Aula Teórica 3: Função de Transferência
Conteudo• Definição de Função de Transferência• Função de Transferência de Sistemas Modelados
Função de Transferência
é o modelo matemático mais usado em controle de sistemas lineares.
Obs: Na vida real nenhum sistema é totalmente linear
Mas Justifica-se a aproximação se:• O sistema opera em uma região onde seu comportamento é
linear• O sistema nao é lineal mas utilizam-se técnicas de linealização
no ponto de operação.
A Função de Transferência é a relação por quociente entre a saída e a entrada de um sistema, transformadas pelo Laplace e considerando condições iniciais nulas
)(
)()(
sU
sYsG
saída
entrada
Função de Transferência
operador do Laplace
Nota ImportanteTerá que refrescar os conhecimentos de matemática relacionados com a transformada direta e inversa do Laplace
Suponha
Que pode conhecer as leis físicas que regem as relações entre as variáveis de um sistema
Que quando utiliza esse conhecimento lhe resulta uma equação diferencial como a seguinte
Que os coeficientes a e b são constantes
Se toma transformada do Laplace em ambos os membros da equação e supõe condições iniciais zero como se expõe no conceito de função de transferência
Reorganizando fica
Então terá
Propriedades importantes da Função de Transferência
• Só está definida para um sistema linear invariante com o tempo. nunca para sistemas não lineares
• É independente da entrada• Só se expressa em função da variável complexa S.
nunca em função do tempo ou de outra variável independente
Se tomarmos o seguinte: O grau do polinômio do numerador mO grau do polinômio do denominador n
Entao a Função de Transferência diz-se:• Estritamente Própria • Própria• Imprópria Nenhum sistema físico real cumpre com isto
mnmnmn
Por efeitos de estudos de sistemas analogos apresentar-se-a 2 circuitos:• Circuito RLC-serie• Circuito RLC-Paralelo
Funcao de Transferencia de Sistemas Modelados
Circuito RLC-Serie
Circuitos analógicos Elétricos
Aplicando a transformada de Laplace teremos:
A funcao de transferencia do sistema sara dada por:
𝐺 (𝑠)=𝑄 (𝑠 )𝑈 (𝑠)
= 1
𝐿𝑆2+𝑅𝑆+ 1𝐶
= 𝐶𝐿𝐶𝑆2+𝑅𝐶𝑆+1
Bloco analogico de Primeira Ordem
As equações do bloco analógico de primeira ordem são dadas abaixo:
Circuitos analógicos Electrónicos
Substituindo i, i‘ e i” na primeira dessas equacoes, obtemos:
E aplicando a transformada de Laplace temos:
A função de transferência do sistema sara dada por:
𝐺 (𝑠 )=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠)
=−
1𝑅1𝐶
𝑆+ 1𝑅𝐶
=−
𝑅𝑅1
𝑅𝐶𝑆+1
Bloco analogico de Segunda Ordem
Considerando o caso anterior, relativo ao bloco de primeira ordem, podemos escrever:
E aplicando a transformada de Laplace temos:
𝐺 (𝑠)=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠)
=
1𝑅𝑅2𝐶1𝐶2
𝑆2+ 1𝑅1𝐶1
𝑆+ 1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2
A função de transferência do sistema será dada por:
Exercício
• Obtenha a funcao de transferencia dos seguintes circuitos elétricos