Aula Teórica 3: Função de Transferência

Conteudo• Definição de Função de Transferência• Função de Transferência de Sistemas Modelados

Função de Transferência

é o modelo matemático mais usado em controle de sistemas lineares.

Obs: Na vida real nenhum sistema é totalmente linear

Mas Justifica-se a aproximação se:• O sistema opera em uma região onde seu comportamento é

linear• O sistema nao é lineal mas utilizam-se técnicas de linealização

no ponto de operação.

A Função de Transferência é a relação por quociente entre a saída e a entrada de um sistema, transformadas pelo Laplace e considerando condições iniciais nulas

)(

)()(

sU

sYsG

saída

entrada

Função de Transferência

operador do Laplace

Nota ImportanteTerá que refrescar os conhecimentos de matemática relacionados com a transformada direta e inversa do Laplace

Suponha

Que pode conhecer as leis físicas que regem as relações entre as variáveis de um sistema

Que quando utiliza esse conhecimento lhe resulta uma equação diferencial como a seguinte

Que os coeficientes a e b são constantes

Se toma transformada do Laplace em ambos os membros da equação e supõe condições iniciais zero como se expõe no conceito de função de transferência

Reorganizando fica

Então terá

Propriedades importantes da Função de Transferência

• Só está definida para um sistema linear invariante com o tempo. nunca para sistemas não lineares

• É independente da entrada• Só se expressa em função da variável complexa S.

nunca em função do tempo ou de outra variável independente

Se tomarmos o seguinte: O grau do polinômio do numerador mO grau do polinômio do denominador n

Entao a Função de Transferência diz-se:• Estritamente Própria • Própria• Imprópria Nenhum sistema físico real cumpre com isto

mnmnmn

Por efeitos de estudos de sistemas analogos apresentar-se-a 2 circuitos:• Circuito RLC-serie• Circuito RLC-Paralelo

Funcao de Transferencia de Sistemas Modelados

Circuito RLC-Serie

Circuitos analógicos Elétricos

Aplicando a transformada de Laplace teremos:

A funcao de transferencia do sistema sara dada por:

𝐺 (𝑠)=𝑄 (𝑠 )𝑈 (𝑠)

= 1

𝐿𝑆2+𝑅𝑆+ 1𝐶

= 𝐶𝐿𝐶𝑆2+𝑅𝐶𝑆+1

Bloco analogico de Primeira Ordem

As equações do bloco analógico de primeira ordem são dadas abaixo:

Circuitos analógicos Electrónicos

Substituindo i, i‘ e i” na primeira dessas equacoes, obtemos:

E aplicando a transformada de Laplace temos:

A função de transferência do sistema sara dada por:

𝐺 (𝑠 )=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠)

=−

1𝑅1𝐶

𝑆+ 1𝑅𝐶

=−

𝑅𝑅1

𝑅𝐶𝑆+1

Bloco analogico de Segunda Ordem

Considerando o caso anterior, relativo ao bloco de primeira ordem, podemos escrever:

E aplicando a transformada de Laplace temos:

𝐺 (𝑠)=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠)

=

1𝑅𝑅2𝐶1𝐶2

𝑆2+ 1𝑅1𝐶1

𝑆+ 1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

A função de transferência do sistema será dada por:

Exercício

• Obtenha a funcao de transferencia dos seguintes circuitos elétricos