constantes de integração7 cujos valores são calculados a partir das
condições iniciais8. A grandeza
Φ(t) = ωt + α (5.3)
4 Através, por exemplo, de uma fotografia. 5 Equação que contém pelo menos uma derivada. 6 Equação diferencial em que a derivada de ordem superior é de segunda ordem. 7 Para resolvermos uma equação diferencial de 2a ordem é preciso efectuar duas integrações. Em cada uma destas operações é introduzida uma contante (dado que a derivada de uma constante é zero), pelo que a solução desta equação contém duas constantes de integração. 8 As condições iniciais correspondem às condições a que o sistema tem de obedecer quando, na origem do tempo, é afastado da sua posição de equilíbrio.
2
é designada por fase no instante t. A análise das equações (5.2) e (5.3) permite concluir que
SM e α correspondem, respectivamente, à amplitude9 da oscilação e à desfazagem na origem
do tempo. Problema 5.2 - Verifique que a função (5.2) é uma solução da equação (5.1). Resolução: Para resolvermos este problema vamos começar por calcular a primeira e a segunda derivadas da função (5.2) em ordem ao tempo
)0
(0
αωω +−= tsenM
Sdt
ds (5.4)
)0
cos(202
2αωω +−= t
MS
dt
sd (5.5)
Substituindo (5.5) e (5.2) em (5.1) obtemos uma identidade
0)0
(cos20
)0
(cos20
=+++− αωωαωω tM
StM
S o que significa que a função (5.2) é solução da equação (5.1). Problema 5.3. a) Verifique que as funções
)0()( βω += tsenMSts (5.6) e
)0()(
ϕω +=
tjeMSts (5.7)
também são soluções da equação (5.1). b) Explique, do ponto de vista matemático, a razão porque as funções (5.2), (5.6) e (5.7) são soluções da equação (5.1). c) O que distingue, do ponto de vista físico, as funções (5.2) e (5.6)? Problema 5.4 – Considere um sistema massa-mola cujo deslocamento em relação a posição de equilíbrio é dada por
x (t) = (1.2 metros) cos ( t / 2 + π /6) a) Calcule a amplitude, a frequência ângular e o período do movimento (Solução: A=1.2 m, ωo=0.5 rad/s, T=12.6 s) b) Determine a localização da massa em t=1 s (Solução: x(t=1 s) = 0.624 m) Problema 5.5 - Considere o circuito representado na Figura 5.2.
Figura 5.2 – Circuito LC a) Verifique que este circuito é um oscilador harmónico simples.
9 Valor máximo.
3
b) Determine as funções vC(t), i(t) e vL(t), admitindo que no instante em que se fecha o interruptor i(0)=0 e vC(0)=100 V. Resolução – a) A aplicação da Lei das Malhas a este circuito conduz à equação
(5.8) 0)()( =+ tLvtCv em que
∫= dttiC
tCv )(1
)( (5.9)
e
dt
tdiLt
Lv
)()( = (5.10)
Derivando (5.9) em ordem ao tempo obtemos
)(1)(
ticdt
tc
dv= (5.11)
pelo que
dt
tc
dvCti
)()( = (5.12)
Substituindo (5.8) obtemos
02
)(2
)( =+dt
tc
vdLCt
cv (5.13)
que é uma equação diferencial do tipo da equação (5.1), com
LC
120 =ω (5.14)
b) A equação (5.13) admite uma solução do tipo
)0cos()( αω += tCMVtCv (5.15)
que, atendendo a (5.12) e (5.10). permite obter:
)0(0)( αωω +−= tsenCMVCti (5.16)
e
(5.17) )0cos()0cos(20)( αωαωω +−=+−= tCMVtCMVLCtLv
As condições fronteiras são
αcos1000)0( CMVCv ⇒= (5.18)
e
αω senCMVCi 000)0( −=⇒= (5.19)
Esta última igualdade implica que
sen α = 0
4
ou seja
α = 0 (5.20)
Substituindo este resultado em (5.18) obtemos
VCM = 100 V (5.21)
Em resumo, e atendendo a que
16101
0−== rads
LCω (5.22)
podemos escrever que:
)6
10(cos100)( ttc
v = (5.23)
)610(1.0)( tsenti −= (5.24)
)610(cos100)( ttLv −= (5.25)
Vamos agora calcular o periodo (T) e a frequência (f) das oscilações. A definição de
período
)()( tsTts =+ (5.26)
aplicada à função (5.2) permite escrever que
)0cos())(0cos( αωαω +=++ tTt (5.27)
ou seja10
παωαω 20)(0 ++=++ tTt
donde concluimos que
T = 2π / ω0 (5.28)
A definição de frequência
f = 1 / T (5.29)
permite concluir que
f = ω0 / 2π (5.30)
Esta expressão mostra que a frequência das oscilações apenas depende das
características do oscilador11, sendo independente da amplitude das oscilações. Este facto
10 Uma vez que a função coseno tem um período de 2π. 11 Por exemplo, no caso do circuito LC dos valores da capacidade do condensador e da inductância da bobina (ver equação (5.14)).
5
significa que, quando carregamos numa tecla de um piano, a frequência da nota emitida é
sempre a mesma, independentemente da força com que tocamos na tecla.
Problema 5.6 – Determine o período e a frequência das oscilações do circuito LC representado na Figura 5.2. (Solução: f = 159.16 kHz, T = 6.28 µs)
5.2.2. Oscilador harmónico amortecido
Os osciladores descritos na secção anterior correspondem a situações ideais já que a energia
total do sistema e, consequentemente, a amplitude das oscilações permanecem constantes no
tempo12. Contudo, a realidade é diferente. De facto, devido ao “atrito”, há sempre dissipação
de energia sob a forma de calor, pelo que a energia total do oscilador e, consequentemente, a
amplitude das oscilações diminuem no tempo13. Como veremos mais à frente, a forma como
a amplitude das oscilações decresce depende da intensidade da “força de atrito”. Problema 5.7 – a) Verifique que a energia total do circuito LC representado na Figura 5.2. é constante no tempo. b) Interprete o funcionamento deste oscilador em termos energéticos Resolução: a) Como já sabemos do capítulo II, o condensador e a bobina armazenam, respectivamente, energia eléctrica e energia magnética dadas por
We = C vC2 / 2 (5.31)
e Wm = L i2 / 2 (5.32)
Substituindo (5.23) e (5.24) nestas equações obtemos
Joulest
t
tC
vCe
W
)610(2cos6105
)610(2cos4109102
1
)(22
1
−×=
×−×=
=
(5.33)
Joulestsen
tsen
tiLm
W
)610(26105
)610(22103102
1
)(22
1
−×=
−×−×=
=
(5.34)
pelo que a energia total do sistema é dada por
12 Por exemplo, a soma da energia cinética e da energia potencial do pêndulo e a soma da energia eléctrica e da energia magnética do circuito LC são constantes no tempo. 13 O “atrito” é devido ao ar no pêndulo e no sistema massa-mola e à resistência eléctrica do fio da bobina no caso do circuito LC.
6
Joules
tsent
mW
eWW
6105
)610(26105)610(2cos6105
−×=
−×+−×=
+=
(5.35)
já que
1)610(2)610(2cos =+ tsent
A expressão (5.35) mostra que a energia total do circuito LC é constante no tempo.
b) A Figura 5.3 representa as variações no tempo da energia eléctrica armazenada no condensador e da
energia magnética armazenada na bobina.
Figura 5.3 – Variação das energias eléctrica e magnética armazenadas num circuito LC.
A análise desta figura permite concluir que, do ponto de vista energético, o circuito LC representa uma
oscilação no tempo das energias eléctrica e magnética, de tal forma que a energia total permanece constante.
De facto, quando a energia eléctrica armazenada no condensador é máxima a energia magnética armazenada
na bobina é nula; e, vice-versa, quando Wm é máxima, We é nula. Ou seja, a oscilação do circuito LC
corresponde a uma troca de energia entre o condensador e a bobina.
Um oscilador harmónico amortecido é um sistema físico cujo comportamento
dinâmico é descrito por uma equação diferencial do tipo
0)(20
)(22)(2
=++ tsdt
tds
dt
tsd ωβ (5.36)
cujo segundo termo é devido à força de atrito.
7
Esta equação admite uma solução da forma
tseA
tseAts 2
21
1)( += (5.37)
em que s1 e s2 são soluções da chamada equação característica. Esta equação obtem-se a
partir da equação diferencial (5.36) substituindo a derivada de ordem n por sn:
02022 =++ ωβ ss (5.38)
Esta equação do 2o grau admite as seguintes soluções
2201 βωβ −+−= js (5.39)
e
2202 βωβ −−−= js (5.40)
Se o amortecimento for fraco, isto é, se β«ω0, a equação característica tem duas
soluções complexas conjugadas e a equacao (5.37) pode ser escrita na forma
)cos(0)( αωβ +−= tteSts (5.41)
que representa oscilações com amplitude decrescente no tempo, com um período dado por
T = 2 π / ω (5.42)
em que
220 βωω −= (5.43)
representa a frequência ângular, amortecida, das oscilações.
A quantidade
τ = 1 / β (5.44)
é designada por tempo de decaímento e representa o tempo ao fim do qual a amplitude das
oscilações diminuiu de um factor 1/e14. Este é o chamado regime oscilatório amortecido
(Figura 5.4).
14 Quanto menor for o tempo de decaímento mais amortecido é o movimento oscilatório.
8
Figura 5.4 – Regime oscilatório amortecido
Quando o amortecimento aumenta, o tempo de decaímento e a frequência ângular das
oscilações diminuem. Quando β=ω0 atinge-se uma situação crítica em que ω = 0 (T=∞)
e em que a equação característica tem duas raízes reais e iguais. Este é o chamado regime de
amortecimento crítico (Figura 5.5). Quando β>ω0 as raízes da equação característica são reais
e diferentes e o sistema regressa à situação de equilíbrio sem qualquer oscilação. Este é o
chamado regime de sobre-amortecimento (Figura 5.5).
Sobre-amortecimento Amortecimento crítico
Figura 5.5 – Regimes de amortecimento crítico e de sobre-amortecimento
Problema 5.8 – Considere o circuito representado na Figura 5.6
Figura 5.6 – Circuito RLC
9
a) Verifique que este sistema é um oscilador harmónico amortecido. b) Classifique o regime do oscilador. c) Determine o tempo de decaímento e a frequência das oscilações. d) Calcule o valor da resistência que conduz à situação de amortecimento crítico. Resolução – a) A aplicação da Lei das Malhas ao circuito conduz a seguinte equação
∫ =++ 0)(1)(
)( dttiCdt
tdiLtRi (5.45)
que, após algumas operações matemáticas, podemos escrever na forma
020
22
2=++ i
dt
di
dt
idωβ
em que
LR
2=β (5.46)
e
LC12
0=ω 15 (5.47)
b) Como
srad /6100
=ω β=5×103
estamos perante um regime oscilatório amortecido.
c) ≅×−=== 6102512101
ωβ
Γ
d) A situação de amortecimento crítico e obtida quando:
R = 2 L ωο = 2 x 10-3 x106 = 2 kΩ
5.3. ONDAS
5.3.1. Introdução
Como veremos nas secções seguintes, uma onda é um fenómeno que corresponde à
materializacao física de uma função matemática que é solução de uma equação de onda.
De entre os vários tipos de ondas assumem importância especial as ondas
electromagnéticas e as ondas mecânicas que serão estudadas em pormenor nos capítulos VI e
VII. As ondas electromagnéticas compreendem, por exemplo, à luz do Sol e dos lasers, às
ondas de rádio e de televisão, às micro-ondas dos aparelhos usados na preparação de
alimentos e das comunicações móveis e via satélite e os raios-X usados na medicina e nos
15 Este valor é exactamente igual à frequência angular de oscilação do circuito LC.
10
aeroportos para a detecção de metais. Como exemplos das ondas mecânicas podemos referir
as ondas acústicas e as vibrações de uma corda e de uma mola. Convém referir, desde já, que
existe uma diferença fundamental entre estas duas espécies de ondas. As ondas mecânicas
necessitam de um meio material para se propagarem enquanto as ondas electromagnéticas
até se propagam no vácuo16.
As restantes secções deste capítulo apresentam aspectos gerais que são comuns a todos
os tipos de ondas.
5.3.2. Equação de onda
Uma onda é um fenómeno físico que é descrito por uma equação diferencial do tipo
02),(2
21
2),(2
=∂
∂=∂
∂
ttxs
vxtxs 17,18 (5.48)
que admite uma solução particular19,20 da forma
s(x,t) = SM cos (ωt – kx + α) (5.49)
em que SM é a amplitude, ω é a frequência ângular, k é o número de onda e α é a desfasagem
na origem do espaço e do tempo.
Admitindo que
)()(),( txXtxs Γ= (5.50)
e como
2
2
2
2
dx
Xd
x
sΓ=
∂
∂ (5.51)
e
2
2
2
2
dt
dXt
s Γ=
∂
∂ (5.52)
16 Existem autores que designam as ondas mecânicas por ondas materiais dado que a sua geração pressupõe a existência de um meio material onde a onda se propaga. 17 Esta equação representa uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo dos Xs. 18 O símbolo ∂ representa a chamada derivada parcial. A função s depende de duas variáveis (x e t), pelo que
podemos calcular as suas derivadas em ordem a x
∂
∂
x
se a t
∂
∂
t
s. A derivada em ordem a uma variável
determina-se admitindo que a outra variável é constante. 19 Veremos na secção seguinte a forma da solução geral da equação de onda. 20 Esta solução, embora particular, e muito importante pelas razões que já foram explicadas anteriormente.
11
esta equação diferencial pode ser escrita na forma
02
2
21
2
2=
Γ−Γ
dt
dXvdx
Xd (5.53)
e decomposta nas seguintes duas equações diferenciais
022
2=+ Xk
dx
Xd (5.54)
022
2=Γ+ ωτ
dt
d (5.55)
do tipo da equação do oscilador harmónico simples, interligadas pela seguinte relação
ω = k v (5.56)
a que chamamos relação de dispersão.
Este facto significa que uma onda pode ser vista como o resultado de duas oscilações,
uma no tempo e a outra no espaço, ligadas entre si pela relação de dispersão. A oscilação no
espaço é caracterizada por um periodo espacial que se designa por comprimento de onda
λ = 2 π / k (5.57)
5.3.3. Função de onda
Vamos, agora, estabelecer a forma das soluções gerais da equação de onda. Para isso, vamos
admitir que uma onda transversal se propaga, com velocidade v, no sentido positivo do eixo
dos Xs (Figura 5.7).
Figura 5.7 – Propagação de uma onda com velocidade v
12
Num referencial (x* e y*) que se move com velocidade v, a amplitude da onda apenas
depende de x*
y*=f (x*) (5.58)
Mas, como
y=y* (5.59)
e
x=x*+vt (5.60)
temos que
y=f (x-vt) (5.61)
ou seja, qualquer função deste tipo, que designamos por função de onda, é uma solução da
equação de onda.
Problema 5.9 – Verifique que uma função do tipo y=f(x-vt) é uma solução da equação de onda. Problema 5.10 – Diga em que condições uma solução do tipo y=Ym sen(ωt-kv) é uma função de onda. Problema 5.11 – Determine a expressão da função de onda correspondente a propagação da onda no sendo negativo do eixo dos Xs.
5.3.4. Ondas transversais e ondas longitudinais
Nas ondas transversais a informção está contida no plano perpendicular à direcção de
propagação da onda. As ondas electromagnéticas e as vibrações de uma mola representadas
na Figura 5.8 são exemplos de ondas transversais.
Figura 5.8 – Ondas transversais de uma mola
Nas ondas longitudinais a informação existe na própria direcção de propagação da
onda. As ondas acústicas e as vibrações de uma mola representadas na Figura 5.9 são
exemplos de ondas longitudinais.
13
Figura 5.9 – Ondas longitudinais de uma mola
5.3.5. Velocidade de propagação de uma onda
A velocidade de propagação de uma onda num meio depende de algumas propriedades do
meio. Por exemplo, a velocidade das ondas electromagnéticas depende de propriedades
eléctricas e magnéticas do meio
εµ1
=v (5.62)
em que ε é a contante dieléctrica e µ é a permeabilidade magnética do meio.
Problema 5.12 – Determine a velocidade de propagação de ondas electromagnéticas num meio com µ=µο e
ε=1.21εο
A velocidade das ondas mecânicas depende, em geral, de uma propriedade elástica e
de uma propriedade inercial do meio21.
5.3.6. Velocidade de fase e velocidade de grupo
Consideremos uma onda descrita pela seguinte equação
s(x,t) = SM cos (ωt-kx) (5.63)
Tal como nos osciladores, a função
φ = ωt-kx (5.64)
designa-se por fase.
A velocidade de fase (vf) e a velocidade a que um observador se tem de deslocar para
“ver” a fase da onda constante. A condição
φ = Constante (5.65)
implica que
ω dt – k dx = 0 (5.66)
pelo que
21 Ver secção 7.3.
14
vf = dx / dt = ω / k (5.67)
Nos meios dispersivos a velocidade de fase depende da frequência. Em certos meios, a
velocidade de fase pode ser maior que a velocidade da luz no vácuo. Este facto não viola a
Teoria da Relatividade, uma vez que a velocidade de fase é um conceito matemático, que não
está associado à transmissão de informação.
A velocidade de grupo é definida pela expressão
kgv∂∂
=ω (5.68)
Esta velocidade coincide, na maioria dos meios, com a velocidade de transmissão de
energia, sendo, por isso, menor que a velocidade da luz no vácuo.
Problema 5.13 – Considere um meio descrito pela seguinte relação de dispersão
2222 CkC += ωω (5.69)
em que ωC é uma constante1 e C é a velocidade de propagação das ondas electromagnéticas no vácuo. a) Verifique que este meio é dispersivo b) Calcule a velocidade de grupo. Resolução – a) para vermos se o meio é dispersivo, vamos começar por calcular a velocidade de fase
2
1
221
−
=
−
==
ω
ω
ωω
ωω
C
C
CCkfv
(5.70)
e concluímos que o meio é dispersivo porque a velocidade de fase depende da frequência ângular da onda. b) Para calcularmos a velocidade de grupo vamos diferenciar a equação (5.69)
dkkCd 222 =ωω
pelo que
2
1
22
−=
===
ω
ω
ω
ω
CC
fv
CkC
dk
dgv
(5.71)
15
5.3.7. Diagrama de dispersão
Um diagrama de dispersão é uma representação gráfica da relação de dispersão.
Num diagrama de dispersão existem duas classes de frequências particularmente
importantes: as frequências de corte e as frequências de ressonância. Estas frequências
correspondem, respectivamente, às situações em que o número de onda é nulo (frequência de
corte) e infinito (frequência de ressonância).
Suponhamos que uma onda se propaga num meio, cujas propriedades variam ao longo
de uma dada direcção. Quando a onda atinge uma região em que se verificam as condições de
corte, a onda é reflectida e a informação nela contida passa a propagar-se no sentido do
emissor. Ou seja, o meio comporta-se como um espelho. Esta propriedade é muito usada em
Física Experimental (no desenvolvimento de técnicas de diagnóstico dos meios físicos) e em
Telecomunicações (por exemplo, na propagação das chamadas ondas curtas). Quando a onda
atinge uma região em que se verificam as condições de ressonância, a onda é absorvida pelo
meio. Esta propriedade é muito usada em Física Experimental para procedermos ao
aquecimento de um meio.
Problema 5.14 – Considere o meio descrito pela relação de dispersão (5.69). a) Determine a frequência de corte b) Verifique que o vf>C e vg<C c) Trace o diagrama de dispersão Resolução: a) Como
221CC
k ωω −=
a condição k=0 acontece quando ω=ωC. Para ω>ωC há propagação da onda porque k é real. Para ω<ωC não há propagação da onda porque k é imaginário puro. b) A velocidade de fase é maior que C porque resulta do quociente de C por um número menor do que 1 (ver equação (5.70)). A velocidade de grupo é menor que C porque resulta do produto de C por um número menor que 1 (ver equação 5.71)).
Figura 5.10 - Diagrama de dispersão da relação de dispersão
16
5.3.8. Ondas planas e ondas esféricas
Chama-se superfície de onda ao lugar geométrico dos pontos do espaço em que a onda tem a
mesma fase, num dado instante de tempo.
Na vizinhança de uma fonte de ondas electromagnéticas as superfícies de onda são
esferas concêntricas com a fonte (ondas esféricas) (Figura 5.11).
À medida que nos afastamos da fonte, os raios das esferas vão aumentando e, nas
zonas muito afastadas da fonte, as superfícies de onda são planos (ondas planas) (Figura
5.11). Estas ondas são muito importantes porque: (i) São soluções das equações de onda; (ii)
As outras ondas podem ser decompostas num somatório de ondas planas.
Figura 5.11 – Superfícies de onda de ondas electromagnéticas que se propagam a partir de um emissor
5.3.9. Princípio da Sobreposição
O Princípio da Sobreposição diz que, quando duas ou mais ondas se combinam, a onda
resultante é a soma algébrica das ondas individuais.
Consideremos duas ondas, da mesma frequência e amplitude, que se propagam no
sentido positivo do eixo dos Xs.
y1=y0 sen (ωt - kx) (5.72)
y2=y0 sen (ωt – kx+ θ) (5.73)
O efeito global, isto é a soma das duas ondas, é
y1+y2=y0 [sen (ωt – kx) + sen (ωt – kx +θ)] (5.74)
Como
sen a + sen b = 2 cos [(a-b)/2] sen [(a+b)/2] (5.75)
podemos escrever que
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)
= 2y0 cos θ/2 sen (ωt – kx - θ/2) (5.76)
17
Figura 5.12 – Propagação de duas ondas da mesma frequência segundo o sentido positivo do eixo dos Xs
Problema 5.15 – Duas ondas, da mesma frequência e amplitude, propagam-se no sentido positivo do eixo dos Xs. a) Qual é a amplitude da onda resultante se a diferença de fase for π/2 e a amplitude de cada onda 4 cm? (Solução: 5.66 cm) b) Determine a diferença de fase das duas ondas que conduz a uma amplitude da onda resultante igual a 4 cm. (Solução: 120 ou 240)
Consideremos, agora, dois casos particulares:
As duas ondas estão em fase (Figura 5.13).
Neste caso, a amplitude duplica, ou seja há uma interferência construtiva.
ONDA RESULTANTEONDA 2
ONDA 1
Figura 5.13 – Sobreposição de duas ondas que se propagam em fase no sentido positivo do eixo dos Xs
As duas ondas estão em oposição de fase (Figura 5.14).
Neste caso, as ondas anulam-se, ou seja temos uma interferência destrutiva.
18
ONDA 2ONDA RESULTANTE
ONDA 1
Figura 5.14 – Sobreposição de duas ondas que se propagam em oposição de fase no sentido positivo do eixo dos Xs
5.3.10. Onda estacionária
Consideremos, agora, que as duas ondas se propagam em sentidos opostos do eixo dos Xs.
y1 (x,t) = y0 sen (ωt – kx) (5.77)
y2 (x,t) = y0 sen (ωt + kx + θ) (5.78)
pelo que
y (x,t) = y1+y2= 2y0 cos (kx+θ/2) sen (ωt+θ/2) (5.79)
Esta expressão traduz uma onda estacionária na qual não há uma verdadeira
propagação porque nos pontos em que
cos (kx + θ/2) = 0 (5.80)
não há vibração
5.3.11. Grupo de ondas
Suponhamos que as duas ondas se propagam no mesmo sentido do eixo dos Xs, mas que
possuem frequências muito próximas
y1(x,t) = y0 sen (ω1t - k1x) (5.81)
y2(x,t) = y0 sen (ω2t – k2x) (5.82)
A soma das duas ondas conduz a:
y(x,t)=2y0cos[(ω2−ωt-(k2-k1)x]/2sen [(ω2+ωt-(k2+k1)x]/2 (5.83)
Fazendo
k1+k2=k ω1+ω2=ω
e
k2-k1=2 ∆k ω2−ω1= 2 ∆ω
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vem que
y(x,t)=2y0 cos (∆ωt−∆kx) sen (ωt-kx)
ou seja, uma onda com um comprimento de onda quase igual ao das duas ondas, mas com a
amplitude modulada. A esta estrutura chama-se grupo de ondas. Corresponde a uma onda de
frequência f que se propaga com velocidade
v= ω/k
organizada em grupos, resultantes de uma modulação, que se propagam com a chamada
velocidade de grupo
vg=∆ω/∆k
Figura 5.15 – Propagação de duas ondas com frequências muito próximas
Já referimos anteriormente que as ondas monocromáticas não transmitem informação.
Esta propaga-se através de grupos de onda22.
22 A frequência de um emissor de rádio ou de televisão corresponde à frequência da portadora, a qual, por si só, não transmite informação. A informação (o som e/ou as imagens) e adicionada a portadora através da modulação da sua amplitude (amplitude modulada (AM)) ou da sua frequência (frequência modulada (FM)).
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