Cálculo Diferencial e Integral 1 Limite
Definição: Seja 𝑓(𝑥) definida em todo 𝑥 que está em algum
intervalo aberto que contenha o número 𝑝, com a possível
exceção que 𝑓(𝑥) não precisa estar definida 𝑥 = 𝑝. Escrevemos
lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = 𝐿 se dado qualquer 휀 > 0, podemos encontrar um
numero 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| se 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿.
∀ 휀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ; 𝑥 ∈ 𝐷, 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀
Exemplo 1) Seja a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2. Usando a definição
de limite, mostre que
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = limx→2
(3𝑥 + 2) = 8
Solução: De acordo com a definição, para todo 휀 > 0 dado, existe 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 8| < 휀 sempre
que 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿.
|𝑓(𝑥) − 8| = |3𝑥 + 2 − 8| = |3𝑥 − 6| = |3(𝑥 − 2)| = 3|𝑥 − 2|. Assim, se tomamos 𝛿 = 휀/3, temos que, se 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) − 8| = 3|𝑥 − 2| < 3𝛿 = 휀.
Exemplo 2) Mostre que limx→0
sen (𝜋
𝑥) não existe.
Solução: Se limx→0
sen (𝜋
𝑥) existisse, então para 𝑥 muito próximos de zero, a função 𝑓(𝑥) = sen (
𝜋
𝑥) deveria
se aproximar de um valor fixo,
que seria o limite. Mas isto não
ocorre. De fato, considerando
𝑥 =2
2𝑛+1 para (𝑛 ∈ ℤ), 𝑥 ficará
próximo de zero se 𝑛 for muito
grande. Mas,
sen (𝜋
𝑥) = sen (
𝜋(2𝑛+1)
2) =
= sen (𝑛𝜋 +𝜋
2) = cos(𝑛𝜋)
= (−1)𝑛
e a função ficará oscilando entre 1 (se 𝑛 é par) e -1 (se 𝑛 é ímpar). Logo, o limite de 𝑓 não pode existir.
Teorema 1.1 (Unicidade do limite) Se o limite existe (e é um número real) então ele é único, ou seja, se
lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = 𝐿2, com 𝐿1, 𝐿2 ∈ ℝ, então 𝐿1 = 𝐿2.
Esse teorema pode ser aplicado se funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) exceto que o
ponto 𝑝, não está no domínio de 𝑓 então: lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = lim𝑥→p
𝑔(𝑥) desde que exista um dos limites.
Assim podemos calcular o limite, como no seguinte exemplo
Exemplo 3) O gráfico das funções
𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥−1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1
sugerem que as duas funções são
equivalentes, mas é claro que o
ponto 1 não está no domínio de 𝑓.
porém analisando a vizinhança
desse ponto é claro que
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim𝑥→1
𝑔(𝑥) o que pode
ser verificado por lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1= lim
x→2(𝑥 + 1).
Teorema 1.2 (propriedades do limite): Se lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→p
𝑔(𝑥) = 𝑀 e 𝑐 é um numero real qualquer,
então:
a) lim𝑥→p
𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝐿;
b) lim𝑥→p
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿 + 𝑀;
c) lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀;
d) lim𝑥→p
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
𝐿
𝑀, desde que 𝑔(𝑥) ≠ 0 e 𝑀 ≠ 0
Exemplo 4) Calcule lim𝑥→2
(𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 4) e lim𝑥→2
𝑥3−𝑥2−𝑥+1
𝑥−1
Teorema 1.3: Se lim𝑥→p
𝑔(𝑥) = 𝐿 e se 𝑓(𝑥) for uma função lim𝑥→L
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐿), então
lim𝑥→p
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = lim𝑥→p
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim𝑥→p
𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿)
Exemplo 5) Calcule lim𝑥→2
ln(𝑥 − 1)
Solução: Como 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑓(𝑡) = ln 𝑡 logo lim𝑥→2
𝑔(𝑥) = lim𝑥→2
(𝑥 − 1) = 1 portanto
lim𝑥→2
ln(𝑥 − 1) = ln (lim𝑥→2
𝑥 − 1) = ln 1 = 0
Teorema 1.4 (Teorema do Confronto): Se 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) quando 𝑥 está próximo de 𝑝 (exceto
possivelmente em 𝑝) e lim𝑥→p
𝑔(𝑥) = 𝐿 = lim𝑥→p
ℎ(𝑥) então lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = 𝐿
Podemos demonstrar que o limite da função de 𝑓(𝑥) =sen 𝑥
𝑥 é igual a 1 utilizando o Teorema do
Confronto. Observe o círculo trigonométrico
Considerando que se o raio da
circunferência é igual 1 e o valor do 𝑥 maior que
zero (𝑥 > 0) então medida do arco a é igual a 𝑥 e é
maior do que o seno do ângulo 𝑥 e menor do que a
tangente do ângulo 𝑥 como podemos na inequação.
0 < sen 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥
Se dividirmos essa inequação por sen 𝑥 então
obtemos
0 <sen 𝑥
sen 𝑥<
𝑥
sen 𝑥<
tan 𝑥
sen 𝑥 ⇒ 1 <
𝑥
sen 𝑥<
1
cos 𝑥
e portanto podemos que
cos 𝑥 <sen 𝑥
𝑥< 1
Podemos observar que o limite da função
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 é igual a 1 e o limite da função
constante 𝑓(𝑥) = 1 é igual a 1, ou seja: lim𝑥→0
1 = 1 e
lim𝑥→0
cos 𝑥 = cos 0 = 1. Usando o Teorema do Confronto podemos mostrar dessa maneira, que o limite a
função 𝑓(𝑥) =sen 𝑥
𝑥 é igual a 1, ou seja, lim
𝑥→0
sen 𝑥𝑥
= 1. Faça o gráfico dessa função no Geogebra.
Limites laterais
Definição: Limites à direita denotado por lim𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = 𝐿, se e somente se para todo número 휀 > 0 houver
um número 𝛿 > 0 tal que se 𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
Exemplo 6) Calcule lim𝑥→0+
√𝑥 = 0
Solução: Queremos achar um número tal que se 0 < 𝑥 < 𝛿 então |√𝑥 − 0| < 휀, isto é, √𝑥 < 휀 ou,
elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade, obtemos 𝑥 < 휀2.
Isso sugere que deveríamos escolher 𝛿 = 휀2.
Portanto dado 휀 > 0, seja 𝛿 = 휀2. Se 0 < 𝑥 < 𝛿, então √𝑥 < √𝛿 = √휀2 = 휀.
Definição: Limites à esquerda denotado por lim𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝐿, se e somente se para todo número 휀 > 0
houver um número 𝛿 > 0 tal que se 𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
É claro que lim𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim𝑥→p
𝑓(𝑥) = 𝐿
Exemplo 7) Usando a definição de limite lateral, mostre que limx→2
(3𝑥 + 2) = 8.
Exemplo 8) Usando a definição de limite lateral, mostre que o limite limx→0
|𝑥| não existe.
Limites Infinitos
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑝, exceto
possivelmente no próprio 𝑝. Então
lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = ∞
significa que, para todo número positivo 𝑀, há um número positivo 𝛿 tal que se 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 então
𝑓(𝑥) > 𝑀.
Isso diz que o valor de 𝑓(𝑥) pode ser arbitrariamente grande tornando-se 𝑥 próximo de 𝑝.
Exemplo 9) Mostre que lim𝑥→0
1
𝑥2 = ∞.
Solução: Seja 𝑀 um número positivo dado. Queremos encontrar um número 𝛿 tal que se 0 < |𝑥| < 𝛿
então 1/𝑥2 > 𝑀. Mas 1
𝑥2 > 𝑀 ⇔1
𝑀> 𝑥2 ⇔
1
√𝑀> 𝑥. Assim, se escolhermos 𝛿 =
1
√𝑀 e se 0 < |𝑥| < 𝛿,
então 1
𝑥2 >1
𝛿2 = 𝑀.
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑝, exceto
possivelmente no próprio 𝑝. Então
lim𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = −∞
significa que, para todo número negativo 𝑁, há um número positivo 𝛿 tal que se 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 então
𝑓(𝑥) < 𝑁.
Exercícios
Embasado nas análises feitas no exercício anterior responda qual é o valor do limite.
a) lim𝑥→1
𝑥2−1𝑥−1
= b) lim𝑥→2
𝑥4−16𝑥−2
= c) lim𝑥→−2
𝑥3+8𝑥+2
=
d) lim𝑥→3
𝑥2−6𝑥+9𝑥−3
= e) lim𝑥→−4
𝑥2+𝑥+122𝑥+8
=