cap 22 - equações polinomiais.docx
TRANSCRIPT
MatemticaFrente IICAPTULO 22 EQUAES POLINOMIAIS
CASD Vestibulares16Algebra
19CASD VestibularesAlgebraCASD Vestibulares20Algebra
1 INTRODUO
Aprendemos, at agora, a resolver equaes do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, neste captulo, encontrar maneiras de resolver equaes de graus maiores, ou seja, equaes do tipo:
Nos captulos anteriores, durante o estudo de polinmios, j estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as razes de polinmios, so esses os seguintes:
Se um polinmio de coeficientes reais e raiz de , ento tambm
E o corolrio do teorema do resto visto no cap. 20:
Se , ento divisvel por
Munidos destas propriedades e do teorema que veremos a seguir, seremos capazes de encontrar todas as razes de muitos mas no todos os polinmios de grau maior sobre os quais no sabemos nenhuma informao.
2 TEOREMA FUNDAMENTAL DA LGEBRA
O teorema fundamental da lgebra formaliza algo que j vnhamos utilizando naturalmente na soluo de problemas de polinmios, e enuncia o seguinte:
Seja um polinmio
de grau e as suas razes (que no necessariamente so distintas). Ento a forma fatorada de dada por:
Exerccio Resolvido 1
Construir um polinmio, de coeficiente lder igual a 1, cujas razes so e
Resoluo:
Coeficiente de grau lder = 1 significa Substituindo e pelas razes dadas, vem:
Exerccio Resolvido 2
Sabendo que uma raiz do polinmio abaixo:
Fatore a expresso
Resoluo:
Como o polinmio de grau 3, ele tem 3 razes, dentre as quais 3 uma delas. Podemos encontrar as outras duas utilizando relaes de Girard:
Soma das razes:
Produto das razes:
Resolvendo o sistema, encontramos e , ou seja, as razes do polinmio so e , e como (coeficiente lder do polinmio), a forma fatorada de :
Exerccio Resolvido 3
Fatore o polinmio
Resoluo:
Primeiramente podemos colocar em evidncia:
Para fatorar , devemos achar as suas razes, ou seja, resolver a equao do segundo grau:
Na qual temos e, portanto, suas duas razes so iguais: , ou seja, a forma fatorada :
Exerccio Resolvido 4
O polinmio , de quarto grau, tem razes Se , determine
Resoluo:
Se do quarto grau e temos suas quatro razes, podemos escrev-lo como:
Podemos determinar a constante a utilizando o fato de que :
Assim: e, portanto:
3 TEOREMA DAS RAZES RACIONAIS
O teorema das razes racionais enuncia o seguinte:
Seja um polinmio de coeficientes INTEIROS. Se o nmero racional raiz de , ento divisor de e n divisor de
Ou seja, se quisermos inspecionar as razes racionais de um polinmio, devemos:
Determinar os divisores de Determinar os divisores de Testar as combinaes da forma:
Vejamos exemplos a seguir:
Exerccio Resolvido 4
Ache as solues de
ResoluoUtilizando o teorema das razes racionais, devemos inicialmente achar os divisores de (que 21) e de (que vale 1):
Divisores de : Divisores de :
Testando as divises possveis, devemos testar os nmeros e : (1 raiz) (-2 no raiz) (3 no raiz) (-3 raiz) (-7 raiz)
(-7 no raiz)Inspecionando ento, encontramos que 3, -1 e 7 so razes. Como o polinmio de grau 3, essas so suas nicas razes.
Exerccio Resolvido 5
Determine as razes de
Resoluo
Vamos novamente utilizar o teorema das razes racionais:
Divisores de : Divisores de : Assim, as divises possveis so e . Vamos testar cada uma delas ento:
(1 no raiz) (-1 no raiz) (2 raiz) (-2 no raiz)
Assim a nica raiz real . Sendo assim, o polinmio divisvel por . Dividamos pelo mtodo de Briot-Ruffini:
Assim o quociente e o resto 0. Sendo assim as outras razes so razes de :
4 - OUTRAS IDEIAS
Como vimos acima, o teorema das razes racionais no garante que encontremos alguma raiz racional para nossa equao e, muitas vezes, trabalhoso testarmos caso a caso para encontrar alguma raiz. Seguem algumas dicas que auxiliaro na soluo dos problemas:
1.1 Soma dos coeficientes
Se , observe que . Assim, quando quisermos saber a soma dos coeficientes de um polinmio, basta calcularmos . Disso decorre:
Se a soma dos coeficientes zero, ento 1 raiz
EXEMPLO:
O polinmio tem soma dos coeficientes zero, logo 1 uma de suas razes.
1.2 Teste de razes irracionais simples
Quando o teste das razes racionais no indica nenhuma raiz, s vezes interessante testarmos razes como ou
1.3 Teste de razes imaginrias puras
Algumas vezes interessante testar razes imaginrias como , , etc
EXEMPLO:
Por inspeo, o polinmio tem como uma de suas razes . Conseqentemente, tambm uma de suas razes e a outra raiz () facilmente encontrada usando qualquer relao de Girard.
EXERCCIOS PROPOSTOS
Nvel I
1. (UFF-2010) Considere o polinmio
a) Verifique se o nmero complexo raiz de b) Calcule todas as razes complexas de
2. (UECE-2010) Os nmeros so as solues da equao polinomial , as quais so todas simples. Se o polinmio tal que , ento o valor de igual a:
a) b) c) d)
3. (PUC- 2010) O polinmio divisvel por
a) Determine b) Calcule as razes de
4. (UEG-2010) Joo gosta de brincar com nmeros e fazer operaes com eles. Em determinado momento, ele pensou em trs nmeros naturais e, em relao a esses nmeros, observou o seguinte:
A soma desses nmeros 7. O produto deles 8. A soma das trs parcelas resultantes dos produtos desses nmeros tomados dois a dois 14.
Assim, os trs nmeros pensados por Joo so razes da equao:
a) b) c) d)
5. (Mackenzie-2010) Se e so as razes do polinmio , tais que , o valor de :
a) 2 b) c) -2 d) 3 e) -
6. (UEL-2009) A equao
Tem uma raiz inteira e duas razes complexas imaginrias puras. Sua quarta raiz :
a) -2/3 b) -1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 4/3
7. (ITA-2011) Com respeito equao polinomial
correto afirmar que:
a) Todas as suas razes esto em b) Uma nica raiz est em e as demais esto em c) Duas razes esto em e as demais tem parte imaginria no nula.d) no divisvel por e) uma nica raiz est em e pelo menos uma das demais est em
8. (UFRGS-2008) O polinmio tem:
a) apenas duas razes reais distintasb) apenas duas razes positivasc) todas as razes positivasd) quatro razes iguaise) quatro razes distintas
9. (PUC-SP-2007) Sabe-se que a equao admite razes inteiras. Se a maior das razes no inteiras da equao, ento o valor de :
a) -6 b) -3 c) 0 d) e)
Nvel II
10. (FUVEST) Suponha que o polinmio do 3 grau onde e so nmeros reais, seja divisvel por
a) Determine em funo de b) Determine para que admita raiz dupla diferente de c) Que condies dee satisfazer para que admita trs razes reais e distintas?
11. (FUVEST) A equao tem uma raiz inteira e duas imaginrias e .
a) Determine as razes , e b) Escreva a equao cujas razes so e c) Determine a equao cujas razes so , e
12. (UFC-2010) Considere a expresso
a) encontrar o valor numrico da expresso para b) obter todas as razes complexas do polinmio
13. (Ufjf-2007) Sobre o polinmio
podemos dizer que:
a) possui uma raiz real e duas razes complexas que no so reaisb) a soma de suas razes igual a 15c) o produto de suas razes igual a 12d) uma das suas razes positiva de multiplicidade 1e) nenhuma de suas razes um nmero natural
GABARITO
1. a) Basta verificar que b) e
2. a
3.a) b) ,
4. a 5. c 6. d 7. e 8. d 9. b
10.a) b) c) e
11. a) e b) c)
12.a) b)
13. e