Cálculo Diferencial e Integral 1 Limite

Definição: Seja 𝑓(𝑥) definida em todo 𝑥 que está em algum

intervalo aberto que contenha o número 𝑝, com a possível

exceção que 𝑓(𝑥) não precisa estar definida 𝑥 = 𝑝. Escrevemos

lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = 𝐿 se dado qualquer 휀 > 0, podemos encontrar um

numero 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| se 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿.

∀ 휀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ; 𝑥 ∈ 𝐷, 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

Exemplo 1) Seja a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2. Usando a definição

de limite, mostre que

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = limx→2

(3𝑥 + 2) = 8

Solução: De acordo com a definição, para todo 휀 > 0 dado, existe 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 8| < 휀 sempre

que 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿.

|𝑓(𝑥) − 8| = |3𝑥 + 2 − 8| = |3𝑥 − 6| = |3(𝑥 − 2)| = 3|𝑥 − 2|. Assim, se tomamos 𝛿 = 휀/3, temos que, se 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) − 8| = 3|𝑥 − 2| < 3𝛿 = 휀.

Exemplo 2) Mostre que limx→0

sen (𝜋

𝑥) não existe.

Solução: Se limx→0

sen (𝜋

𝑥) existisse, então para 𝑥 muito próximos de zero, a função 𝑓(𝑥) = sen (

𝜋

𝑥) deveria

se aproximar de um valor fixo,

que seria o limite. Mas isto não

ocorre. De fato, considerando

𝑥 =2

2𝑛+1 para (𝑛 ∈ ℤ), 𝑥 ficará

próximo de zero se 𝑛 for muito

grande. Mas,

sen (𝜋

𝑥) = sen (

𝜋(2𝑛+1)

2) =

= sen (𝑛𝜋 +𝜋

2) = cos(𝑛𝜋)

= (−1)𝑛

e a função ficará oscilando entre 1 (se 𝑛 é par) e -1 (se 𝑛 é ímpar). Logo, o limite de 𝑓 não pode existir.

Teorema 1.1 (Unicidade do limite) Se o limite existe (e é um número real) então ele é único, ou seja, se

lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = 𝐿2, com 𝐿1, 𝐿2 ∈ ℝ, então 𝐿1 = 𝐿2.

Esse teorema pode ser aplicado se funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) exceto que o

ponto 𝑝, não está no domínio de 𝑓 então: lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = lim𝑥→p

𝑔(𝑥) desde que exista um dos limites.

Assim podemos calcular o limite, como no seguinte exemplo

Exemplo 3) O gráfico das funções

𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1

sugerem que as duas funções são

equivalentes, mas é claro que o

ponto 1 não está no domínio de 𝑓.

porém analisando a vizinhança

desse ponto é claro que

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

𝑔(𝑥) o que pode

ser verificado por lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1= lim

x→2(𝑥 + 1).

Teorema 1.2 (propriedades do limite): Se lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→p

𝑔(𝑥) = 𝑀 e 𝑐 é um numero real qualquer,

então:

a) lim𝑥→p

𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝐿;

b) lim𝑥→p

(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿 + 𝑀;

c) lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀;

d) lim𝑥→p

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, desde que 𝑔(𝑥) ≠ 0 e 𝑀 ≠ 0

Exemplo 4) Calcule lim𝑥→2

(𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 4) e lim𝑥→2

𝑥3−𝑥2−𝑥+1

𝑥−1

Teorema 1.3: Se lim𝑥→p

𝑔(𝑥) = 𝐿 e se 𝑓(𝑥) for uma função lim𝑥→L

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐿), então

lim𝑥→p

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = lim𝑥→p

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim𝑥→p

𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿)

Exemplo 5) Calcule lim𝑥→2

ln(𝑥 − 1)

Solução: Como 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑓(𝑡) = ln 𝑡 logo lim𝑥→2

𝑔(𝑥) = lim𝑥→2

(𝑥 − 1) = 1 portanto

lim𝑥→2

ln(𝑥 − 1) = ln (lim𝑥→2

𝑥 − 1) = ln 1 = 0

Teorema 1.4 (Teorema do Confronto): Se 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) quando 𝑥 está próximo de 𝑝 (exceto

possivelmente em 𝑝) e lim𝑥→p

𝑔(𝑥) = 𝐿 = lim𝑥→p

ℎ(𝑥) então lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = 𝐿

Podemos demonstrar que o limite da função de 𝑓(𝑥) =sen 𝑥

𝑥 é igual a 1 utilizando o Teorema do

Confronto. Observe o círculo trigonométrico

Considerando que se o raio da

circunferência é igual 1 e o valor do 𝑥 maior que

zero (𝑥 > 0) então medida do arco a é igual a 𝑥 e é

maior do que o seno do ângulo 𝑥 e menor do que a

tangente do ângulo 𝑥 como podemos na inequação.

0 < sen 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥

Se dividirmos essa inequação por sen 𝑥 então

obtemos

0 <sen 𝑥

sen 𝑥<

𝑥

sen 𝑥<

tan 𝑥

sen 𝑥 ⇒ 1 <

𝑥

sen 𝑥<

1

cos 𝑥

e portanto podemos que

cos 𝑥 <sen 𝑥

𝑥< 1

Podemos observar que o limite da função

𝑓(𝑥) = cos 𝑥 é igual a 1 e o limite da função

constante 𝑓(𝑥) = 1 é igual a 1, ou seja: lim𝑥→0

1 = 1 e

lim𝑥→0

cos 𝑥 = cos 0 = 1. Usando o Teorema do Confronto podemos mostrar dessa maneira, que o limite a

função 𝑓(𝑥) =sen 𝑥

𝑥 é igual a 1, ou seja, lim

𝑥→0

sen 𝑥𝑥

= 1. Faça o gráfico dessa função no Geogebra.

Limites laterais

Definição: Limites à direita denotado por lim𝑥→𝑝+

𝑓(𝑥) = 𝐿, se e somente se para todo número 휀 > 0 houver

um número 𝛿 > 0 tal que se 𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

Exemplo 6) Calcule lim𝑥→0+

√𝑥 = 0

Solução: Queremos achar um número tal que se 0 < 𝑥 < 𝛿 então |√𝑥 − 0| < 휀, isto é, √𝑥 < 휀 ou,

elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade, obtemos 𝑥 < 휀2.

Isso sugere que deveríamos escolher 𝛿 = 휀2.

Portanto dado 휀 > 0, seja 𝛿 = 휀2. Se 0 < 𝑥 < 𝛿, então √𝑥 < √𝛿 = √휀2 = 휀.

Definição: Limites à esquerda denotado por lim𝑥→𝑝−

𝑓(𝑥) = 𝐿, se e somente se para todo número 휀 > 0

houver um número 𝛿 > 0 tal que se 𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

É claro que lim𝑥→𝑝+

𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→𝑝−

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim𝑥→p

𝑓(𝑥) = 𝐿

Exemplo 7) Usando a definição de limite lateral, mostre que limx→2

(3𝑥 + 2) = 8.

Exemplo 8) Usando a definição de limite lateral, mostre que o limite limx→0

|𝑥| não existe.

Limites Infinitos

Definição: Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑝, exceto

possivelmente no próprio 𝑝. Então

lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) = ∞

significa que, para todo número positivo 𝑀, há um número positivo 𝛿 tal que se 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 então

𝑓(𝑥) > 𝑀.

Isso diz que o valor de 𝑓(𝑥) pode ser arbitrariamente grande tornando-se 𝑥 próximo de 𝑝.

Exemplo 9) Mostre que lim𝑥→0

1

𝑥2 = ∞.

Solução: Seja 𝑀 um número positivo dado. Queremos encontrar um número 𝛿 tal que se 0 < |𝑥| < 𝛿

então 1/𝑥2 > 𝑀. Mas 1

𝑥2 > 𝑀 ⇔1

𝑀> 𝑥2 ⇔

1

√𝑀> 𝑥. Assim, se escolhermos 𝛿 =

1

√𝑀 e se 0 < |𝑥| < 𝛿,

então 1

𝑥2 >1

𝛿2 = 𝑀.

Definição: Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑝, exceto

possivelmente no próprio 𝑝. Então

lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) = −∞

significa que, para todo número negativo 𝑁, há um número positivo 𝛿 tal que se 0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 então

𝑓(𝑥) < 𝑁.

Exercícios

Embasado nas análises feitas no exercício anterior responda qual é o valor do limite.

a) lim𝑥→1

𝑥2−1𝑥−1

= b) lim𝑥→2

𝑥4−16𝑥−2

= c) lim𝑥→−2

𝑥3+8𝑥+2

=

d) lim𝑥→3

𝑥2−6𝑥+9𝑥−3

= e) lim𝑥→−4

𝑥2+𝑥+122𝑥+8

=