MatemticaFrente IICAPTULO 22 EQUAES POLINOMIAIS

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1 INTRODUO

Aprendemos, at agora, a resolver equaes do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, neste captulo, encontrar maneiras de resolver equaes de graus maiores, ou seja, equaes do tipo:

Nos captulos anteriores, durante o estudo de polinmios, j estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as razes de polinmios, so esses os seguintes:

Se um polinmio de coeficientes reais e raiz de , ento tambm

E o corolrio do teorema do resto visto no cap. 20:

Se , ento divisvel por

Munidos destas propriedades e do teorema que veremos a seguir, seremos capazes de encontrar todas as razes de muitos mas no todos os polinmios de grau maior sobre os quais no sabemos nenhuma informao.

2 TEOREMA FUNDAMENTAL DA LGEBRA

O teorema fundamental da lgebra formaliza algo que j vnhamos utilizando naturalmente na soluo de problemas de polinmios, e enuncia o seguinte:

Seja um polinmio

de grau e as suas razes (que no necessariamente so distintas). Ento a forma fatorada de dada por:

Exerccio Resolvido 1

Construir um polinmio, de coeficiente lder igual a 1, cujas razes so e

Resoluo:

Coeficiente de grau lder = 1 significa Substituindo e pelas razes dadas, vem:

Exerccio Resolvido 2

Sabendo que uma raiz do polinmio abaixo:

Fatore a expresso

Resoluo:

Como o polinmio de grau 3, ele tem 3 razes, dentre as quais 3 uma delas. Podemos encontrar as outras duas utilizando relaes de Girard:

Soma das razes:

Produto das razes:

Resolvendo o sistema, encontramos e , ou seja, as razes do polinmio so e , e como (coeficiente lder do polinmio), a forma fatorada de :

Exerccio Resolvido 3

Fatore o polinmio

Resoluo:

Primeiramente podemos colocar em evidncia:

Para fatorar , devemos achar as suas razes, ou seja, resolver a equao do segundo grau:

Na qual temos e, portanto, suas duas razes so iguais: , ou seja, a forma fatorada :

Exerccio Resolvido 4

O polinmio , de quarto grau, tem razes Se , determine

Resoluo:

Se do quarto grau e temos suas quatro razes, podemos escrev-lo como:

Podemos determinar a constante a utilizando o fato de que :

Assim: e, portanto:

3 TEOREMA DAS RAZES RACIONAIS

O teorema das razes racionais enuncia o seguinte:

Seja um polinmio de coeficientes INTEIROS. Se o nmero racional raiz de , ento divisor de e n divisor de

Ou seja, se quisermos inspecionar as razes racionais de um polinmio, devemos:

Determinar os divisores de Determinar os divisores de Testar as combinaes da forma:

Vejamos exemplos a seguir:

Exerccio Resolvido 4

Ache as solues de

ResoluoUtilizando o teorema das razes racionais, devemos inicialmente achar os divisores de (que 21) e de (que vale 1):

Divisores de : Divisores de :

Testando as divises possveis, devemos testar os nmeros e : (1 raiz) (-2 no raiz) (3 no raiz) (-3 raiz) (-7 raiz)

(-7 no raiz)Inspecionando ento, encontramos que 3, -1 e 7 so razes. Como o polinmio de grau 3, essas so suas nicas razes.

Exerccio Resolvido 5

Determine as razes de

Resoluo

Vamos novamente utilizar o teorema das razes racionais:

Divisores de : Divisores de : Assim, as divises possveis so e . Vamos testar cada uma delas ento:

(1 no raiz) (-1 no raiz) (2 raiz) (-2 no raiz)

Assim a nica raiz real . Sendo assim, o polinmio divisvel por . Dividamos pelo mtodo de Briot-Ruffini:

Assim o quociente e o resto 0. Sendo assim as outras razes so razes de :

4 - OUTRAS IDEIAS

Como vimos acima, o teorema das razes racionais no garante que encontremos alguma raiz racional para nossa equao e, muitas vezes, trabalhoso testarmos caso a caso para encontrar alguma raiz. Seguem algumas dicas que auxiliaro na soluo dos problemas:

1.1 Soma dos coeficientes

Se , observe que . Assim, quando quisermos saber a soma dos coeficientes de um polinmio, basta calcularmos . Disso decorre:

Se a soma dos coeficientes zero, ento 1 raiz

EXEMPLO:

O polinmio tem soma dos coeficientes zero, logo 1 uma de suas razes.

1.2 Teste de razes irracionais simples

Quando o teste das razes racionais no indica nenhuma raiz, s vezes interessante testarmos razes como ou

1.3 Teste de razes imaginrias puras

Algumas vezes interessante testar razes imaginrias como , , etc

EXEMPLO:

Por inspeo, o polinmio tem como uma de suas razes . Conseqentemente, tambm uma de suas razes e a outra raiz () facilmente encontrada usando qualquer relao de Girard.

EXERCCIOS PROPOSTOS

Nvel I

1. (UFF-2010) Considere o polinmio

a) Verifique se o nmero complexo raiz de b) Calcule todas as razes complexas de

2. (UECE-2010) Os nmeros so as solues da equao polinomial , as quais so todas simples. Se o polinmio tal que , ento o valor de igual a:

a) b) c) d)

3. (PUC- 2010) O polinmio divisvel por

a) Determine b) Calcule as razes de

4. (UEG-2010) Joo gosta de brincar com nmeros e fazer operaes com eles. Em determinado momento, ele pensou em trs nmeros naturais e, em relao a esses nmeros, observou o seguinte:

A soma desses nmeros 7. O produto deles 8. A soma das trs parcelas resultantes dos produtos desses nmeros tomados dois a dois 14.

Assim, os trs nmeros pensados por Joo so razes da equao:

a) b) c) d)

5. (Mackenzie-2010) Se e so as razes do polinmio , tais que , o valor de :

a) 2 b) c) -2 d) 3 e) -

6. (UEL-2009) A equao

Tem uma raiz inteira e duas razes complexas imaginrias puras. Sua quarta raiz :

a) -2/3 b) -1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 4/3

7. (ITA-2011) Com respeito equao polinomial

correto afirmar que:

a) Todas as suas razes esto em b) Uma nica raiz est em e as demais esto em c) Duas razes esto em e as demais tem parte imaginria no nula.d) no divisvel por e) uma nica raiz est em e pelo menos uma das demais est em

8. (UFRGS-2008) O polinmio tem:

a) apenas duas razes reais distintasb) apenas duas razes positivasc) todas as razes positivasd) quatro razes iguaise) quatro razes distintas

9. (PUC-SP-2007) Sabe-se que a equao admite razes inteiras. Se a maior das razes no inteiras da equao, ento o valor de :

a) -6 b) -3 c) 0 d) e)

Nvel II

10. (FUVEST) Suponha que o polinmio do 3 grau onde e so nmeros reais, seja divisvel por

a) Determine em funo de b) Determine para que admita raiz dupla diferente de c) Que condies dee satisfazer para que admita trs razes reais e distintas?

11. (FUVEST) A equao tem uma raiz inteira e duas imaginrias e .

a) Determine as razes , e b) Escreva a equao cujas razes so e c) Determine a equao cujas razes so , e

12. (UFC-2010) Considere a expresso

a) encontrar o valor numrico da expresso para b) obter todas as razes complexas do polinmio

13. (Ufjf-2007) Sobre o polinmio

podemos dizer que:

a) possui uma raiz real e duas razes complexas que no so reaisb) a soma de suas razes igual a 15c) o produto de suas razes igual a 12d) uma das suas razes positiva de multiplicidade 1e) nenhuma de suas razes um nmero natural

GABARITO

1. a) Basta verificar que b) e

2. a

3.a) b) ,

4. a 5. c 6. d 7. e 8. d 9. b

10.a) b) c) e

11. a) e b) c)

12.a) b)

13. e