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Modelagem e
Anlise deDecisoEdio revisadaCliff T. Ragsdale
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Introduo otimizao e programao linear
Captulo 2
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Introduo
Todos ns enfrentamos decises sobrecomo usar recursos limitados, como:
A quantidade de petrleo que podemosretirar da terra
A quantidade de terra disponvel parajogarmos lixo e resduos txicos
Tempo Dinheiro
Trabalhadores
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Programao Matemtica...
(PM) [Mathematical Programming(MP)] um campo da cincia de gerenciamentoque encontra a maneira ideal ou maiseficiente de usar recursos limitados paraatingir os objetivos de um indivduo ou deuma empresa.
Geralmente chamada de otimizao.
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Aplicaes da Otimizao
Determinao do mix de produtos
Fabricao
Roteamento e logstica Planejamento financeiro
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Caractersticas dos Problemas de
Otimizao Decises
Restries Objetivos
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Problemas de Programao Linear...
MAX (or MIN): c1X1+ c2X2+ + cnXn
Sujeito a: a11X1+ a12X2+ + a1nXn=bk
:am1X1+ am2X2+ + amnXn= bm
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Um Exemplo de Problema de PL
A Blue Ridge Hot Tubes fabrica e vende doismodelos de banheiras: a Aqua-Spa e a Hydro-Lux.
O proprietrio espera ter 1.566 horas de trabalho deproduo e 2.880 ps de tubulao disponveis durante oprximo ciclo de produo.
Aqua-Spa Hydro-LuxBomba 1 1Produo 9 horas 6 horasTubulao 12 ps 16 ps
Lucro $350 $300
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5 Passos na Formulao deModelos de PL:
1. Entenda o problema
2. Identifique as variveis de decises
X1= nmero de Aqua-Spas a ser produzidasX2= nmero de Hydro-Luxes que sero fabricadas
3. Coloque a funo objetivo como uma
combinao linear das variveis de decisoMAX: 350X1+ 300X2
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5 Passos na Formulao deModelos de PL: (Cont.)
4. Coloque as restries como combinaeslineares das variveis de deciso
1X1+ 1X2
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Modelo de PL para aBlue Ridge Hot Tubs
MAX: 350X1+ 300X2Sujeito a.: 1X1+ 1X2
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Resoluo de Problemas de PL:Uma Abordagem Intuitiva
Ideia: Cada Aqua-Spa precisa produzir o maior nmerode unidades de X1possvel, pois cada uma delas geraum lucro de $ 350 enquanto cada unidade de X2(Hydro-Luxes) gera um lucro de apenas $ 300.
Quanto seria isso? X2= 01 restrio: 1X1
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Resoluo de problemas de PL:Uma Abordagem Grfica
As restries de um modelo de PL definem oconjunto de solues viveis.
A dificuldade em PL determinar qual pontoou pontos na regio vivel correspondem aomelhor valor possvel da funo.
Para problemas de PL com duas variveis, fcil rascunhar a regio vivel para o modelode PL e localizar o ponto vivel idealgraficamente.
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X2
X1
250
200
150
100
50
00
50
100
150
200
250
(0, 200)
(200, 0)
Linha de contorno da restrio debomba:
X1+ X2= 200
Plotando a Primeira Restrio
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X2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
(0, 261)
(174, 0)
Linha de contorno da restrio de horas detrabalho
9X1+ 6X2= 1566
Plotando a Segunda Restrio
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X2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
(0, 180)
(240, 0)
Linha de contorno da restrio detubulao
12X1+ 16X2= 2880
Regio Vivel
Plotando a Terceira Restrio
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X2
Plotando uma Curva de Nvel deuma Funo Objetivo
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
(0,
116.67)
(100, 0)
Funo objetivo350X1+ 300X2= 35000
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Segunda Curva de Nvel de umaFuno ObjetivoX2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
(0, 175)
(150, 0)
Funo objetivo
350X1+ 300X2= 35000
Funo objetivo
350X1+ 300X2=52500
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Encontrar a Soluo tima Usandoa Curva de NvelX2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
objective function
350X1+ 300X2= 35000
objective function
350X1+ 300X2= 52500
optimalsolution
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Calculando a tima Soluo A soluo tima para nosso problema do exemplo
ocorre no ponto em que a maior curva de nvelpossvel intercepta a regio vivel em um nicoponto.
Onde isso ocorre:X1+ X2= 200 (1)
and 9X1+ 6X2= 1566 (2) Em (1) ns temos, X2= 200 -X1 (3) Substituindo (3) por X2in (2) ns temos,
9X1+ 6 (200 -X1) = 1566o que reduz para X
1= 122
Ento, a soluo tima :X1=122, X2=200-X1=78
Lucro total = $350*122 + $300*78 = $66.100
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Enumerando os Pontos ExtremosX2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
(0, 180)
(174, 0)
(122, 78)
(80,120)
(0, 0)
valor obj. = $54,000
valor obj.= $64,000
valor obj.=$66,100
valor obj.= $60,900valor obj.=$0
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Resumo da Soluo Grfica para
Problemas de PL1. Plote a linha de contorno de cada restrio do
modelo.
2. Identifique a regio vivel3. Encontre a soluo tima por um dos
seguintes mtodos:
a. Plotando curvas de nvelb. Enumerando os pontos extremos
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Entendimento de Como as
Coisas Mudam Ver arquivo nomeado Fig2-8.xls, no site
www.cengage.com.br, na pgina do livro
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Condies Especiais em Modelosde PL
Anomalias que podem ocorrer emModelos de PL Mltiplas Solues timas
Restries Redundantes
Solues Ilimitadas
Inviabilidade
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Exemplo de Solues timasAlternadasX2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
450X1+ 300X2= 78300
Funo objetivo - curva de nvel
Mltiplas solues timas
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Exemplo de uma RestrioRedundanteX2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
Linha de contorno da restrio detubulao
Linha de contorno da restrio debomba
Linha de contorno da 50 restrio dehoras de trabalho
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Exemplo de uma Soluo IlimitadaX2
X1
1000
800
600
400
200
00 200 40
0600
800
1000
X1+ X2= 400
X1+ X2= 600
Funo objetivo
X1+ X2= 800Funo objetivo
-X1+ 2X2= 400
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Exemplo de InviabilidadeX2
X1
250
200
150
100
50
00 50 10
0150
200
250
X1+ X2= 200
X1+ X2= 150
Regio vivel paraa segunda restrio
Regio vivel
para a primeirarestrio
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Fim do Captulo 2