capitulo 2 transformadores

____________________________~C~A~P~~~L~OL_~~••~(

Transformadores

Antes de continuar con el estudio de las máquinas eléctricas, es recomendable tratarciertos aspectos de la teoría de los circuitos acoplados magnéticamente, en especial elfuncionamiento del transformador. A pesar de que el transformador estático no es un

dispositivo de conversión energética, es un componente indispensable en numerosos sistemasde conversión energética. Éste es un componente significativo en los sistemas de potencia decorriente alterna que logra generar energía eléctrica a partir del generador de voltaje de formamás económica, consigue a su vez la transferencia de potencia con el voltaje de transmisióntambién más económico, así como ,la utilización de la potencia con el voltaje más adecuadopara el dispositivo de uso en particular. El transformador también se utiliza de manera ampliaen circuitos de control de baja potencia y en circuitos electrónicos de baja corriente, los cualesdesempeñan funciones como la igualación de las impedancias de una fuente y su carga para lamáxima transferencia de potencia, al separar un circuito de otro o al aislar corriente directamientras se mantiene la continuidad de corriente alterna entre dos circuitos.

El transformador es uno de los dispositivos más sencillos, que está formado por dos o máscircuitos eléctricos acoplados por medio de un circuito magnético en común. El análisis deestos dispositivos implica varios de los principios esenciales para el estudio de las máquinaseléctricas. Por lo tanto, el estudio del transformador servirá como vínculo entre la introducciónal análisis de los circuitos magnéticos del capítulo 1 y la explicación más detallada de lasmáquinas eléctricas que trataremos a continuación.

2.1 INTRODUCCiÓN A LOS TRANSFORMADORES

En esencia, un transformador se compone de dos o más devanados acoplados por medio de unflujo magnético mutuo. Si uno de estos devanados, el principal, se conecta a una fuente devoltaje alterna, se producirá un flujo alterno cuya amplitud dependerá del voltaje principal, dela frecuencia del voltaje aplicado y del número de vueltas. El flujo mutuo se vinculará con elotro devanado, el secundario.' e inducirá un voltaje dentro del mismo cuyo valor dependerádel número de vueltas en el devanado secundario, así como de la magnitud del flujo mutuo y

I Es común nombrar a la entrada del transformador como el devanado primario y a la salida como el devanado se-cundario. Sin embargo, en numerosas aplicaciones, la potencia fluye de cualquiera de las dos maneras y por lo tanto elconcepto de devanados primario y secundario puede llegar a ser confuso. Una alternativa que se usa de manera fre-cuente para eliminar la confusión en esta terminología, designa a los devanados como alto y bajo voltaje.

57

58

Figura 2.1Vistas esquemáticasde transformadores a)tipo núcleo y b) tipoblindado.

CAPíTULO 2 Transformadores

de la frecuencia. Al proporcionar de forma adecuada el número de vueltas en el devanado pri-mario y secundario, es posible obtener casi cualquier relación de voltaje o relación de trans-formación.

La parte fundamental en el funcionamiento del transformador requiere únicamente de laexistencia de un flujo mutuo con variación temporal compartido por ambos devanados. Estehecho puede ocurrir en dos devanados acoplados en aire, pero dicho acoplamiento entre losmismos se realiza de manera más efectiva al usarse un núcleo de hierro u otro mate-rial ferromagnético, debido a que el flujo se mantiene dentro de un patrón definido de altapermeabilidad que une ambos devanados. Este transformador comúnmente se denomi-na transformador con núcleo de hierro. La mayoría de los transformadores son de este tipo.Por lo tanto, este capítulo se concentra casi en su totalidad en los transformadores con núcleode hierro.

Como se discutió en la sección 1.4, para reducir las pérdidas causadas por corrientes deeddy en el núcleo, el circuito magnético generalmente está compuesto de una pila de láminasdelgadas. En la figura 2.1 se ilustran dos tipos comunes de construcción para dichas estructu-ras. En el transformador tipo núcleo (figura 2.1a) los devanados se enrollan alrededor de doscolumnas de un núcleo magnético rectangular; en el transformador tipo blindado o acorazado(figura 2.1b) los devanados se enrollan alrededor de la columna central o pierna del núcleo detres columnas. En general, se utilizan láminas de acero al silicio con espesor de 0.014 para lostransformadores que operan con frecuencias menores a unos cuantos cientos de hertz. El aceroal silicio posee propiedades adecuadas como bajo costo, bajas pérdidas en el núcleo y altapermeabilidad a densidades de flujo altas (1.0 a 1.5 T). Los núcleos de transformadores peque-ños, empleados en circuitos de comunicación a altas frecuencias y bajos niveles de energía,algunas veces se fabrican a partir de aleaciones ferromagnéticas pulverizadas y comprimidas,denominadas ferritas.

En cada una de las configuraciones que se muestran en la figura 2.1, la mayoría del flujose limita al núcleo y por lo tanto vincula ambos devanados. Los devanados también producenflujo adicional, denominado flujo de dispersión, que atraviesa un devanado sin pasar al si-guiente. Aunque el flujo de dispersión es una pequeña fracción del flujo total, desempeña unafunción importante al determinar el comportamiento del transformador. En los transformado-res prácticos, la dispersión se reduce al subdividir los devanados en secciones colocadas lo

/---_.q;-----I \I II I

IIIIIIIIIIII

\ 1•...._--------_/

/------- .... \IIIIII

q;

~*~TIIIIII--_/

(" ---- ---',I II II II II I

~ I

'2 :I II II II II II I\ 1,

~"--Devanados --=,"--'" Devanados

a) b)

Figura2.2Visaen corte de untransformador típico dedistribución con auto-protección de magni-tud de 2 a 25 kVA,7200:240/120 V. Esnecesario sólo un ais-lante de alto voltaje yun pararrayos debido aque un costado de lalínea de 7 200 V Y uncostado del devanadoprimario presenta co-nexión a tierra. (Gene-ral Electric Company.)

2.2 Condiciones de vacío 59

más cerca posible entre sí, una sección en cada una de las dos piernas del núcleo, colocando eldevanado primario y secundario como bobinas concéntricas. En la estructura tipo blindado, sepueden usar variaciones en la disposición del devanado concéntrico, también es posible quelos devanados consistan en una cantidad de delgadas bobinas ensambladas en una pila conbobinas primarias y secundarias de distribución alterna.

La figura 2.2 ilustra la construcción interna de un transformador de distribución utilizadoen los sistemas de servicio público que suministra un voltaje apropiado para su uso en casahabitación. En la figura 2.3 se muestra un transformador de alta potencia.

2.2 CONDICIONES DE VAcíoLa figura 2.4 muestra una forma esquematizada de un transformador con el circuito secundarioabierto y un voltaje alternado VI aplicado a sus terminales principales. Con el fin de simplificarlos esquemas, en los diagramas de transformadores son comunes los devanados primarios ysecundarios como si se encontraran sobre columnas separadas del núcleo, como se muestra enla figura 2.4, aunque en realidad los devanados presentan distribución alterna. De acuerdo con

60

Figura 2.3Transformador de 660MVA, trifásico de 50 Hzy empleado para ge-nerar un voltaje de 20kV Y transmitir un vol-taje de 405 kV. (CEMLe Havre, miembrofrancés de la BrawonBoveri Corporation.)


lo que se indicó en la sección 1.4, una pequeña corriente de estado estacionario iqn denominadacorriente de excitación, fluye en el devanado primario y establece un flujo alterno en el circui-to magnético.i Este flujo induce una fem en el devanado principal igual a

(2.1)

donde

A.I= acoplamiento de flujo inductivo del devanado principal

<p = flujo en el núcleo que vincula ambos devanados

NI = número de vueltas en el devanado principal

2 En términos generales, la corriente de excitación corresponde al número neto de amperes vuelta (frnrn) que actúasobre el circuito magnético, y no es posible distinguir si fluye en el devanado primario o en el secundario o parcial-mente en cada devanado.

Figura 2.4Transformador con de-vanado secundarioabierto.


Devanado principal o primario,con N número de vueltas

<p---->-----I \I I~--------~~ *-~--~

II\ },-------_/

El voltaje el se encuentra en voltios cuando qJseencuentra en webers. Esta fem,junto conla caída de voltaje en la resistencia principal R 1, deberá equilibrar el voltaje aplicado VI; por lotanto, surge la siguiente expresión

vI=Rli",+el (2.2)

Advierta que para fines de este planteamiento no se consideran los efectos del acoplamiento deflujo en el devanado principal, que añadirá un término adicional que represente la fem induci-da a la ecuación 2.2. En los transformadores comunes, este flujo es un pequeño porcentaje delflu-jo del núcleo, por lo tanto es justificable ignorar el flujo de dispersión considerando losobjetivos actuales. No obstante, desempeña una función importante en el comportamiento delos transformadores, por lo que se trata con detalle en la sección 2.4.

En la mayoría de los transformadores, la resistencia en vacío en realidad es muy pequeña,y la fem inducida el es muy aproximada al voltaje aplicado VI' Además, las configuraciones deonda del voltaje y el flujo son casi sinusoidales. Por lo tanto, el análisis puede simplificarsebastante, como se demuestra en la sección 1.4. De esta manera, si el flujo instantáneo es

({J = 4Jmáx sen tot (2.3)

el voltaje inducido es

d({Jel = NI- = wNI4Jmáxcoswt

dt(2.4)

donde rf>máx es el valor máximo del flujo, w= 21tfy la frecuencia esfHz. Para las indicacionesde referencia de la corriente y el voltaje que se presentan en la figura 2.4, la fem inducidaconduce el flujo por aproximadamente 90°. El valor rms de la fem inducida el es

(2.5)

/

62 CAPíTULO 2 Transformadores

Si es posible ignorar la caída de voltaje resistivo, el medidor de fem iguala al voltajeaplicado. Bajo estas condiciones, si el voltaje sinusoidal se aplica a un devanado, se debeestablecer un flujo con variación sinusoidal del núcleo, cuyo máximo valor ¡Pmáx satisfaga elrequisito de que El en la ecuación 2.5 iguale el valor VI del voltaje que se aplica, de esta forma

<Pmáx = ,J2nf NIVI

(2.6)

Bajo estas condiciones, el flujo del núcleo se determina únicamente por medio del voltajeaplicado, su frecuencia y el número de vueltas del devanado. Esta importante relación es apro-piada no sólo para los transformadores, sino también para cualquier dispositivo que opere conun voltaje de carga alterno y sinusoidal, mientras que es posible ignorar las caídas de voltajeresistivo de dispersión de inductancia. El flujo del núcleo se fija mediante el voltaje aplicado,y la corriente de excitación requerida se determina a partir de las propiedades magnéticas delnúcleo; asimismo, la corriente de excitación deberá autoajustarse para producir la frnm que serequiere para crear el flujo que demanda la ecuación 2.6.

Debido a las propiedades magnéticas no lineales del hierro, la configuración de la onda dela corriente de excitación difiere de la configuración de onda del flujo. Una curva de la corrien-te de excitación como una función del tiempo se determina gráficamente a partir de la curva dehistéresis de corriente alterna, como se planteó en la sección 1.4 y se esquematizó en la figura 1.11.

Si se analiza la corriente de excitación por medio de los métodos de las series de Fourier,se determina que esta corriente consiste en un componente fundamental y en un conjunto dearmónicas impares. Este componente fundamental puede, a su vez, resolverse en dos com-ponentes, uno en fase con el medidor de fem y el otro desfasando el medidor de femunos 90°. El componente en fase suministra la potencia que se absorbe por histéresis y laspérdidas por corriente de eddy en el núcleo. Se le conoce como componente de pérdida delnúcleo en la corriente de excitación. Cuando el componente de pérdida del núcleo se sustrae dela corriente de excitación total, al resto se le denomina corriente magnetizante. Esta corrientese compone de un componente fundamental que desfasa el contador de fem 90°, junto contodas las armónicas. La armónica principal es la tercera. Para el caso de transformadores depotencia comunes, la tercera armónica por 10 general es aproximadamente 40% de la corrientede excitación.

A excepción de los problemas que se relacionan de forma directa con los efectos de lascorrientes armónicas, las peculiaridades de la configuración de onda de la corriente de excita-ción en general no necesitan tomarse en cuenta, debido a que la corriente de excitación esmenor, especialmente en transformadores grandes. Por ejemplo, la corriente de excitación deun transformador de potencia común es aproximadamente de 1 a 2% de la corriente de cargatotal. Como consecuencia, los efectos de las armónicas usualmente se incluyen en las corrien-tes sinusoidales que suministran los demás elementos lineales en el circuito. Entonces, la co-rriente de excitación se representa por medio de una corriente sinusoidal equivalente que poseeel mismo valor rms, así como la frecuencia, y produce la misma potencia promedio que lacorriente real de excitación. Tal representación es esencial para la construcción de un diagra-mafasorial, el cual muestra las relaciones de fase entre los numerosos voltajes y las corrientesde un sistema en forma de vector. Cada señal se representa por medio de un fasor cuya longitudes proporcional a la amplitud de la señal y cuyo ángulo es igual al ángulo de la fase de esa señalmientras se mide en relación con una señal de referencia específica.

Figura 2.5Diagramafasorial paracondiciones de vacío osincarga.


En la figura 2.5, los vectores El y <1>, respectivamente, representan los valores rms de lafem inducida y del flujo. El fasor jq> representa el va}or rms de la corriente de excitación sinusoidalequivalente. Este valor desfasa la fem inducida El por medio de un ángulo de fase

Aee A

La pérdida del núcleo Pe, es igual al producto de los componentes en fase de El elq» y seobtiene mediante la siguiente ecuación

P¿ = El Icp cosé, (2.7)

El componente i, en fase con El es la corriente de pérdida en el núcleo. El componente i;en fase con el flujo representa una corriente con onda de seno equivalente que presenta elmismo valor rms que la corriente magnetizante. En las figuras 1.12 y 1.14 se muestran lascaracterísticas de excitación comunes, volts amperes y pérdida en el núcleo del acero al siliciode alta calidad empleado en la fabricación de láminas para transformadores de distribución yde potencia.

~~--------------------------------------En el ejemplo 1.8, la pérdida del núcleo y los volts amperes para el núcleo que se presentan en la figura1.15 con una Bmáx = 1.5 T Y60 Hz se determina que son

P, = l6W (V I)rms = 20 VA

y el voltaje inducido de 274/..fi. = 194 V rms cuando el devanado era de 200 vueltas.Determine el factor de potencia, la corriente de pérdidas en el núcleo le' Y la corriente magneti-

zante 1m'

• Solución

Factor de potencia cos Be = ~ = 0.80 (desfasado) por lo tanto, Be= -36.9°

Advierta que se tiene conocimiento de que el factor de potencia se está desfasando debido a que elsistema es inductivo. -

Corriente de excitación L; = ~ = 0.10 A rrns"" 194

Componente de pérdida del núcleo le = J&. = 0.082 A rrns194

Componente magnetizante t;= I'P I sen Be I = 0.060 A rms


2.3 EFECTO DE LA CORRIENTE SECUNDARIA;TRANSFORMADOR IDEAL

Como una primera aproximación a una teoría cuantitativa, considere un transformador con undevanado primario de NI número de vueltas y un devanado secundario de N2 número de vuel-tas, como se esquematiza en la figura 2.6. Note que la corriente secundaria se define comopositiva y hacia fuera del devanado; por lo tanto, la corriente secundaria positiva produce unafmm en dirección opuesta con respecto a la corriente primaria. Considere que las propiedadesde este transformador se idealizaron bajo la suposición de que es posible ignorar las resisten-cias del devanado, ya que todo el flujo se limita al núcleo y vincula ambos devanados (porejemplo, el flujo de dispersión no se considera); asimismo, que no existen pérdidas en el nú-cleo y que la permeabilidad del núcleo es tan alta que únicamente se requiere una fmm deexcitación demasiado pequeña que es posible ignorar para establecer el flujo. Estas propieda-des son aproximadas a la realidad, sin embargo, para los transformadores no es posible obte-nerlas en la práctica. Un transformador hipotético que posee estas propiedades con frecuenciase denomina transfor-mador ideal.

Bajo las suposiciones citadas en el párrafo anterior, cuando se aplica un voltaje de variacióntemporal v 1 en las terminales primarias, deberá establecerse un flujo del núcleo qJde tal modo queel medidor de fem el iguale el voltaje aplicado. Por lo tanto, tenemos la siguiente expresión

dcpVI =el =NI- dt (2.8)

El flujo del núcleo también vincula el devanado secundario y produce una fem inducida e2 Yunvoltaje en la terminal secundaria V2 igual, dada por la ecuación

(2.9)

Figura 2.6Transformador idealy carga.

NI

rp/---~---,I ¡¡ ¡i¡ •-I¡

\ ••..._------_/

2.3 Efecto de la corriente secundaria; transformador ideal 65

A partir de la relación de las ecuaciones 2.8 y 2.9,

VI

V2

(2.10)

De esta manera, un transformador ideal varía los voltajes en proporción directa con el númerode vueltas de sus devanados.

Ahora considere que se ha conectado una carga al devanado secundario. Una corriente i2

y un fmm N2i2 se encuentran presentes en el devanado secundario. Dado que la permeabilidaddel núcleo se supone mayor y que el voltaje principal aplicado establece el flujo del núcleocomo se especifica en la ecuación 2.8, el flujo del núcleo no cambia por la presencia de unacarga en el devanado secundario, y por lo tanto, la fmm de excitación neta que actúa en el nú-cleo (igual a NI il - N2i2) no presentará variación, y como consecuencia permanecerá sin consi-derarse despreciable. Tenemos la siguiente expresión

(2.11 )

A partir de la ecuación 2.11 se observa que una fmm compensadora principal deberá cancelarla secundaria. Por lo tanto,

Nlil = N2i2 (2.12)

De esta manera, se observa que el requisito para que la fmm neta permanezca constante esel medio por el cual el devanado principa~abe de la presencia de la corriente de carga en el de-vanado secundario; cualquier cambio en el flujo de la fmm en el devanado secundario comoconsecuencia de una cara deberá acompañarse por un cambio correspondiente en la fmm deldevanado primario. Advierta que para las indicaciones de referencia que se presentan en la fi-gura 2.6 las fuerzas magnetomotrices de il e i2 se encuentran en direcciones opuestas y por lotanto se compensan. Como consecuencia, la fmm neta que actúa en el núcleo es cero, de acuer-do con la suposición de que la corriente de excitación de un transformador ideal es cero.

A partir de la ecuación 2.12 tenemos la siguiente ecuación

i Ii2

(2.13)

De esta forma, un transformador ideal convierte las corrientes en la proporción inversa delnúmero de vueltas en los devanados que posee.

También advierta que a partir de las ecuaciones 2.10 y 2.13 tenemos la siguiente expresión

VI il = V2i2 (2.14)

Por ejemplo, la entrada de potencia instantánea del devanado primario equivale a la salidade potencia instantánea del devanado secundario, lo cual es una condición necesaria debido aque se han ignorado todos los mecanismos de dispersión y de acumulación de energía en eltransformador.

66 CAPiTULO 2 Transformadores

~(Z~ya a -+ + [1

z, VI ~(ZJb b

a) b) e)

a 0---------',

+

bo-------'

Figura 2.7Se muestran tres cir-cuitos que son idénti-cos en sus terminalesab cuando el transfor-mador es ideal.

Es posible observar una propiedad adicional del transformador ideal al considerar el casode un voltaje sinusoidal aplicado y una carga de impedancia. Puede ser utilizado un simbolismofasorial. El circuito aparece simplificado en la figura 2.7a, en donde las terminales punteadasdel transformador corresponden a las terminales marcadas de manera similar en la figura 2.6.Estas marcas punteadas indican terminales de polaridad correspondiente; por ejemplo, si unade ellas sigue a través de los devanados primario y secundario como el caso de la figura 2.6,comenzando en sus terminales punteadas, se encontrará que ambos devanados encierran al nú-cleo en la misma dirección que el flujo. Por lo tanto, si se comparan los voltajes de ambosdevanados, los voltajes de una terminal punteada a una sin marcar serán de la misma polaridadinstantá~ea ~to para el devanado primario como para el secundario. En 0t:as palabras, losvoltajes V, yV2 de la figura 2.7a se encuentran en fase. También las corrientea/¡ e/2 se encue~-tran en fase, tal como se observa en la ecuación 2.12. Advierta de nuevo que la polaridad de /,se define como dentro de la terminal punteada y la polaridad de [2 se define como fuera de laterminal punteada.

A continuación se investigan las propiedades de transformación de impedancia del trans-formador ideal. En forma de fasorial, las ecuaciones 2.10 y 2.13 se expresan de la siguienteforma

~ N, ~VI= -V2N2

(2.15)y

~ N2 ~l ,= -/2

N,~ N, ~/2 = -/,

N2(2.16)y

A partir de estas ecuaciones tenemos la siguiente expresión

?, = (N,)2 ?2t, N2 /2

(2.17)

Observe que la impedancia de carga Zz se relaciona con los voltajes secundarios y lascorrientes

2.3 Efecto de la corriente secundaria; transformador ideal 67

(2.18)

donde ~ es la impedancia compleja de la carga. Como consecuencia, en lo que respecta a esteefecto, una impedancia ~ en el circuito secundario puede reemplazarse por una impedanciaequivalente ZI en el circuito primario, sólo si

(2.19)

De esta forma, los tres circuitos de la figura 2.7 no se distinguen entre sí mientras su fun-cionamiento se observe desde el punto de vista de sus terminales ab. A la transferencia de impe-dancia de un lado al otro de un transformador se le denomina referir o reflejar la impedancia alotro lado; las impedancias se transforman al cuadrado de la razón del número de vueltas. Demanera similar, es posible referir los voltajes y las corrientes de un lado a otro utilizando lasecuaciones 2.15 y 2.16 para evaluar el voltaje equivalente y la corriente de ese lado.

Para resumir, en un transformador ideal los voltajes se convierten en proporción direc-ta con el número de vueltas del devanado, las corrientes en proporción inversa y las impedan-cias en proporción directa al cuadrado; la potencia y los volts amperes permanecen sincambios.

~~--------------------------------------El circuito equivalente de la figura 2.8a muestra un transformador ideal con una impedancia de R2 +jX2

= 1 +j4 n conectado en serie con el secundario. La proporción de vueltas es de N¡/N2 = 5: 1. a) Dibuje uncircuito equivalente con la impedancia serie referida al lado primario. b) Para un voltaje primario de120 V rms y un corto conectado a través de las terminales A-B, calcule la corriente principal y la corrienteque fluye en el corto .

• Solución

a) El nuevo circuito equivalente se presenta en la figura 2.8b. La impedancia secundaria se refiere a laprimaria mediante el cuadrado de la proporción del número de vueltas. De esta manera,

R; + jx; = (~~y(R2 + jX2)

= 25 + jlOO n

b) A partir de la ecuación 2.19, aparecerá un corto en las terminales A-B en el devanado primario deltransformador ideal de la figura 2.8b, ya que el voltaje cero del corto es un producto de la proporcióndel número de vueltas N¡/N2 al primario. Por lo tanto, la corriente del primario será dada por lasiguiente ecuación

A VI11=----

R~ + jX~

120--- = 0.28 - j 1.13 A rms25 + jlOO

68

Figura 2.8Circuitos equivalentespara el ejemplo 2,2,a) Impedancia en se-rie con el secundario,b) Impedancia referi-da al devanado pri-mario,


B

A A+ +

L-~r----------------oBNI

a) b)

que corresponde a una magnitud de 1.16 A rms. De acuerdo con la ecuación 2.13 la corriente secundariaigualará la proporción N 1/N2 = 5 veces que la corriente del devanado primario. De esta forma, la corrienteen el corto tendrá una magnitud de 5( 1.16) = 5.8 A rms.

------------------Repita el inciso a) del ejemplo 2.2 para una impedancia serie de R2 + jX2 = 0.05 + jO.97 n y una propor-ción de vueltas de 14: 1.

Solución

La corriente principal es de 0.03 - jO.63 A rms, correspondiente a la magnitud de 0.63 A rrns. La corrienteen el corto será 14 veces mayor y por lo tanto tendrá una magnitud de 8.82 A rms.

2.4 REACTANCIAS DEL TRANSFORMADORY CIRCUITOS EQUIVALENTES

Las diferencias técnicas de un transformador real a un transformador ideal deberán incluirse enmayor o menor grado en la mayoría de los análisis del funcionamiento de un transformador; unejemplo más completo deberá tomar en cuenta los efectos de la resistencia del devanado, losflujos de dispersión, así como la corriente de excitación finita debido a la permeabilidad finitadel núcleo (a su no linealidad). En algunos casos las capacitancias de los devanados tambiénafectan de manera importante, lo cual es notable en problemas que tienen que ver con el compor-tamiento del transformador en frecuencias por debajo de la gama de frecuencias audibles odurante condiciones de rápida transición como las que se encuentran en los transformadores desistema de potencia; por ejemplo, el sobrevoltaje causado por alumbrado o disyunción. El aná-lisis de los problemas relacionados con la frecuencia alta se encuentra fuera de los temas quese tratarán en esta publicación, en consecuencia, las capacitancias de los devanados no seránconsideradas.

Los dos métodos de análisis que toman en cuenta las diferencias técnicas de los trans-formadores citados con respecto a los transformadores ideales son: 1) una técnica de circuitoequivalente que se basa en el razonamiento físico y 2) una aproximación matemática que se fun-damenta en la teoría clásica de circuitos acoplados magnéticamente. Ambos métodos se usancotidianamente y poseen analogías en las teorías de las máquinas rotativas. Debido a que estosmétodos ofrecen un valioso ejemplo del proceso de pensamiento relacionado con la transforma-

Figura 2.9Vistaesquemática delosflujos mutuos y dedispersión en un trans-formador.

2.4 Reactancias del transformador y circuitos equivalentes 69

Flujo mutuo resultante !{J"~

~

r- r- ~ ~• xO • xO

l 1 2 2

"---- ~ ~ ~

~

t t tI \\. '- Flu'Flujo de dispersión

primaria

JO de dispersiónsecundaria

ción de conceptos físicos a una teoría cuantitativa, en esta ocasión se presenta la técnica de cir-cuito equivalente.

Para iniciar la elaboración de un circuito equivalente, se considerará en primer lugar al de-vanado principal. El flujo total que vincula el devanado principal se divide en dos componentes:el flujo mutuo resultante, que está limitado esencialmente al núcleo de hierro y es producidomediante el efecto combinado de las corrientes primaria y secundaria; además del flujo de dis-persión principal, que vincula únicamente el devanado principal. Estos componentes se presen-tan en el transformador esquemático que aparece en la figura 2.9, donde, para fines de simplici-dad, los devanados primario y secundario se ubican en columnas opuestas del núcleo. En untransformador real con devanados de distribución alterna, los detalles de cómo se distribuye elflujo son más complicados, pero las características esenciales permanecen iguales.

Por su parte, el acoplamiento flujo de dispersión induce un voltaje en el devanado princi-pal que se añade al producido por el flujo mutuo. Debido a que el patrón de dispersión esmayor a través del aire, e~te flujo y el voltaje inducido por dicho patrón, varían linealmentecon la corriente primaria 11, Por lo tanto, pueden representarse mediante una inductancia dedispersión primaria LII (igual al flujo de dispersión que vincula con el devanado primario porunidad de corriente primaria). La reactancia de dispersión principal correspondiente XII sedetermina a partir de la ecuación

(2.20)

Además, existirá una caída de voltaje en la resistencia principal RI'En este momento se observa que el voltaje terminal principal VI se compone de tres ele-

mentos: la caída [1 R 1 en la re~istencia principal, la caída [1 XII que surge a partir del flujo dedispersión principal y la fem El inducida en el devanado principal por medio del flujo mutuoresultante. La figura 2.10a muestra un circuito equivalente para un devanado primario queincluye cada uno de estos voltajes.

El flujo mutuo resultante vincula ambos devanados y se crea al combinar su frnm. Esconveniente tratar estas fuerzas magnetomotrices considerando que la corriente principal de-berá estar al tanto de dos requisitos del circuito magnético: no sólo deberá producir la fmm que


RI XI, RI XI, I'

+~+

--4-

+ +

VI El El

-1 1- Xm

a) b)

RI XI, XI2 R2

+ +

te)

RI XI, x' Rí12

+ +

Figura 2.10Etapas en el desarrollode un circuito equiva-lente del transforma-dor. d)

se requiere para producir un flujo mutuo resultante, al mismo tiempo deberá contrarrestar elefecto de la fmm secundaria que actúa para desmagnetizar el núcleo. Un punto de vista alterna-tivo es que la corriente primaria no sólo deberá magnetizar el núcleo, sino también suministrarcorriente a la carga conectada al devanado secundario. De acuerdo con este cuadro, es conve-niente dividir la corriente principal en dos componentes: un componente de excitación y uncomponente de carga. El componente de excitación iq> se define como la corriente principaladicional que se requiere para producir el flujo mutuo resultante. Ésta es una corriente nosinusoidal del tipo que se describió en la sección 2.2.3 El componente de carga ií se definecomo la corriente componente en el devanado principal que contrarrestará de manera exacta lafmm de la corriente secundariajj,

Al considerar que el componente de excitación es el que produce el flujo en el núcleo, lafmm neta deberá ser igual a la NI i<{J' por lo tanto, se obtiene la siguiente ecuación

3 De hecho, la corriente de excitación corresponde a la fmm neta que actúa sobre el núcleo del transformador, y nopuede, en términos generales, considerarse que esta corriente fluye únicamente en el devanado principal. Sin embargo,para fines de este tema, esta distinción no es importante.

2.4 Reactancias del transformador y circuitos equivalentes 71

s.t; = s.t, - N212"Al A

= N,(I", + /2) - N2/2(2.21)

y a partir de la ecuación 2.21 se observa que

(2.22)

De la ecuación 2.22 se observa que el componente de carga de la corriente principal igualala corriente secundaria relacionada con la primaria, como en el caso de un transformador ideal.

La corriente de excitación, como se describió en la sección 2.2, puede tratarse como unacorriente sinusoi,?al equivalente i", y dividirse en lln componente

A

de pérdida del núcleo i, enfase con la frnrn E, Yun componente magnetizante Im que desfasa E, aproximadamente 90°. Enun circuito equivalente (figura 2.lOb) la corriente de excitación sinusoidal equivalente se midepor medio de una rama paralela conectada a través de E, que comprende una resistencia depérdidas en el núcleo Re en paralelo con una inductancia magnetizante Lm, cuya reactancia sedenomina reactancia magnetizante y está dada por la siguiente ecuación

(2.23)

En el circuito equivalente de la potencia ErlRe (figura 2.10b) se mide la pérdida de núcleoque se debe al flujo mutuo resultante. Por lo tanto, Re se conoce como la resistencia magnetizanteo resistencia de pérdidas del núcleo y junto con Xm conforma la rama de excitación del circuitoequivalente; por lo tanto, a la combinación paralela de Re YXm se le conocerá como la impe-dancia de excitación Z",. Cuando se asuma que Re es constante, se considera que la pérdida delnúcleo tendrá una variación como ET o (para ondas seno) como lf>2máxf2, donde lf>máx es el valormáximo del flujo mutuo resultante. Hablando estrictamente, la reactancia magnetizante Xm

varía según la saturación del hierro. Cuando se asume que Xm es constante, la corrientemagnetizante se considerará independiente de la frecuencia y directamente proporcional alflujo mutuo resultante. Tanto Re como Xm por lo general se determinan de acuerdo con unvoltaje y frecuencia nominales; entonces se asume que estos dos términos permanecerán cons-tantes para las pequeñas diferencias técnicas de los valores establecidos asociados con unaoperación normal.

A continuación, al circuito equivalente mostrado anteriormente se añadirá una repre-sentación del devanado secundario. Se comenzará por reconocer que el flujo mutuo resultante

el> induce una fem E2 en el devanado secundario, y ya que este flujo vincula ambos devanados,la proporción de fem inducida deberá igualar la proporción del número de vueltas en el deva-nado, por ejemplo,

(2.24)

tal como ocurre en un transformador ideal. Esta transformación de voltaje y la conversión decorriente de la ecuación 2.22 pueden medirse introduciendo un transformador ideal en el circui-to equivalente, como en el caso de la figura 2.1 Oc. Como en el caso del devanado primario, donde


la fem E2 no es el voltaje terminal secundario; sin embargo, debido a la resistencia secundariaR2 y también a la corriente secundaria.i, se crea un flujo de dispersión secundario (véase la figu-ra 2.9). El voltaje terminal secundario V2 difiere del voltajeE2 por la caída de voltaje que se debea la resistencia secundaria R2 y a la reactancia de dispersión secundaria X¡2 (correspondiente ala inductancia de dispersión secundaria L¡), como sucedió t:;.nla porción del circuito completoequivalente al transformador (figura 2.lOc) a la derecha de E2.

A partir del circuito equi valente de la figura 2.10, es posible observar que el transformadorreal, por consecuencia, será equivalente a un transformador ideal más sus impedancias exter-nas. Al referir todas las cantidades al devanado primario o secundario, el transformador idealesquematizado en la figura 2.lOc podrá moverse a la derecha o a la izquierda, respectivamente,del circuito equivalente. Esto es invariablemente posible y el circuito equivalente por lo gene-ral se esquematiza como en la figura 2.lOd, con el transformador ideal no visible, además detodos los voltajes, corrientes e impedancias referidas ya sea al devanado primario o secunda-rio. De forma específica para la figura 2.lOd,

(2.25)

(2.26)

y

(2.27)

Al circuito de la figura 2.1 Od se le denomina circuito equivalente T para un transformador.En la figura 2.1 Od, en donde las cantidades secundarias se refieren al devanado primario,

los valores secundarios referidos se indican como primas, por ejemplo XÍ2 y R í, con el fin dedistinguirlos de los valores reales en la figura 2.lOc. En la discusión que se presenta a conti-nuación, casi siempre se tratará con valores referidos y los valores primos se omitirán. Sólodebe recordarse el lado del transformador al que se referirán todas las cantidades.

~--------------Un transformador de distribución de 50 kVA 2 4OO:240V 60 Hz presenta una impedancia de dispersiónde 0.72 + jO.92 n en el devanado de alto voltaje y 0.0070 + jO.0090 n en el devanado de bajo voltaje. Aun voltaje y frecuencia nominales, la impedancia Z", de la rama derivada (igual a la impedancia de Re YjXm en paralelo) al medir la corriente de excitación es 6.32 + j43.7 n vista desde el lado de bajo voltaje.Dibuje el circuito equivalente referido a a) el lado de alto voltaje y b) el lado de bajo voltaje, además,identifique numéricamente las impedancias .

• Solución

Los circuitos se presentan en la figura 2.11a y b, respectivamente, con el lado de alto voltaje con elnúmero 1 y el lado de bajo voltaje con el número 2. Los voltajes dados en la placa de un transformador de

2.5 Aspectos de ingeniería en el análisis de transformadores 73

Z/, = 0.72 + jO.92 Z/2 = 0.70 + jO.90 Z/, = 0.0072 + jO.0092, ---0 0--- r

a e' I : e a I la'I I II IL.. ,. , ,J

Z<p= 632 + j4 370 ~~ ~~ ~~ ~~r '1 ( '1

b d' :I d b

I: b'I I

....--0 O-_..J

a) b)

Figura 2.11Circuitos equivalentespara el transformadorcitado en el ejemplo2.3relacionado con a)el lado de alto voltaje yb) el lado de bajovoltaje.

Z/2 = 0.0070 + jO.0090

Z<p= 6.32 + j43.7

d

sistema de potencia se basan en la proporción del número de vueltas y no toman en consideración lapequeña caída de voltaje por impedancia de dispersión bajo carga. Dado que es un transformador 10 al,las impedancias se refieren a la multiplicación o división entre 100; por ejemplo, el valor de una impe-dancia relacionada con el lado de alto voltaje es mayor por un factor de 100 en comparación con el valorrela-cionado con el lado de bajo voltaje.

El transformador ideal puede esquematizarse de manera explícita, como se muestra en la figura2.11, donde aparecen zonas punteadas; también es posible omitirlo en el diagrama y recordarlo mental-mente, estableciendo las letras que no se marcaron como las terminales. Si se lleva a cabo de esta forma,el técnico deberá recordar relacionar todas las impedancias y fuentes que se conectaron con el fin de quesean consistentes con las omisiones hechas del transformador ideal.

~~---------------------------------Si se aplican 2 400 V rms aliado de alto voltaje del transformador que se cita en el ejemplo 2.3, calculela magnitud de la corriente dentro de la impedancia magnetizante Z<pen las figuras 2.lla y b, respectiva-mente.

Solución

La corriente que atraviesa Z<pes de 0.543 A rms cuando se le refiere al lado de alto voltaje como sucede enla figura 2.lla y de 5.43 A rms cuando se le refiere aliado de bajo voltaje.

2.5 ASPECTOS DE INGENIERíA EN EL ANÁLISISDE TRANSFORMADORES

Dentro de las consideraciones en los análisis de ingeniería de los transformadores como ele-mentos de circuitos, es común adoptar una de las diferentes formas del circuito equivalenteque se muestra en la figura 2.10, en vez de un circuito completo. Las configuraciones apro-ximadas que se elijan en un caso particular dependen mucho del razonamiento físico que sebasa en órdenes de magnitud de las cantidades despreciables. Las aproximaciones más comu-nes se tratan en esta sección. Además, se proporcionan métodos de evaluación para determinarlas constantes del transformador.

Los circuitos equivalentes aproximados que se utilizan más comúnmente en los análisisde transformadores de potencia con constante frecuencia se resumen para su comparación enla figura 2.12. Todas las cantidades en estos circuitos se les refieren al devanado primario o alsecundario, y no se muestra al transformador ideal.


a) b)

Req Xeq Xeq

+~+ J ~ t-11= 12

Figura 2.12 VI V2 VI V2

Circuitos equivalentes -1 t -1 taproximados paratransformadores. e) d)

Los cálculos pueden simplificarse bastante al mover la representación de la rama de deri-vación de la mitad del circuito T ya sea a las terminales primaria o secundaria, como el caso delas figuras 2.l2a y b. A estas configuraciones del circuito equivalente se les denomina circuitossimplificados. Las ramas en serie son el resultado de la combinación de la resistencia y de lareactancia de dispersión del devanado principal y secundario, que se han referido al mismolado. A esta impedancia algunas veces se le denomina impedancia serie equivalente y a suscomponentes, la resistencia serie equivalente Req Yla reactancia serie equivalente Xeq, comose ilustra en la figura 2.l2a y b.

Como se comparó con el circuito T equivalente de la figura 2.l0d, el circuito simplificadoequivalente presenta un error al despreciar la caída de voltaje en la impedancia de dispersiónen el devanado primario o secundario causado por la corriente de excitación. Debido a que laimpedancia de la rama de excitación por lo general es mayor en los transformadores de poten-cia de grandes dimensiones, la corriente de excitación correspondiente es notablemente me-nor. Este error es insignificante en la mayoría de las circunstancias relacionadas con grandestransformadores.

~~---------------------------------------Considere el circuito equivalente T que se muestra en la figura 2.11a de 50 kVA 2400:240 V para eltransformador de potencia del ejemplo 2.3, en el cual las impedancias se refieren al lado de alto voltaje.a) Esquematice el circuito equivalente simplificado con la rama en paralelo en la terminal de alto voltaje.Calcule y etiquete Req y Xeq' b) Con la terminal de circuito abierto de bajo voltaje, calcule el voltaje en laterminal de bajo voltaje como se predijo en cada circuito equivalente .

• Solución

a) El circuito equivalente simplificado se muestra en la figura 2.13. Los términos Req y Xeq se determi-nan simplemente como la suma de las impedancias serie de devanado de alto y bajo voltaje de lafigura 2.11a.

Figura 2.13Circuitoequivalentesimplificadopara elejemplo2.4.


Req= Xeq =1.42 Q 1.82 Q

a e

b 0-----"------------0 d

Req = 0.72 + 0.70 = 1.42 n

Xeq = 0.92 + 0.90 = 1.82 n

b) Para el circuito equivalente T de la figura 2.11a, el voltaje en la terminal marcada como e'-e! estádado por la ecuación

A ( 2", )V¿-d' = 2400 = 2 399.4 + j0.315 V2",+2/1

Esta ecuación corresponde a una magnitud rms de 2 399.4 V. Al reflejarse en las terminales de bajo vol-taje por medio de la proporción de vueltas, lo que a su vez, corresponde a un voltaje de 239.94 V.

Debido a que la impedancia de excitación se conecta directamente a través de las terminales de altovoltaje en el circuito equivalente de la figura 2.13, no existirá caída de voltaje en cualquier impedancia dedispersión en serie y el voltaje secundario previsto será de 240 V. Estas dos soluciones difieren por0.025%, por lo tanto, se encuentran dentro de una precisión técnica aceptable y claramente justifican lautilización del circuito simplificado equivalente para el análisis de este transformador.

Como se ilustra en la figura 2.12c, a partir de omitir la corriente de excitación se produceotra simplificación analítica, en donde el transformador es mayor (cientos de kilovolt ampereso más), la resistencia equivalente Req es pequeña al compararse con la reactancia equivalenteXeq por lo que puede ignorarse con frecuencia, dando como resultado el circuito equivalente dela figura 2.12d. Los circuitos que se presentan en la figura 2.12c y d son suficientemente pre-cisos para la mayoría de los problemas de sistemas de potencia más comunes y se utilizan entodos los análisis que se lleven a cabo con más detalle. Por último, en situaciones donde las co-rrientes y voltajes se determinan en su mayoría por medio de los circuitos externos al transfor-mador o cuando no se requiere un alto grado de precisión, la impedancia completa del transfor-mador puede omitirse y considerar al transformador ideal, como se mostró en la sección 2.3.

Los circuitos de la figura 2.12 presentan la ventaja adicional de que es posible calcular laresistencia Req y la reactancia equivalente Xeq a partir de una prueba muy simple en donde unaterminal presenta un corto circuito. Por otra parte, se dificulta el proceso para determinar lasreactancias de dispersión individual XI) y X12, así como el conjunto completo de parámetrospara el circuito equivalente T de la figura 2.1 Oc. El ejemplo 2.4 ilustra que debido a la caída devoltaje a través de las impedancias de dispersión, la proporción de los voltajes medidos en untransformador no será idéntica a la proporción de voltaje que se obtendría si el transformadorfuera ideal. De hecho, sin un conocimiento anticipado de la proporción de vueltas (con base enla información de la construcción interna del transformador), no es posible realizar una serie


de medidas que determinen únicamente dicha proporción, así como la inductancia magnetizantey las impedancias de dispersión individual.

Es posible demostrar que simplemente a partir de mediciones en las terminales, ni la propor-ción de vueltas, ni la reactancia magnetizante o las reactancias de dispersión, son característi-cas particulares de un circuito equivalente de transformador. Por ejemplo, el número de vueltaspuede elegirse de manera arbitraria, y para cada opción establecida existirá el conjunto devalores correspondiente para las reactancias magnetizantes y de flujo que iguale a la medidacaracterística. Cada uno de los circuitos equivalentes obtenidos presentarán las mismas caracte-rísticas en sus terminales eléctricas, hecho que trae como consecuencia que cualquier conjuntoautoconsistente de parámetros determinados empíricamente representará de forma adecuadaal transformador.

El transformador de 50 kVA 2 400:240 V, cuyos parámetros se encuentran en el ejemplo 2.3, se empleapara reducir el voltaje en la terminal de carga de un dispositivo alimentador cuya impedancia es de 0.30+ j 1.60 Q. El voltaje Vs en el extremo transmisor es de 2 400 V.

Determine el voltaje en las terminales secundarias del transformador cuando la carga que se conectaa él, toma la corriente de plena carga y el factor de potencia de la carga es de 0.8 en atraso. Ignore el des-censo de voltaje en el transformador y en el alimentador causado por la corriente de excitación .

~----------------------------------------

• Solución

El circuito con todas las cantidades referidas al lado de alto voltaje (primario) del transformador seexpone en la figura 2.14a, donde se representa al transformador por medio de su impedancia equivalente,como se muestra en la figura 2.12e. A partir de la figura 2.11a, el valor de la impedancia equivalente es2eq = 1.42 +j 1.82 Q y la impedancia combinada del alimentador y el transformador en serie es 2 = 1.72+j 3.42 Q. De acuerdo con el valor límite del transformador, la corriente de carga que se refiere alIado dealto voltaje es de 1= 50000/2400 = 20.8 A.

Es posible obtener la solución de manera más fácil con la ayuda del diagrama fasorial referido allado de alto voltaje como se muestra en la figura 2.14b. Advierta que el factor de potencia se define ~n ellado de ~arga del transformador y por lo tanto precisa el ángulo de fase ()entre la corriente de carga 1y elvoltaje V2•

()= - cos " (0.80) = -36.870

A partir del diagrama fasorial

Ob = JV/ - (be)2 Y V2 = Ob - ab

Observe que

be = 1X cos () - 1 R sen () ab = 1 R cos () + 1X sen ()

donde R YX son la resistencia y la reactancia combinadas, respectivamente. Por lo tanto

be = 20.8(3.42)(0.80) - 20.8(1.72)(0.60) = 35.5 V

ab = 20.8(1.72)(0.80) + 20.8(3.42)(0.60) = 71.4 V


+ O~~-r--------~----~~TAlimentador Transformador

a) b)

Figura 2.14a) Circuito equivalentey b) diagrama fasorialesquematizado para elejemplo 2.5.

La sustitución de los valores numéricos muestran V2 = 2 329 V, referidos aliado de alto voltaje. Elvoltaje real en las terminales secundarias es de 2 329/10, o

V2 = 233 V

.- ------------------------------------------------------------------Repita el ejemplo 2.5 para una carga donde el valor numérico de la corriente extraída del transformadory el factor de potencia de la carga es de 0.80 de adelanto.

Solución

V2 = 239V

Dos pruebas muy simples son útiles para determinar los parámetros de los circuitos equi-valentes de la figura 2.10 y 2.12. Estas pruebas consisten en medir el voltaje de entrada, la co-rriente y la potencia del primario; primero con el secundario en corto circuito y posteriormentecon el secundario con circuito abierto.

Prueba de corto circuito La prueba de corto circuito puede utilizarse para determinar laimpedancia serie equivalente Req + jXeq- Aunque el devanado se haya elegido de manera arbi-traria para el corto circuito, para fines de este planteamiento, se considerará que el corto circui-to se aplicará al secundario del transformador y el voltaje al primario. En esta prueba, por ra-zones de conveniencia, generalmente se empleará el lado de alto voltaje como el primario.Debido a que la impedancia serie equivalente en un transformador común es relativamentepequeña, el voltaje primario aplicado dentro del rango de 10 a 15% o menos del valor nominalresultará en el valor nominal de la corriente.

La figura 2.15a muestra el circuito equivalente con la impedancia del secundario del trans-fonnador referida al lado primario, así como un corto circuito aplicado al secundario. La impe-dancia del corto circuito Zse se recorrerá al lado primario bajo estas condiciones

Z (R + 'X )Z - R + .X + 'P 2 ) 12se - 1 ) I1 Z + R + 'X

'P 2 ) 12

(2.28)

Debido a que la impedancia Z(! de la rama de excitación es mucho mayor que la impedancia dedispersión secundaria (lo que es cierto, a menos que el núcleo se encuentre muy saturado

¡se ¡ Req= Xeq=- R, XI, X/2 R2 ~R,+R2 X/,+X/2

+ +

Vse Vse Re Xm

78

Figura 2.15Circuito equivalenteque presenta corto cir-cuito en el lado secun-dario. a) Circuito equi-valente completo. b)Circuito equivalentecon la rama de excita-ción en el secundariodel transformador.

CAPiTULO 2 Transformadores

a) b)

debido a un exceso de voltaje aplicado alIado principal, lo cual, ciertamente, no es el caso), laimpedancia de corto circuito puede aproximarse mediante la siguiente ecuación

(2.29)

Advierta que la aproximación que se llevó a cabo en este caso es equivalente a la aproximaciónrealizada al reducir el circuito equivalente T al circuito simplificado. Este hecho puede obser-varse en la figura 2.15b; la impedancia que se observa en la entrada del circuito equivalenteclaramente es Zse = Zeq = Req +jXeq, ya que la rama de excitación es acortada directamente porel corto en el lado secundario.

En general, la instrumentación empleada para esta prueba medirá la magnitud rms del vol-taje Vse, la corriente del corto circuito [se Yla potencia Pse' Con base en estos tres parámetros,la resistencia equivalente y la reactancia (referidas alIado principal) pueden determinarse apartir de la siguiente ecuación

(2.30)

(2.31)

(2.32)

donde el símbolo 11 indica la magnitud de cantidad entera que éste encierra.La impedancia equivalente puede, por supuesto, referirse de un lado a otro de la manera

usual. En raras ocasiones, cuando sea necesario recurrir al circuito equivalente T que apareceen la figura 2.10d, es posible obtener los valores aproximados de la resistencia primaria y se-cundaria de manera individual, así como de la reactancia de dispersión por medio de asumirque R¡ = R2 = 0.5 Req YXI, = XI2 = 0.5 Xeq cuando todas las impedancias se refieren al mismolado. De forma estricta, es posible valorar directamente R¡ y R2 por medio de una medición deresistencia de corriente directa llevada a cabo en cada devanado (y después refiriéndose de un


lado a otro del transformador ideal). Sin embargo, como se planteó, no existe una prueba tansimple para las reactancias de dispersión XI, y X12.

Prueba del circuito abierto La prueba de circuito abierto se lleva a cabo en el lado secun-dario con el circuito abierto y el voltaje nominal aplicado al lado primario. Bajo esta condi-ción, se obtiene una corriente de excitación de poco porcentaje con respecto a la corrientecompleta de carga (menor en transformadores grandes y mayor en transformadores pequeños).Se elige el valor nominal del voltaje para asegurar que la reactancia magnetizante operará a unnivel de flujo aproximado al que existiría bajo condiciones normales de operación. Si el transfor-mador operara a otro valor de voltaje que no sea el nominal, la prueba deberá llevarse a cabocon este voltaje. Para fines de conveniencia, el lado de bajo voltaje es generalmente considera-do como el lado primario en esta prueba. Si en esta prueba se elige el lado primario para ser eldevanado opuesto con respecto a la prueba del corto circuito, deberá tenerse cuidado al referirlas diferentes impedancias que se midieron al mismo lado del transformador, con el fin de ob-tener un conjunto autoconsistente de parámetros.

La figura 2.16a muestra el circuito equivalente con la impedancia secundaria del transfor-mador, referida aliado primario y aliado secundario con circuito abierto. La impedancia delcircuito abierto Zoc reflejada hacia el lado primario bajo estas condiciones es

(2.33)

Debido a que la impedancia de la rama de excitación es bastante grande, la caída de voltaje enla impedancia de dispersión principal causada por la corriente de exc!tación, generalmente sepuede ignorar, y el voltaje principal impreso Voc casi iguala la fem Eoc inducida por el flujoresultante del núcleo. De manera similar, la pérdida primaria I~ R 1 causada por la corriente deexcitación puede no ser tomada en consideración, por lo tanto, la entrada de potencia Poc

presenta escasa diferencia con respecto a la pérdida del núcleo E~Rc' Como consecuencia, escomún ignorar la impedancia de dispersión primaria y aproximar la impedancia de circuitoabierto al ser equiparables a la impedancia de magnetización.

(2.34)

ioc; ioc;Xeq= Req=

Figura 2.16 R, XI, X~ R2 XI,+XI2 R¡ +R2Circuito equivalente --- ---con circuito abierto se- + +cundario. a) Circuitoequivalente secunda-

Voc; Voc; Rerio. b) Circuito equiva-lente simplificado conla rama de excitaciónen el transformadorprincipal. a) b)


Advierta que la aproximación que se lleva a cabo en este caso es semejante a la aproximaciónrealizada al reducir el circuito equivalente en T con el circuito equivalente simplificado que seilustra en la figura 2.16b; la impedancia que se observa en la entrada de este circuito equivalen-te claramente es ZIf>' ya que no fluye ninguna corriente en el circuito abierto secundario.

Como en el caso de la prueba de corto circuito, generalmente la instrumentación que seemplea para esta prueba medirá la magnitud del voltaje rms que se aplica, Voc, la corriente delcircuito abierto Ioc y la potencia Poc- Al ignorar la impedancia de flujo primaria y con base enestas tres mediciones, la resistencia magnetizante y la reactancia (referida al lado primario)puede calcularse a partir de las siguientes expresiones

(2.35)

VocIZrpl=-

Zoc(2.36)

(2.37)

Los valores que se obtienen, se refieren por supuesto al lado empleado como el primario enesta prueba.

La prueba de circuito abierto se emplea para obtener el valor de las pérdidas en el núcleomediante cálculos eficaces y también se utiliza para comprobar la magnitud de la corriente deexcitación. En algunas ocasiones, el voltaje que presentan las terminales del circuito abiertosecundario se mide como un registro en proporción a las vueltas.

Advierta que si se desea un cálculo más preciso de X", y Re es posible conseguirlo al con-servar las magnitudes de R I YXII que se obtuvieron a partir de la prueba de corto circuito (re-ferida al lado apropiado del transformador) y con fundamento en la derivación que aparece enla ecuación 2.33. Sin embargo, para fines de precisión técnica, dicho esfuerzo adicional raravez es necesario.

~~-------------------------------------Con la instrumentación colocada en el lado de alto voltaje y con un corto circuito en el lado de bajovoltaje, las lecturas de la prueba del corto circuito para el transformador de 50 kVA 2 400:240 V, que secita en el ejemplo 2.3, son 48 V, 20.8 A Y617 W. Una prueba de circuito abierto con el lado de bajo voltajeenergizado proporciona lecturas de dicho lado de 240 V, 5.41 A Y 186 W. Determine la eficacia y laregulación de voltaje a plena carga con factor de potencia de 0.8 en atraso .

• Solución

A partir de la prueba de corto circuito, la magnitud de la impedancia equivalente, la resistencia equivalen-te y la reactancia equivalente del transformador (referido al lado de alto voltaje indicado con el subíndiceH) son las siguientes

I


48IZeq.HI = 20.8 = 2.31 Q

617Req.H = 20.82 = 1.42 Q

Xeq.H = .J2.3 J2 - l.422 = l.82 Q

Al operar a plena carga, factor de potencia de 0.8 en atraso que corresponde a una corriente de

50000IH = 2400 = 20.8 A

y a una potencia de salida de

Psal = Pcarga = (0.8)50 000 = 40 000 W

La pérdida total bajo estas condiciones de operación es igual a la suma de las pérdidas del devanado

Pdevanado = I~Req.H = 20.82( 1.42) = 617 W

y la pérdida del núcleo que se determinó a partir de la prueba de circuito abierto es

Pnúcleo = 186 W

De esta manera

Ppérdida = Pdevanado + Pnúcleo = 803 W

y la potencia de entrada del transformador es

Penl = P,al + P pérdida = 40 803 W

La eficiencia de un dispositivo de conversión de potencia se define de la siguiente forma

.. Psaleficiencia = --

P ent

Penl - Ppérdida = I_ Ppérdida

Penl P ent

que puede expresarse en porcentaje al multiplicar por 100%. Por lo tanto, para estas condiciones deoperación

. (Psal ) (40000)eficiencia = 100% -- = 100% = 98.0%P ent 40 000 + 803

La regulación de voltaje de un transformador se define como el cambio en el voltaje de la terminalsecundaria de una condición de no carga a una condición de carga completa y generalmente se expresa enforma de porcentaje del valor de carga completa. Dentro de las aplicaciones de sistemas de potencia, laregulación es un factor importante para el transformador; un valor bajo indica que las variaciones de car-ga en el lado secundario de dicho transformador no afectarán de manera considerable la magnitud delvoltaje que su suministra a la carga. Este valor se calcula bajo la suposición de que el voltaje primariopermanece constante mientras que se elimina la carga del transformador secundario.

El circuito equivalente que se presenta en la figura 2.12c se empleará con todas los valores referidosalIado de alto voltaje. Se asume que el voltaje primario se ajustará de manera que el voltaje de la terminalsecundaria presente su valor registrado a carga nominal o V2H = 2 400 V. Para una carga de valor registra-do y 0.8 de factor de potencia en atraso (correspondiente a un ángulo de factor de potencia (J = -cos"'(0.8) = -36.9°), la corriente de carga será


¡H = (5~ :0~03) e-j369' = 20.8(0.8 - jO.6) A

El valor requerido del voltaje primario V1H se calcula de la siguiente forma

= 2400 + 20.8(0.80 - jO.60)(1.42 + j1.82)

=2446+j13

La magnitud de V1H es de 2446 V. Si este voltaje sostuviera la carga y la constante suprimidas, el vol-taje secundario en circuito abierto subiría a 2 446 V referidos aliado de alto voltaje. Entonces

2446-2400Reg~ón = 2400 (100%) = 1.92%

~----------------------------------Repita el cálculo de la regulación de voltaje del ejemplo 2.6 para una carga de 50 kW (carga nominal,factor de potencia unitario).

Regulación = 1.24%

Solución

~6 AUTOTRANSFORMADORES;TRANSFORMADORESDE MULTIDEVANADO

Los principios que se analizaron en las secciones anteriores se plantearon específicamentepara referirse a los transformadores con dos devanados. Sin embargo, también es posible apli-car estos principios a los transformadores que presenten otra configuración en su devanado. Enesta sección se considerarán otros aspectos relacionados con los autotransformadores y lostransformadores de multidevanado.

a) b)

Figura 2.17a) Transformador dedos devanados. b)Conexión como untransformador.

3E

2.6 Autotransformadores; transformadores de multidevanado 83

2.6.1 Autotransformadores

En la figura 2.17 a, se ilustra un transformador de dos devanados con NI y N2 número de vueltasen los devanados primario y secundario, respectivamente. En esencia, es posible obtener elmismo efecto de transformación sobre los voltajes, corrientes e impedancias cuando estos de-vanados se conectan como se muestra en la figura 2.17 b. Sin embargo, observe que en la figura2.17 b, el devanado be es común en ambos circuitos, el primario y el secundario. A este tipo detransformador se le denomina autotransformador. Es algo más que un transformador ordinarioconectado de manera específica.

Una diferencia importante entre el transformador de dos devanados y el autotransformadores que los devanados de dicho transformador se encuentran aislados eléctricamente, mientrasque los devanados del autotransformador se conectan juntos directamente. También, cabe men-cionar que en la conexión del autotransformador, el devanado ab deberá estar provisto de unaislamiento extra para prevenido del voltaje máximo del autotransformador. Los autotrans-formadores presentan reactancias de dispersión menores, pérdidas mínimas, .¡{sícomo corrien-tes de excitación más pequeñas; además, presenta un costo menor que los transformadores dedos devanados cuando la proporción de voltaje no difiere de manera significativa con respectode 1:1.

El siguiente ejemplo ilustra los beneficios de un autotransformador para situaciones espe-cíficas donde el aislamiento eléctrico entre los devanados primario y secundario no es un fac-tor importante.

~~--------------------------------------

Figura 2.18a) Conexiones de unautotransformadorpara el ejemplo 2.7. b)Corrientes bajo carganominal.

El transformador de 2 400:240 V 50 kVA que se cita en el ejemplo 2.6 se conecta igual que un autotrans-formador, como se ilustra en la figura 2.18a, en donde ab es el devanado de 240 V Ybe es el devanado de2 400 V. (Se asume que el devanado de 240 V presenta suficiente aislamiento para soportar un voltaje de2640 Va tierra.)

a) Calcule las proporciones de voltaje VHY Vx de los lados de alto y bajo voltaje, respectivamente, parala conexión del autotransformador.

b) Calcule los kVA nominales o la capacidad en kVA como un autotransformador.e) En el ejemplo 2.6 se suministra información referente a las pérdidas. Calcule la eficiencia a plena

carga conectado como autotransformador que opera con una carga nominal de 0.8 de factor depotencia en atraso.

a

228.8 A-~ 20.8 A

a)

- -228.8 A 208 A

b)


• Solución

a) Dado que el devanado be de 2 400 V se conecta al circuito de bajo voltaje, VL = 2400 V. Cuando Vbc

= 2 400 V, se inducirá un voltaje Vab = 240 V en fase con VbL,en el devanado ab (el voltaje de impe-dancia de dispersión desciende y no se considera). Por lo tanto, el voltaje del lado de alto voltaje es

b) A partir de la proporción de 50 kVA que presenta un transformador ordinario con dos devanados, lacorriente nominal en el devanado de 240 V es de 50 000/240 = 208 A. Dado que el alto voltaje deconducción del autotransformador se conecta al devanado de 240 V, la corriente nominal L en ellado de alto voltaje del autotransformador es igual a la corriente nominal del devanado de 240 V o208 A. Por lo tanto, la estimación de kVA nominales como autotransformador es

VHIH = 2640(208) = 550 kVA1000 1000

Note que en esta conexión el autotransformador presenta una proporción equivalente de vuel-tas de 2640/2400. De esta forma, la corriente nominal en el devanado de bajo voltaje (el devanadode 2 400 V en esta conexión) deberá ser

(2640)IL = 2400 208 A = 229 A

Al principio, este cálculo parece incierto ya que el devanado de 2 400 V del transformador presentauna corriente nominal de 50 kVA/2 400 V = 20.8 A. Más desconcertante parece ser el hecho de queeste transformador, cuyos índices como transformador de dos devanados es de 50 kVA, es capaz desoportar 550 kVA como un autotransformador.

Esta proporción mayor que presenta como autotransformador es una consecuencia-del hechode que no todos los 550 kVA tienen que transformarse mediante inducción electromagnética. Dehecho, todo lo que tiene que llevar a cabo es impulsar una corriente de 208 A a través de un incre-mento en el potencial de 240 V, los cuales corresponden a una capacidad de transformación depotencia de 50 kVA. Este hecho se ilustra mejor quizás mediante la figura 2.18b, que muestra lascorrientes en un autotransformador bajo condiciones nominales. Advierta que los devanados llevanúnicamente sus índices de carga en lugar de índices del transformador.

(803)1 - 440 803 100% = 99.82%

e) Cuando se conecta como un autotransformador con las corrientes y los voltajes que se exponen en lafigura 2.18, las pérdidas son las mismas que se muestran en el ejemplo 2.6, es decir, 803 W. Pero lasalida como un autotransformador a carga completa, con factor de potencia de 0.80 es de 0.80(550 000) = 440 000 W. Por lo tanto, la eficacia es de

La eficiencia presenta un valor tan elevado debido a que las pérdidas corresponden únicamente a latransformación de 50 kVA.

~~-------------------------------------------------------------------------Un transformador de 450 kVA, 460 V:7.97 kV presenta una eficiencia de 97.8% al suministrar o alimen-tar una carga nominal de factor de potencia unitario. Si se le conecta un autotransformador de 7.97:8.43

2.6 Autotransformadores; transformadores de multidevanado 85

kV, calcule los índices de corriente en la terminal, determine de los kVA nominales y la eficacia al sumi-nistrar o alimentar una carga de factor de potencia unitario.

Solución

La corriente nominal en la terminal de 8.43 kV es de 978 A, en la terminal de 7.97 kV es de 1 034 A Ylacapacidad nominal del transformador es de 8.25 MVA. Su eficiencia al suministrar una carga de factor depotencia unitara es de 99.88%.

Para el ejemplo 2.7, se observa que cuando un transformador se conecta como autotrans-formador de la forma que se ilustra en la figura 2.17, los voltajes nominales del autotransformadorse expresan en términos del transformador de dos devanados como se muestra a continuación

Bajo voltaje

(2.38)

Alto voltaje

(2.39)

La razón de vueltas efectivas del autotransformador por consiguiente es (NI + N2)/NI. Además,la capacidad de potencia del autotransformador es igual a (NI + N2)/N2 veces con respecto altransformador de dos devanados, aunque la potencia real procesada por el transformador noaumentará más allá de la conexión del transformador de dos devanados.

2.6.2 Transformadores de multidevanado

Se emplean con más frecuencia los transformadores que presentan tres o más devanados, deno-minados transformadores de muLtidevanado o multicircuito para interconectar tres o más circui-tos que quizá presenten diferentes voltajes. Para los fines citados anteriormente, un transfor-mador de multidevanado posee un costo menor y es más eficiente que el número correspondientede transformadores de dos devanados equivalente.

Los transformadores que presentan un devanado primario y varios secundarios con fre-cuencia se encuentran en abastecedores de potencia de corriente directa, de salida múltiplepara aplicaciones electrónicas. Los transformadores de distribución empleados para suminis-trar potencia para fines domésticos presentan en general devanados secundarios de 120 Vconectados en serie. Los circuitos para alumbrado y aplicaciones de baja potencia se conectana través de cada uno de los devanados de 120 V, mientras que a las cocinas eléctricas, a loscalentadores de agua domésticos, a las secadoras de ropa y a otras cargas de alta potencia se lesabastece con una potencia de 240 V de los devanados secundarios conectados en serie.

De manera similar, un enorme sistema de distribución puede abastecerse por medio de unbanco trifásico de transformadores de multidevanado a partir de dos o más sistemas de transmi-sión que presenten diferentes voltajes. Además, los bancos de transformador trifásico emplea-dos para interconectar dos sistemas de transmisión de diferentes voltajes con frecuencia presen-


tan un tercer sistema o un conjunto terciario de devanados para suministrar un voltaje con finesde proveer potencia auxiliar en subestaciones o para suministrar a un sistema de distribución local.Los capacitores estáticos o condensadores síncronos pueden conectarse a los devanados tercia-rios para corregir factores de potencia o para regular el voltaje. En algunas ocasiones, los deva-nados terciarios conectados en ~ se colocan en bancos trifásicos con el objetivo de suministrarun patrón de baja impedancia para componentes de terceros armónicos de la corriente de exci-tación, con el fin de reducir los terceros armónicos componentes de voltaje neutral.

Algunos de los temas que surgen al analizar el uso de los transformadores de multidevanadose asocian con los efectos de las impedancias de dispersión sobre la regulación de voltaje, lacorriente con corto circuito y la división de carga entre los circuitos. Estos problemas puedenresolverse por medio de una técnica de circuito equivalente, similar a la que se empleó al plan-tear el tema de los transformadores con dos circuitos.

Los circuitos equivalentes de los transformadores de multidevanado son más complicadosque los que presentan los transformadores con dos devanados debido a que deben tomar enconsideración las impedancias de dispersión que se asocian con cada par de devanados. Por logeneral, en dichos circuitos equivalentes todas las cantidades se refieren a una base común, yasea mediante la utilización de los coeficientes de vueltas como factores de referencia o por me-dio de expresar todas las cantidades en valores por unidad. La corriente de excitación general-mente no se toma en cuenta.

2.7 TRANSFORMADORES EN CIRCUITOSTRIFÁSICOS

Figura 2.19Conexiones comunespara transformadorestriíásicos: los devana-dos de los transforma-dores se indican conlíneas más gruesas.

Es posible conectar tres transformadores monofásicos con el objetivo de formar un banco detransformador trifásico de cualquiera de los cuatro tipos que se ilustran en la figura 2.19. Enlas cuatro secciones de esta figura, los devanados que se ubican a la izquierda son los prima-rios, los que se encuentran a la derecha son los secundarios y cualquier devanado primario enun transformador corresponde al devanado secundario que se esquematice paralelo al mismo.También se muestran los voltajes y las corrientes que resultan a partir de los voltajes entre con-ductores primarios impresos en equilibrio V, así como de las corrientes en línea 1, cuando la

al/n-1-

~ V/a===:::J~I/n .k-- -c,-'_ ,-__ n-Lv_/

a

a) Conecci6n Y-t,. b) Conecci6n s-y

1_ al-rf;j 1_ al_

e) Conecci6n t,. - t,. d) Conecci6n y-y

Figura 2.20Transformador de 200MVA, trifásico, de 50Hz, con tres devana-dos de 210/80/10.2 kVY desmontado de sutanque. El devanadode 210 kV posee undispositivo cambiandode salida con cargapara el ajuste de vol-taje. (Brown BoveriCorporation. )

2.7 Transformadores en circuitos trifásicos 87

proporción de vueltas del devanado primario al secundario N¡lN2 = a se asume un transforma-dor ideal." Observe que los voltajes y corrientes nominales en los devanados primario y secun-dario del banco de transformadores trifásicos dependen de la conexión que se utilice, sin em-bargo, la capacidad en kVA del banco trifásico es tres veces mayor al de los transformadoresmonofásicos, sin importar la conexión utilizada.

La conexión Y-Ll generalmente se utiliza al disminuir un voltaje alto hasta lograr un volta-je medio o bajo. Una razón para emplear este tipo de conexión es que se añade un conductorneutro con conexión a tierra en el lado de alto voltaje, este procedimiento es recomendable enmuchos casos por seguridad. De manera inversa, la conexión Ll-Y se emplea comúnmente paraaumentar el voltaje. La conexión Ll-Ll presenta la ventaja de poder eliminar un transformadorpara reparación o mantenimiento, mientras que los otros dos restantes continúan funcionandocomo un banco trifásico con una capacidad reducida a 58% con respecto al banco original; aesta conexió se le denomina conexión delta abierta o conexión en V. La conexión Y-Y se em-plea en muy pocas ocasiones debido a que presenta dificultades con los fenómenos de las co-rrientes de excitacíón.'

En vez de constar de tres transformadores monofásicos, un banco trifásico puede estarconformado por un transformador trifásico que presente seis devanados contenidos en un tan-que único, en un núcleo común con varias columnas. Las ventajas de los transformadores tri-fásicos sobre las conexiones de tres transformadores monofásicos son: un costo menor, unpeso inferior, requieren de menos espacio y su funcionamiento es más eficaz. En la figura 2.20se presenta la fotografía del interior de un transformador trifásico de gran tamaño.

••.• --~ --',,.. t.IIIl.-• l • ~ -~~- ........---.:.. ".'1. o'~I' ~ --·oc.~

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11.' . .••••• ~---J/t {_ - / .-· ---1... -= --.../

4 La relación que existe entre las cantidades monofásicas y trifásicas se discute en el apéndice A.5 Debido a que no existe una conexión neutral que lleve una corriente armónica de la corriente de excitación, se

producen voltajes armónicos que distorsionan de manera significativa los voltajes del transformador .


Es posible calcular los circuitos que implican los bancos de transformadores trifásicosbajo condiciones balanceadas al enfocarse sólo en uno de los transformadores o en una de lasfases y al reconocer que en las otras dos fases se presentan las mismas condiciones con excep-ción de los desplazamientos de fase que se asocian con un sistema trifásico. En general, es con-veniente llevar a cabo los cálculos al considerar solamente una fase simple (por fase Y, línea aconductor neutro), ya que las impedancias del transformador pueden añadirse directamente enserie con las impedancias de líneas de transmisión. Asimismo, las impedancias de líneas detransmisión pueden referirse de un lado del banco transformador al otro lado al utilizar el cua-drado de la relación ideal de voltaje de línea a línea banco. Al tratar con bancos Y-Il. o Il.- Y,todas las cantidades pueden referirse al lado conectado en Y. Al tratar con bancos Il.-Il. en seriecon líneas de transmisión, es conveniente reemplazar las impedancias conectadas en triángulode los transformadores por impedancias equivalentes conectadas en Y. Es posible demostrarque un circuito con conexión en triángulo balanceado de Z~QJfase es equivalente a un circuitocon conexión en Y de Z yO/fase si

(2.40)

~~-------------------------Tres transformadores monofásicos de 50 kVA 2 400:240 V, cada uno idéntico al que se cita en el ejemplo2.6, se conectan en Y-~ en un banco trifásico de 150 kVA con la finalidad de disminuir el voltaje en elextremo de carga del alimentador cuya impedancia es 0.15 + jl.oo ntfase. El voltaje en el extremo deenvío del alimentador es de 4 160 V de línea a línea. En sus lados secundarios, los transformadores abas-tecen una carga trifásica balanceada a través de un alimentador cuya impedancia es de 0.0005 + jO.0020ntfase. Determine el voltaje de línea a línea de la carga cuando ésta consume una corriente nominal a unfactor de potencia de 0.80 en atraso .

• Solución

Los cálculos pueden llevarse a cabo sobre la base de una sola fase al referir todos los datos aliado de altovoltaje del banco del transformador conectado en Y. El voltaje en el extremo de envío del alimentador esequivalente a una fuente de voltaje Vs de

4160Vs = "J3 = 2 400 V línea a conductor neutral

A partir de la capacidad del transformador, la corriente nominal en el lado de alto voltaje es de 20.8Nfase de Y. La impedancia del alimentador de bajo voltaje referida aliado de alto voltaje mediante elcuadrado de la relación ideal de voltaje de línea a línea del banco del transformador es

(4160)2

Z/v,H = 240 (0.0005 + jO.0020) = 0.15 + jO.60 n

y las series de impedancia combinada de los alimentadores de alto y bajo voltaje referidas aliado de altovoltaje, por lo tanto es

Zalimen,ador,H = 0.30 + j1.60 n/fase y

2.7 Transformadores en circuitos trifásicos 89

Debido a que el banco del transformador se encuentra conectado en Y en su lado de alto voltaje, suimpedancia en serie de fase simple equivalente es igual a la impedancia en serie de fase simple de cadatransformador de fase simple al referirse a su lado de alto voltaje. Esta impedancia se calculó original-mente en el ejemplo 2.4 de la siguiente manera

Zcq.H = 1.42 + j 1.82 Qjfase Y

Debido a la selección de valores que se escogieron para este ejemplo, el circuito equivalente de fasesimple para el sistema completo es idéntico al del ejemplo 2.5, como puede observarse con referenciaespecífica a la figura 2.14a. De hecho, la solución sobre la base de la solución por fase es exactamente lamisma que se presenta para el ejemplo 2.5, de donde la carga de voltaje referida al lado de alto voltaje esde 2 329 V al conductor neutro. El voltaje de carga de línea a conductor neutro real puede calcularse alreferir este valor al lado de alto voltaje del banco del transformador como

(240 )Vcarga = 2 329 4 160 = 134 V línea a conductor neutral

puede expresarse en forma de voltaje de línea a línea al multiplicarse por {:3

Vcarga = 134 .J3 = 233 V línea alinea

Advierta que este voltaje de línea a línea es igual al voltaje de carga de linea a conductor neutro quese calculó en el ejemplo 2.5, debido a que en este caso los transformadores se encuentran conectados endelta en su lado de bajo voltaje y, por lo tanto-el voltaje de línea a linea en el lado de bajo voltaje es iguala la terminal de bajo voltaje de los transformadores.

-~RepitaL..e-I-eJ-·e-m-p-l-o-{7....•8'-c-o-n-l-o-s-tr-an-st:-o-rm-a-d-o-re-s-c-o-n-e-c-ta-d-o-s-e-n-y---Y-y-c-O-n-si-d-e-re-q-u-e-to-d-O-S-l-o-s-d-e-m-á-s-a-s-p-ec--

tos del problema permanecen sin cambios.

Solución

405 V de línea a línea.

~~--------------------------------------Los tres transformadores del ejemplo 2.8 nuevamente se conectan en forma /1"-/1,, y se abastecen de poten-cia a través de un alimentador trifásico de 2 400 V (de línea a línea), cuya reactancia es de 0.80 Q/fase.En el extremo de envío, el alimentador se conecta a las terminales secundarias del transformador trifásicocon conexión Y-/I"cuyo índice es de 500 kVA, 24 kV:2 400 V (de línea a línea). La impedancia en serieequivalente del extremo de envío del transformador es de 0.17 +jO. Q2 Q/fase referida aliado de 2 400 V.El voltaje aplicado a las terminales primarias del extremo que envía del transformador es de 24.0 kV delínea a línea.

Un corto circuito trifásico ocurre en las terminales de 240 V de los cables de fase del alimentador, enlos devanados primario y secundario del extremo que recibe de los transformadores y en las terminales de240 V.

12'0,1 = 2.42 ntfase


• Solución

Los cálculos se llevarán a cabo sobre la base de un equivalente de línea a conductor neutro y se referirántodas las cantidades al alimentador de 2 400 V. Entonces el voltaje de la fuente será

2400.j3 = 1 385 V línea a conductor neutro

A partir de la ecuación 2.40, la impedancia en serie equivalente de fase simple del transformadorcon conexión ~-~ que se observa en su lado de 2 400 V es

1.42 + j1.82Zeq = Req + jXeq = 3 = 0.47 + jO.61 ntfase

Por lo tanto, la impedancia serie total al corto circuito será la suma de esta impedancia, del extremo deenvío del transformador y de la reactancia del alimentador

2to( = (0.47 + jO.61) + (0.17 + jO.92) + jO.80 = 0.64 + j2.33 ntfase

lo cual tiene una magnitud de

La magnitud de la corriente de fase en el alimentador de 2 400 V ahora se calcula simplemente comoel voltaje de línea a conductor neutro dividido por la impedancia en serie

C· I l· 1 385omente en e a imentador de 2 400 V = -- = 572 A2.42

y, como se muestra en la figura 2.19c, la corriente del devanado en el devanado de 2 400 V del extremoque recibe del transformador es igual a la corriente de fase dividida entre ..J3 o

C· I 572omente en os devanados de 2 400 V = .j3 = 330 A

mientras la corriente en los devanados de 240 V es 10 veces su valor

Corriente en los devanados de 240 V = 10 x 330 = 3 300 A

Por último, de nuevo con referencia a la figura 2.19c, la corriente de fase en las terminales de240 V dentro del corto circuito se da por medio de la siguiente expresión

Corriente en las terminales de 240 V = 3 300 J3 = 5 720 A

Advierta que de manera obvia este mismo resultado pudo haberse obtenido de forma simple reconocien-do que la relación de vueltas del banco del transformador con conexión ~-~ es igual a la proporción 10: Iy como consecuencia, bajo condiciones trifásicas balanceadas, la corriente de fase en el lado de bajovoltaje será 10 veces mayor con respecto al lado de alto voltaje.

2.8 Transformadores de voltaje y de corriente 91

-'-------------------Repita el ejemplo 2.9 bajo la condición de que los tres transformadores se conectan en forma de ó-y envez de ó-ó de manera que se calcula que el corto en el lado de bajo voltaje del transformador trifásicoserá de 416 V de línea a línea.

Solución

Corriente en el alimentador de 2 400 V = 572 A

Corriente en los devanados de 2 400 V = 330 A

Corriente en los devanados de 416 V = 3 300 A

Corriente en las terminales de 416 V = 3 300 A

2.8 TRANSFORMADORES DE VOLTAJEY DE CORRIENTE

Los transformadores son utilizados con frecuencia en las aplicaciones de instrumentación, paraigualar la magnitud de un voltaje o corriente dentro del rango de un medidor u otro dispositivode medición. Por ejemplo, la mayoría de la instrumentación de sistemas de potencia de60 Hz está basada sobre voltajes dentro del rango de 0-120 V rms y corrientes dentro del rangode 0-5 A rms. Ya que los niveles de voltaje en sistemas de potencia se encuentran por encima delrango de los 765 kVAde línea a línea y que las corrientes pueden ser decenas de kA, se requierede algún método exacto que suministre una representación de bajo nivel de estas señales.

Una técnica común es la utilización de transformadores especializados denominados trans-formadores de potencial o PT y transformadores de corriente o CT. Si se construye dichotransformador con un índice de vueltas de N, :N2, un transformador ideal de potencial o voltajetendrá un voltaje secundario igual en magnitud a N2/N, veces con respecto al primario y seráidéntico en fase. De forma similar, un transformador ideal de corriente tendrá una corriente desalida secundaria igual a N,/N2 veces con respecto a la corriente de entrada al primario, de nue-vo idéntica en fase. En otras palabras, los transformadores de potencial y de corriente (tambiénconocidos como transformadores de instrumentación) se encargan de aproximar a los transfor-madores ideales tanto como sea prácticamente posible.

El circuito equivalente que se presenta en la figura 2.21 muestra un transformador cargadocon una impedancia Zb = Rb +j Xb hacia su lado secundario. Para fines de este capítulo, no setoma en consideración la resistencia de pérdidas en el núcleo Re; si se desea, el análisis que sepresenta aquí puede ampliarse fácilmente para incluir este efecto. Al seguir con la terminolo-gía tradicional, a la carga en un transformador de instrumentación con frecuencia se le denomi-na carga total de dicho transformador, por lo tanto, se designará con el subíndice b. Para sim-plificar este planteamiento se ha decidido referir todas las cantidades del lado secundario haciael lado primario del transformador ideal.

En inicio considere un transformador de potencial. En condiciones ideales este transfor-mador deberá medir con precisión el voltaje mientras que aparece como un circuito abiertoante el sistema que se medirá, por ejemplo, al trazar una corriente y una potencia que es posibleno tomar en consideración. De esta manera, su impedancia de carga presentará un valor grandeen un sentido que ahora se cuantificará.

92

Figura 2.21Circuito equivalentepara un transformadorde instrumentación.

CAPíTULO2 Transformadores

Primero, se asumirá que el transformador secundario es de circuito abierto (por ejemplo,I Zb I = (0). En este caso es posible deducir la siguiente expresión

(2.41)

A partir de esta ecuación, se observa que un transformador de potencial con un circuito abiertosecundario presenta un error inherente (tanto en la magnitud como en la fase) debido a la caídade voltaje de la corriente de magnetización a través de la resistencia primaria y la reactancia dedispersión. En parte porque la resistencia primaria y la reactancia de dispersión pueden dismi-nuir en comparación a la reactancia magnetizan te, este error inherente puede ser bastante pe-queño.

La situación empeora debido a la presencia de una carga total finita. Al incluir el efecto dela impedancia de carga total, la ecuación 2.41 se transforma de la siguiente manera

(2.42)

donde

(2.43)

y

(2.44)

es la impedancia de carga total referida al primario del transformador.A partir de estas ecuaciones se observa que las características de un transformador de po-

tencial de precisión incluyen un valor alto de reactancia de magnetización (de forma más exac-ta, un valor alto de impedancia de excitación ya que los efectos de las pérdidas en el núcleo,aunque no se tomaron en consideración en este análisis, también deberán minimizarse) y lasrelativamente pequeñas resistencias del devanado, así como las reactancias de dispersión. Porúltimo, como se analizará en el ejemplo 2.10, la impedancia de carga total deberá mantenerse


sobre un valor mínimo para evitar introducir errores excesivos en la magnitud y en el ángulode fase de la lectura que se haga del voltaje.

~~----------------------------------------------------------------------------M Un transformador de potencial de 2400:120 V, 60 Hz presenta los siguientes parámetros de valores

(referidos al devanado de 2 400 V):

XI = 143 Q X~ = 164 Q x; = 163 kQ

RI = 128 Q R~ = 141 Q

a) Al asumir una entrada de 2 400 V, que bajo condiciones ideales deberá producir un voltaje de 120 Ven el devanado de bajo voltaje, calcule la magnitud y los errores de ángulo de fase relativos del vol-taje secundario si el devanado secundario presenta circuito abierto.

b) Al asumir que la impedancia de carga total sea puramente un cuerpo no conductor (Zb = Rb), calculela resistencia mínima (carga total máxima) que puede aplicarse aliado secundario de manera que lamagnitud del error sea menor a 0.5%.

e) Repita el inciso b pero determine la resistencia mínima de tal manera que el error de ángulo de fasesea menor a 1.0 grados .

• Solución

a) Este problema se resuelve fácilmente al emplear MATLAB.6 A partir de la ecuación 2.41 con VI =2 400 V, el siguiente programa de MATLAB nos da como resultado la siguiente ecuación:

V2 = 119.90 LO.04SO V

Aquí se presenta el programa MATLAB:

clcclear% parámetros de PTR1 128;Xl 143;Xm 163e3;N1 2400;N2 120;N = N1/N2;% voltaje primarioV1 = 2400;% Voltaje secundarioV2 = V1*(N2/N1)*(j*Xm/(R1+ j*(X1+Xm)));magV2 = abs (V2);faseV2 = 180* ángulo(V2)/pi;fprintf('\nMagnitud del V2 %g [VI', magV2)fprintf ('\n y ángulo = %g [gradosI\n\n',fase V2)

6 MATLAB es una marca registrada de The MathWorks, Ine.


b) Aquí, de nuevo es relativamente claro escribir un programa MATLAB ~ara imp1ementar la ecua-ción 2.42 y para calcular el porcentaje de error en la magnitud del voltaje V2 en comparación con los120 volts que se medirían si el PT fuera ideal. La carga total de resistencia Rb puede comenzar conun valor alto y después reducirse hasta que el error de magnitud alcance 0.5%. El resultado de talanálisis mostraría que la resistencia mínima es de 162.5 n, que corresponden a una magnitud deerror de 0.50% y un ángulo de fase de 0.22°. (Note que lo anterior se presenta como una resistenciade 65 kn cuando se refiere aliado primario.)

e) El programa MATLAB del inciso b) puede modificarse con el fin de buscar la carga total de resis-tencia mínima que mantendrá el error del ángulo de fase menor a 1.0 grados. El resultado mostraríaque la resistencia mínima es 41.4 n, que corresponden al ángulo de fase de 1.00° y a una magnitudde error de 1.70%.

(2.45)

~ L _

Mediante MATLAB, repita los incisos b) y e) del ejemplo 2.10 y asuma que la impedancia de carga totales meramente reactiva (Zb = jXb), por último, determine la impedancia mínima correspondiente Xb encada caso.

Solución

La reactancia de carga total mínima que da como resultado una magnitud del voltaje secundario dentro de0.05% de los 120 V que se esperaban es Xb = 185.4 n, para el cual el ángulo de fase es de 0.25°. La reac-tancia de carga total mínima que resulta en ángulo de fase del voltaje secundario dentro del rango de 1.00

con respecto al voltaje primario es Xb = 39.5 n, cuyo error de magnitud de voltaje es de 2%.

Considere como siguiente caso un transformador de corriente. Un transformador ideal decorriente mediría de manera precisa el voltaje mientras que parecería como un corto circuitoante el sistema que se encuentra bajo medición, por ejemplo, al desarrollar una caída de voltajey una potencia despreciables. Como consecuencia, su impedancia de carga debería ser peque-ña en el sentido que ahora se cuantificará.

Se iniciará con la suposición de que el secundario del transformador se encuentra en cortocircuito (por ejemplo, IZbl = O). En este caso es posible determinar la siguiente expresión

De una manera muy similar a la de un transformador de potencial, la ecuación 2.45 muestraque un transformador de corriente con el lado secundario en corto circuito presenta un errorinherente (tanto en magnitud como en fase) debido al hecho de que parte de la corriente prima-ria se encuentra desviada a través de la reactancia magnetizante y no alcanza el lado secunda-rio. Hasta el punto en que la reactancia magnetizante pueda ampliarse al compararla con la re-sistencia secundaria y la reactancia de dispersión, este error puede llegar a ser insignificante.

Una carga total finita se presenta en serie con la impedancia secundaria e incrementa el error.Al incluir el efecto de la impedancia de carga total, la ecuación 2.45 llega a ser la siguiente

(2.46)


A partir de estas ecuaciones, se observa que un transformador de corriente de precisiónpresenta una gran impedancia magnetizante y unas resistencias relativamente pequeñas del de-vanado y reactancias de dispersión. Además, como se vio en el ejemplo 2.11, la impedancia decarga total en un transformador de corriente deberá mantenerse bajo un valor máximo paraevitar la introducción excesiva de los errores de magnitud y de fase dentro de la corriente quese medirá.

~ ~---------------------------------------------------------------------------, Un transformador de corriente de 800:5 A, 60 Hz presenta los siguientes parámetros en sus valores(referidos al devanado de 800 A):

XI = 44.8 /-Lrl X; = 54.3 /-Lrl Xm = 17.7 mrl

RI = 10.3 /-Lrl R; = 9.6 /-Lrl

Al asumir que el devanado de corriente alta lleva una carga de 800 amperes, calcule la magnitud y lafase relativa de la corriente en el devanado de corriente baja si la impedancia de carga es meramente deresistencia con Rb = 2.5 n.

• Solución

La corriente secundaria puede determinarse a partir de la ecuación 2.46 estableciendo i,= 800 A YR;' =(N¡lN2)2 R¿ = 0.097 mn. El siguiente programa en MATLAB proporciona el valor

12 = 4.98 LO.346° A

Aquí se presenta el diálogo MATLAB:

c1cc1ear

% parámetros de CTR_2p = 9.6e-6;X_2p = 54.3e-6;X_m 17.7e-3;

N_l 5;N_2 800;N N_l/N_2;

% Impedancia de cargaR_b = 2.5;X_b = O;Z_bp = NA2*(R_b + j * X_b);

% Corriente primariaI1 = 800;

% Corriente secundaria12 = Il*N*j*X_m/(Z_bp + R_2p +j*(X_2p + X_m));


mag12 = abs(12};fase 12 = 180* ángulo(12}}/pi;

fprintf (\nMagnitud de la corriente secundaria = %g [Al', mag12)fprintf (\n y ángulo de fase = %g [gradosl\n\n', fase 12)

. . Cantidad realCantidad en por unidad = ----------

Valor base de la cantidad(2.47)

- ~-----------------------------------------------------------Para el transformador de corriente que se cita en el ejemplo 2.11, determine la carga total meramentereactiva Zb = jXb de manera que 800 A corran hacia el primario del transformador, y que la corriente se-cundaria sea mayor a los 4.95 A (por ejemplo, debe presentarse como máximo 1.0% de error en la magni-tud de corriente).

Solución

Xb deberá ser menor a 3.19 Q.

2.9 EL SISTEMA POR UNIDAD

Los cálculos relacionados con máquinas, transformadores y sistemas de máquinas con frecuen-cia se llevan a cabo con el sistema por unidad, por ejemplo, con todas las cantidades pertinen-tes expresadas en fracciones decimales de valores base apropiadamente seleccionados. Todoslos cálculos usuales se realizan con base en estos valores por unidad en vez de utilizar los tra-dicionales volts, amperes, ohms, etcétera.

Este sistema presenta varias ventajas. Una es que los parámetros de las máquinas y transfor-madores por lo general caen dentro de un rango numérico que es razonablemente estrechocuando los cálculos se expresan en un sistema por unidad con base en su propia capacidad. Laexactitud de sus valores es por lo tanto objeto de un registro rápido. Una segunda ventaja esque cuando los parámetros del circuito equivalente del transformador se convierten a los valo-res por unidad, el Índice de vueltas del transformador se transforma en 1:1 y como consecuen-cia, el transformador ideal puede eliminarse. Este hecho simplifica en gran medida los análisisya que elimina la necesidad de referir las impedancias de un lado o del otro lado en los trans-formadores. Para el caso de sistemas complicados que involucran numerosos transformadorescon diferente relación de vueltas, esta ventaja es significativa ya que se elimina la posiblecausa de errores serios.

Las cantidades como el voltaje V, la corriente 1, la potencia P, la potencia reactiva Q, losvolts amperes VA, la resistencia R, la reactancia X, la impedancia Z, la conductancia G, la sus-ceptancia B y la admitancia Y pueden convertirse a un valor por unidad de la siguiente manera:

donde la cantidad real se refiere al valor en volts, amperes, ohms, etc. Hasta cierto punto, losvalores base pueden elegirse arbitrariamente, pero ciertas relaciones entre éstos deberán obser-varse para las leyes de electricidad tradicionales con el fin de conservarlos en los sistemas porunidad. De esta manera, para un sistema de fase simple:

2.9 El sistema por unidad 97

(2.48)

VbaseRbase, Xbase, Zbase = -¡-

base(2.49)

El resultado neto es que sólo dos cantidades base independientes pueden elegirse arbitraria-mente; las cantidades que queden se determinan mediante las ecuaciones 2.48 y 2.49. En lapráctica, los valores de VAbase y Vbase se eligen primero; los valores de ¡base y todas las demáscantidades que aparecen en las ecuaciones 2.48 y 2.49 se establecen por separado.

El valor de VAbase deberá ser el mismo en todo el sistema que se encuentre bajo análisis.Cuando se realiza una comparación entre los lados del transformador, dichos valores de Vbase

difieren en cada lado y deberán elegirse en el mismo índice que el del número de vueltas deltransformador. Generalmente se eligen los voltajes nominales de los respectivos lados del trans-formador. Entonces se considera de forma automática al proceso de referir las cantidades a unlado del transformador mediante la aplicación de las ecuaciones 2.48 y 2.49 al determinar einterpretar los valores por unidad.

Lo anterior puede observarse al referirse al circuito equivalente que se presenta en lafigura 2.lOc. Si los voltajes base del lado primario y secundario que se eligen son cercanos a larelación de vueltas de un transformador ideal, el transformador ideal por unidad presentará uníndice de vueltas por unidad y por lo tanto podrá eliminarse.

Si se siguen estas reglas, el procedimiento para realizar análisis de sistemas por unidad seresume de la siguiente forma:

1. Elija una base de VA y un voltaje base en un punto determinado del sistema.

2. Convierta todas las cantidades al sistema por unidad sobre la base de VA que se eligió y conun voltaje base a manera de todos los transformadores así como la relación de vueltas decualquier transformador que se afronte como uno pueda desplazarse a través del sistema.

3. Realice un análisis eléctrico normalizado con todas las cantidades convertidas al sistemapor unidad.

4. Cuando se completen los análisis, todas las cantidades podrán convertirse de nuevo a lasunidades reales (por ejemplo, volts, amperes, watts, etc.) al multiplicar sus valores porunidad por sus correspondientes valores base.

Cuando sólo un dispositivo eléctrico, como un transformador, se encuentra involucrado,por lo general se emplea el propio índice del dispositivo para la base de volts amperes. Cuandose expresa dicho índice como la base en forma del sistema por unidad, las características de lostransformadores de potencia y de distribución no varían mucho en un amplio rango de índices.Por ejemplo, la corriente de excitación se encuentra generalmente entre 0.02 y 0.06 por unidad,la resistencia equivalente entre 0.005 y 0.02 por unidad (los valores menores aplican a grandestransformadores), y la reactancia equivalente es usualmente entre 0.015 y 0.10 por unidad (losvalores grandes se aplican a transformadores de alto voltaje). De manera similar, los valores porunidad de los parárnetros de las máquinas sincronos y de inducción caen dentro de un rango re-lativamente estrecho. La razón para este hecho es que las leyes físicas que sustentan a cada dis-positivo son las mismas y, en un sentido crudo, a éstos se les puede considerar como simplesversiones escalares del mismo dispositivo básico. Cuando se han normalizado sus condicionesde funcionamiento, el efecto de la escala es eliminado y el resultado es un conjunto de valoresparámetro por unidad que está muy por debajo del tamaño del rango de ese dispositivo.


Los fabricantes abastecen los parámetros del dispositivo por unidad sobre el dispositivobase volt ampere; así se hace por lo general, y ese valor debe entonces ser usado para todo elsistema. Como consecuencia, al realizar el análisis de un sistema, quizá sea necesario convertirlos valores por unidad que se suministraron a valores por unidad sobre la base elegida para elanálisis. Las siguientes ecuaciones pueden emplearse para convertir los valores por unidad(pu) de una base a otra:

[VAbase 1]

(P, Q, VA)pu sobre la base 2 = (P, Q, VA)pu sobre la base 1 lTA

Yribase 2(2.50)

[(Vbase 1)2VAbase 2]

(R, X, Z) pu sobre la base 2 = (R, X, Z)pu sobre la base 1 (lT )2lTA

Ybase 2 Yribase I(2.51)

[Vbase 1]

Vpu sobre la base 2 = Vpu sobre la base I -v.--base 2

(2.52)

[Vbase 2 VAbase 1 ]

1pu sobre la base 2 = 1pu sobre la base I V. lT Abase I Yribase 2

(2.53)

~-------------------En la figura 2.22a se presenta un circuito equivalente para un transformador de 100 MVA, 7.97 kV:79.7 kV.Los parámetros del circuito equivalente son:

XL = 0.040 n XH = 3.75 n x; = 114 n

RL = 0.76 mn RH = 0.085 n

Advierta que la inductancia magnetizante se ha referido al lado de bajo voltaje del circuito equivalente.Convierta los parámetros del circuito equivalente al sistema por unidad por medio de aplicar la capacidaddel transformador como base .

• Solución

Las cantidades base para este transformador son:

Lado de bajo voltaje:

VAbase = 100 MVA Vbase = 7.97 k'

y a partir de las ecuaciones 2.48 y 2.49

Figura 2.22Circuitos equivalentesdel transformadorplanteados para elejemplo 2.12. a) Cir-cuito equivalente enunidades reales. b)Circuito equivalente enel sistema por unidadcon relación 1:1 de untransformador ideal. e)Circuito equivalentepor unidad que siguede la eliminación deltransformador ideal.


RL(0.76 roQ)

RH(0.085 Q)

a)

RL

(0.0012 pu)

b)

Lado de alto voltaje:

VAbase = 100MVA Vbase = 79.7 kV

y a partir de las ecuaciones 2.48 y 2.49

Los valores por unidad de los parámetros del transformador pueden calcularse por medio de dividir-los entre sus correspondientes valores base.

0.040 .XL = 0.635 = 0.0630 por unidad

3.75XH = -- = 0.0591 por unidad

63.5

114Xm = 0.635 = 180 por unidad

7.6 x 10-4

RL = 0.635 = 0.0012 por unidad

0.085RH = -- = 0.0013 por unidad

63.5


Por último, los voltajes que representan la relación de vueltas del transformador ideal deberán divi-dirse de manera individual entre el voltaje base del lado correspondiente del transformador. Por lo tanto,el índice de vueltas de 7.97 kV:79.7 kV se convierte al sistema por unidad

, (7.97 kV) (79.7 kV)lndice de vueltas en el sistema por unidad = 7.97 kV : 79.7 kV = 1:1

El circuito equivalente por unidad resultante se expone en la figura 2.22b. Debido a que presenta unarelación de vueltas unitario, no es necesario conservar el transformador ideal y como consecuencia estecircuito' equivalente puede reducirse a la forma que se muestra en la figura 2.22c.

~---------------------------------------La corriente de excitación que se mide en el lado de bajo voltaje de un transformador de 50 kVA, 2 400:240 Ves 5.41 A. Su impedancia equivalente referida alIado de alto voltaje es 1.42 +jl.82 n. Al utilizar la capa-cidad del transformador como base, exprese en términos del sistema por unidad en ambos lados del trans-formador, el lado de alto y de bajo voltaje, a) la corriente de excitación y b) la impedancia equivalente .

2400Zbase.H = 20.8 = 115.2 Q

240Zbase.L = 208 = 1.152 Q

• Solución

Los valores base de los voltajes y corrientes son

Vbase,H = 2400 V Vbase,L = 240 V Ibase,H = 20.8 A Ibase.L = 208 A

donde los subíndices H y L indican el lado de alto y bajo voltaje (por su inicial en inglés), respectivamente.De la ecuación 2.49

a) A partir de la ecuación 2.47, la corriente de excitación en el sistema por unidad referida alIado debajo voltaje se puede calcular de la siguiente forma:

5.41I""L = 208 = 0.0260 por unidad

La corriente de excitación referida alIado de alto voltaje es de 0.541 A. Su valor en el sistema porunidad es

0.541I""H = 20.8 = 0.0260 por unidad

Advierta que, como se esperaba, los valores por unidad son los mismos que se refirieron a cada lado,además son correspondientes a la relación de vueltas para el transformador ideal en el transformadorpor unidad. Ésta es una consecuencia directa de la selección de los voltajes base en la relación devueltas del transformador y de la selección de una base constante de volts amperes.

b) De la ecuación 2.47 y del valor para Zbase

1.42 + jl.82Zeq,H = 115.2 = 0.0123 + jO.0158 por unidad


La impedancia equivalente referida al lado de bajo voltaje es 0.0142 + jO.0182 n. Su valor porunidad es

0.142 + 0.0182Zeq.L = 1.152 = 0.0123 + jO.0158 por unidad

Los valores por unidad referidos a los lados de alto y bajo voltaje son los mismos, la relación devueltas del transformador se cuantifica en términos del sistema por unidad mediante los valoresbase. Advierta de nuevo que este hecho es consistente con un índice de vueltas unitario del transfor-mador ideal en el circuito equivalente del transformador en el sistema por unidad.

~--------------------------------------------------------------------Un transformador de 15 kVA 120:460 V presenta una impedancia de serie equivalente a 0.018 + jO.042por unidad. Calcule la impedancia serie equivalente en ohms a) referida al lado de bajo voltaje y b) re-ferida al lado de alto voltaje.

Solución

Zeq.L = 0.017 + jO.040 Q y Zeq.H = 0.25 + jO.60 rol

Cuando se aplican los valores base al análisis de sistemas trifásicos, dichos valores desti-nados a convertirse al sistema por unidad se eligen de manera que las ecuaciones para un sis-tema trifásico balanceado se mantengan entre dichos valores:

(Pbase, Qbase, VAbaseh-phase = 3VAbase, por fase (2.54)

Al tratar con sistemas trifásicos, VAbase,3-fase' la base trifásica de volts amperes y el Vbase,3-fase =Vbase,l-l, la base del voltaje de línea a línea generalmente se elige primero. Los valores basepara el voltaje de fase (línea a neutro) continúan de la siguiente manera

1Vbase l-n = M Vbase 1-1, v3 ' (2.55)

Advierta que la corriente base para los sistemas trifásicos es igual a la corriente de fase,que es lo mismo que la corriente base para un análisis de fase simple (por fase). De esta manera

VAbase, 3-fase1base, 3-fase = hase, por fase = M3 11

v.:> v base, 3-fase(2.56)

Al final, la impedancia de base trifásica se elige para ser la impedancia de base monofásica.Por lo tanto


Zbase, 3-fase = Zbase, por fase

Vbase,l-n

hase, por fase

Vbase, 3-fase

.J3hase 3-fase

(Vbase, 3_fase)2

VAbase, 3-fase

(2.57)

Las ecuaciones para convertir valores de base a base, designadas con los números 2.50 a2.53, aplican de igual modo a la conversión de base trifásica. Advierta que los factores de {3y3 que se relacionan con las cantidades 11 y Y de volts, amperes y ohms en un sistema trifásicobalanceado se toman automáticamente bajo consideración en el sistema por unidad mediantelos valores base. Entonces, los problemas trifásicos pueden resolverse por medio del sistemapor unidad al considerarlos como problemas monofásicos y los detalles del transformador (Yfrente a 11 en los lados primario y secundario del transformador) y las conexiones para la im-pedancia (Y frente a 11) desaparecen, excepto al convertir volts, amperes y ohms al sistema porunidad.

~~------------------------------------Repita el ejemplo 2.9 en términos del sistema por unidad y calcule de forma específica las corrientes defase en corto circuito que fluirán en el alimentador y en las terminales de 240 V del extremo que recibedel banco del transformador. Realice los cálculos en términos del sistema por unidad en las tres fases, 150kVA, y con la base del índice de voltaje del extremo que recibe del transformador .

• Solución

Se iniciará por convertir todos los valores de impedancia s al sistema por unidad. La impedancia de 500kVA, 24 kV:2 400 V del extremo que envía es de 0.17 + jO.92 ntfase que se refiere aliado de 2 400 V.A partir de la ecuación 2.57, la impedancia base correspondiente a los 2 400 V, 150 kVA de base es

Zbase = 15~~~03 = 38.4 Q

Del ejemplo 2.9, la impedancia en serie total es igual a Z¡ot = 0.64 + j2.33 ntfase y de este modo alconvertirlo al sistema por unidad es igual a

Iz., I = 0.0629 por unidad

0.64 + j2.33Ztot = 8 = 0.0167 + jO.0607 por unidad3 .4

que es de magnitud

El voltaje que se aplicó al lado de alto voltaje del extremo que envía del transformador es V,= 24.0kV = 1.0 por unidad sobre la base de un voltaje nominal y por lo tanto, la corriente del corto circuito seráigual a


Vs 1.0 .Ise = -- = --- = 15.9 por unidadIz., I 0.0629

Para calcular las corrientes de fase en amperes, simplemente es necesario multiplicar la corriente delcorto circuito que se encuentra en el sistema por unidad por la corriente base apropiada. De esta forma, enel alimentador de 2 400 V la corriente base es

150 X 103 6Ibase.2400V= =3.IA../32400

y como consecuencia, la corriente del alimentador será

Ialimentador= 15.9 x 36.1 = 574 A

La corriente base en el lado secundario de 240 V del extremo que envía del transformador es

150 X 103 36Ibase.240V = = l A../3 240

y por lo tanto, la corriente del corto circuito es

1240Vsecundario= 15.9 x 361 = 5.74 leA

Como se esperaba, estos valores son equivalentes dentro de cierta precisión numérica respecto delos que se calcularon en el ejemplo 2.9.

~L- _

Calcule la magnitud de la corriente de corto circuito en el alimentador que se cita en el ejemplo 2.9 si sereemplaza el alimentador de 2 400 V por un alimentador con una impedancia de 0.07 + jO.68 Q/fase.Realice este cálculo considerando los 500 kVA, así como el voltaje nominal base del extremo que envíadel transformador y exprese el resultado tanto en el sistema por unidad como en amperes por fase.

Solución

La corriente del corto circuito = 5.20 por unidad = 636 A

~~----------------------------------------------------Una carga trifásica se alimenta de un transformador de 2.4 kV:460 V, 250 kVA cuya impedancia en serieequivalente es 0.026 +j 0.12 por unidad sobre su propia base. Se observa que el voltaje de carga es 438V de línea a línea, y absorbe 95 kW al factor de potencia unitario. Calcule el voltaje en el lado del altovoltaje del transformador. Realice los cálculos sobre la base de 460 V, 100 kVA base .

• Solución

La impedancia de base del lado de 460 V para este transformador es

4602Zbase.transformador= 250 X 103 = 0.846 n

95Pcarga = 100 = 0.95 por unidad


mientras que con base en los 100 kVA base es

4602

Zbase. 100 kVA = = 2.12 Q100 x 103

De esta forma, a partir de la ecuación 2.51 la impedancia del transformador por unidad con base enlos 100 kVA es

. (0.864) . .Ztransformador = (0.026 + jO.12) -- = 0.0106 + j.0489 por unidad

2.12

El voltaje de carga por unidad es

438Vcarga = 460 = 0.952 LO° por unidad

donde el voltaje de carga se eligió como referencia para los cálculos de ángulo de fase.La potencia de carga por unidad es

y, por lo tanto, la corriente de carga por unidad que se encuentra en fase con el voltaje de carga, debido aque la carga opera con un factor de potencia unitario, es

• Pcarga 0.95 .¡carga = -- = -- = 0.998 LO° por unidad

Vcarga 0.952

Así, en este momento es posible calcular el lado de alto voltaje del transformador

VH = Vcarga + icargaZtransformador

= 0.952 + 0.998(0.0106 + jO.0489)

= 0.963 + jO.0488 = 0.964 L29.0° por unidad

De esta forma, el lado de alto voltaje es igual a 0.964 x 2 400 V = 2 313 V (línea a línea).

~~---------------------------------Repita el ejemplo 2.15 si se reemplaza el transformador trifásico de 250 kV por un transformador de 150kV también con una capacidad de 2.4 kV:460 V y cuya impedancia de serie equivalente es de 0.038 +jO.135 por unidad sobre su propia base. Elabore los cálculos con base en los 460 V, 100 kVA.

Solución

El lado de alto voltaje = 0.982 por unidad = 2 357 V (línea a línea)

2.10 Resumen 105

2.10 RESUMEN

A pesar de que el transformador no es un dispositivo electromecánico, es un componente co-mún e indispensable en los sistemas de corriente alterna donde se emplea para convertir voltajes,corrientes e impedancias a niveles apropiados para su óptima utilización. Para fines de esteanálisis de los sistemas electromecánicos, los transformadores sirven como valiosos ejemplosde las técnicas de análisis que deberán llevarse a la práctica. Estos dispositivos ofrecen oportuni-dades para investigar las propiedades de los circuitos magnéticos, incluso los conceptos defrnm, la corriente de magnetización y la magnetización, así como los conceptos de flujos dedispersión y mutuos, así como las inductancias asociadas con los mismos.

Tanto en el caso de los transformadores como en el de las máquinas de rotación, se crea uncampo magnético por medio de la acción combinada de las corrientes en los devanados. En untransformador con núcleo de hierro, la mayor parte de este flujo se limita al núcleo y vinculatodos los devanados. Este flujo mutuo resultante induce voltajes en los devanados, los cualesson proporcionales al número de vueltas y también son responsables de la propiedad de varia-ción de voltaje que presentan los transformadores. En las máquinas de rotación, la situación esparecida, aunque en este caso existe un entrehierro que separa los componentes de rotación delos componentes estáticos de la máquina. De forma análoga a la manera en que el flujo del nú-cleo del transformador vincula los diferentes devanados en el núcleo del transformador, elflujo mutuo presente en las máquinas de rotación atraviesa el entrehierro y une los devanadosen el rotor y el estator. Como sucede en un transformador, el flujo mutuo induce voltajes en es-tos devanados que son proporcionales al número de vueltas y al índice de tiempo del cambiodel flujo.

Una diferencia importante entre los transformadores y las máquina de rotación es que enel caso de las máquinas de rotación existe un movimiento relativo entre los devanado en elrotor y en el estator. Este movimiento relativo produce un componente adicional del índice detiempo del cambio de las diferentes dispersiones de flujo de los devanados. Como se conside-rará en el capítulo 3, el componente de voltaje resultante, denominado velocidad de voltaje, escaracterístico del proceso de conversión de energía electromecánica. Sin embargo, en un trans-formador estático, la variación de tiempo de los acoplamientos inductivos es causada simplemen-te por la variación de tiempo en las corrientes de los devanados; sin involucrar ningún movi-miento mecánico y sin llevarse a cabo ninguna conversión de energía electromecánica.

El flujo del núcleo que resulta en un transformador induce una fuerza contraelectromotrizen el lado primario que junto con la resistencia primaria y la caída de voltaje de la reactancia dedispersión deberán balancear el voltaje que se aplique. Ya que la resistencia y la caída de vol-taje de la reactancia de dispersión generalmente son menores, la fuerza contraelectromotriz de-berá igualar de manera aproximada el voltaje que se aplique y el flujo del núcleo deberá ajus-tarse a sí mismo de acuerdo con este hecho. Fenómenos muy parecidos se llevan a cabo en losdevanados de inducido de un motor de corriente alterna; la onda de flujo re ultante del entrehierrodeberá ajustarse a sí misma con el fin de generar una fuerza contraelectromotriz que sea aproxi-madamente igual al voltaje que se aplica. Tanto en el caso de los transformadores como en elde las máquinas de rotación, la frnm neta de todas las corrientes deberá ajustarse a sí mismacon el fin de crear el flujo resultante que se requiere por este balance de voltaje. En cualquierdispositivo electromecánico de corriente alterna en donde la caída de voltaje de la resistencia yde la reactancia de dispersión sean menores, el flujo resultante será determinado por el voltajeaplicado y por la frecuencia, y las corrientes deberán ajustar e a sí mismas para producir lafrnm que se requiere para crear dicho flujo.


En un transformador, la corriente secundaria se determina por medio del voltaje inducidoen el lado secundario, por la impedancia de dispersión secundaria y por la carga eléctrica. Enun motor de inducción, la corriente secundaria (rotar) se determina por el voltaje inducido enel lado secundario, por la impedancia de dispersión secundaria y por la carga mecánica de sueje o flecha. En el devanado primario del transformador y en el devanado de inducido o arma-dura (estator) de los motores sincronos y de inducción, en esencia se llevan a cabo los mismosfenómenos. En los tres casos, el devanado primario o devanado de armadura, la corriente de-berá ajustarse a sí misma de modo que la fmm combinada de todas las corrientes sea capaz decrear el flujo que se requiere por el voltaje que se aplica. •

Además de los útiles flujos mutuos, tanto en transformadores como en máquinas de rota-ción existen acoplamientos de flujo que vinculan a los devanados individuales sin unir a otros.Aunque la descripción detallada de los acoplamientos de flujo en las máquinas de rotación esmás complicada que en el caso de los transformadores, sus efectos son esencialmente los mis-mos. En ambos casos, los acoplamientos de flujo inducen voltajes en los devanados de corrien-te alterna que se consideran como caídas de voltaje de reactancia de dispersión. En ambos ca-sos, también el patrón a través del aire domina a las reluctancias de los patrones de acoploinducido, y como consecuencia, los flujos de dispersión son casi linealmente proporcionales alas corrientes que las producen. Por lo tanto, con frecuencia se asume que las reactancias dedispersión son una constante independiente del grado de saturación del circuito magnéticoprincipal.

Es posible citar muchos más ejemplos de las similitudes básicas que hay entre transforma-dores y máquinas de rotación. Con excepción de la fricción y de la pérdida por rozamiento conel aire, las pérdidas en los transformadores y en las máquinas de rotación son en esencia lasmismas. Asimismo, las pruebas para determinar las pérdidas así como los parámetros de cir-cuitos equivalentes son similares: una prueba de circuito abierto o vacío, proporciona informa-ción concerniente a los requisitos de excitación y de pérdidas en el núcleo (junto con pérdidaspor fricción y por rozamiento con el aire), mientras que una prueba de corto circuito aunada amediciones de resistencia de corriente directa proporciona información sobre las reactanciasde dispersión y las resistencias del devanado. Se citará otro ejemplo de la representación sobrelos efectos de la saturación magnética. Tanto en los transformadores como en las máquinas derotación, generalmente se asume que las reactancias de dispersión no sufren los efectos de lasaturación y que la saturación que se presenta en el circuito magnético principal se determinapor el flujo mutuo resultante o flujo del entrehierro.

2.11 PROBLEMAS2.1 Un transformador consta de una bobina primaria de 1 200 vueltas y una bobina secunda-

ria de circuito abierto de 75 vueltas que se depositan alrededor de un núcleo cerrado conárea de sección transversal de 42 cm2. Se puede considerar al material del núcleo comosaturado cuando la densidad de flujo alcanza 1.45 T. ¿Qué voltaje primario rms de 60 Hzse necesita sin alcanzar este nivel de saturación? ¿Cuál será el correspondiente vol-taje secundario? ¿Cómo se alteran estos valores si la frecuencia que se aplica es menor a50 Hz?

2.2 Un circuito magnético con un área de sección transversal de 15 cm2 se operará a 60 Hz apartir de un suministro de 120 V rms. Calcule el número de vueltas que se requieren paraalcanzar un pico de densidad de flujo magnético de 1.8 T en el núcleo.

2.11 Problemas 107

2.3 Se utilizará un transformador para convertir la impedancia de un resistor de 8 n a unaimpedancia de 75 n. Calcule la relación de vueltas que se requiere al asumir que eltransformador es ideal.

2.4 Un resistor de 100 n se conecta al lado secundario de un transformador ideal con un índi-ce de vueltas de 1:4 (primario a secundario). Se conecta una fuente de voltaje de 10 V rms,y 1 kHz al lado primario. Calcule la corriente primaria y el voltaje a través del resistor de100 n.

2.5 Una fuente que puede representarse por medio de una fuente de voltaje de 8 V rms en seriecon una resistencia interna de 2 kQ se conecta a una resistencia de carga de 50 n a travésde un transformador ideal. Calcule el valor de la relación de vueltas necesario para que sesuministre una potencia máxima a la carga y calcule la correspondiente potencia de carga.Mediante MATLAB, grafique la potencia en miliwatts que se suministra a la carga comouna función de la capacidad del transformador, al cubrir índices desde 1.0 a 10.0.

2.6 Repita el problema 2.5 y reemplace la resistencia de la fuente por una reactancia de 2 n.2.7 Un transformador monofásico de 60 Hz presenta un voltaje de placa con un promedio de

7.97 kV:266 V, que se basa en la relación de vueltas del devanado. El fabricante calculaque la inductancia de dispersión del lado primario (7.97 kV) es 165 mH Yla inductanciamagnetizante del lado primario es de 135 H. Para un voltaje aplicado de 7 970 V a 60 Hz,determine el voltaje secundario de circuito abierto resultante.

2.8 El fabricante calcula que el transformador que cita el problema 2.7 presenta una induc-tancia de dispersión secundaria de 0.225 rnH.

a) Calcule la inductancia magnetizante al referirla al lado secundario.b) Se suministra un voltaje de 266 V, 60 Hz al lado secundario. Calcule: (i) el voltaje

primario de circuito abierto resultante y (ii) la corriente secundaria que resultaría siel lado primario se encontrara en corto circuito.

2.9 Un transformador de 120 V:2 400 V, 60 Hz, 50 kVA presenta una reactancia magnetizante(calculada a partir de las terminales de 120 V) de 34.6 n. El devanado de 120 V presentauna reactancia de dispersión de 27.4 mn y el devanado de 2 400 V una reactancia dedispersión de 11.2 n.

a) Con el lado secundario con circuito abierto y 120 V aplicados al devanado primario(120 V), calcule la corriente primaria y el voltaje secundario.

b) Con el lado secundario con corto circuito, calcule el voltaje primario que dará comoresultado una corriente nominal en el devanado primario. Calcule la corriente co-rrespondiente en el devanado secundario.

2.10 Un transformador de 460 V:2 400 V presenta una reactancia de dispersión de 37.2 n quese refiere al lado de alto voltaje. Se observa que una carga q~ se encuentra conectada allado de bajo voltaje absorbe 25 kW, a factor de potencia unitario, y e\.voltaje se calculaen 450 V. Calcule el voltaje correspondiente y el factor de potencia q~se obtendrá enlas terminales de alto voltaje.

2.11 Las resistencias y las reactancias de dispersión de un transformador de distribución de30 kVA, 60 Hz, 2400 V:240 V se calculan de la siguiente forma

R¡ = 0.68 Q R2 = 0.0068 Q

XII = 7.8 Q XI2 = 0.0780 Q

)


donde el subíndice 1 designa el devanado de 2 400 V Yel subíndice 2 designa al devana-do de 240 V. Cada cantidad se refiere a su respectivo lado del transformador.

a) Esquematice el circuito equivalente referido: (i) al lado de alto voltaje y (ii) al ladode bajo voltaje. Distinga las impedancias mediante números.

b) Considere que el transformador suministrará un índice en kVA a una carga en ellado de bajo voltaje con 230 V a través de la carga. (i) Determine el voltaje terminalen el lado de alto voltaje para un factor de potencia de carga de 0.85 en atraso. (ii)Determine el voltaje terminal en el lado de alto voltaje para un factor de potencia decarga de 0.85 en adelante.

e) Considere que una carga nominal en kVA se conecta a las terminales de bajo voltajeque operan a 240 V. Utilice MATLAB para graficar el voltaje terminal en el lado dealto voltaje como una función del ángulo de factor de potencia, mientras que elfactor de potencia de la carga varía de 0.6 en atraso de un factor de potencia unitarioy 0.6 pf en adelante.

2.12 Repita el problema 2.11 para un transformador de distribución de 75 kVA, 60 Hz, 4 600V:240 V, cuyas resistencias y reactancias de di persión son las siguientes

R, = 0.846 Q

XII = 26.8 Q

R2 = 0.00261 Q

X/2 = 0.0745 Q

donde el subíndice l indica el devanado de 4 600 V Yel sub índice 2 indica el devanadode 240 V. Se refiere cada cantidad a su respectivo lado del transformador.

2.13 Se suministra una carga monofásica a través de un alimentador de 35 kV cuya impedan-cia equivalente es 95 + j360 n y 35 kV; 2400 V Yun transformador cuya impedanciaequivalente es de 0.23 +j1.27 n referidas al lado de bajo voltaje. La carga es de 160 kWa un factor de potencia 0.89 en atraso y 2 340 V.

a) Calcule el voltaje en las terminales de alto voltaje del transformador.b) Calcule el voltaje en el extremo que envía del alimentador.e) Calcule la potencia y la entrada de potencia reactiva en el extremo que envía del

alimentador.

2.14 Repita el ejemplo 2.6 y considere que el funcionamiento del transformador es a plenacarga y con factor de potencia unitario.

2.15 La placa de un transformador monofásico de 50 MVA, 60 Hz indica que éste presenta unvoltaje nominal de 8.0 kV:78 kV. Se realiza una prueba de circuito abierto en el lado debajo voltaje, en donde las correspondientes lecturas de los instrumentos de medición son8.0 kV, 62.1 A Y206 kW. De manera similar, una prueba de corto circuito en el lado debajo voltaje proporciona lecturas de 674 V, 6.25 kA y 187 kW.

a) Calcule la impedancia en serie equivalente, la resistencia y la reactancia del trans-formador referidas a las terminales de bajo voltaje.

b) Calcule la impedancia en serie equivalente del transformador referidas a las termi-nales de alto voltaje.

e) Al realizar aproximaciones apropiadas, esquematice un circuito equivalente en Tpara el transformador.

2.11 Problemas 109

d) Determine la eficiencia y la regulación de voltaje si el transformador opera con unvoltaje nominal y una carga (a factor de potencia unitario).

e) Repita el inciso d) y asuma que la carga será un factor de potencia de 0.9 en adelante.

2.16 Un transformador de 550 kVA, 60 Hz con un devanado primario de 13.8 kV absorbe4.93 A Y 3 420 W sin carga, a voltaje y frecuencia nominales. Otro transformador pre-senta un núcleo con todas sus dimensiones lineales a una razón de ..fi veces el tamaño delprimer transformador. El material del núcleo y el espesor de la lámina son los mismos enambos transformadores. Si los devanados primarios de ambos transformadores presen-tan el mismo número de vueltas, ¿qué corriente de vacío y qué potencia absorberá elsegundo transformador con 27.6 kV a 60 Hz en su lado primario?

2.17 Los siguientes datos se obtuvieron a partir de un transformador de distribución de 20kVA, 60 Hz, 2400:240 V probado a 60 Hz:

Voltaje,V

Corriente, Potencia,A W

Con el devanado de alto voltaje con circuito abiertoCon las terminales de bajo voltaje con corto circuito

24061.3

1.0388.33

122257

a) Calcule la eficiencia a corriente de plena carga y el voltaje terminal a un factor depotencia de 0.8.

b) Asuma que el factor de potencia de carga varía mientras que la corriente de carga yel voltaje terminal secundario permanecen constantes. Utilice un diagrama de fasespara determinar el factor de potencia de carga que aplica una regulación mayor.¿Cuál es esta regulación?

2.18 Un transformador de distribución monofásico de 75 kVA, 240 V:7 970 V, 60 Hz presentalos siguientes parámetros referidos al lado de alto voltaje:

R¡ = 5.93 n

R2 = 3.39 n

Re = 244kn

X¡ =43.2n

X2 = 40.6 n

Xm = 114kn

Asuma que el transformador suministra sus kVA nominales en sus terminales debajo voltaje. Elabore un programa MATLAB con el fin de determinar la eficiencia yregulación del transformador para cualquier factor de potencia de carga que se especifi-que (de retardo o adelanto). Es posible aplicar, de manera razonable, algunas aproxima-ciones técnicas para simplificar el análisis. Utilice un programa en MATLAB para deter-minar la eficacia y la regulación para un factor de potencia de carga de 0.87 en adelante.

2.19 El transformador que se cita en el problema 2.11 se conectará como un autotransformador.Determine:

a) los voltajes en los devanados de alto y bajo voltaje para esta conexión yb) determine los kVA nominales de la conexión del autotransformador.

2.20 Se utilizará un transformador de 120:480 V, 10 kVA como un autotransformador paraabastecer a 480 V un circuito a partir de una fuente de 600 V. Cuando se le prueba comotransformador de dos devanados a plena carga, y con factor de potencia unitario, su efi-ciencia es de 0.979.


a) Realice un diagrama de conexiones como si fuera un autotransformador.b) Determine su capacidad en kVA como autotransformador.e) Determine su eficiencia como un autotransformador a plena carga, con un factor de

potencia 0.85 en atraso.

2.21 Considere el transformador que se cita en el problema 2.15 con las siguientes caracterís-ticas: 8 kV:78 kV, 50 MVA conectado como un autotransformador.

a) Determine la relación de voltaje de los devanados de alto y bajo voltaje para estaconexión y la capacidad en kVA de la conexión del autotransformador.

b) Calcule la eficiencia del transformador en esta conexión cuando abastece una carganominal con un factor de potencia unitario.

2.22 Elabore un programa en MATLAB cuyas entradas (voltaje y kVA) y carga nominal, laeficiencia a factor de potencia unitario de un transformador monofásico cuya salida es sucarga nominal, y la eficiencia a factor de potencia unitario cuando se conecta como unautotransformador.

2.23 Las terminales de alto voltaje de un banco trifásico de tres transformadores monofásicosse abastecen a partir de un cable trifásico, en sistema también trifásico de 13.8 kV (líneaa línea). Las terminales de bajo voltaje se conectarán a un cable trifásico y a una carga desubestación trifásica que va de 4 500 kVA hasta 2 300 V de línea a línea. Especifique elvoltaje que se requiere, la corriente y la capacidad en kVA de cada transformador (en am-bos devanados, de alto y bajo voltaje) para las siguientes conexiones:

Devanados Devanadosde alto voltaje de bajo voltaje

a) y D.b) D. Ye) y Yel) D. D.

2.24 Tres transformadores monofásicos de 100 MVA con una capacidad de 13.8 kV:66.4 kV,se conectarán en un banco trifásico. Cada transformador presenta una impedancia enserie de 0.0045 + jO.19 Q referidos al devanado de 13.8 kV.

a) Si los transformadores se conectan en Y-Y, calcule (i) el voltaje y de potencia de laconexión trifásica, (ii) la impedancia equivalente referida a sus terminales de bajovoltaje, y (iii) calcule la impedancia equivalente referida a las terminales de altovoltaje.

b) Repita el inciso a) si el transformador se conecta en Y en su lado de bajo voltaje y entriángulo en su lado de alto voltaje.

2.25 Repita el ejemplo 2.8 para una carga que extrae una corriente nominal de los transforma-dores con factor de potencia unitario.

2.26 Un transformador trifásico en Y-Il. presenta 225 kV:24 kV, 400 MVA nominales y unareactancia en serie de 11.7 Q referidos a las terminales de alto voltaje. El transformadorabastece una carga de 325 MVA, con un factor de potencia de 0.93 en atraso a un voltaje

2.11 Problemas 111

de 24 kV (línea a línea) en su lado de bajo voltaje. Este transformador se abastece de unalimentador cuya impedancia es de 0.11 + j2.2 n conectado a sus terminales de altovoltaje. Bajo estas condiciones, calcule:

a) el voltaje de línea a línea en las terminales de alto voltaje del transformador yb) el voltaje de línea a línea en el extremo final del alimentador.

2.27 Asuma que la carga total en el sistema del problema 2.26 permanece constante a 325MVA. Elabore un programa MATLAB con el fin de graficar el voltaje de línea a líneaque deberá aplicarse al extremo que envía del alimentador para mantener el voltaje decarga a 24 kV de línea a línea para factores de potencia de carga dentro de los límites de0.75 en atraso, unitario y 0.75 en adelante. Grafique el voltaje del extremo que envíacomo una función del ángulo de factor de potencia.

2.28 Un banco de tres transformadores idénticos de 100 kVA, 2 400 V: 120 V, 60 Hz, conecta-dos en /).-Y se abastecen de potencia a partir de un alimentador cuya impedancia es 0.065+ jO.87 n por fase. El voltaje en el extremo final del alimentador permanece constante a2 400 V de línea a línea. Los resultados de una prueba de corto circuito monofásica en unode los transformadores con sus terminales de bajo voltaje en corto circuito son los siguientes

VH = 53.4 V f = 60 Hz IH = 41.7 A P = 832 W

a) Determine el voltaje de línea a línea en el lado de bajo voltaje del transformadorcuando el banco entrega una corriente a una carga de factor de potencia unitariotrifásico balanceado.

b) Calcule las corrientes en los devanados de alto y bajo voltaje del transformador y enlos cables del alimentador si ocurre un corto circuito trifásico en las terminales delíneas secundarias.

2.29 Un transformador de potencial 7 970 V: 120 V, 60 Hz presenta los siguientes parámetrosque se observan en el devanado de alto voltaje (primario):

XI = 1721 Q X2 = 1 897 Q x; = 782 kQ

RI = 1378 Q R~ = 1 602 Q

a) Asuma que el devanado secundario se encuentra en corto circuito y que el primarioestá conectado a una fuente de 7.97 kV, calcule la magnitud y el ángulo de fase (conrespecto a la fuente de alto voltaje) del voltaje en las terminales secundarias.

b) Calcule la magnitud y el ángulo de fase del voltaje secundario de una carga resistivade 1 kn que se conecta a las terminales secundarias.

e) Repita el inciso b) si la carga total cambia a una reactancia de 1 kn.

2.30 Para el transformador de potencial que se presenta en el problema 2.29, determine lacarga total reactiva máxima (reactancia mínima) que se aplica a las terminales secunda-rias a manera que el error de magnitud del voltaje no exceda 0.5%.

2.31 Considere el transformador de potencial del problema 2.29.

a) Utilice MATLAB para graficar el porcentaje de error en la magnitud del voltajecomo una función de la magnitud de la impedancia de carga total, (i) para una carga


total de resistencia de 100 Q ~ Rb ~ 3 000 Q Y (ii) para una carga total reactiva de100 Q ~ s,~3 000 Q. Grafique estas curvas en el mismo eje.

b) El siguiente paso es graficar el error de fase en grados como una función de lamagnitud de la impedancia de carga (i) para una carga total de resistencia de 100 Q

s n, s 3 000 Q Y (ii) para una carga total reactiva de 100 Q s x, ~3 000 Q. Denuevo, grafique estas curvas en el mismo eje.

2.32 Un transformador de corriente de 200 A:5 A, 60 Hz presenta los siguientes parámetroscomo se observa en el devanado de 200 A (primario):

XI = 745 ¡.¿Q Xí = 813 ¡.¿Q Xm = 307 mQ

R¡ = 136 ¡.¿Q Rí = 128 ¡.¿Q

a) Asuma una corriente de 200 A en el devanado primario y que el secundario se en-cuentra con un corto circuito, determine la magnitud y el ángulo de fase de la co-rriente secundaria.

b) Repita el cálculo que efectuó en el inciso a) si el CT se simplifica a través de unacarga total de 250 jlQ.

2.33 Considere una corriente del transformador que se cita en el problema 2.32.

a) Utilice MATLAB para graficar el porcentaje de error en la magnitud del voltajecomo una función de la magnitud de la impedancia de carga total, (i) para una cargatotal de resistencia de 100 Q ~ Rb ~ 1 000 Q Y (ii) para una carga total reactiva de100 Q sXb s 1 000 Q. Grafique estas curvas en el mismo eje.

b) El siguiente paso es graficar el error de fase en grados como una función de la mag-nitud de la impedancia de carga (i) para una carga total de resistencia de 100 Q ~ Rb~ 1 000 Q Y (ii) para una carga total de 100 Q ~ x, ~1 000 Q. De nuevo, grafiqueestas curvas en el mismo eje.

2.34 Un transformador monofásico de 15 kV:175 kV, 125 MVA, 60 Hz presenta impedanciasprimarias y secundarias de 0.0095 + jO.063 por unidad cada una. La impedanciamagnetizante es dej148 por unidad. Todas las cantidades se encuentran en el sistema porunidad sobre la base del transformador. Calcule las resistencias primaria y secundaria ylas reactancias, así como la inductancia magnetizante (referida al lado de bajo voltaje) enohms y henrrys.

2.35 La placa en un transformador monofásico de 7.97 kV:460 V, 75 kVA indica que éstepresenta una reactancia en serie de 12% (0.12 por unidad).

a) Calcule la reactancia en serie en ohms referida a: (i) la terminal de bajo voltaje y (ii)a la terminal de alto voltaje.

b) Si se conectan tres de estos transformadores en una conexión trifásica en Y-Y, calcu-le (i) el voltaje trifásico y la potencia nominal, (ii) la impedancia por unidad del ban-co de transformadores, (iii) la reactancia en serie en ohms referida a la terminal dealto voltaje, y por último (iv) la reactancia en serie en ohms referida a la terminalde bajo voltaje.

e) Repita el inciso b) si los tres transformadores se conectan en Y en su lado de altovoltaje y en Ll en su lado de bajo voltaje.

2.11 Problemas 113

2.36 a) Considere la conexión tipo y-y del transformador que se cita en el problema 2.35,inciso b). Si el voltaje nominal se aplica a las terminales de alto voltaje y las tres ter-minales de bajo voltaje se encuentran en corto circuito, calcule la magnitud de la co-rriente de fase en unidades del sistema por unidad y en amperes en (i) el lado de altovoltaje y en (ii) el lado de bajo voltaje.

b) Repita estos cálculos para la conexión en y-/).que se cita en el problema 2.35, inciso e).

2.37 Un transformad,or trifásico para elevar el voltaje de un generador tiene capacidad nomi-nal igual a 26 kV:345 kV, 850 MVA presenta una impedancia en serie de 0.035 +jO.087por unidad sobre esta base. Se conecta a un generador de 26 kV, 800 MVA, que serepresenta como una fuente de voltaje' en serie con una reactancia de j1.57 por unidadsobre la base del generador.

a) Convierta la reactancia del generador por unidad en la base del transformador ele-vado.

b) La unidad abastece 700 MW a 345 kV Ya un factor de potencia de 0.95 en atraso alsistema de terminales de alto voltaje del transformador. (i) Calcule el voltaje en ellado de bajo voltaje del mismo y el voltaje interno del generador detrás de una reac-tancia en kV. (ii) Determine la potencia de salida del generador en MW y el factor depotencia.

capitulo 2 transformadores

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